11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

参考答案 时 ， 得 cos 仔 2 +isin 仔 2 =i. 当 k=1 时 ， 得 cos 7仔 6 +isin 7仔 6 = - 3 姨 2 - 1 2 i. 当 k=2 时， 得 cos 11仔 6 +isin 11仔 6 = 3 姨 2 - 1 2 i. 13. A 【解析】 由复数乘法的几何意义得 z 1 cos 仔 4 +isin 仔 4 4 # =z 2 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 . 又 z 2 =-1- 3 姨 i=2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 3 3 ， ∴z 1 = 2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 4 3 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 cos 仔 4 +isin 仔 4 =2 cos 3仔- 仔 4 4 3 +isin 3仔- 仔 4 4 34 ' =- 2 姨 + 2 姨 i ， z 1 的辐角主值为 3仔 4 . 14. D 【解析】 根据复数乘方公式： z n = ［ r （ cosθ+isinθ ）］ n =r n （ cosnθ+isinnθ ）， 得 （ -1+ 3 姨 i ） 10 =2 10 cos 10× 2仔 3 3 # +isin 10× 2仔 3 3 #4 3 =1 024 cos 20仔 3 +isin 20仔 3 3 # =1 024 - 1 2 + 3 姨 2 3 # i =-512+512 3 姨 i. 15. B 【解析 】 1 1-z + 1 1-z 2 = 1 1-z + zz zz-z 2 = 1 1-z + z z-z = 1 1-cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 + cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 -2isin 2 3 仔 = 1 2sin 2 仔 3 -i 2sin 仔 3 cos 仔 3 3 # + cos - 2 3 3 # 仔 +isin - 2 3 3 # 仔 3 姨 cos - 仔 2 3 # +isin - 仔 2 3 #4 3 = cos0+isin0 2sin 仔 3 cos - 仔 6 3 # +isin - 仔 6 3 #4 3 + 1 3 姨 cos - 1 6 3 # 仔 +isin - 1 6 3 # 仔 4 3 = 1 3 姨 cos 仔 6 +isin 仔 6 + 3 姨 2 - 1 2 3 # i =1. 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 学习手册 变式训练 1. 正方体、 三棱锥、 四棱锥 . 2. （ 1 ） 姨 （ ２ ） 姨 （ ３ ） × （ ４ ） 姨 3. 解 ： （ １ ） 画轴 ． 画 Ox 轴 、 Oy 轴 、 Oz 轴 ， ∠xOy＝ 45° （或 135° ）， ∠xOz＝90° ， 如图 （ 1 ） 所示正方形直观 ABCD． （ ２ ） 画底面 ． 以 O 为中心 ， 在 xOy 平面内画出正方形 直观图 ABCD． （ ３ ） 画顶点 ． 在 Oz 轴上截取 OP ， 使 OP 的长度是原四 棱锥的高 ． （ ４ ） 成图 ． 顺次连接 PA ， PB ， PC ， PD ， 并擦去辅助 线 ， 将被遮住的部分改为虚线 ， 得到此四棱锥的直观图 ［如图 （ 2 ）］ ． 4. 解： 如图 （ 1 ） 所示， 分别过点 C′ ， D′ 作 C′F⊥A′B′ =F′ ， D′E′⊥A′B′=E′ ， 则在 Rt△A′D′E′ 中 ， ∵A′D′=1 ， ∠B′A′D′ =45° ， ∴A′E′ =D′E′ = 2 姨 2 ， 同 理 可 得 B′ F′ = 2 姨 2 ， 故 A′B′=A′E′+E′F′+B′F′= 2 姨 +1. 以点 A′ 为原点、 A′B′ 为 x′ 轴、 A′D′ 为 y′ 轴， 建立坐标系， 如图 （ 1 ） 所示， 再以点 A 为原点， 画 x 轴、 y 轴， 重新建立平面直角坐标 系 xAy ， 如图 （ 2 ） 所示， 在 x 轴上取点 B ， 使得 AB=A′B′= 2 姨 +1 ， 在 y 轴上取点 D ， 使得 AD=2A′D′=2 ， 过点 D 作 DC∥x 轴， 使得 DC=D′C′=1 ； 连接 CB ， 擦去辅助线可得直 角梯形 ABCD 为所求图形 . 此时 ， 面积 S 四边形 ABCD = 1 2 AD · （ AB+CD ） = 1 2 ×2 （ 2 姨 +1+1 ） = 2 姨 +2. 5. 菱形 随堂练习 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B P D A B C （ 2 ） 第 3 题答图 x z O y P D A B C （ 1 ） A′ B′ C′ D′ x′ y′ E′ F′ x y D A B C （ 2 ） 第 4 题答图 （ 1 ） 45 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 练习手册 1. C 【解析 】 结合选项 ， 由图可知 ， 图中阴影部分为 两个长与高所形成的矩形， 在选项中的长方体应该在前方 与后方的两个矩形有阴影部分， 图中只能看到一个， 故选 C. 2. A 【解析】 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观 图时， 平行的线段在直观图中仍然是平行线段， 所以 A 正 确； 相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于 x 轴的线 段， 长度不变， 平行于 y 轴的线段， 变为原来的 1 2 ， 所以 B 错误； 相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两 个相邻的直角， 在斜二测画法内是 45° 和 135° ， 所以 C 错 误； 正方形在直观图中不是正方形， 是平行四边形， 所以 D 错误 . 故选 A. 3. B 【解析】 A′B′ ， A′C′ 在直观图中分别与 y′ 轴、 x′ 轴 平行 ， 则在原图中 AB ， AC 分别与 y 轴 、 x 轴平行 ， 所以 AB 与 AC 垂直 . 故原平面图形为直角三角形， 故选 B. 4. A 【解析】 由斜二测画法规则可知， 相交关系不变， ① 正确； 平行关系不变， ② 正确； 垂直关系不保证， 所以 正方形的直观图是平行四边形， ③ 错误； 平行于 y 轴的线 段长减半， 平行于 x 轴的线段长不变， ④ 错误 . 故选 A. 5. C 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 的直观图是一个边长为 1 的正方形， ∴ 原图形为平行四边形， 一组对边长为 1 ， 另 一组对边长为 （2 2 姨 ） 2 +1 姨 =3 ， ∴ 原图形的周长为 2× （ 1+ 3 ） =8 ， 面积为 1×2 2 姨 =2 2 姨 . 故选 C. 6. BD 【解析】 若直观图中平行于 x′ 轴的边长为 2 ， 则 该正方形的边长为 2 ， 面积为 4 ； 若直观图中平行于 y′ 轴的 边长为 2 ， 则该正方形的边长为 4 ， 面积为 16 ， 故选 BD. 7. 5 2 【解析】 由直观图得出原平面图形 △ABC ， 如图 所示； 直观图中 A′C′＝3 ， B′C′＝2 ， ∴△ABC 是直角三角形， 且 AC＝3 ， BC＝4 ， ∴AB＝5 ， ∴AB 边上的中线长度为 5 2 . 8. 2 【解析 】 由斜二测画法中 “横不变 ， 纵折半 ” 可 得， 线段 M′N′ 的长为 2. 9. 菱 6 2 姨 【解析】 在直观图 中， 设 C′D′ 与 y′ 轴交于点 E′ ， 则有 D′ E′=1 ， A′E′= 2 姨 ， 将直观图还原 可 得 AE=2 2 姨 ， 在 Rt△ADE 中 ， AD= AE 2 +DE 2 姨 =3 ， ∴AB＝AD ， 故四 边形 ABCD 为菱形 ； 其面积 S=AB · AE=6 2 姨 . 10. 解： ① 以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 xOy ， 如图 （ 1 ） 所示； ② 画出相应的坐标系 x′O′y′ ， 使得 ∠x′O′y′=45° ， 如图 （ 2 ） 所示； ③ 在 x′ 轴正半轴上取点 A′ ， 使得 O′A′=OA=2 ； ④ 在 y′ 轴正半轴上取点 C′ ， 使得 O′C′= 1 2 OC=1 ； ⑤ 过点 C′ 作 C′B′∥x′ 轴， 并取 C′B′=CB=1 ； ⑥ 连接 A′B′ ， 并擦去辅助线所得四边形 A′B′C′D′ 即为 所求， 如图 （ 3 ） 所示 . 由 题 意 得 原 图 形 四 边 形 ABCD 的 面 积 S 四 边 形 ABCD = 1 2 OC （ OA+BC ） =3 ， ∴ 直观图 A′B′C′D′ 的面积 S 四边形 A′B′C′D′ = 2 姨 4 S 四边形 ABCD = 3 2 姨 4 . 11. D 【解析】 原图形中相互垂直的两条直线在直观图 中不一定相互垂直， 故 A 错误； 原图形中平行的两条线段 仍然平行， 不平行的两条线段也不会平行， 所以梯形的直 观图不可能为平行四边形， 故 B 错误； 原图形中相互垂直 的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直， 但是原图形 中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行， 所以矩 形的直观图中对边仍然平行， 所以矩形的直观图可能为平 行四边形而不能为梯形， 故 C 错误； 原图形中相互垂直的 两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直， 但是原图形中 相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行， 所以正方 形中垂直的两边不一定仍然垂直， 但是对边仍然平行， 所 以正方形的直观图可能是平行四边形， 故 D 正确 . 12. B 【解析 】 ∵ 在直观图中 ， AB∥y′ 轴 ， BC∥x′ 轴 ， ∴ 在原三角形中 ， AB⊥BC ， 则 △ABC 为直角三角形 ， 而 AD 为 BC 边上的中线， 故 AC>AD>AB ， 故选 B. x y C A B D A′ B′ C′ D′ E′ 第 7 题答图 x y E A B CD 第 9 题答图 x y O D A B C 第 12 题答图 x y O A B C A′ B′ C′ O′ x′ y′ A′ B′ C′ O′ （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 10 题答图 （ 2 ）（ 1 ） 46 参考答案 13. ABD 【解析】 选项 A ， B ， D 中， 由斜二测画法的 原理知， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 所以得到的 三角形是全等三角形 ， 而 C 中前者画成直观图时 ， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 后者画成直观图时， 高不 变， 边 AB 变为原来的 1 2 . 14. 3 2 姨 【解析】 由题意得 BC= 2 姨 ×cos45°+1=2. 由 直观图可知， 原图形是一个直角梯形， 其上、 下底的长度 分别为 1 ， 2 ， 高为 2 2 姨 ， 所以原图形的面积， 即这块菜 地的面积 S= 1 2 × （ 1+2 ） ×2 2 姨 =3 2 姨 . 15. 解 ： 正 △ABC 的边长为 2 cm ， 则它的直观图 △A′B′C′ 中， A′B′=2 cm ， O′C′= 1 2 ×2×sin60°= 3 姨 2 （ cm ）， ∴B′C′ 2 =O′B′ 2 +O′C′ 2 -2O′B′ · O′C′ · cos45°=1+ 3 4 -2×1× 3 姨 2 × 2 姨 2 = 7-2 6 姨 4 = 6 姨 -1 2 2 $ 2 ， ∴B′C′= 6 姨 -1 2 cm. 又 ∵A′C′ 2 = O′A′ 2 +O′C′ 2 -2O′A′ · O′C′ · cos135° =1 + 3 4 -2 ×1 × 3 姨 2 × - 2 姨 2 2 & = 7+2 6 姨 4 = 6 姨 +1 2 2 & 2 ， ∴A′C′= 6 姨 +1 2 cm ， ∴ △A′B′C′ 的周长为 2+ 6 姨 -1 2 + 6 姨 +1 2 =2+ 6 姨 （ cm ） . 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 学习手册 变式训练 1. 解： 画出相应的图形如图所示， （ 1 ） 可形成圆柱的 侧面， （ 2 ） 可形成圆锥的侧面 . 2. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 3. A 4. ① 平行 ② 异面 ③ 平行 ④ 相交 ⑤ 平行 ⑥ 垂直 5. 2 随堂练习 1. C 2. A 3. D 4. D 5. （ 1 ） C埸茁 （ ２ ） A埸琢 （ 3 ） AB∩琢 （ 4 ） CD奂 琢 （ 5 ） 琢∩茁=BD 练习手册 1. B 【解析 】 球只有一个曲面围成 ， 故 ① 错 ， ② 对 ， ③ 对， 由于几何体是空间图形， 故一定有面， ④ 错， 故选 B. 2. C 【解析】 直线的平移可以形成平面或曲面， 故 A 错误； 只有当两直线平行时旋转才可以形成柱面， 故 B 错 误； 直线绕定点旋转可以形成锥面或平面， 故 C 正确； 曲 线在自己本身所在的平面内平移时得到的是平面， 故 D 错 误 . 故选 C. 3. C 【解析 】 可将各直线放入长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与 BC 是异面直线 ， 又 AA 1 ∥BB 1 ， AA 1 ∥DD 1 ， 显 然 BB 1 ∩BC=B ， DD 1 与 BC 是异面直线， 故选 C. 4. A 【解析】 对于选项 B ， 如图 （ 1 ） 显然错误 . 对于 选项 C ， 如图 （ 2 ） 显然错误 . 对于选项 D ， 如图 （ 3 ） 显然 错误， 故选 A. 5. AD 【解析 】 如图可知 ， AB∥ CD∥C 1 D 1 ， AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， ∴A 正确 ， B ， C 错误 ； ∵A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∴ 点 A 1 与点 C 1 到平面 ABCD 的距离相等， D 正确 ， 故选 AD. 6. D 【解析】 当 l∥琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的距离都相等； 当 l奂琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的 距离都是 0 ； 当 l⊥琢 时， 直线 l 上到平面 琢 的距离相等且 不为 0 的点有两个； 当 l 与 琢 相交但不垂直时， 直线 l 上到 平面 琢 的距离相等且不为 0 的点有两个 . 故选 D. 7. B 【解析 】 如图 ， 在长方体中 ， 平面 ABCD∥ 平面 A′B′C′D′ ， A′D′奂 平面 A′B′C′D′ ， AB奂 平面 ABCD ， A′D′ 与 AB 不平行， 且 A′D′ 与 AB 垂直， 所以 ①③ 错 . 8. M∈l 【解析】 点 M 在直线 l 上， 则 M ， l 间的关系可 用符号语言表示为 M∈l. 9. 1 【解析 】 如图所示 ， 平面 EFGH∥ 平面 ABCD ， EA⊥ 平面 ABCD ， 则两平面间的距离为线段 EA 的长度 1. A B l A B l （ 1 ） （2 ） 第 1 题答图 B A 琢 琢 a b b A 琢 a （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 4 题答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 5 题答图 A′ B′ C′ D D′ A B C A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 F G E H 第 7 题答图 第 9 题答图 47 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 利用实物、 计算机软件等观察空间图 形， 进一步认识空间几何体， 培养空间想象 能力 . 2. 了解斜二测画法的概念及步骤， 能用 斜二测画法画出简单几何体 （长方体、 球、 圆 柱、 圆锥、 棱柱等及其简单组合体） 的直观图 . 3. 逆用斜二测画法， 找出直观图的原图 . 要 点 精 析 要点 1 空间几何体的概念与几何体的 平面展开图 生活中的物体都占据着空间的一部分 . 若 只考虑一个物体占有的空间的形状和大小， 而不考虑其他因素， 则这个空间部分可抽象 为一个几何体， 这个几何体就叫作空间几何体 . 思考 1 如图所示的几何体， 你能画 出来吗？ 例 1 把图中的几何体沿棱剪开， 然后 放在平面上展开， 试画出这些图形的展开图 . 分析： 空间问题要转化为平面问题 ， 这种转化与化归思想将贯穿立体几何的 始终 . 解： 画出相应的图形如图所示 （答案不 唯一） . 变式训练 1 说出例 1 图对应的几何体的名称 . 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 图 11-1-1 （ A ） 图 11-1-1 （ B ） 图 11-1-1 （ C ） 图 11-1-2 （ A ） 图 11-1-2 （ B ） 图 11-1-2 （ C ） 43 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 直观图与斜二测画法 1. 立体几何中， 用来表示空间图形的平 面图形， 习惯上称为空间图形的直观图 . 通 常使用斜二测画法作直观图 . 2. 斜二测画法的步骤： （ 1 ） 用斜二测画法作水平放置的平面图 形的直观图步骤如下： ① 在平面图形中， 取互相垂直的 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标系； ② 画 x′ 轴、 y′ 轴， 使得它们正方向夹角 为 45° 或 135° ； ③ 平面图形中与 x 轴平行 （或重合） 的 线段画成与 x′ 轴平行 （或重合 ）， 且长度 不变； ④ 平面图形中与 y 轴平行 （或重合） 的 线段画成与 y′ 轴平行 （或重合）， 且长度变 成原来的一半； ⑤ 连接有关线段， 擦去作图过程中的辅 助线 . （ 2 ） 用斜二测画法作立体图形的直观图 步骤如下： ① 在立体图形中取水平平面， 取原点互 相垂直的 x 轴和 y 轴， 作出水平平面的直观 图 （保留 x′ 轴、 y′ 轴）； ② 在立体图形中， 过原点取 z 轴垂直于 x 轴和 y 轴， 在直观图中作相应的 z′ 轴， 并 使得 z′ 轴垂直于 x′ 轴； ③ 图形中与 z 轴平行 （或重合） 的线段 画成与 z′ 轴平行 （或重合）， 且长度不变； ④ 连接有关线段， 擦去作图过程中的辅 助线， 并把被遮挡住的线段改成虚线 （或 擦除） . 思考 2 如图， △A′B′C′ 是水平放置的 △ABC 斜二测画法的直观图 ， 能否判断 △ABC 的形状？ 例 2 用斜二测画法画水平放置的边长 为 2 的正六边形 ABCDEF 的直观图 . 分析： （ 1 ） 用斜二测画法画图的关键 是在原图中找到决定图形位置与形状的点 并在直观图中对应画出， 故应首先建立适 当的平面直角坐标系 . （ 2 ） 对应的直观图坐 标系两轴正方向夹角为 45° 或 135°. （ 3 ） 注 意直观图与原图形的对应关系： 平行线段 仍平行； 平行于 x 轴的线段长度不变； 平 行于 y 轴的线段长度变为原来的一半， 即 “横不变， 纵减半” . 解析 ： （ 1 ） 在正六边形 ABCDEF 中 ， 连接 AD ， 以 AD 中点 O 为原点， AD 所在直 线为 x 轴， AD 中垂线为 y 轴， 建立平面直 角坐标系 xOy ， 如图 （ A ）， 其中 y 轴分别交 EF ， BC 于点 M ， N. 经计算可得 OA=OD=2 ， ME=MF=NB=NC=1 ， OM=ON= 3 姨 . （ 2 ） 画出相应的坐标系 x′O′y′ ， 使得 ∠x′O′y′=45° ， 如图 （ B ） . 在 x′ 轴负半轴上取点 A′ ， 正半轴上取 点 D′ ， 使得 O′A′=OA=2 ， O′D′=OD=2. 在 y′ 轴负半轴上取点 N′ ， 正半轴上取 点 M′ ， 使得 O′N′= 1 2 ON= 3 姨 2 ， O′M′= 1 2 OM= 3 姨 2 . 过点 M′ 作 E′F′∥x′ 轴， 并取 M′E′=M′F′ A′ B′ （ C′ ） O′ x′ y′ 44 第十一章 立体几何初步 学 =ME=1 ， 用同样的方法过点 N′ 作 B′C′∥x′ 轴， 并取 N′B′=N′C′=NB=1. （ 3 ） 连接 A′B′ ， C′D′ ， D′E′ ， A′F′ ， 并 擦去辅助线， 可得如图 （ C ） 所示的六边形 A′B′C′D′E′F′ 即为所求 . 变式训练 2 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 两条平行线段在直观图中对应的两 条线段仍然平行 . （ ） （ 2 ） 平行于坐标轴的线段在直观图中仍 然平行于坐标轴 . （ ） （ 3 ） 斜二测画法中， 平行于坐标轴的线 段长度在直观图中仍然保持不变 . （ ） （ 4 ） 斜二测坐标系取的角可能是 135°. （ ） 例 3 已知一个长方体的长、 宽、 高分 别为 5 ， 4 ， 3 ， 用斜二测画法画出此长方体 的直观图 . 分析： 用斜二测画法作立体图形的直 观图要注意只有水平面中的平行于 y 轴的 线段要 “斜” 过来， 与 x 轴夹角为 45° ， 且 长度变为原来的一半， 平行于 x 轴、 z 轴的 线段长度不变 . 解析： （ 1 ） 首先用斜二测画法画出水 平放置的长为 5 、 宽为 4 的长方形的直观图 ABCD ， 如图 （ A ） . （ 2 ） 过 A 作 z′ 轴， 使之垂直于 x′ 轴， 在 z′ 轴上取 AA 1 =3 ， 过 B ， C ， D 分别作 z′ 轴的 平行线 BB 1 ， CC 1 ， DD 1 ， 使得 BB 1 =CC 1 =DD 1 = 3 ， 连接 A 1 B 1 ， B 1 C 1 ， C 1 D 1 ， D 1 A 1 ， 如图 （ B ） . （ 3 ） 擦去辅助线， 并把被遮挡住的线段 AD ， DC ， DD 1 改为虚线 （或擦除）， 所得图 形即为所求， 如图 （ C ） 或 （ D ） . 变式训练 3 画出正四棱锥 （底面是正方形， 侧面是 有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱 锥） 的直观图 . A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B C O′ x′ y′ （ A ） B C D x′ O′ z′ y′ （ A ） B C D A 1 B 1 C 1 D 1 F M N A B C D E x y O A′ B′ C′ D′ F′ E′ O′ M′ N′ x′ y′ A′ B′ C′ D′ F′ E′ 图 11-1-4 （ A ） 图 11-1-4 （ B ） 图 11-1-3 （ A ） 图 11-1-3 （ B ） 图 11-1-3 （ C ） 图 11-1-4 （ C ） 图 11-1-4 （ D ） 45 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 平面多边形的面积与其直观图面 积的关系： S 直观图 = 2 姨 4 S 原图形 思考 3 若已知一个三角形的面积为 S ， 则它的直观图面积是多少？ 例 4 画出一边沿水平方向， 且边长为 2 的等边三角形的直观图， 求出其直观图的 面积， 并讨论直观图面积与原图形面积的 关系 . 分析： 首先利用斜二测画法画出等边 三角形的直观图， 注意各个量的变化， 然 后确定底边 ， 作直观图的高 ， 求出长度 即可 . 解： （ 1 ） ① 如图 （ A ）， 在等边 △ABC 中， 取 AB 的中点 O ， 连接 OC ， 以 O 为原 点， AB 所在直线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 xOy ， 经计算可得 OA=OB=1 ， OC= 3 姨 ； ② 画出相应的坐标系 x′O′ y′ ， 使得 ∠x′O′y′=45° ， 如图 （ B ）； ③ 在 x′ 轴负半轴上取点 A′ ， 正半轴上 取点 B′ ， 使得 O′A′=OA=1 ， O′B′=OB=1 ； ④ 在 y′ 轴正半轴上取点 C′ ， 使得 O′C′= 1 2 OC= 3 姨 2 ； ⑤ 连接 A′C′ ， B′C′ ， 所得 △A′B′C′ 即为 所求 . （ 2 ） 过点 C′ 作 C′D′⊥A′B′=D′ ， 如图 （ B ） 所示 . 在 Rt△C′D′O′ 中， C′D′= 2 姨 2 O′C′ = 6 姨 4 ， 故所求直观图面积 S △A′B′C′ = 1 2 A′B′ · C′D′= 1 2 ×2× 6 姨 4 = 6 姨 4 . ∵ 原图形面积 S △ABC = 1 2 AB · OC= 1 2 ×2× 3 姨 = 3 姨 ， ∴S △A′B′C′ = 6 姨 4 = 2 姨 4 S △ABC . 变式训练 4 如图， 等腰梯形 A′B′C′D′ 是平面图形 ABCD 的直观图 . 若 A′B′∥C′D′ ， A′D′=B′C′= C′D′=1 ， ∠B′A′D′=45°. 请画出原来的平面 图形， 并求出原图形的面积 . 例 5 如图， △A′B′C′ 是水平放置的平面图形 的斜二测直观图， 将其 还原成平面图形 . 分析： 由直观图还原平面图形的关键： （ 1 ） 平行于 x′ 轴的线段长度不变， 平 x y OA B C A′ B′ C′ D′O′ x′ y′ A′ B′ （ C′ ） O′ x′ y′ D′ A′ B′ C′ D′ x′ y′ 图 11-1-5 （ A ） 图 11-1-5 （ B ） 图 11-1-6 图 11-1-7 46 第十一章 立体几何初步 学 行于 y′ 轴的线段长度扩大为原来的 2 倍 . （ 2 ） 对于相邻两边不与 x′ 、 y′ 轴平行的顶 点可通过作 x′ 轴、 y′ 轴平行线变换确定其 在 xOy 中的位置 . 解： ① 画出直角坐标系 xOy ， 在 x 轴的 正方向上取 OA＝O′A′ ， 即 CA＝C′A′ ； ② 过 B′ 作 B′D′∥y′ 轴， 交 x′ 轴于点 D′ ， 在 OA 上取 OD＝O′D′ ， 过 D 作 DB∥y 轴， 且 使 DB＝2D′B′ ； ③ 连接 AB ， BC ， 得 △ABC ， 则 △ABC 即为 △A′B′C′ 对应的平面图形， 如图所示 . 变式训练 5 如图， 矩形 O′A′B′C′ 是水平放置的一个 平面图形的直观图， 其中 O′A′＝6 cm ， C′D′ ＝2 cm ， 则原图形的形状是 . 要点 4 正等测画法 立体几何中的直观图不都是利用斜二测 画法画出的， 例如水平放置的圆， 其直观图 一般用 “正等测画法” 画成椭圆 . 如图 （ 1 ） 和图 （ 2 ） 是圆柱与球的直观图 . 思考 4 观察如下图所示的物体， 说 出几何体的名称 . 数 学 文 化 （多选题） 中国古代数学经典 《九章算 术》 系统地总结了战国、 秦、 汉时期的数学 成就， 其分册 《九章算术·商功》 中将四个 面都是直角三角形的四面体叫作鳖臑 . 下列展 开图中， 可以拼成一个 “鳖臑” 的有 （ ） 分析： 此题结合了古代数学模型考查 几何体的表面展开图还原为几何体的问题 . 从题中数据及边角关系可得结论 . 解析： A 、 B 选项中均有四 个直角三角形 ， 可围成 “鳖 臑”， 如图所示； C 选项只有三 个直角三角形， 不符合题意； D 选项由于对应边长不等， 不能 围成几何体， 不符合题意， 故选 A 、 B. 答案： AB x y D A B O （ C ） A′ B′ C′ D′ O′ y′ x′ （ 1 ） （ 2 ） 5 4 3 41 姨 5 4 3 41 姨 5 5 4 2 姨 4 2 姨 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 A B C D 3 4 5 图 11-1-8 图 11-1-9 图 11-1-10 47