11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

参考答案 时 ， 得 cos 仔 2 +isin 仔 2 =i. 当 k=1 时 ， 得 cos 7仔 6 +isin 7仔 6 = - 3 姨 2 - 1 2 i. 当 k=2 时， 得 cos 11仔 6 +isin 11仔 6 = 3 姨 2 - 1 2 i. 13. A 【解析】 由复数乘法的几何意义得 z 1 cos 仔 4 +isin 仔 4 4 # =z 2 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 . 又 z 2 =-1- 3 姨 i=2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 3 3 ， ∴z 1 = 2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 4 3 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 cos 仔 4 +isin 仔 4 =2 cos 3仔- 仔 4 4 3 +isin 3仔- 仔 4 4 34 ' =- 2 姨 + 2 姨 i ， z 1 的辐角主值为 3仔 4 . 14. D 【解析】 根据复数乘方公式： z n = ［ r （ cosθ+isinθ ）］ n =r n （ cosnθ+isinnθ ）， 得 （ -1+ 3 姨 i ） 10 =2 10 cos 10× 2仔 3 3 # +isin 10× 2仔 3 3 #4 3 =1 024 cos 20仔 3 +isin 20仔 3 3 # =1 024 - 1 2 + 3 姨 2 3 # i =-512+512 3 姨 i. 15. B 【解析 】 1 1-z + 1 1-z 2 = 1 1-z + zz zz-z 2 = 1 1-z + z z-z = 1 1-cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 + cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 -2isin 2 3 仔 = 1 2sin 2 仔 3 -i 2sin 仔 3 cos 仔 3 3 # + cos - 2 3 3 # 仔 +isin - 2 3 3 # 仔 3 姨 cos - 仔 2 3 # +isin - 仔 2 3 #4 3 = cos0+isin0 2sin 仔 3 cos - 仔 6 3 # +isin - 仔 6 3 #4 3 + 1 3 姨 cos - 1 6 3 # 仔 +isin - 1 6 3 # 仔 4 3 = 1 3 姨 cos 仔 6 +isin 仔 6 + 3 姨 2 - 1 2 3 # i =1. 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 学习手册 变式训练 1. 正方体、 三棱锥、 四棱锥 . 2. （ 1 ） 姨 （ ２ ） 姨 （ ３ ） × （ ４ ） 姨 3. 解 ： （ １ ） 画轴 ． 画 Ox 轴 、 Oy 轴 、 Oz 轴 ， ∠xOy＝ 45° （或 135° ）， ∠xOz＝90° ， 如图 （ 1 ） 所示正方形直观 ABCD． （ ２ ） 画底面 ． 以 O 为中心 ， 在 xOy 平面内画出正方形 直观图 ABCD． （ ３ ） 画顶点 ． 在 Oz 轴上截取 OP ， 使 OP 的长度是原四 棱锥的高 ． （ ４ ） 成图 ． 顺次连接 PA ， PB ， PC ， PD ， 并擦去辅助 线 ， 将被遮住的部分改为虚线 ， 得到此四棱锥的直观图 ［如图 （ 2 ）］ ． 4. 解： 如图 （ 1 ） 所示， 分别过点 C′ ， D′ 作 C′F⊥A′B′ =F′ ， D′E′⊥A′B′=E′ ， 则在 Rt△A′D′E′ 中 ， ∵A′D′=1 ， ∠B′A′D′ =45° ， ∴A′E′ =D′E′ = 2 姨 2 ， 同 理 可 得 B′ F′ = 2 姨 2 ， 故 A′B′=A′E′+E′F′+B′F′= 2 姨 +1. 以点 A′ 为原点、 A′B′ 为 x′ 轴、 A′D′ 为 y′ 轴， 建立坐标系， 如图 （ 1 ） 所示， 再以点 A 为原点， 画 x 轴、 y 轴， 重新建立平面直角坐标 系 xAy ， 如图 （ 2 ） 所示， 在 x 轴上取点 B ， 使得 AB=A′B′= 2 姨 +1 ， 在 y 轴上取点 D ， 使得 AD=2A′D′=2 ， 过点 D 作 DC∥x 轴， 使得 DC=D′C′=1 ； 连接 CB ， 擦去辅助线可得直 角梯形 ABCD 为所求图形 . 此时 ， 面积 S 四边形 ABCD = 1 2 AD · （ AB+CD ） = 1 2 ×2 （ 2 姨 +1+1 ） = 2 姨 +2. 5. 菱形 随堂练习 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B P D A B C （ 2 ） 第 3 题答图 x z O y P D A B C （ 1 ） A′ B′ C′ D′ x′ y′ E′ F′ x y D A B C （ 2 ） 第 4 题答图 （ 1 ） 45 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 练习手册 1. C 【解析 】 结合选项 ， 由图可知 ， 图中阴影部分为 两个长与高所形成的矩形， 在选项中的长方体应该在前方 与后方的两个矩形有阴影部分， 图中只能看到一个， 故选 C. 2. A 【解析】 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观 图时， 平行的线段在直观图中仍然是平行线段， 所以 A 正 确； 相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于 x 轴的线 段， 长度不变， 平行于 y 轴的线段， 变为原来的 1 2 ， 所以 B 错误； 相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两 个相邻的直角， 在斜二测画法内是 45° 和 135° ， 所以 C 错 误； 正方形在直观图中不是正方形， 是平行四边形， 所以 D 错误 . 故选 A. 3. B 【解析】 A′B′ ， A′C′ 在直观图中分别与 y′ 轴、 x′ 轴 平行 ， 则在原图中 AB ， AC 分别与 y 轴 、 x 轴平行 ， 所以 AB 与 AC 垂直 . 故原平面图形为直角三角形， 故选 B. 4. A 【解析】 由斜二测画法规则可知， 相交关系不变， ① 正确； 平行关系不变， ② 正确； 垂直关系不保证， 所以 正方形的直观图是平行四边形， ③ 错误； 平行于 y 轴的线 段长减半， 平行于 x 轴的线段长不变， ④ 错误 . 故选 A. 5. C 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 的直观图是一个边长为 1 的正方形， ∴ 原图形为平行四边形， 一组对边长为 1 ， 另 一组对边长为 （2 2 姨 ） 2 +1 姨 =3 ， ∴ 原图形的周长为 2× （ 1+ 3 ） =8 ， 面积为 1×2 2 姨 =2 2 姨 . 故选 C. 6. BD 【解析】 若直观图中平行于 x′ 轴的边长为 2 ， 则 该正方形的边长为 2 ， 面积为 4 ； 若直观图中平行于 y′ 轴的 边长为 2 ， 则该正方形的边长为 4 ， 面积为 16 ， 故选 BD. 7. 5 2 【解析】 由直观图得出原平面图形 △ABC ， 如图 所示； 直观图中 A′C′＝3 ， B′C′＝2 ， ∴△ABC 是直角三角形， 且 AC＝3 ， BC＝4 ， ∴AB＝5 ， ∴AB 边上的中线长度为 5 2 . 8. 2 【解析 】 由斜二测画法中 “横不变 ， 纵折半 ” 可 得， 线段 M′N′ 的长为 2. 9. 菱 6 2 姨 【解析】 在直观图 中， 设 C′D′ 与 y′ 轴交于点 E′ ， 则有 D′ E′=1 ， A′E′= 2 姨 ， 将直观图还原 可 得 AE=2 2 姨 ， 在 Rt△ADE 中 ， AD= AE 2 +DE 2 姨 =3 ， ∴AB＝AD ， 故四 边形 ABCD 为菱形 ； 其面积 S=AB · AE=6 2 姨 . 10. 解： ① 以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 xOy ， 如图 （ 1 ） 所示； ② 画出相应的坐标系 x′O′y′ ， 使得 ∠x′O′y′=45° ， 如图 （ 2 ） 所示； ③ 在 x′ 轴正半轴上取点 A′ ， 使得 O′A′=OA=2 ； ④ 在 y′ 轴正半轴上取点 C′ ， 使得 O′C′= 1 2 OC=1 ； ⑤ 过点 C′ 作 C′B′∥x′ 轴， 并取 C′B′=CB=1 ； ⑥ 连接 A′B′ ， 并擦去辅助线所得四边形 A′B′C′D′ 即为 所求， 如图 （ 3 ） 所示 . 由 题 意 得 原 图 形 四 边 形 ABCD 的 面 积 S 四 边 形 ABCD = 1 2 OC （ OA+BC ） =3 ， ∴ 直观图 A′B′C′D′ 的面积 S 四边形 A′B′C′D′ = 2 姨 4 S 四边形 ABCD = 3 2 姨 4 . 11. D 【解析】 原图形中相互垂直的两条直线在直观图 中不一定相互垂直， 故 A 错误； 原图形中平行的两条线段 仍然平行， 不平行的两条线段也不会平行， 所以梯形的直 观图不可能为平行四边形， 故 B 错误； 原图形中相互垂直 的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直， 但是原图形 中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行， 所以矩 形的直观图中对边仍然平行， 所以矩形的直观图可能为平 行四边形而不能为梯形， 故 C 错误； 原图形中相互垂直的 两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直， 但是原图形中 相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行， 所以正方 形中垂直的两边不一定仍然垂直， 但是对边仍然平行， 所 以正方形的直观图可能是平行四边形， 故 D 正确 . 12. B 【解析 】 ∵ 在直观图中 ， AB∥y′ 轴 ， BC∥x′ 轴 ， ∴ 在原三角形中 ， AB⊥BC ， 则 △ABC 为直角三角形 ， 而 AD 为 BC 边上的中线， 故 AC>AD>AB ， 故选 B. x y C A B D A′ B′ C′ D′ E′ 第 7 题答图 x y E A B CD 第 9 题答图 x y O D A B C 第 12 题答图 x y O A B C A′ B′ C′ O′ x′ y′ A′ B′ C′ O′ （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 10 题答图 （ 2 ）（ 1 ） 46 参考答案 13. ABD 【解析】 选项 A ， B ， D 中， 由斜二测画法的 原理知， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 所以得到的 三角形是全等三角形 ， 而 C 中前者画成直观图时 ， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 后者画成直观图时， 高不 变， 边 AB 变为原来的 1 2 . 14. 3 2 姨 【解析】 由题意得 BC= 2 姨 ×cos45°+1=2. 由 直观图可知， 原图形是一个直角梯形， 其上、 下底的长度 分别为 1 ， 2 ， 高为 2 2 姨 ， 所以原图形的面积， 即这块菜 地的面积 S= 1 2 × （ 1+2 ） ×2 2 姨 =3 2 姨 . 15. 解 ： 正 △ABC 的边长为 2 cm ， 则它的直观图 △A′B′C′ 中， A′B′=2 cm ， O′C′= 1 2 ×2×sin60°= 3 姨 2 （ cm ）， ∴B′C′ 2 =O′B′ 2 +O′C′ 2 -2O′B′ · O′C′ · cos45°=1+ 3 4 -2×1× 3 姨 2 × 2 姨 2 = 7-2 6 姨 4 = 6 姨 -1 2 2 $ 2 ， ∴B′C′= 6 姨 -1 2 cm. 又 ∵A′C′ 2 = O′A′ 2 +O′C′ 2 -2O′A′ · O′C′ · cos135° =1 + 3 4 -2 ×1 × 3 姨 2 × - 2 姨 2 2 & = 7+2 6 姨 4 = 6 姨 +1 2 2 & 2 ， ∴A′C′= 6 姨 +1 2 cm ， ∴ △A′B′C′ 的周长为 2+ 6 姨 -1 2 + 6 姨 +1 2 =2+ 6 姨 （ cm ） . 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 学习手册 变式训练 1. 解： 画出相应的图形如图所示， （ 1 ） 可形成圆柱的 侧面， （ 2 ） 可形成圆锥的侧面 . 2. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 3. A 4. ① 平行 ② 异面 ③ 平行 ④ 相交 ⑤ 平行 ⑥ 垂直 5. 2 随堂练习 1. C 2. A 3. D 4. D 5. （ 1 ） C埸茁 （ ２ ） A埸琢 （ 3 ） AB∩琢 （ 4 ） CD奂 琢 （ 5 ） 琢∩茁=BD 练习手册 1. B 【解析 】 球只有一个曲面围成 ， 故 ① 错 ， ② 对 ， ③ 对， 由于几何体是空间图形， 故一定有面， ④ 错， 故选 B. 2. C 【解析】 直线的平移可以形成平面或曲面， 故 A 错误； 只有当两直线平行时旋转才可以形成柱面， 故 B 错 误； 直线绕定点旋转可以形成锥面或平面， 故 C 正确； 曲 线在自己本身所在的平面内平移时得到的是平面， 故 D 错 误 . 故选 C. 3. C 【解析 】 可将各直线放入长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与 BC 是异面直线 ， 又 AA 1 ∥BB 1 ， AA 1 ∥DD 1 ， 显 然 BB 1 ∩BC=B ， DD 1 与 BC 是异面直线， 故选 C. 4. A 【解析】 对于选项 B ， 如图 （ 1 ） 显然错误 . 对于 选项 C ， 如图 （ 2 ） 显然错误 . 对于选项 D ， 如图 （ 3 ） 显然 错误， 故选 A. 5. AD 【解析 】 如图可知 ， AB∥ CD∥C 1 D 1 ， AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， ∴A 正确 ， B ， C 错误 ； ∵A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∴ 点 A 1 与点 C 1 到平面 ABCD 的距离相等， D 正确 ， 故选 AD. 6. D 【解析】 当 l∥琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的距离都相等； 当 l奂琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的 距离都是 0 ； 当 l⊥琢 时， 直线 l 上到平面 琢 的距离相等且 不为 0 的点有两个； 当 l 与 琢 相交但不垂直时， 直线 l 上到 平面 琢 的距离相等且不为 0 的点有两个 . 故选 D. 7. B 【解析 】 如图 ， 在长方体中 ， 平面 ABCD∥ 平面 A′B′C′D′ ， A′D′奂 平面 A′B′C′D′ ， AB奂 平面 ABCD ， A′D′ 与 AB 不平行， 且 A′D′ 与 AB 垂直， 所以 ①③ 错 . 8. M∈l 【解析】 点 M 在直线 l 上， 则 M ， l 间的关系可 用符号语言表示为 M∈l. 9. 1 【解析 】 如图所示 ， 平面 EFGH∥ 平面 ABCD ， EA⊥ 平面 ABCD ， 则两平面间的距离为线段 EA 的长度 1. A B l A B l （ 1 ） （2 ） 第 1 题答图 B A 琢 琢 a b b A 琢 a （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 4 题答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 5 题答图 A′ B′ C′ D D′ A B C A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 F G E H 第 7 题答图 第 9 题答图 47 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 下列四个长方体中， 可由图中的纸板 沿虚线折成的是 （ ） 2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形 直观图时， 下列结论中正确的是 （ ） A. 平行的线段在直观图中仍然平行 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 正方形在直观图中仍然是正方形 3. 如图所示， △A′B′C′ 是水平放置的 △ABC 的直 观 图 ， 已 知 ∠A′ B′ C′ = 90° ， 且 A′B′=B′C′ ， 则原 图中的 △ABC 是 （ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形 的直观图时， 有下列结论： ① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四 边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直 观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形 . 其中， 正确结论的序号是 （ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 5. 如图， 已知四边形 ABCD 的直观图是 一个边长为 1 的正方形， 则原图形的周长和 面积分别为 （ ） A. 2 2 姨 ， 4 B. 6 ， 4 2 姨 C. 8 ， 2 2 姨 D. 4 2 姨 +2 ， 6 2 姨 6. （多选题） 已知一个水平放置的正方 形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四 边形， 其中有一条边长为 2 ， 则该正方形的 面积可能是 （ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 4 二、 填空题 7. 水平放置的 △ABC 的直观图如图所 示， 已知 A′C′＝3 ， B′C′ ＝2 ， 则原图形中 AB 边 上 中 线 的实际长度为 . 8. 根据斜二测画法， 位于平面直角坐标 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 第十一章 立体几何初步 第 1 题图 A B C D A′ B′ C′ x′ y′ 第 3 题图 第 5 题图 A′ B′ C′ x′ y′ 135° 第 7 题图 A′ C′ B′ x′ y′ O′ D′ 32 第十一章 立体几何初步 练 系 xOy 中的点 M （ 4 ， 4 ） 和点 N （ 6 ， 4 ） 在直 观图中的对应点是 M′ 和 N′ ， 则线段 M′N′ 的 长为 . 9. 如图所示 ， 矩形 A′B′C′D′ 是水平放置的平 面四边形 ABCD 的直观 图， 其中 A′B′=3 ， A′D′= 1 ， 则原图形是 （填最准确形状） 形， 原图形的面积为 . 三、 解答题 10. 用斜二测画法画出如图所示水平放 置的直角梯形的直观图， 并求出直观图的面 积 ， 其中 OA∥BC ， OA⊥OC ， OA＝OC＝2 ， BC＝1. 提 升 练 习 11. 下列说法正确的是 （ ） A. 互相垂直的两条直线的直观图仍然 是互相垂直的两条直线 B. 梯形的直观图可能是平行四边形 C. 矩形的直观图可能是梯形 D. 正方形的直观图可能是平行四边形 12. 如图所示是水平放 置的三角形的直观图， 点 D 是 △ABC 中 BC 边的中 点， AB ， BC 分别与 y′ 轴、 x′ 轴平行， 则原三角形中三条线段 AB ， AD ， AC 中 （ ） A. 最长的是 AB ， 最短的是 AC B. 最长的是 AC ， 最短的是 AB C. 最长的是 AB ， 最短的是 AD D. 最长的是 AC ， 最短的是 AD 13. （多选题） 在下列选项中， 利用斜二 测画法， 边长为 1 的正 △ABC 的直观图是全 等三角形的是 （ ） 14. 有一块多边形的 菜地 ， 它的水平放置的 平面图形 ABCD 用斜二 测画法画出的直观图是 直角梯形 （如图所示 ）， 其中 ∠A′B′C′=45° ， A′B′= 2 姨 ， A′D′=1 ， D′C′⊥B′C′ ， 则原菜地的面积为 . 15. 正 △ABC 的边长为 2 cm ， 如图 ， △A′B′C′ 为其水平放置的直观图， O′ 为 A′B′ 的中点， 求 △A′B′C′ 的周长 . A′ B′ C′ x′ y′ D′ 第 9 题图 O A B C 第 10 题图 O′ x′ y′ D A B C 第 12 题图 x y O （ A ） C B x y O （ B ） C A x y O （ A ） C B A x C B y O x y O （ A ） C B A x y O C B x y O （ A ） C B x y O （ A ） C B A B C D A′ B′ C′（O′ ） x′ y′ D′ 第 14 题图 A′ B′ C′ O′ x′ y′ 第 15 题图 33