10.2.2 复数的乘法与除法&阶段性练习卷(4)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

第十章 复 数 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 若 z= 1+2i i ， 则复数 z= （ ） A. －2－i B. －2＋i C. 2－i D. 2＋i 2. 设 z= （ 1+i ） （ 1-2i ） ， 则 z 的虚部为 （ ） A. 1 B. i C. －1 D. -i 3. 已知复数 z 满足 （ 1+i ） 2 z =1-i （ i 为虚 数单位）， 则复数 z= （ ） A. 1+i B. -1+i C. 1-i D. -1-i 4. 已知复数 z=i 2 023 （ 1+2i ）， 则 z= （ ） A． 2-i B． 2+i C． -2-i D． -2+i 5. （多选题） 已知 棕=- 1 2 + 3 姨 2 i ， 则以 下结论正确的是 （ ） A. 棕 2 = 1 2 - 3 姨 2 i B. 棕 3 =1 C. 棕 3n+2 =- 1 2 - 3 姨 2 i D. 棕 3n+1 =- 1 2 + 3 姨 2 i 二、 填空题 6. 已知复数 x 满足 x 2 -2x=-2 ， 则 x= . 7. 已知复数 z= （ 1-i 3 ）（ 1+2i ） （ i 为虚数单 位）， 则 z 的模等于 . 8. 已知复数 2a+i 2i-1 是纯虚数， 则实数 a= . 三、 解答题 9. 已知 z 1 =1-i ， z 2 =2+2i. （ 1 ） 求 z 1 · z 2 ； （ 2 ） 若 1 z = 1 z 1 + 1 z 2 ， 求 z. 10. 已知复数 z 1 =a+i ， z 2 =1-i ， a∈R. （ 1 ） 当 a=1 时， 求 z 1 · z 2 的值； （ 2 ） 若 z 1 -z 2 是纯虚数， 求 a 的值； （ 3 ） 若 z 1 z 2 在复平面上对应的点在第二象 限， 求 a 的取值范围 . 10.2.2 复数的乘法与除法 27 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 提 升 练 习 11. 已知 i 是虚数单位， 则复数 z 1 =2+ai ， z 2 =1 -i ， 若 z 1 z 2 是实数 ， 则实数 a 的值为 （ ） A. -2 B. 2 C. 0 D. 1 2 12. 设 i 为虚数单位， z 表示复数 z 的共 轭复数， 若 z=1+i ， 则 z · z z-z = （ ） A. -i B. 2i C. -1 D. 1 13. 设复数 z 1 在复平面内对应的点为 （ x ， y ）， z=-iz 1 ， 若复数 z 的实部与虚部的和 为 1 ， 则 （ ） A. x+y=1 B. x+y=-1 C. x-y=-1 D. x-y=1 14. 已知 p ， q∈R ， 1+i 是关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 的一个根， 则 pq= （ ） A. -4 B. 0 C. 2 D. 4 15. 已知复数 z 1 = 2-i 2+i 在复平面内对应的 点为 A ， 复数 z 2 在复平面内对应的点为 B ， 若向量 AB B# 与虚轴垂直 ， 则 z 2 的虚部为 . 28 第十章 复 数 练 一、 单选题 1. 若复数 （ 1-i ）（ a+i ） 在复平面内对应 的点在第二象限， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A. （ -∞ ， 1 ） B. （ -∞ ， -1 ） C. （ 1 ， +∞ ） D. （ -1 ， +∞ ） 2. 已知复数 z=2+i ， 则 z · z= （ ） A. 3 姨 B. 5 姨 C. 3 D. 5 3. 复数 z= 1-i 1+i ， 则 ω=z 2 +z 4 +z 6 +z 8 +z 10 的值 为 （ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 4. 复平面上三点 A ， B ， C 分别对应复数 1 ， 2i ， 5+2i ， 则由 A ， B ， C 所构成的三角形 是 （ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 5. 若复数 z= i 1-2i ， 则 |z|= . 6. 复数 z 满足 |z-2+i|=1 ， 则 |z| 的最大值是 （ ） A. 5 姨 B. 6 姨 C. 5 姨 +1 D. 5 姨 -1 二、 多选题 7. 已知复数 z= （ 2-3i ）（ 1+i ）， 其共轭复数 为 z ， 则 （ ） A． z 的实部与虚部之和为 4 B． z=5+i C． z 2 是纯虚数 D． |z|=2 6 姨 8. 若 z 1 ， z 2 ∈C ， 则下列结论正确的是 （ ） A． |z 1 z 2 |=|z 1 ||z 2 | B． 若 |z 1 |=|z 2 | ， 则 z 1 =z 2 或 z 1 =-z 2 C． z 1 z 2 =z 1 z 2 D． 若 z 1 z 2 =0 ， 则 z 1 =0 或 z 2 =0 三、 填空题 9. 已知 z 1 = （ 3x+y ） + （ y-4x ） i （ x ， y∈R ）， z 2 = （ 4y-2x ） - （ 5x+3y ） i （ x ， y∈R ） . 设 z=z 1 -z 2 ， 且 z=13-2i ， 则 z 1 = ， z 2 = . 10. 设复数 z 对应的点在第四象限， 则 复数 z ·（ 1+i ） 1 016 对应的点在第 象限 . 11. 已知 z 1 =2-2i ， 且 |z|=1 ， 则 |z-z 1 | 的最大 值为 . 12. 若 z=a+bi ， z 1+z 2 ∈R ， 则实数 a ， b 应满足的条件为 . 四、 解答题 13. 复数 z 1 =a+5+ （ 10-a 2 ） i ， z 2 =1-2a+ （ 2a- 5 ） i ， 其中 a∈R. （ 1 ） 若 a=-2 ， 求 z 1 的模； （ 2 ） 若 z 1 +z 2 是实数， 求实数 a 的值 . 14. 复平面内有 A ， B ， C 三点， 点 A 对 应的复数是 2+i ， 向量 BA A$ 对应的复数是 1+ 2i ， 向量 BC A$ 对应的复数是 3-i ， 求点 C 在复 平面内的坐标 . 阶段性练习卷 （四） 29 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 4 ， 0 ） 的距离， ∴ 最小值为 4-3=1. 8. 5 【解析】 z 1 -z 2 =5-3i ， ∴f （ z 1 -z 2 ） =f （ 5-3i ） =|5-3i-1|= |4-3i|= 4 2 + （ -3 ） 2 姨 =5. 9. 解： （ 1 ） 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则由 |z| 2 +2z-2i=0 ， 得 a 2 +b 2 +2 （ a+bi ） -2i=0 ， 即 a 2 +b 2 +2a+ （ 2b-2 ） i=0 ， 则 a 2 +b 2 +2a=0 ， 2b-2=0 0 ， 解得 a=-1 ， b=1 0 ， ∴z=-1+i． （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 z=-1+i ， 则 z+3i= （ -1+i ） +3i=-1+4i ， ∴|z+3i|=|-1+4i|= 17 姨 . 10. 解： ∵z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， ∴z 1 + z 2 = m 2 +m m+2 - - % 2 + ［（ m-15 ） +m （ m-3 ）］ i= m 2 -m-4 m+2 + （ m 2 -2m-15 ） i. ∵z 1 +z 2 是虚数， ∴m 2 -2m-15≠0 且 m≠-2 ， ∴m≠5 且 m≠ -3 且 m≠-2 ， ∴m 的取值范围是 （ -∞ ， -3 ） ∪ （ -3 ， -2 ） ∪ （ -2 ， 5 ） ∪ （ 5 ， +∞ ） . 11. A 【解析】 设复数 z=x+yi ， 其中 x ， y∈R ， 由 |z-i|= |z+3i| ， 得 |x+ （ y-1 ） i|=|x+ （ y+3 ） i| ， ∴x 2 + （ y-1 ） 2 =x 2 + （ y+3 ） 2 ， 解 得 y=-1 ； ∴|z|= x 2 +y 2 姨 = x 2 +1 姨 ≥1 ， 即 |z| 有最小值为 1 ， 没 有最大值 . 故选 A. 12. A 【解析】 在四边形 OACB 内， O )* C=O )* A+O )* B， A )* B= O )* B-O )* A， ∵ 非零复数 z 1 ， z 2 分别对应复平面内的向量O )* A， O )* B， 则由复数加法的几何意义可知， |z 1 +z 2 | 对应O )* C的模， |z 1 -z 2 | 对应A )* B的模， 则 |O )* C|=|A )* B| ， 由O )* C=O )* A+O )* B， A )* B=O )* B- O )* A， 可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形 OACB 为 矩形 . ∴O )* A⊥O )* B. 故选 A. 13. A 【解析】 由复数模及复数减法运算的几何意义， 结合条件可知复数 z 的对应点 P 到 △ABC 的顶点 A ， B ， C 距离相等， ∴P 为 △ABC 的外心 . 故选 A. 14. 1 2 【解析】 ∵z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ ， ∴z 1 -z 2 = （ cosα-cosβ ） +i （ sinα+sinβ ） = 5 13 + 12 13 i ， ∴ cosα-cosβ= 5 13 ， ① sinα+sinβ= 12 13 ， ， / / / / . / / / / 0 ② 由 ① 2 +② 2 得 2-2cos （ α+β ） =1 ， 即 cos （ α+β ） = 1 2 . 15. 6 姨 2 【解析】 |z 1 -z 2 |=| （ cosθ-sinθ ） +2i| = （ cosθ-sinθ ） 2 +4 姨 = 5-2sinθcosθ 姨 = 5-sin2θ 姨 ， 当 sin2θ=-1 得最大值 6 姨 ， 当 sin2θ=1 得最小值 2. 10.2.2 复数的乘法与除法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） A 2. D 3. 解： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则由条件可得 （ x+yi ） - （ x-yi ） =-4i ， （ x+yi ）（ x-yi ） =13 0 ， 即 2yi=-4i ， x 2 +y 2 =13 0 ， 解得 x=3 ， y=- 0 2 或 x=-3 ， y=-2 0 . 因此 z=3-2i 或 z=-3-2i. 于是 z z = 3-2i 3+2i = （ 3-2i ） 2 （ 3+2i ）（ 3-2i ） = 5-12i 13 = 5 13 - 12 13 i 或 z z = -3-2i -3+2i = （ -3-2i ） 2 （ -3+2i ）（ -3-2i ） = 5+12i 13 = 5 13 + 12 13 i. 4. 10 姨 5. B 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. A 5. D 练习手册 1. D 【解析】 z= 1+2i i = i+2i 2 i 2 = i-2 -1 =2-i ， ∴z=2+i. 2. C 【解析】 z=1+i-2i-2i 2 =3-i ， 则虚部是 -1. 3. B 【解析】 ∵ （ 1+i ） 2 z =1-i ， ∴z= 2i 1-i = 2i 2 （ 1+i ） = -1+i. 4. B 【解析】 ∵z=i 2 023 （ 1+2i ） =-i （ 1+2i ） =2-i ， ∴z=2+i. 故 选 B. 5. BCD 【解析】 ∵棕=- 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴棕 2 =- 1 2 - 3 姨 2 i ， 棕 3 =1 ， 即 棕 3n+1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 棕 3n+2 =- 1 2 - 3 姨 2 i. 6. 1±i 【解析】 ∵x 2 -2x=-2 ， ∴ （ x-1 ） 2 =-1. 又 ∵ （ ±i ） 2 =-1 ， ∴x-1=±i． ∴x=1±i. 7. 10 姨 【解析】 ∵z= （ 1-i 3 ）（ 1+2i ） = （ 1+i ）（ 1+2i ） =-1+3i ， ∴|z|= 1+9 姨 = 10 姨 . 8. 1 【解析】 由题意 2a+i 2i-1 = （ 2a+i ）（ 2i+1 ） （ 2i-1 ）（ 2i+1 ） ， = 2a-2+ （ 4a+1 ） i -4-1 = 2-2a 5 - （ 4a+1 ） i 5 ， 由题意复数 2a+i 2i-1 是纯虚数， 则 2-2a 5 =0 且 - 4a+1 5 ≠0 ， 解得 a=1. 9. 解： （ 1 ） z 1 z 2 = （ 1-i ）（ 2+2i ） =4. （ 2 ） 由 1 z = 1 z 1 + 1 z 2 ， 得 z= z 1 z 2 z 1 +z 2 ， z= 4 （ 1-i ） + （ 2+2i ） = 4 3+i = 6-2i 5 . 10. 解： （ 1 ） 由题意 z 1 z 2 = （ 1+i ）（ 1+i ） =1+2i+i 2 =2i. （ 2 ） 由题意 z 1 -z 2 = （ a-1 ） +2i 为纯虚数， 则 a-1=0 ， ∴a=1. （ 3 ） z 1 z 2 = a+i 1-i = （ a+i ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = a+ai+i+i 2 2 = a-1 2 + a+1 2 i ， 对 应点 a-1 2 ， a+1 2 - % ， 它是第二象限的点 ， 则 a-1 2 <0 ， a+1 2 >0 ， / / / / . / / / / 0 ， 解 得 -1<a<1． 故 a 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． 42 参考答案 11. A 【 解 析 】 ∵z 1 =2 +ai ， z 2 =1 -i ， ∴ z 1 z 2 = 2+ai 1-i = （ 2+ai ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = 2-a 2 + 2+a 2 i ， 由 z 1 z 2 是实数， 得 2+a=0 ， 即 a= -2. 故选 A. 12. A 【解析】 由 z=1+i ， 得 zz z-z = |z| 2 （ 1+i ） - （ 1-i ） = 2 2i = 1 i = -i -i 2 =-i. 故选 A. 13. C 【解析】 ∵ 复数 z 1 在复平面内对应的点为 （ x ， y ）， z=-iz 1 ， ∴z=-i （ x+yi ） =-xi-yi 2 =y-xi. ∵ 复数 z 的实部与虚部的 和为 1 ， ∴y-x=1 ， ∴x-y=-1. 故选 C. 14. A 【解析】 ∵1+i 是关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 的一个 根， ∴1-i 也是方程 x 2 +px+q=0 的一个根 ， 则 1+i+1-i=-p ， 即 -p=2 ， p=-2 ， （ 1+i ）（ 1-i ） =q ， 即 q=1+1=2 ， 则 pq=-2×2= -4. 故选 A. 15. - 4 5 【解 析 】 z 1 = 2- i 2+ i = （ 2- i ） 2 （ 2+ i ）（ 2- i ） = 3 5 - 4 5 i ， ∴A 3 5 ， - 4 5 5 " . ∵ 向量Ａ #$ Ｂ与虚轴垂直， 且复数 z 2 在复平面 内对应的点为 B ， ∴z 2 的虚部为 - 4 5 . 阶段性练习卷 （四） 1. B 【解析】 ∵ 复数 （ 1-i ）（ a+i ） =a+1+ （ 1-a ） i 在复平面 内对应的点在第二象限， ∴ a+1<0 ， 1-a>0 0 ， ∴a＜-1. 2. D 【解析】 ∵z=2+i ， ∴z=2-i ， ∴zz= （ 2+i ）（ 2-i ） =5. 3. B 【解析】 z 2 = 1-i 1+i 5 " 2 =-1 ， ∴ω=-1+1-1+1-1=-1. 4. A 【解析】 |AB |=|2i-1|= 5 姨 ， |AC |=|4+2i |= 20 姨 ， |BC|=5 ， ∴|BC| 2 = |AB| 2 +|AC| 2 . 5. 5 姨 5 【解析】 z= i 1-2i = i （ 1+2i ） （ 1-2i ）（ 1+2i ） = -2+i 5 =- 2 5 + 1 5 i ， ∴|z|= 4 25 + 1 25 姨 = 5 姨 5 . 6. C 【解析】 |z-2+i|=1 得 |z- （ 2-i ） |=1 ， 则 z 的几何意义 是以 C （ 2 ， -1 ） 为圆心、 半径为 1 的圆， |z| 的几何意义是 圆上的点到原点的距离， 则最大值为 |OC|+1= 2 2 + （ -1 ） 2 姨 + 1= 5 姨 +1. 7. AB 【解析】 由题意可得， z=2+2i-3i-3i 2 =5-i ， z 的实 部与虚部之和为 5-1=4 ， 故 A 正确； z=5+i ， 故 B 正确； z 2 = （ 5-i ） 2 =24-10i ， z 2 不是纯虚数 ， 故 C 错误 ； |z |= 5 2 +1 2 姨 = 26 姨 ， 故 D 错误 ． 故选 AB. 8. ACD 【解析 】 设 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di （ a ， b ， c ， d∈ R ）， 则 z 1 z 2 = （ a+bi ）（ c+di ） = （ ac-bd ） + （ bc+ad ） i ， ∴|z 1 z 2 |=| （ ac-bd ） 2 + （ bc+ad ） 2 姨 |= （ a 2 +b 2 ）（ c 2 +d 2 ） 姨 . 又 |z 1 ||z 2 |= a 2 +b 2 姨 · c 2 +d 2 姨 = （ a 2 +b 2 ）（ c 2 +d 2 ） 姨 ， ∴|z 1 z 2 |=|z 1 ||z 2 | ， 故 A 正确； 设 z 1 =1+i ， z 2 = 2 姨 i ， 满足 |z 1 |=|z 2 | ， 此时 z 1 ≠z 2 且 z 1 +z 2 ≠0 ， 故 B 错误； 设 z 1 =a+bi ， z 2 =c+di （ a ， b ， c ， d∈R ）， z 1 =a-bi ， z 2 =c-di ， z 1 z 2 = （ a+bi ）（ c+di ） = （ ac-bd ） + （ bc+ad ） i ， z 1 z 2 = （ ac-bd ） - （ ad+bc ） i ， z 1 z 2 = （ a-bi ）（ c-di ） = （ ac-bd ） - （ ad+bc ） i ， ∴z 1 z 2 =z 1 z 2 ， 故 C 正确； 若 z 1 z 2 =0 ， 则 z 1 =0 或 z 2 =0 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 9. 5-9i -8-7i 【解析 】 z=z 1 -z 2 = ［（ 3x+y ） + （ y-4x ） i ］ - ［（ 4y-2x ） - （ 5x+3y ） i ］ = （ 5x-3y ） + （ x+4y ） i=13-2i ， ∴ 5x-3y=13 ， x+4y=-2 0 ， 解得 x=2 ， y=-1 0 ， ∴z 1 =5-9i ， z 2 =-8-7i. 10. 四 【解析】 （ 1+i ） 1 016 = （（ 1+i ） 2 ） 508 = （ 2i ） 508 =2 508 i 508 =2 508 ， 设 z =a +bi ， 则 a >0 ， b <0 ， z （ 1 +i ） 1 016 =2 508 a +2 508 bi ， 2 508 a > 0 ， 2 508 b<0 ， 故复数 z ·（ 1+i ） 1 016 对应的点在第四象限 . 11. 2 2 姨 +1 【解析】 如图所示， ∵|z|=1 ， ∴z 的轨迹可 看作是半径为 1 、 圆心为原点的圆， 而 z 1 对应坐标系中的 点为 （ 2 ， -2 ）， ∴|z-z 1 | 的最大值可以看成点 （ 2 ， -2 ） 到圆 上的点的最大距离， 则 |z-z 1 | 的最大值为 2 2 姨 +1. 12. b=0 或 a 2 +b 2 =1 【解析】 z 1+z 2 = a+bi 1+ （ a+bi ） 2 = a+bi 1+a 2 +2abi-b 2 = a+bi （ 1+a 2 -b 2 ） +2abi = （ a+bi ） （ 1+a 2 -b 2 ） -2abi （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +b （ 1+a 2 -b 2 ） i-2a 2 bi+2ab 2 （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 第 4 题答图 x y O （ 2 ， -2 ） 第 11 题答图 x y O A B C 43 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +2ab 2 + （ b+a 2 b-b 3 -2a 2 b ） i （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +2ab 2 +b （ 1-b 2 -a 2 ） i （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 ∵ z 1+z 2 ∈R ， 故有 b （ 1-b 2 -a 2 ） =0 ， ∴b=0 或 1-b 2 -a 2 =0 ， 即 b=0 或 a 2 +b 2 =1 是 a ， b 应满足的条件 . 13. 解： （ 1 ） a=-2 ， 则 z 1 =3+6i ， 则 |z 1 |= 3 2 +6 2 姨 = 45 姨 = 3 5 姨 ， ∴z 1 的模为 3 5 姨 . （ 2 ） z 1 +z 2 =a+5+ （ a 2 -10 ） i+1-2a+ （ 2a-5 ） i = （ 6-a ） + ［（ a 2 -10 ） + （ 2a-5 ）］ i = （ 6-a ） + （ a 2 +2a-15 ） i ∵z 1 +z 2 是实数 ， ∴a 2 +2a-15=0 ， 解得 a=-5 或 a=3 ， 故 a=-5 或 a=3. 14. 解： ∵Ａ #$ C=B #$ C-B #$ A， ∴Ａ #$ C对应的复数为 （3-i ） - （ 1+2i ） =2-3i. 设 C （ x ， y ）， 则 （ x+yi ） - （ 2+i ） =2-3i ， ∴x+yi= （ 2+i ） + （ 2- 3i ） =4-2i ， 故 x=4 ， y=-2. ∴C 点在复平面内的坐标为 （ 4 ， -2 ） . * 10.3 复数的三角形式及其运算 学习手册 变式训练 1. C 2. （ 1 ） 7仔 12 （ 2 ） -仔 3. C 随堂练习 1. A 2. C 3. A 4. 5 2 姨 +5 2 姨 i 5. 5 3 姨 -5i 练习手册 1. B 【解析】 1+ 3 姨 i=2 1 2 + 3 姨 2 2 & i =2 cos 仔 3 +isin 仔 3 2 & . 2. A 【解析】 由已知可得 z=2 cos 2仔 3 +isin 2仔 3 2 & =-1+ 3 姨 i ， 所以 z i = -1+ 3 姨 i i = （ -1+ 3 姨 i ） i i 2 = 3 姨 +i． 3. D 【解析 】 ∵z 2 = 2 2 姨 （ sin30 ° - icos30 ° ） =2 2 姨 · （ cos300°+isin300° ） ， ∴z 1 z 2 = 2 姨 （ cos60°+isin60° ）· 2 2 姨 · （ cos300°+isin300° ） =4 （ cos360°+isin360° ） . 4. B 【解析】 3 （ cos270°+isin270° ） 1 3 ［ cos （ -90° ） +isin （ -90° ）］ =9 ［ cos （ 270°+90° ） +isin （ 270°+90° ）］ =9 （ cos360°+isin360° ） =9. 5. AC 【解析】 ∵r= 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， cos兹= 2 姨 2 ， sin兹= 2 姨 2 ， ∴ 辐角主值为 仔 4 ， ∴1+i= 2 姨 cos 仔 4 +isin 仔 4 2 & = 2 姨 cos 9仔 4 +isin 9仔 4 2 & . 6. 2仔 5 /72° 【解析】 由 辐角主值的概 念 知 ， cos 2仔 5 + isin 2仔 5 的辐角主值为 2仔 5 . 7. -3-3i 【解析】 原式 =3 2 姨 cos 5仔 12 + 5仔 6 2 & +isin 5仔 12 + 5仔 6 2 &6 ( =3 2 姨 cos ５仔 4 +isin ５仔 4 2 & =3 2 姨 - 2 姨 2 - 2 姨 2 2 & i =-3-3i. 8. 1 2 + 3 姨 2 i 【解析】 由题意得， α= cos 仔 15 +isin 仔 15 2 & 5 = cos 仔 3 +isin 仔 3 = 1 2 + 3 姨 2 i. 9. 解： z 1 z 2 = 1+2 3 姨 i 7+ 3 姨 i = （ 1+2 3 姨 i ）（ 7- 3 姨 i ） （ 7+ 3 姨 i ）（ 7- 3 姨 i ） = 1 4 （ 1+ 3 姨 i ） = 1 2 cos 仔 3 +isin 仔 3 2 & ， ∴∠Z 2 OZ 1 = 仔 3 ， 且 |OZ 1 #$ | |OZ 2 #$ | = 1 2 . ∴△OZ 1 Z 2 为直角三角形 ． 10. 解： 由题意可设 z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ+isinβ. ∵z 1 + z 2 = 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴ cosα+cosβ= 1 2 ， ① sinα+sinβ= 3 姨 2 . . - - - - , - - - - . ② 由 ① 2 +② 2 得 cos （ α-β ） =- 1 2 ， 即 cosαcosβ+sinαsinβ=- 1 2 ， ③ 由 ① 得 2cos α+β 2 cos α-β 2 = 1 2 ， ④ 由 ② 得 2sin α+β 2 cos α-β 2 = 3 姨 2 ， ⑤ ⑤÷④ 得 tan α+β 2 = 3 姨 ， ∴cos （ α+β ） =- 1 2 ， 即 cosαcosβ- sinαsinβ=- 1 2 ， ⑥ ③-⑥ 得 2sinαsinβ=0 ， ∴sinα=0 或 sinβ=0. 将 sinα=0 代 入 ② 得 sinβ= 3 姨 2 . 又 ∵sinα=0 ， 则 cosα=±1. 将 cosα=1 代 入 ① 得 cosβ=- 1 2 ， 而 cosα=-1 代入 ① 得 cosβ=- 3 2 不符合， 舍去 . 得 z 1 =1 ， z 2 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 当 sinβ=0 同理可得 z 1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， z 2 =1. 11. D 【解析 】 复数 2+i 和 -3-i 的辐角主值分别是 α ， β ， ∴tanα= 1 2 ， tanβ= 1 3 ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ =1. 12. D 【解析】 - i=cos 3仔 2 +isin 3仔 2 ， ∴- i 的立方根为 cos 3仔 2 +2k仔 3 +isin 3仔 2 +2k仔 3 （其中 ， k=0 ， 1 ， 2 ） . 当 k=0 44