10.2.2 复数的乘法与除法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解并掌握复数的代数形式的乘法与 除法运算法则， 熟练进行复数的乘法和除法 的运算 ． 2． 理解复数乘法的交换律、 结合律、 分 配律， 掌握复数的正 （负） 整数次幂的意义 ． 要 点 精 析 要点 1 复数代数形式的乘法运算 思考 1 若 z 1 ， z 2 ∈C ， 是否有 z 2 1 －z 2 2 ＝ （ z 1 ＋z 2 ）（ z 1 －z 2 ）， （ z 1 ＋z 2 ） 2 ＝z 2 1 ＋2z 1 · z 2 ＋z 2 2 ？ 例 1 已知 a ， b∈R ， i 是虚数单位， 若 a-2i 与 3+bi 互为共轭复数 ， 则 （ a+bi ） 2 = （ ） A. 5+12i B. 5-12i C. 13+12i D. 13-12i 分析： 利用共轭复数关系求出 a ， b 的 值， 再利用乘法运算求解 . 解析： 由题意知 a-2i=3-bi ， ∴a=3 ， b=2 ， ∴ （ a+bi ） 2 = （ 3+2i ） 2 =5+12i ， 故选 A. 例 2 已知 （ 1+2i ）（ a+i ） 的实部与虚部 互为相反数， 则实数 a= （ ） A. 1 3 B. - 1 3 C. 1 2 D. - 1 2 解析： 由于 （ 1 +2i ） （ a+i ） =a -2 + （ 1 + 2a ） i ， （ 1+2i ）（ a+i ） 的实部与虚部互为相 反数， 故 a-2+ （ 1+2a ） =0 ， ∴a= 1 3 . 故选 A. 变式训练 1 （ 1 ） z= （ 1+2i ）（ 2-i ）， 则 z 的共轭复数 z 等于 （ ） A． 3+4i B． 3-4i C． 4+3i D． 4-3i （ 2 ） 已知 i 是虚数单位 ， 若复数 （ 1＋ ai ）（ 2＋i ） 是纯虚数， 则实数 a 等于 （ ） A． 2 B. 1 2 C. － 1 2 D． －2 要点 2 复数代数形式的除法运算 思考 2 复数除法的实质是怎样的？ 例 3 （ 1+i ） 3 （ 1-i ） 2 = （ ） A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 分析： 利用乘法将分子分母分别乘开 后利用除法法则求解 . 解析： （ 1+i ） 3 （ 1-i ） 2 = 2i （ 1+i ） -2i =-1-i ， 故选 D. 例 4 已知 z= 1+ai 1-i （ a∈R ）， 若 z 为纯 虚数， 则 |z|= （ ） A． 3 姨 B． 1 C． 2 D． 2 姨 解析： 由题意得， z= 1+ai 1-i = （ 1+ai ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = （ 1-a ） + （ 1+a ） i 2 ， ∵z 为纯虚数， ∴ 1-a=0 ， 1+a≠0 0 ， 故 a=1 ， ∴z=i ， 故 |z|=1. 故选 B. 10.2.2 复数的乘法与除法 38 第十章 复 数 学 变式训练 2 已知复数 z 满足 z （ 1+i ） =-1+3i （ i 为虚数 单位）， 则在复平面内复数 z 所对应的点位于 （ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 变式训练 3 已知复数 z 的共轭复数是 z ， 且 z－z＝－4i ， z · z＝13 ， 试求 z z . 要点 3 i n 的周期性及应用 思考 3 i 具有什么性质？ 例 5 计算： i+i 2 +i 3 + … +i 2 021 的值 . 分析： 可以利用 i n +i n+1 +i n+2 +i n+3 =0 （ n∈ N + ） 化简 . 解： 由 i n +i n+1 +i n+2 +i n+3 =0 （ n∈N + ）， i+i 2 +i 3 + … +i 2 021 = （ i+i 2 +i 3 +i 4 ） + （ i 5 +i 6 +i 7 +i 8 ） + … + （ i 2 017 +i 2 018 +i 2 019 +i 2 020 ） +i 2 021 =i 2 021 =i. 例 6 已知复数 z 满足 （ 1+i ） z=1-i ， 则 z 2 023 = （ ） A． i B． -1 C． -i D． 1 解析： 由已知 z= 1-i 1+i = （ 1-i ） 2 （ 1+i ）（ 1-i ） = -2i 2 = -i ， ∴z 2 023 = （ -i ） 4×505+3 = ［（ -i ） 4 ］ 505 × （ -i ） 3 =i. 故选 A. 变式训练 4 若实数 m ， n 满足 i 2 021 ·（ 4+mi ） = （ n+2i ） 2 ， 且 z=m+ni ， 则 |z|= . 变式训练 5 若复数 z 满足 z （ 1+i 2 023 ） =i ， 则 z 的虚部 为 （ ） A． 1 2 B． - 1 2 C． 1 2 i D． - 1 2 i 数 学 文 化 国 际 数 学 教 育 大 会 （ ICME ） 是世界数学教育 规模最大、 水平最高的学 术性会议， 第十四届大会 在上海召开， 其会标如图， 包含着许多数学 元素 . 主画面是非常优美的几何化的中心对 称图形， 由弦图、 圆和螺线组成， 主画面标 明的 ICME鄄14 下方的 “ ” 是用中 国古代八进制的计数符号写出的八进制 数 3744 ， 也 可 以 读 出 其 二 进 制 码 （ 0 ） 11111100100 ， 换算成十进制的数是 n ， 则 1+i 2 姨 # $ n = （其中 i 为虚数单位） . 分析： 由题意将八进制数 3744 换算成 十进制的数是 2 020 ， 再利用复数的运算法 则及虚数单位 i 的周期性计算 1+i 2 姨 姨 & 2 020 即可 . 解析： 由题意将八进制数 3744 换算成 十进制的数得 4×8 0 +4×8 1 +7×8 2 +3×8 3 =2 020 ， ∴ 1+i 2 姨 姨 & 2 020 = 1+i 2 姨 姨 & 2 2 ( 1 010 = （ i ） 1 010 = （ i ） 2 =-1. 答案： -1 图 10-2-2 39 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 4 ， 0 ） 的距离， ∴ 最小值为 4-3=1. 8. 5 【解析】 z 1 -z 2 =5-3i ， ∴f （ z 1 -z 2 ） =f （ 5-3i ） =|5-3i-1|= |4-3i|= 4 2 + （ -3 ） 2 姨 =5. 9. 解： （ 1 ） 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则由 |z| 2 +2z-2i=0 ， 得 a 2 +b 2 +2 （ a+bi ） -2i=0 ， 即 a 2 +b 2 +2a+ （ 2b-2 ） i=0 ， 则 a 2 +b 2 +2a=0 ， 2b-2=0 0 ， 解得 a=-1 ， b=1 0 ， ∴z=-1+i． （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 z=-1+i ， 则 z+3i= （ -1+i ） +3i=-1+4i ， ∴|z+3i|=|-1+4i|= 17 姨 . 10. 解： ∵z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， ∴z 1 + z 2 = m 2 +m m+2 - - % 2 + ［（ m-15 ） +m （ m-3 ）］ i= m 2 -m-4 m+2 + （ m 2 -2m-15 ） i. ∵z 1 +z 2 是虚数， ∴m 2 -2m-15≠0 且 m≠-2 ， ∴m≠5 且 m≠ -3 且 m≠-2 ， ∴m 的取值范围是 （ -∞ ， -3 ） ∪ （ -3 ， -2 ） ∪ （ -2 ， 5 ） ∪ （ 5 ， +∞ ） . 11. A 【解析】 设复数 z=x+yi ， 其中 x ， y∈R ， 由 |z-i|= |z+3i| ， 得 |x+ （ y-1 ） i|=|x+ （ y+3 ） i| ， ∴x 2 + （ y-1 ） 2 =x 2 + （ y+3 ） 2 ， 解 得 y=-1 ； ∴|z|= x 2 +y 2 姨 = x 2 +1 姨 ≥1 ， 即 |z| 有最小值为 1 ， 没 有最大值 . 故选 A. 12. A 【解析】 在四边形 OACB 内， O )* C=O )* A+O )* B， A )* B= O )* B-O )* A， ∵ 非零复数 z 1 ， z 2 分别对应复平面内的向量O )* A， O )* B， 则由复数加法的几何意义可知， |z 1 +z 2 | 对应O )* C的模， |z 1 -z 2 | 对应A )* B的模， 则 |O )* C|=|A )* B| ， 由O )* C=O )* A+O )* B， A )* B=O )* B- O )* A， 可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形 OACB 为 矩形 . ∴O )* A⊥O )* B. 故选 A. 13. A 【解析】 由复数模及复数减法运算的几何意义， 结合条件可知复数 z 的对应点 P 到 △ABC 的顶点 A ， B ， C 距离相等， ∴P 为 △ABC 的外心 . 故选 A. 14. 1 2 【解析】 ∵z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ ， ∴z 1 -z 2 = （ cosα-cosβ ） +i （ sinα+sinβ ） = 5 13 + 12 13 i ， ∴ cosα-cosβ= 5 13 ， ① sinα+sinβ= 12 13 ， ， / / / / . / / / / 0 ② 由 ① 2 +② 2 得 2-2cos （ α+β ） =1 ， 即 cos （ α+β ） = 1 2 . 15. 6 姨 2 【解析】 |z 1 -z 2 |=| （ cosθ-sinθ ） +2i| = （ cosθ-sinθ ） 2 +4 姨 = 5-2sinθcosθ 姨 = 5-sin2θ 姨 ， 当 sin2θ=-1 得最大值 6 姨 ， 当 sin2θ=1 得最小值 2. 10.2.2 复数的乘法与除法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） A 2. D 3. 解： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则由条件可得 （ x+yi ） - （ x-yi ） =-4i ， （ x+yi ）（ x-yi ） =13 0 ， 即 2yi=-4i ， x 2 +y 2 =13 0 ， 解得 x=3 ， y=- 0 2 或 x=-3 ， y=-2 0 . 因此 z=3-2i 或 z=-3-2i. 于是 z z = 3-2i 3+2i = （ 3-2i ） 2 （ 3+2i ）（ 3-2i ） = 5-12i 13 = 5 13 - 12 13 i 或 z z = -3-2i -3+2i = （ -3-2i ） 2 （ -3+2i ）（ -3-2i ） = 5+12i 13 = 5 13 + 12 13 i. 4. 10 姨 5. B 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. A 5. D 练习手册 1. D 【解析】 z= 1+2i i = i+2i 2 i 2 = i-2 -1 =2-i ， ∴z=2+i. 2. C 【解析】 z=1+i-2i-2i 2 =3-i ， 则虚部是 -1. 3. B 【解析】 ∵ （ 1+i ） 2 z =1-i ， ∴z= 2i 1-i = 2i 2 （ 1+i ） = -1+i. 4. B 【解析】 ∵z=i 2 023 （ 1+2i ） =-i （ 1+2i ） =2-i ， ∴z=2+i. 故 选 B. 5. BCD 【解析】 ∵棕=- 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴棕 2 =- 1 2 - 3 姨 2 i ， 棕 3 =1 ， 即 棕 3n+1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 棕 3n+2 =- 1 2 - 3 姨 2 i. 6. 1±i 【解析】 ∵x 2 -2x=-2 ， ∴ （ x-1 ） 2 =-1. 又 ∵ （ ±i ） 2 =-1 ， ∴x-1=±i． ∴x=1±i. 7. 10 姨 【解析】 ∵z= （ 1-i 3 ）（ 1+2i ） = （ 1+i ）（ 1+2i ） =-1+3i ， ∴|z|= 1+9 姨 = 10 姨 . 8. 1 【解析】 由题意 2a+i 2i-1 = （ 2a+i ）（ 2i+1 ） （ 2i-1 ）（ 2i+1 ） ， = 2a-2+ （ 4a+1 ） i -4-1 = 2-2a 5 - （ 4a+1 ） i 5 ， 由题意复数 2a+i 2i-1 是纯虚数， 则 2-2a 5 =0 且 - 4a+1 5 ≠0 ， 解得 a=1. 9. 解： （ 1 ） z 1 z 2 = （ 1-i ）（ 2+2i ） =4. （ 2 ） 由 1 z = 1 z 1 + 1 z 2 ， 得 z= z 1 z 2 z 1 +z 2 ， z= 4 （ 1-i ） + （ 2+2i ） = 4 3+i = 6-2i 5 . 10. 解： （ 1 ） 由题意 z 1 z 2 = （ 1+i ）（ 1+i ） =1+2i+i 2 =2i. （ 2 ） 由题意 z 1 -z 2 = （ a-1 ） +2i 为纯虚数， 则 a-1=0 ， ∴a=1. （ 3 ） z 1 z 2 = a+i 1-i = （ a+i ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = a+ai+i+i 2 2 = a-1 2 + a+1 2 i ， 对 应点 a-1 2 ， a+1 2 - % ， 它是第二象限的点 ， 则 a-1 2 <0 ， a+1 2 >0 ， / / / / . / / / / 0 ， 解 得 -1<a<1． 故 a 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． 42 参考答案 11. A 【 解 析 】 ∵z 1 =2 +ai ， z 2 =1 -i ， ∴ z 1 z 2 = 2+ai 1-i = （ 2+ai ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = 2-a 2 + 2+a 2 i ， 由 z 1 z 2 是实数， 得 2+a=0 ， 即 a= -2. 故选 A. 12. A 【解析】 由 z=1+i ， 得 zz z-z = |z| 2 （ 1+i ） - （ 1-i ） = 2 2i = 1 i = -i -i 2 =-i. 故选 A. 13. C 【解析】 ∵ 复数 z 1 在复平面内对应的点为 （ x ， y ）， z=-iz 1 ， ∴z=-i （ x+yi ） =-xi-yi 2 =y-xi. ∵ 复数 z 的实部与虚部的 和为 1 ， ∴y-x=1 ， ∴x-y=-1. 故选 C. 14. A 【解析】 ∵1+i 是关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 的一个 根， ∴1-i 也是方程 x 2 +px+q=0 的一个根 ， 则 1+i+1-i=-p ， 即 -p=2 ， p=-2 ， （ 1+i ）（ 1-i ） =q ， 即 q=1+1=2 ， 则 pq=-2×2= -4. 故选 A. 15. - 4 5 【解 析 】 z 1 = 2- i 2+ i = （ 2- i ） 2 （ 2+ i ）（ 2- i ） = 3 5 - 4 5 i ， ∴A 3 5 ， - 4 5 5 " . ∵ 向量Ａ #$ Ｂ与虚轴垂直， 且复数 z 2 在复平面 内对应的点为 B ， ∴z 2 的虚部为 - 4 5 . 阶段性练习卷 （四） 1. B 【解析】 ∵ 复数 （ 1-i ）（ a+i ） =a+1+ （ 1-a ） i 在复平面 内对应的点在第二象限， ∴ a+1<0 ， 1-a>0 0 ， ∴a＜-1. 2. D 【解析】 ∵z=2+i ， ∴z=2-i ， ∴zz= （ 2+i ）（ 2-i ） =5. 3. B 【解析】 z 2 = 1-i 1+i 5 " 2 =-1 ， ∴ω=-1+1-1+1-1=-1. 4. A 【解析】 |AB |=|2i-1|= 5 姨 ， |AC |=|4+2i |= 20 姨 ， |BC|=5 ， ∴|BC| 2 = |AB| 2 +|AC| 2 . 5. 5 姨 5 【解析】 z= i 1-2i = i （ 1+2i ） （ 1-2i ）（ 1+2i ） = -2+i 5 =- 2 5 + 1 5 i ， ∴|z|= 4 25 + 1 25 姨 = 5 姨 5 . 6. C 【解析】 |z-2+i|=1 得 |z- （ 2-i ） |=1 ， 则 z 的几何意义 是以 C （ 2 ， -1 ） 为圆心、 半径为 1 的圆， |z| 的几何意义是 圆上的点到原点的距离， 则最大值为 |OC|+1= 2 2 + （ -1 ） 2 姨 + 1= 5 姨 +1. 7. AB 【解析】 由题意可得， z=2+2i-3i-3i 2 =5-i ， z 的实 部与虚部之和为 5-1=4 ， 故 A 正确； z=5+i ， 故 B 正确； z 2 = （ 5-i ） 2 =24-10i ， z 2 不是纯虚数 ， 故 C 错误 ； |z |= 5 2 +1 2 姨 = 26 姨 ， 故 D 错误 ． 故选 AB. 8. ACD 【解析 】 设 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di （ a ， b ， c ， d∈ R ）， 则 z 1 z 2 = （ a+bi ）（ c+di ） = （ ac-bd ） + （ bc+ad ） i ， ∴|z 1 z 2 |=| （ ac-bd ） 2 + （ bc+ad ） 2 姨 |= （ a 2 +b 2 ）（ c 2 +d 2 ） 姨 . 又 |z 1 ||z 2 |= a 2 +b 2 姨 · c 2 +d 2 姨 = （ a 2 +b 2 ）（ c 2 +d 2 ） 姨 ， ∴|z 1 z 2 |=|z 1 ||z 2 | ， 故 A 正确； 设 z 1 =1+i ， z 2 = 2 姨 i ， 满足 |z 1 |=|z 2 | ， 此时 z 1 ≠z 2 且 z 1 +z 2 ≠0 ， 故 B 错误； 设 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di （ a ， b ， c ， d∈R ）， z 1 =a-bi ， z 2 =c-di ， z 1 z 2 = （ a+bi ）（ c+di ） = （ ac-bd ） + （ bc+ad ） i ， z 1 z 2 = （ ac-bd ） - （ ad+bc ） i ， z 1 z 2 = （ a-bi ）（ c-di ） = （ ac-bd ） - （ ad+bc ） i ， ∴z 1 z 2 =z 1 z 2 ， 故 C 正确； 若 z 1 z 2 =0 ， 则 z 1 =0 或 z 2 =0 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 9. 5-9i -8-7i 【解析 】 z=z 1 -z 2 = ［（ 3x+y ） + （ y-4x ） i ］ - ［（ 4y-2x ） - （ 5x+3y ） i ］ = （ 5x-3y ） + （ x+4y ） i=13-2i ， ∴ 5x-3y=13 ， x+4y=-2 0 ， 解得 x=2 ， y=-1 0 ， ∴z 1 =5-9i ， z 2 =-8-7i. 10. 四 【解析】 （ 1+i ） 1 016 = （（ 1+i ） 2 ） 508 = （ 2i ） 508 =2 508 i 508 =2 508 ， 设 z =a +bi ， 则 a >0 ， b <0 ， z （ 1 +i ） 1 016 =2 508 a +2 508 bi ， 2 508 a > 0 ， 2 508 b<0 ， 故复数 z ·（ 1+i ） 1 016 对应的点在第四象限 . 11. 2 2 姨 +1 【解析】 如图所示， ∵|z|=1 ， ∴z 的轨迹可 看作是半径为 1 、 圆心为原点的圆， 而 z 1 对应坐标系中的 点为 （ 2 ， -2 ）， ∴|z-z 1 | 的最大值可以看成点 （ 2 ， -2 ） 到圆 上的点的最大距离， 则 |z-z 1 | 的最大值为 2 2 姨 +1. 12. b=0 或 a 2 +b 2 =1 【解析】 z 1+z 2 = a+bi 1+ （ a+bi ） 2 = a+bi 1+a 2 +2abi-b 2 = a+bi （ 1+a 2 -b 2 ） +2abi = （ a+bi ） （ 1+a 2 -b 2 ） -2abi （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +b （ 1+a 2 -b 2 ） i-2a 2 bi+2ab 2 （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 第 4 题答图 x y O （ 2 ， -2 ） 第 11 题答图 x y O A B C 43