9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握测量两个不可达的点之间的距离 时， 把测量不可达的两点 A ， B 之间的距离 问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问 题， 然后在相关三角形中利用正弦定理计算 相关的边长 . 2. 通过解决一个 “平面内不可达的两点 之间的距离” 的问题， 掌握将实际问题转化 为解三角形问题的方法， 进一步提高应用正 弦定理、 余弦定理解斜三角形的能力， 提高 运用数学知识解决实际问题的能力 . 3． 通过解决 “平面内不可达的两点之间 的距离” 问题， 体会如何将具体的实际问题 转化为抽象的数学问题 . 培养数学应用意识 和探索问题、 解决问题的能力， 学习用数学 的思维方式去解决问题， 认识世界 . 要 点 精 析 要点 1 探究活动： 得到不可达两点之间 的距离的探究步骤 （ 1 ） 设计测量方案 . （ 2 ） 明确计算方法 . （ 3 ） 根据地形选取测量点 ， 测量所需 数据 . （ 4 ） 计算结果 . （ 5 ） 填写活动报告 . 思考 １ 如图所示， 为了测量某湖泊 两侧 A ， B 的距离， 某同学首先选定了与 A ， B 不共线的一点 C ， 然 后 给 出 四 种 测 量 方 案 （ △ABC 的角 A ， B ， C 所 对的边分别记为 a ， b ， c ）： ① 测量 A ， C ， b ； ② 测量 a ， b ， C ； ③ 测量 A ， B ， a ； ④ 测量 a ， b ， B. 则一定能确定 A ， B 间距离的所有方案 的序号为 （ ） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②③④ 例 1 如图， AB 是底部不可到达的一个 建筑物， A 为建筑物的最高点 . 某学习小组准 备了三种工具： 测角仪 （可测量仰角与俯 角）、 米尺 （可测量长度）、 量角器 （可测量 平面角度） . （ 1 ） 请你利用准备好的工具 （可不全使 用）， 设计一种测量建筑物高度 AB 的方法， 并给出测量报告 . 注： 测量报告中包括你使用的工具， 测 量方法的文字说明与图形说明， 所使用的字 母和符号均需要解释说明， 并给出你最后的 计算公式 . （ 2 ） 该学习小组利用你的测量方案进行 了实地测量， 并将计算结果汇报给老师， 发 9.3 数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离 A B A B 图 9-3-1 26 第九章 解三角形 学 现计算结果与该建筑物实际高度有误差， 请 你针对误差情况进行说明 . 分析： （ 1 ） AB 底部不可达， 因此可用 解三角形思想求解， 测量出相应的线段长度 和角度， 然后由三角形的知识进行计算 . （ 2 ） 误差产生的原因很多， 如工具误 差， 两次测量时位置不完全一样 （每个数据 都可能出现误差） . 解： （ 1 ） 选用测角仪和米尺， 如图所示 . ① 选择一条水平基线 HG （如图 ）， 使 H ， G ， B 三点共线； ② 在 H ， G 两点用测角仪测得 A 的仰角 分别为 α ， β ， 用米尺测得 CD=a ， 量得测角 仪的高为 h ； ③ 经计算建筑物 AB= asinαsinβ sin （ α-β ） +h （或者 写成 atanαtanβ tanα-tanβ +h ） . （ 2 ） ① 测量工具问题； ② 两次测量时位置的间距差； ③ 用身高代替测角仪的高度 . 变式训练 1 如图， 要测量山 顶上的电视塔 FG 的 高度， 已知山的西面 有一栋楼 AC （该楼 的高度低于山的高 度） . 试设计在楼 AC 上测量并计算山顶上的电视塔高度的方案 . 要点 2 方案设计问题 （ 1 ） 设计方案测量有关长度或者高度， 一般以简便为原则， 构建在同一个三角形中 解决问题， 对于较复杂的问题， 也可以考虑 构建在几个三角形中 . （ 2 ） 在具体设计时， 一定要先设计方案， 然后决定收集哪些信息、 数据， 最后进行测 量计算 . 在设计方案时要注意实际测量往往 受地形地貌、 测量工具等条件的制约， 方案 要切实可行， 测量也要符合题目和实际要求 . 思考 ２ 我们都知道， 月球是距离地 球最近的星球 ， 月球与地球近地点的距 离是 363 000 km ， 与地球远地点的距离是 406 000 km ， 地球与月球的平均距离是 384 403.9 km. 可以肯定的是， 没有一个人 测量过地月距离 . α β G H A B C D E D G F A C 图 9-3-2 图 9-3-3 27 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 问题： 你能给出一个方案， 测量出地 月距离吗？ 例 2 目前， 中国已经建成全球最大的 5G 网络， 无论是大山深处还是广袤平原 ， 处处都能见到 5G 基站的身影 . 如图 （ A ）， 某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的 一座 5G 基站 AB ， 已知基站高 AB=50 m ， 该同学眼高 1.5 m （眼睛到地面的距离）， 该 同学在初始位置 C 处 （眼睛所在位置） 测得 基站底部 B 的仰角为 37° ， 测得基站顶端 A 的仰角为 45°. （ 1 ） 求出山高 BE （结果保留整数）； （ 2 ） 如图 （ B ）， 当该同学面向基站 AB 前行时 （保持在同一铅垂面内）， 记该同学所 在位置 M 处 （眼睛所在位置） 到基站 AB 所 在直线的距离 MD=x m ， 且记在 M 处观测基 站底部 B 的仰角为 α ， 观测基站顶端 A 的仰 角为 β. 试问当 x 多大时， 观测基站的视角 ∠AMB 最大 . 参考数据 ： sin8°≈0.14 ， sin37°≈0.6 ， sin45°≈0.7 ， sin127°≈0.8. 分析： （ 1 ） 根据题意， 建立三角形模 型， 用正弦定理直接求出山高 BE. （ 2 ） 利用两角和差正切公式和基本不等 式求最值 ， 可得观测站视角 ∠AMB 的最 大值 . 解： （ 1 ） 由题知 ∠ACB=8° ， ∠BAC=45° ， 在 △ABC 中， 由正弦定理得 AB sin∠ACB = BC sin∠BAC ， 即 50 sin8° = BC sin45° ， ∴BC≈ 50×0.7 0.14 =250 （ m ） . 在 Rt△BDC 中， sin∠BCD= BD BC ， 即 sin37°= BD 250 ， ∴BD≈250×0.6=150 （ m ）， ∴ 山高 BE =BD +DE =150 +1.5 =151.5≈ 152 （ m ） . （ 2 ） 由题知 ∠AMD=β ， ∠BMD=α ， 则在 Rt△BMD 中， tanα= BD MD = 150 x . 在 Rt△AMD 中， tanβ= AD MD = 200 x ， 由题 知 ∠AMB=β-α ， 则 tan∠AMB=tan （ β-α ） = tanβ-tanα 1+tanαtanβ = 200 x - 150 x 1+ 200 x · 150 x = 50x x 2 +30 000 = 50 x+ 30 000 x ≤ 50 2 x · 30 000 x 姨 = 50 200 3 姨 = 3 姨 12 ， 当且仅当 x= 30 000 x ， 即 x=100 3 姨 m 时， tan∠ACB 取得最大值， 即视角最大 . 反思： 数学建模中方案设计的一般思路： （ 1 ） 分析： 理解题意， 分清已知与未 知， 画出示意图 . （ 2 ） 建模： 根据已知条件与求解目标， 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角 形中， 建立一个解三角形的数学模型 . （ 3 ） 求解： 利用正弦定理或余弦定理 α β A B M D E 45° 37° A B C D E 图 9-3-4 （ A ） 图 9-3-4 （ B ） 28 第九章 解三角形 学 有序地解出三角形， 求得数学模型的解 . （ 4 ） 检验： 检验上述所求的解是否符 合实际意义， 从而得出实际问题的解 . 变式训练 2 某中学校园内有一个 “湖泊”， 湖的两侧有一个音 乐教室和一个图书馆 ， 如 图， 若音乐教室设在 A 处， 图书馆设在 B 处， 为测量 A ， B 两地之间的 距离， 某同学选定了与 A ， B 不共线的 C 处， 构成 △ABC ， 以下是几种不同的测量方案： ① 测量 ∠A ， AC ， BC ； ② 测量 ∠A ， ∠B ， BC ； ③ 测 量 ∠C ， AC ， BC ； ④ 测 量 ∠A ， ∠C ， ∠B. 其中一定能唯一确定 A ， B 两地 之间距离的所有方案的序号是 . 例 3 如图为某公园的绿化示意图， 准 备在道路 AB 的一侧进行绿化， 线段 AB 长 为 2 km ， OC=OD=OA=OB=1 km ， 设 ∠COB=兹. （ 1 ） 为了美化公园周围的环境， 现要在 四边形 ABCD 内种满郁金香， 若 ∠COD= π 3 ， 则当 兹 为何值时， 郁金香的种植面积最大？ （ 2 ） 为了方便游人散步， 现要搭建一条 栈道， 栈道由线段 BC ， CD 和 DA 组成， 若 BC=CD ， 则当 兹 为何值时， 栈道的总长 l 最 长， 并求 l 的最大值 . 分析： （ 1 ） 求出 S 四边形 ABCD =S △BOC +S △COD + S △DOA ， 整理可得 S 四边形 ABCD = 3 姨 2 sin 兹+ π 6 $ % + 3 姨 4 ， 利用正弦函数的性质可求得最值 . （ 2 ） 利用余弦定理求得 BC=CD=2sin 兹 2 ， DA=2cos兹 ， 相加可求出 l ， 进而可求其最值 . 解： （ 1 ） 由图可得 S 四边形 ABCD =S △BOC +S △COD +S △DOA = 1 2 sin兹+ 1 2 sin π 3 + 1 2 sin π-兹- π 3 $ % = 3 姨 2 sin 兹+ π 6 $ % + 3 姨 4 ， ∴0<兹< 2 3 π ， 则 π 6 <兹+ π 6 < 5 6 π ， ∴sin 兹+ π 6 $ % ≤1 ， 则当 兹= π 3 ， 即 兹+ π 6 = π 2 ， sin 兹+ π 6 $ % =1 时， 郁金香的种植面积最 大， 最大值为 3 4 3 姨 . （ 2 ） 由余弦定理得 BC=CD= 1+1-2cos兹 姨 =2sin 兹 2 ， DA= 1+1+2cos2兹 姨 =2cos兹 ， ∴l=4sin 兹 2 +2cos兹 0<兹< π 2 $ % ， 令 t=sin 兹 2 ， 则 0<t< 2 姨 2 ， ∴l=4sin 兹 2 +2 1-2sin 2 兹 2 $ % =4t+2 （ 1-2t 2 ） =-4 t- 1 2 $ % 2 +3 ， ∴t= 1 2 ， 即 兹= π 3 时， l 的最大值为 3. O A B C D A B C 图 9-3-5 图 9-3-6 29 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 3 如图所示， 经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB ， AC ， 根据规划要在两条公路 之间的区域内建一工厂 P ， 分别在两条公路 边上建两个仓库 M ， N （异于村庄 A ）， 要求 PM＝PN＝MN＝2 （单位： km ） ． 记 ∠AMN＝θ. （ 1 ） 将 AN ， AM 用含 θ 的关系式表示 出来 . （ 2 ） 如何设计 （即 AN ， AM 为多长时）， 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 （即 工厂与村庄的距离 AP 最大）？ 数 学 文 化 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省， 是一座始建于 1907 年拜占庭风格的东正教 教堂， 距今已有 116 年的历史， 为哈尔滨的 标志性建筑 . 1996 年经国务院批准， 被列为 第四批全国重点文物保护单位， 是每一位到 哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点， 其 中央主体建筑集球、 圆柱、 棱柱于一体， 极 具对称之美， 可以让游客从任何角度都能领 略它的美 . 小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高 度， 在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建 筑物 AB ， 高为 （ 15 3 姨 -15 ） m ， 在它们之 间地面上的点 M （ B ， M ， D 三点共线） 处测 得楼顶 A 、 教堂顶 C 的仰角分别是 15° 和 60° ， 在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30° ， 则小明估算圣·索菲亚教堂的高度为 （ ） A. 20 m B. 30 m C. 20 3 姨 m D. 30 3 姨 m 分析： 由正弦定理求出 AM ， 再结合正 弦定理得到 CM ， 进而求出 CD. 解析： 由题意知 ∠CAM=45° ， ∠AMC= 105° ， ∴∠ACM=30°. 在 Rt△ABM 中， AM= AB sin∠AMB = AB sin15° . 在 △ACM 中 ， 由正弦定理得 AM sin30° = CM sin45° ， ∴CM= AMsin45° sin30° = ABsin45° sin15°sin30° . 在 Rt△DCM 中， CD=CMsin60°= ABsin45°sin60° sin15°sin30° = （ 15 3 姨 -15 ） × 2 姨 2 × 3 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 × 1 2 =30 3 姨 . 答案： D M A B C D 15° 30° 60° M N P A B C 图 9-3-7 图 9-3-8 （ A ） 图 9-3-8 （ B ） 30 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 =± 1 2 ， 由余弦定理可得 a 2 =b 2 +c 2 -2bc · cosA ， 代入数据可得 3=5±bc ， 解得 bc=2 ， ∴S △ABC = 1 2 bc · sinA= 3 姨 2 . 11. 15 【解析 】 ∴ 令 ∠ACD=α ， ∠CDB=β ， 在 △CBD 中， 由余弦定理得 cosβ= BD 2 +CD 2 -CB 2 2BD · CD = 20 2 +21 2 -31 2 2×20×21 =- 1 7 ， ∴sinβ= 4 3 姨 7 . 又 ∵sinα=sin （ β-60° ） =sinβ · cos60°-cosβ · sin60° = 4 3 姨 7 × 1 2 + 1 7 × 3 姨 2 = 5 3 姨 14 . 在 △ACD 中 ， 21 sin60° = AD sinα ， ∴AD= 21×sinα sin60° =15 （ km ）， ∴ 这人还要再走 15 km 才能到达 A 城 . 12. 10 2 姨 27 【解析】 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB= （ a+c ） 2 -2ac ·（ 1+ cosB ）， 又 ∵b=2 ， a+c=6 ， cosB= 7 9 ， 则 ac=9 ， 解得 a=3 ， c=3. 在 △ABC 中 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 4 2 姨 9 ， 由正弦定理得 sinA= a · sinB b = 2 2 姨 3 . ∵a=c ， ∴A 为锐角 . ∵cosA= 1-sin 2 A 姨 = 1 3 ， 故 sin （ A-B ） =sinA · cosB-cosA · sinB= 10 2 姨 27 . 13. （ 1 ） 证明 ： 由正弦定理得 sinB · cosA-sinA · cosB= 2sinC=2sin （ A+B ） =2sinA · cosB+2cosA · sinB ， 展开并整理得 sinB · cosA=-3sinA · cosB ， ∴tanB=-3tanA. （ 2 ） 解： ∵b 2 +c 2 =a 2 + 3 姨 bc ， 则 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 3 姨 bc 2bc = 3 姨 2 ， 由 0<A<π 得 A= π 6 ， tanA= 3 姨 3 ， ∴tanB=- 3 姨 . 又 ∵0<B<π 得 B= 2π 3 ， ∴C= π 6 ， ∴a=c ， 由 S △ABC = 1 2 acsin 2π 3 = 1 2 × 3 姨 2 a 2 = 3 姨 ， 解得 a=2. 14. 解 ： （ 1 ） 设 BC=x （ m ）， 由条件可知 AC=x+ 2 17 × 340=x+40 （ m ） . 在 △ABC 中 ， 由余弦定理 ， 可得 BC 2 = AB 2 +AC 2 -2AB×AC×cos∠BAC ， 即 x 2 =100 2 + （ x+40 ） 2 -2×100× （ x+40 ） × 1 2 ， 解得 x=380 ； ∴AC=380+40=420 （ m ）， 故 A ， C 两地的距离为 420 m. （ 2 ） 在 △ACH 中， AC=420 （ m ）， ∠HAC=30° ， ∠AHC= 90°-30°=60° ， 由正弦定理 ， 可得 AC sin∠AHC = HC sin∠HAC ， 即 420 sin60° = HC sin30° ， ∴HC= 420× 1 2 3 姨 2 =140 3 姨 （ m ）， 故这种 仪器的垂直弹射高度为 140 3 姨 m. 9.3 数学探究活动： 得到不可达 两点之间的距离 学习手册 变式训练 1. 解： 设在楼顶 C 看塔顶、 塔底的仰角分别是 α ， β ， 从楼顶下的 B 点看塔底的仰角为 γ ， 测出 BC=h. 如图， 在 △BCF 中， BC=h ， ∠CBF= π 2 -γ ， ∠BCF= π 2 +β ， ∠BFC=γ- β. 由正弦定理 ， 得 BF sin∠BCF = BC sin∠BFC ， 即 BF sin π 2 + + ' β = h sin （ γ-β ） ， ∴BF = hcosβ sin （ γ-β ） . 在 Rt △BEF 中 ， 有 BE = BFcosγ= hcosβcosγ sin （ γ-β ） . 在 Rt△CGM 中 ， CM=BE ， ∠GCM=α ， 则 MG=CMtanα= hcosβcosγtanα sin （ γ-β ） . 在 Rt△CFM 中 ， CM=BE ， ∠FCM=β ， 则 MF=CMtanβ= hcosβcosγtanβ sin （ γ-β ） = hcosγsinβ sin （ γ-β ） . 则电 视塔的高度 FG=MG-MF= hcosγ （ cosβtanα-sinβ ） sin （ γ-β ） . 2. ②③ 3. 解 ： （ 1 ） ∠AMN=θ ， 在 △AMN 中 ， 由正弦定理 ， 得 MN sin60° = AN sinθ = AM sin120°-θ ， ∴AN = 4 3 姨 3 sinθ ， AM = 4 3 姨 3 sin （ 120°-θ ） . （ 2 ） 在 △APM 中 ， 由余弦定理 ， 得 AP 2 =AM 2 +PM 2 - 2AM · PM · cos∠AMP = 16 3 sin 2 （ θ+60° ） +4- 16 3 姨 3 sin （ θ+60° ） cos （ θ+60° ） = 8 3 ［ 1-cos （ 2θ+120° ）］ - 8 3 姨 3 sin （ 2θ+120° ） +4 =- 8 3 ［ 3 姨 sin （ 2θ+120° ） +cos （ 2θ+120° ）］ + 20 3 = 20 3 - 16 3 sin （ 2θ+150° ）， 0°＜θ＜120°. ［其中利用诱导公式可知 sin （ 120°-θ ） =sin （ θ+60° ）］， 当 且仅当 2θ+150°=270° ， 即 θ=60° 时， 工厂产生的噪声对居民 第 1 题答图 D G F A C α β M E B γ 36 参考答案 的影响最小， 此时 AN=AM=2 km. 随堂练习 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 练习手册 1. B 【解析 】 sin 5仔 12 = sin 仔 4 + 仔 6 ! " = sin 仔 4 cos 仔 6 + cos 仔 4 sin 仔 6 = 2 姨 2 × 3 姨 2 + 2 姨 2 × 1 2 = 6 姨 + 2 姨 4 ， 由正 弦定理可知 AB sin∠ACB = AC sin∠ABC ， AB= AC · sin∠ACB sin∠ABC = 80× 6 姨 + 2 姨 4 2 姨 2 =40 （ 1+ 3 姨 ） （ m ） . 2. B 【解析】 在 △ABC 中， BC sin∠BAC = AB sin∠ACB ， 即 BC sin105° = 2 sin （ 180°-105°-45° ） ， BC=4sin105°=4sin75° ， 在 △ABD 中 ， ∠DAB=∠DBA=60° ， △ABD 是等边三角形 ， BD=AB=2. 在 △BCD 中， ∠DBC=15° ， ∴CD 2 =BC 2 +BD 2 -2BC · BDcos∠BDC=16sin 2 75°+4-2×4sin75°×4×cos15°=16sin 2 75°+4- 2×4sin75°×2×sin75°=4 ， CD=2 km． 3. D 【解析】 根据题意， △P 1 P 2 D 的三个角和三个边 ， 由正弦定理均可以求出 ， ① 中 ， CD sin∠DP 1 C = DP 1 sin∠DCP 1 ， 故 CD= DP 1 sin∠DP 1 C sin∠DCP 1 ， 故 ① 可以求出 CD ； ③ 与 ① 条件等 价 . ② 中， 在 △P 1 P 2 C 中， P 1 P 2 sin∠P 1 CP 2 = P 1 C sin∠P 1 P 2 C ， 故 P 1 C= asin∠P 1 P 2 C sin∠P 1 CP 2 ， 在 △P 1 CD 中， 利用余弦定理求解 CD 即可 . 4. AC 【 解 析 】 ∵tanB =2 2 姨 ， ∴cosB = 1 3 ， sinB = 2 2 姨 3 . 又 ∵S= 1 2 acsinB=2 2 姨 ， ∴ac=6. 由余弦定理可得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=a 2 +c 2 -4= （ a-c ） 2 +8 ， ∴ b 2 |a-c| = （ a-c ） 2 +8 |a-c| = |a-c|+ 8 |a-c| ≥4 2 姨 ， 当且仅当 |a-c|= 8 |a-c| 时等号成立， 故 b 2 |a-c| 的最小值为 4 2 姨 ， 可能取到的值为 A 、 C 选项 ． 5. A 【解析 】 连接 AB ， 由题意可知 CD=40 n mile ， ∠ADC=105° ， ∠BDC=45° ， ∠BCD=90° ， ∠ACD=30° ， ∴ ∠CAD=45° ， ∠ADB=60° . 在 △ACD 中 ， 由 正弦 定 理 得 AD sin30° = 40 sin45° ， ∴AD=20 2 姨 n mile ， 在 Rt△BCD 中， 易 知 BD= 2 姨 CD=40 2 姨 n mile. 在 △ABD 中 ， 由余弦定 理 得 AB = 800+3 200-2× 20 2 姨 × 40 2 姨 × cos60 ° 姨 = 20 6 姨 （ n mile ） . 6. 5 2 姨 +5 6 姨 【解析】 如图所示， 设树干底部为 O ， 树尖着地处为 B ， 折断点为 A ， 则 ∠AOB=75° ， ∠ABO=45° ， ∴∠OAB= 60°． 由正弦定理知 AO sin45° = AB sin75° = 10 sin60° ， ∴OA= 10 6 姨 3 （ m ）， AB= 15 2 姨 +5 6 姨 3 （ m ）， ∴OA+AB= （ 5 2 姨 +5 6 姨 ） m. 7. 100 39 姨 8. 15° 【解析 】 法一 ： 如图 ， ∵∠PAB=θ ， ∠PBC=2θ ， ∴∠BPA=θ ， ∴BP=AB=30. 又 ∵∠PBC=2θ ， ∠PCD=4θ ， ∴ ∠BPC=2θ ， ∴CP=BC=10 3 姨 . 在 △BPC 中， 根据正弦定理， 得 PC sin2θ = PB sin （ 仔-4θ ） ， 即 10 3 姨 sin2θ = 30 sin4θ ， ∴ 2sin2θcos2θ sin2θ = ３0 10 3 姨 . 由于 sin2θ≠0 ， ∴cos2θ= 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ =30° ， ∴θ=15°. 法二： 在 △BPC 中， 根据余弦定理， 得 PC 2 =PB 2 +BC 2 - 2PB · BC · cos2θ ， 把 PC=BC=10 3 姨 ， PB=30 代入上式得 ， 300=30 2 + （ 10 3 姨 ） 2 -2×30×10 3 姨 cos2θ ， 化简得 cos2θ= 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ=30° ， ∴θ=15°. 法三 ： 如下图 ， 过顶点 C 作 CE⊥PB ， 交 PB 于点 E ， ∵△BPC 为 等 腰 三 角 形 ， ∴PE=BE =15. 在 Rt△BEC 中 ， cos2θ= BE BC = 15 10 3 姨 = 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ=30° ， ∴θ= 15°. 9. 解： 如图 ， 过点 C 作 CD⊥AB ， 交 AB 的延长线于 点 D ， 在 △ABC 中 ， sin∠ACB =sin （ 45° -30° ） =sin45° · cos30° -cos45° sin30° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∠ABC =180° -45° = 135° ， 由正弦定理 AC sin135° = AB sin15° ， 得 AC= ABsin135° sin15° = O A B 75° 45° 10 第 6 题答图 10 3 姨 P D A B C 30 2θ 4θ θ 第 8 题答图 10 3 姨 P A B C 30 2θ 4θ θ 15 E 第 8 题答图 37 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 4× 2 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 =4 （ 3 姨 +1 ） ， 在 Rt△ACD 中 ， ∠A=30° ， ∠ADC=90° ， 因此， CD= 1 2 AC=2 （ 3 姨 +1 ） m. 答： 该雕塑的 高度为 2 （ 3 姨 +1 ） m. 10. 解： （ 1 ） 如图， 连接 BD． 在 △ABD 中， BD 2 =AB 2 + AD 2 -2AB · AD · cosA=4-2 3 姨 cosA． 在 △BCD 中 ， BD 2 =BC 2 +CD 2 - 2BC · CD · cosC=2-2cosC ， 故有 4- 2 3 姨 cosA=2-2cosC ， 从而 cosC= 3 姨 cosA-1. （ 2 ） ∵cosA= 3 姨 6 ， ∴ 由 （ 1 ） 可得 cosC=- 1 2 ， C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= 2π 3 ， 而 CD=CB ， 故 ∠CDB= π 6 ． 此时 BD 2 = AB 2 +AD 2 -2AB · AD · cosA= （ 3 姨 ） 2 +1 2 -2× 3 姨 ×1× 3 姨 6 = 3 姨 ． 从而 AB=BD ， ∴△ABD 为等腰三角形 ． cos∠ADB= cosA= 3 姨 6 ， sin∠ADB= 33 姨 6 ， cos∠ADC=cos （ ∠ADB+ ∠BDC ） =cos ∠ADB+ π 6 6 ( = 3 姨 6 × 3 姨 2 - 33 姨 6 × 1 2 = 3- 33 姨 12 ， ∴AC 2 =AD 2 +CD 2 -2AD · CD · cos∠ADC=1 2 +1 2 -2×1× 1× 3- 33 姨 12 = 9+ 33 姨 6 ． 从而 AC= 9+ 33 姨 6 姨 km. 11. C 【解析 】 在 △ADC 中 ， ∠ACD=45° ， ∠ADC= 67.5° ， DC=2 3 姨 hm ， ∴∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5° ， ∴AC=DC=2 3 姨 hm. 在 △BCE 中， ∠BCE=75° ， ∠BEC=60° ， CE= 2 姨 hm ， ∴∠EBC=180°-75°-60°=45° ， ∴ EC sin∠EBC = BC sin∠BEC ， ∴BC = EC · sin∠BEC sin∠EBC = 2 姨 × 3 姨 2 2 姨 2 = 3 姨 （ hm ） ， 在 △ABC 中 ， AC =2 3 姨 hm ， ∠ACB =180° - ∠ACD-∠BCE=60° ， 则 AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC · BCcos∠ACB= 9 ， 则 AB=3 hm. 故选 C. 12. ABC 【解析】 由正弦定理可得 a ∶ b ∶ c=2 ∶ 3 ∶ 7 姨 ， 设 a=2m ， b=3m ， c= 7 姨 m （ m>0 ）， ∴S= 1 4 7m 2 ×4m 2 - 7m 2 +4m 2 -9m 2 2 6 2 2 2 + 姨 = 3 3 姨 2 m 2 =6 3 姨 ， 解得 m=2. ∴△ABC 的周长为 a+b+c=4+6+2 7 姨 =10+2 7 姨 ， A 正确 ； 由余弦定理得 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 16+36-28 2×4×6 = 1 2 ， ∴C=60° ， B 正确； 由正弦定理知外接圆直径为 2R= c sinC = 2 7 姨 sin π 3 = 4 21 姨 3 ， C 正确 ； 经计算可得 a 2 +b 2 = 1 2 c 2 +2CD 2 ， 即 CD 2 = 1 2 × 16+36- 1 2 ×2 2 2 8 =19 ， ∴CD= 19 姨 ， D 错误 . 13. 60° 20 3 姨 【解析】 如 图 ， O -. Ｂ表示风的矢量速度 ， O -. C 表示救生艇的矢量速度， O -. A表示 水的矢量速度， 易知 ∠AOB=60° ， 则 ∠OBC=120° . 由余弦定 理 知 OC 2 =20 2 +20 2 -800cos120°=1 200 ， 故 OC=20 3 姨 km ， 即救 生艇在洪水中漂行的速度的大小为 20 3 姨 km/h ， 方向为北 偏东 60°. 14. （ a-c ）（ b-c ） 姨 【解析】 过点 C 作 CD⊥AB ， 交 AB 的延长线于点 D ， 如图所示： 则 AB=a-b ， AD=a-c. 设 ∠BCD= α ， ∠ACB=β ， CD=x ， 在 △BCD 中 ， tanα= BD CD = b-c x ， 在 △ACD 中 ， tan （ α+β ） = AD CD = a-c x ， ∴tanβ=tan （（ α+β ） -α ） = a-c x - b-c x 1+ a-c x · b-c x = a-b x+ （ a-c ）（ b-c ） x ≤ a-b 2 x · （ a-c ）（ b-c ） x 姨 = a-b 2 （ a-c ）（ b-c ） 姨 ， 当 且 仅 当 x = （ a-c ）（ b-c ） x ， 即 x = （ a-c ）（ b-c ） 姨 时取等号， ∴tanβ 取最大值时， ∠ACB=β 最 大， ∴ 当离此树的水平距离为 （a-c ）（ b-c ） 姨 m 时看 A ， B 的视角最大 . 15. 解： （ 1 ） 设此山的高度为 h km ， 则 AC= h tan30° km ， 在 △ABC 中， ∠ABC=120° ， ∠BCA=60°-45°=15° ， AB=4 km. 根据正弦定理得 AC sin∠ABC = AB sin∠BCA ， 即 h sin120° · tan30° = 4 sin15 ° ， 解得 h=2 （ 6 姨 + 2 姨 ） km . ∴ 此山的高度为 A B C D 第 10 题答图 O A B C 北 第 13 题答图 第 14 题答图 A B CD 45°30° A B C D 第 9 题答图 38 参考答案 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 学习手册 变式训练 1. C 2. B 3. -2 4. -2 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. 5 2 4 5. 2 练习手册 1. B 【 解 析 】 ∵ 复 数 （ m 2 -2m ） +mi 是 纯 虚 数 ， ∴ m 2 -2m=0 ， m≠0 0 ， 解得 m=2. 故选 B. 2. A 【解析】 若 a=b=0 ， 则 （ a-b ） + （ a+b ） i 是 0 ， 为实 数， 即 ① 错误； ② 复数分为实数和虚数， 而任意实数都可 以比较大小， 虚数是不可以比较大小的， 即 ② 错误； ③ 若 z 1 =1-i ， z 2 =1+i ， 则 z 2 1 +z 2 2 =-2i+2i=0 ， 但 z 1 ≠z 2 ， 即 ③ 错 . 故 选 A. 3. D 【解析】 z=6i+2i 2 =-2+6i ， 则 z 的虚部为 6 ， 故选 D. 4. B 【解析 】 由题意 ， 知 n 2 + （ m+2i ） n+2+2i=0 ， 即 n 2 + mn+2+ （ 2n+2 ） i=0 ， ∴ n 2 +mn+2=0 ， 2n+2=0 0 ， 解得 m=3 ， n=-1 0 ， ∴z=3-i. 5. {0} 【解析】 ∵z 1 ＞z 2 ， ∴ 2a 2 +3a=0 ， a 2 +a=0 ， -4a+1>2a a % % % $ % % % & ， ∴a=0 ， 所求 a 的 取值集合为 {0}． 6. m=2 m=0 【解析】 复数 z=m+ （ m-2 ） i ， ∴ 当 m-2=0 ， 即 m=2 时， 复数为实数； 当 m-2≠0 ， 且 m=0 时， 即 m=0 时， 复数为纯虚数 ． 7. 3-3i 【解析 】 3i- 2 姨 的虚部为 3 ， 3i 2 + 2 姨 i=-3+ 2 姨 i 的实部为 -3 ， ∴ 所求的复数是 3-3i. 8. 解： 设 x=a 为方程的一个实数根， 则有 a 2 + （ 1-2i ） a+ （ 3m-i ） =0 ， 即（ a 2 +a+3m ） - （ 2a+1 ） i=0 ， ∵a ， m∈R ， 由复数相 等的充要条件， 得 a 2 +a+3m=0 ， 2a+1=0 0 ， 解得 m= 1 12 ， a=- 1 2 2 % % % % $ % % % % & . 故实数 m 的 值为 1 12 . 9. 解 ： （ 1 ） ∵z 1 ， z 2 ∈R ， ∴ t 2 -1=0 ， 2cos兹+1=0 0 ， 解得 t=±1 ， cos兹=- 1 2 ， ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴z 2 =sin兹= 1-cos 2 兹 姨 = 3 姨 2 ， 当 t=-1 时， z 1 <z 2 ， 不符合条件； 当 t=1 时， 满足 z 1 >z 2 . 综上所述， t=1. （ 2 ） 若 z 1 =z 2 ， 则 t=sin兹 ， t 2 -1=2cos兹+1 0 ， ∴sin 2 兹-1=2cos兹+1 ， 即 -cos 2 兹=2cos兹+1 ， ∴cos 2 兹+2cos兹+1=0 ， 即 （ cos兹+1 ） 2 =0 ， 解得 cos兹=-1. 又 ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴兹=π. 10. D 【解析 】 由 z 1 =z 2 ， 可知 sin2兹=cos兹 ， cos兹= 3 姨 sin兹 0 ， ∴cos兹= 3 姨 2 ， sin兹= 1 2 . ∴兹= π 6 +2kπ ， k∈Z ， 故选 D. 11. ± π 2 0 【解析 】 z=cos π 2 + + + 兹 +sin π 2 + + + 兹 i=-sin兹+ icos兹 ， 当 z 是实数时， cos兹=0 ， ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=± π 2 ； 当 z 为纯虚数时 -sin兹=0 ， cos兹≠0 0 ， 又 ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=0. 12. 解 ： 由于 z 1 <z 2 ， m∈R ， 所以 z 1 ∈R 且 z 2 ∈R ， 当 z 1 ∈R 时， m 2 +m-2=0 ， m=1 或 m=-2. 当 z 2 ∈R 时， m 2 -5m+ 4=0 ， m=1 或 m=4 ， ∴ 当 m=1 时 ， z 1 =2 ， z 2 =6 ， 满足 z 1 <z 2 . ∴z 1 <z 2 时， 实数 m 的取值为 m=1. 13. 解： 由题意知， x 2 +x+3m- （ 2x+1 ） i>0 ， 故 2x+1=0 ， x 2 +x+3m>0 0 ， 解得 x=- 1 2 ， m> 1 12 2 % % % % $ % % % % & . ∴ 实数 m 的取值范围为 m> 1 12 . 2 （ 6 姨 + 2 姨 ） km. （ 2 ） 由题意可知， 当点 C 到公路的距离最小时， 仰望 山顶 D 的仰角达到最大， 所以过点 C 作 CE⊥AB ， 垂足为 E ， 连接 DE ， 则 ∠DEC=兹 ， CE=AC · sin45° ， DC=AC · tan30° ， ∴tan兹= DC CE = 6 姨 3 . D E A B C 第 15 题答图 39