9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 如图， 设 A ， B 两点在河的两岸， 为 测量 A ， B 两点间的距离， 小明同学在 A 的 同侧选定一点 C ， 测出 A ， C 两点间的距离 为 80 m ， ∠ACB= 5π 12 ， ∠BAC= π 3 ， 则小明 同学计算出的 A ， B 两点间的距离为 （ ） A. 40 6 姨 m B. 40 （ 1+ 3 姨 ） m C. 40 3 姨 m D. 40 （ 2 姨 + 6 姨 ） m 2. 如图， 为了测量河 对岸两点 C ， D 间的距 离， 现在沿岸相距 2 km 的两点 A ， B 处分别测得 ∠BAC =105° ， ∠BAD = 60° ， ∠ABC=45° ， ∠ABD=60° ， 则 C ， D 间 的距离为 （ ） A. 2 姨 km B. 2 km C. 4 2 姨 km D. 4 km 3. 小李在某大学测 绘专业学习， 节日回家， 来 到 村 头 的 一 个 池 塘 （如图阴影部分）， 为了 测量该池塘两侧 C ， D 两点间的距离， 除了 观测点 C ， D 外， 他又选了两个观测点 P 1 ， P 2 ， 且 P 1 P 2 =a ， 已经测得两个角 ∠P 1 P 2 D=α ， ∠P 2 P 1 D=β ， 由于条件不足， 需要再观测新的 角， 则利用已知观测数据和下面三组新观测 的角的其中一组， 就可以求出 C ， D 间距离 的是 （ ） ①∠DP 1 C 和 ∠DCP 1 ； ②∠P 1 P 2 C 和 ∠P 1 CP 2 ； ③∠P 2 DC 和 ∠DCP 1 . A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 4. （多选题） 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a≠c ， tanB=2 2 姨 ， △ABC 的面积为 2 2 姨 ， 则 b 2 |a-c| 可能取到的 值为 （ ） A. 4 3 姨 B. 2 2 姨 C. 4 2 姨 D. 2 3 姨 5. 如图所示， 为了测量 A ， B 处岛屿的 距离， 小明在 D 处观测 A ， B 分别在 D 处的 北偏西 15° 、 北偏东 45° 方向， 从 D 处再往 正东方向行驶 40 n mile 至 C 处， 观测 B 在 C 处的正北方向， A 在 C 处的北偏西 60° 方 向， 则 A ， B 处岛屿间的距离为 （ ） A. 20 6 姨 n mile B. 40 6 姨 n mile C. 20 （ 1+ 3 姨 ） n mile D. 40 n mile 二、 填空题 6. 《九章算术》 中记载了 一个 “折竹抵地” 问题， 当 超强台风 “山竹” 登陆时再 9.3 数学探究活动： 得到不可达两点之间的距离 A B C A B C D C D P 1 P 2 D A B C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 16 第九章 解三角形 练 现了这一现象 （如图所示）， 不少大树被大风 折断 . 某路边一树干被台风吹断后 （没有完 全断开）， 树干与地面成 75° 角， 折断部分与 地面成 45° 角， 树干底部与树尖着地处相距 10 m ， 则大树原来的高度是 m （结 果保留根号） . 7. 如图所示， 有 一条笔直的山路 BC ， 现在又新架设了一条 索道 AC. 小明在山脚 B 处看索道 AC ， 此时视角 ∠ABC＝120° ， 从 B 处攀登 200 m 到达 D 处， 回头看索道 AC ， 此时视角 ∠ADC＝150° ， 从 D 处再攀登 300 m 到达 C 处 . 则这条索道 AC 长为 m. 8. 在地面上某处， 测得塔顶的仰角为 θ ， 由此处向塔走 30 m ， 测得塔顶的仰角为 2θ ， 再向塔走 10 3 姨 m ， 测得塔顶的仰角为 4θ ， 则角 θ 的度数为 . 三、 解答题 9. 数学实践活动小组到附近的湿地公园 测量园内雕塑的高度 . 如图， 用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30° ， 再往雕 塑方向前进 4 m 至 B 处， 测得仰角为 45°. 问 该雕塑有多高 . （测角仪高度忽略不计， 结果 不取近似值） 10. 某市一湿地公园建设项目中， 拟在 如图所示一片水域打造一个浅水滩， 并在 A ， B ， C ， D 四个位置建四座观景台， 在凸 四边形 ABCD 中， AB= 3 姨 km ， AD=BC= CD=1 km. （ 1 ） 用 cosA 表示 cosC ； （ 2 ） 现要在 A ， C 两处连接一根水下直 管道， 已知 cosA= 3 姨 6 ， 问最少应准备多少 千米管道 . （结果可用根式表示） 提 升 练 习 11. 如图， 为了测 量某湿地 A ， B 两点间 的距离 ， 某观察者找 到在同一直线上的三 点 C ， D ， E. 从 D 点测得 ∠ADC=67.5° ， 从 C 点测得 ∠ACD=45° ， ∠BCE=75° ， 从 E 点 测得 ∠BEC=60° . 若测得 DC=2 3 姨 ， CE= 2 姨 （单位： hm ）， 则 A ， B 两点间的距离 150° 120° D A B C 45°30° A B C A B C D D E A B C 第 7 题图 第 9 题图 第 11 题图 第 10 题图 17 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 为 （ ） A. 6 姨 hm B. 2 2 姨 hm C. 3 hm D. 2 3 姨 hm 12. （多选题） 《数书九章》 是中国南宋 时期杰出数学家秦九韶的著作， 全书十八卷 共八十一个问题， 分为九类， 每类九个问 题， 《数书九章》 中记录了秦九韶的许多 创造性成就， 其中在卷五 “三斜求积” 中提 出了已知三角形三边 a ， b ， c 求面积的公 式， 其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜 幂， 余半之， 自乘于上， 以小斜幂乘大斜 幂减上， 余四约之， 为实， 一为从隅， 开平 方得积 . ” 若把以上这段文字写成公式， 即 S= 1 4 c 2 a 2 - c 2 +a 2 -b 2 2 2 # 2 2 % 姨 . 现有 △ABC 满足 sinA ∶ sinB ∶ sinC=2 ∶ 3 ∶ 7 姨 ， 且 △ABC 的面 积 S △ABC =6 3 姨 ， 请运用上述公式判断下列 命题正确的是 （ ） A. △ABC 的周长为 10+2 7 姨 B. C=60° C. △ABC 外接圆的直径为 4 21 姨 3 D. △ABC 中线 CD 的长为 3 2 姨 13. 在一次抗洪抢险中， 某救生艇的发 动机突然发生故障停止转动， 失去动力的救 生艇在洪水中漂行， 此时， 风向是北偏东 30° ， 风速是 20 km/h ； 水的流向是正东， 流速是 20 km/h ， 若不考虑其他因素， 则救生艇在 洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ， 大小为 km/h. 14. （ ☆ ） 如图， 树顶 A 离地面 a m ， 树上另一点 B 离地面 b m ， 在离地面 c m （ c<b ） 的 C 处看此树， 离此 树的水平距离为 m 时看 A ， B 的视角最大 . 15. （ ☆ ） 如图， 一辆汽车在一条水平的 公路上向正西方向行驶， 到 A 处时测得公路 北侧远处一山顶 D 在西偏北 45° 的方向上， 仰角为 30° ， 行驶 4 km 后到达 B 处， 测得 此山顶在西偏北 60° 的方向上 . （ 1 ） 求此山的高度； （ 2 ） 设汽车行驶过程中仰望山顶 D 的最 大仰角为 θ ， 求 tanθ. A B C D AB C 第 15 题图 第 14 题图 18 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 =± 1 2 ， 由余弦定理可得 a 2 =b 2 +c 2 -2bc · cosA ， 代入数据可得 3=5±bc ， 解得 bc=2 ， ∴S △ABC = 1 2 bc · sinA= 3 姨 2 . 11. 15 【解析 】 ∴ 令 ∠ACD=α ， ∠CDB=β ， 在 △CBD 中， 由余弦定理得 cosβ= BD 2 +CD 2 -CB 2 2BD · CD = 20 2 +21 2 -31 2 2×20×21 =- 1 7 ， ∴sinβ= 4 3 姨 7 . 又 ∵sinα=sin （ β-60° ） =sinβ · cos60°-cosβ · sin60° = 4 3 姨 7 × 1 2 + 1 7 × 3 姨 2 = 5 3 姨 14 . 在 △ACD 中 ， 21 sin60° = AD sinα ， ∴AD= 21×sinα sin60° =15 （ km ）， ∴ 这人还要再走 15 km 才能到达 A 城 . 12. 10 2 姨 27 【解析】 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB= （ a+c ） 2 -2ac ·（ 1+ cosB ）， 又 ∵b=2 ， a+c=6 ， cosB= 7 9 ， 则 ac=9 ， 解得 a=3 ， c=3. 在 △ABC 中 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 4 2 姨 9 ， 由正弦定理得 sinA= a · sinB b = 2 2 姨 3 . ∵a=c ， ∴A 为锐角 . ∵cosA= 1-sin 2 A 姨 = 1 3 ， 故 sin （ A-B ） =sinA · cosB-cosA · sinB= 10 2 姨 27 . 13. （ 1 ） 证明 ： 由正弦定理得 sinB · cosA-sinA · cosB= 2sinC=2sin （ A+B ） =2sinA · cosB+2cosA · sinB ， 展开并整理得 sinB · cosA=-3sinA · cosB ， ∴tanB=-3tanA. （ 2 ） 解： ∵b 2 +c 2 =a 2 + 3 姨 bc ， 则 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 3 姨 bc 2bc = 3 姨 2 ， 由 0<A<π 得 A= π 6 ， tanA= 3 姨 3 ， ∴tanB=- 3 姨 . 又 ∵0<B<π 得 B= 2π 3 ， ∴C= π 6 ， ∴a=c ， 由 S △ABC = 1 2 acsin 2π 3 = 1 2 × 3 姨 2 a 2 = 3 姨 ， 解得 a=2. 14. 解 ： （ 1 ） 设 BC=x （ m ）， 由条件可知 AC=x+ 2 17 × 340=x+40 （ m ） . 在 △ABC 中 ， 由余弦定理 ， 可得 BC 2 = AB 2 +AC 2 -2AB×AC×cos∠BAC ， 即 x 2 =100 2 + （ x+40 ） 2 -2×100× （ x+40 ） × 1 2 ， 解得 x=380 ； ∴AC=380+40=420 （ m ）， 故 A ， C 两地的距离为 420 m. （ 2 ） 在 △ACH 中， AC=420 （ m ）， ∠HAC=30° ， ∠AHC= 90°-30°=60° ， 由正弦定理 ， 可得 AC sin∠AHC = HC sin∠HAC ， 即 420 sin60° = HC sin30° ， ∴HC= 420× 1 2 3 姨 2 =140 3 姨 （ m ）， 故这种 仪器的垂直弹射高度为 140 3 姨 m. 9.3 数学探究活动： 得到不可达 两点之间的距离 学习手册 变式训练 1. 解： 设在楼顶 C 看塔顶、 塔底的仰角分别是 α ， β ， 从楼顶下的 B 点看塔底的仰角为 γ ， 测出 BC=h. 如图， 在 △BCF 中， BC=h ， ∠CBF= π 2 -γ ， ∠BCF= π 2 +β ， ∠BFC=γ- β. 由正弦定理 ， 得 BF sin∠BCF = BC sin∠BFC ， 即 BF sin π 2 + + ' β = h sin （ γ-β ） ， ∴BF = hcosβ sin （ γ-β ） . 在 Rt △BEF 中 ， 有 BE = BFcosγ= hcosβcosγ sin （ γ-β ） . 在 Rt△CGM 中 ， CM=BE ， ∠GCM=α ， 则 MG=CMtanα= hcosβcosγtanα sin （ γ-β ） . 在 Rt△CFM 中 ， CM=BE ， ∠FCM=β ， 则 MF=CMtanβ= hcosβcosγtanβ sin （ γ-β ） = hcosγsinβ sin （ γ-β ） . 则电 视塔的高度 FG=MG-MF= hcosγ （ cosβtanα-sinβ ） sin （ γ-β ） . 2. ②③ 3. 解 ： （ 1 ） ∠AMN=θ ， 在 △AMN 中 ， 由正弦定理 ， 得 MN sin60° = AN sinθ = AM sin120°-θ ， ∴AN = 4 3 姨 3 sinθ ， AM = 4 3 姨 3 sin （ 120°-θ ） . （ 2 ） 在 △APM 中 ， 由余弦定理 ， 得 AP 2 =AM 2 +PM 2 - 2AM · PM · cos∠AMP = 16 3 sin 2 （ θ+60° ） +4- 16 3 姨 3 sin （ θ+60° ） cos （ θ+60° ） = 8 3 ［ 1-cos （ 2θ+120° ）］ - 8 3 姨 3 sin （ 2θ+120° ） +4 =- 8 3 ［ 3 姨 sin （ 2θ+120° ） +cos （ 2θ+120° ）］ + 20 3 = 20 3 - 16 3 sin （ 2θ+150° ）， 0°＜θ＜120°. ［其中利用诱导公式可知 sin （ 120°-θ ） =sin （ θ+60° ）］， 当 且仅当 2θ+150°=270° ， 即 θ=60° 时， 工厂产生的噪声对居民 第 1 题答图 D G F A C α β M E B γ 36 参考答案 的影响最小， 此时 AN=AM=2 km. 随堂练习 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 练习手册 1. B 【解析 】 sin 5仔 12 = sin 仔 4 + 仔 6 ! " = sin 仔 4 cos 仔 6 + cos 仔 4 sin 仔 6 = 2 姨 2 × 3 姨 2 + 2 姨 2 × 1 2 = 6 姨 + 2 姨 4 ， 由正 弦定理可知 AB sin∠ACB = AC sin∠ABC ， AB= AC · sin∠ACB sin∠ABC = 80× 6 姨 + 2 姨 4 2 姨 2 =40 （ 1+ 3 姨 ） （ m ） . 2. B 【解析】 在 △ABC 中， BC sin∠BAC = AB sin∠ACB ， 即 BC sin105° = 2 sin （ 180°-105°-45° ） ， BC=4sin105°=4sin75° ， 在 △ABD 中 ， ∠DAB=∠DBA=60° ， △ABD 是等边三角形 ， BD=AB=2. 在 △BCD 中， ∠DBC=15° ， ∴CD 2 =BC 2 +BD 2 -2BC · BDcos∠BDC=16sin 2 75°+4-2×4sin75°×4×cos15°=16sin 2 75°+4- 2×4sin75°×2×sin75°=4 ， CD=2 km． 3. D 【解析】 根据题意， △P 1 P 2 D 的三个角和三个边 ， 由正弦定理均可以求出 ， ① 中 ， CD sin∠DP 1 C = DP 1 sin∠DCP 1 ， 故 CD= DP 1 sin∠DP 1 C sin∠DCP 1 ， 故 ① 可以求出 CD ； ③ 与 ① 条件等 价 . ② 中， 在 △P 1 P 2 C 中， P 1 P 2 sin∠P 1 CP 2 = P 1 C sin∠P 1 P 2 C ， 故 P 1 C= asin∠P 1 P 2 C sin∠P 1 CP 2 ， 在 △P 1 CD 中， 利用余弦定理求解 CD 即可 . 4. AC 【 解 析 】 ∵tanB =2 2 姨 ， ∴cosB = 1 3 ， sinB = 2 2 姨 3 . 又 ∵S= 1 2 acsinB=2 2 姨 ， ∴ac=6. 由余弦定理可得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=a 2 +c 2 -4= （ a-c ） 2 +8 ， ∴ b 2 |a-c| = （ a-c ） 2 +8 |a-c| = |a-c|+ 8 |a-c| ≥4 2 姨 ， 当且仅当 |a-c|= 8 |a-c| 时等号成立， 故 b 2 |a-c| 的最小值为 4 2 姨 ， 可能取到的值为 A 、 C 选项 ． 5. A 【解析 】 连接 AB ， 由题意可知 CD=40 n mile ， ∠ADC=105° ， ∠BDC=45° ， ∠BCD=90° ， ∠ACD=30° ， ∴ ∠CAD=45° ， ∠ADB=60° . 在 △ACD 中 ， 由 正弦 定 理 得 AD sin30° = 40 sin45° ， ∴AD=20 2 姨 n mile ， 在 Rt△BCD 中， 易 知 BD= 2 姨 CD=40 2 姨 n mile. 在 △ABD 中 ， 由余弦定 理 得 AB = 800+3 200-2× 20 2 姨 × 40 2 姨 × cos60 ° 姨 = 20 6 姨 （ n mile ） . 6. 5 2 姨 +5 6 姨 【解析】 如图所示， 设树干底部为 O ， 树尖着地处为 B ， 折断点为 A ， 则 ∠AOB=75° ， ∠ABO=45° ， ∴∠OAB= 60°． 由正弦定理知 AO sin45° = AB sin75° = 10 sin60° ， ∴OA= 10 6 姨 3 （ m ）， AB= 15 2 姨 +5 6 姨 3 （ m ）， ∴OA+AB= （ 5 2 姨 +5 6 姨 ） m. 7. 100 39 姨 8. 15° 【解析 】 法一 ： 如图 ， ∵∠PAB=θ ， ∠PBC=2θ ， ∴∠BPA=θ ， ∴BP=AB=30. 又 ∵∠PBC=2θ ， ∠PCD=4θ ， ∴ ∠BPC=2θ ， ∴CP=BC=10 3 姨 . 在 △BPC 中， 根据正弦定理， 得 PC sin2θ = PB sin （ 仔-4θ ） ， 即 10 3 姨 sin2θ = 30 sin4θ ， ∴ 2sin2θcos2θ sin2θ = ３0 10 3 姨 . 由于 sin2θ≠0 ， ∴cos2θ= 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ =30° ， ∴θ=15°. 法二： 在 △BPC 中， 根据余弦定理， 得 PC 2 =PB 2 +BC 2 - 2PB · BC · cos2θ ， 把 PC=BC=10 3 姨 ， PB=30 代入上式得 ， 300=30 2 + （ 10 3 姨 ） 2 -2×30×10 3 姨 cos2θ ， 化简得 cos2θ= 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ=30° ， ∴θ=15°. 法三 ： 如下图 ， 过顶点 C 作 CE⊥PB ， 交 PB 于点 E ， ∵△BPC 为 等 腰 三 角 形 ， ∴PE=BE =15. 在 Rt△BEC 中 ， cos2θ= BE BC = 15 10 3 姨 = 3 姨 2 . ∵0°<2θ<90° ， ∴2θ=30° ， ∴θ= 15°. 9. 解： 如图 ， 过点 C 作 CD⊥AB ， 交 AB 的延长线于 点 D ， 在 △ABC 中 ， sin∠ACB =sin （ 45° -30° ） =sin45° · cos30° -cos45° sin30° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∠ABC =180° -45° = 135° ， 由正弦定理 AC sin135° = AB sin15° ， 得 AC= ABsin135° sin15° = O A B 75° 45° 10 第 6 题答图 10 3 姨 P D A B C 30 2θ 4θ θ 第 8 题答图 10 3 姨 P A B C 30 2θ 4θ θ 15 E 第 8 题答图 37 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 4× 2 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 =4 （ 3 姨 +1 ） ， 在 Rt△ACD 中 ， ∠A=30° ， ∠ADC=90° ， 因此， CD= 1 2 AC=2 （ 3 姨 +1 ） m. 答： 该雕塑的 高度为 2 （ 3 姨 +1 ） m. 10. 解： （ 1 ） 如图， 连接 BD． 在 △ABD 中， BD 2 =AB 2 + AD 2 -2AB · AD · cosA=4-2 3 姨 cosA． 在 △BCD 中 ， BD 2 =BC 2 +CD 2 - 2BC · CD · cosC=2-2cosC ， 故有 4- 2 3 姨 cosA=2-2cosC ， 从而 cosC= 3 姨 cosA-1. （ 2 ） ∵cosA= 3 姨 6 ， ∴ 由 （ 1 ） 可得 cosC=- 1 2 ， C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= 2π 3 ， 而 CD=CB ， 故 ∠CDB= π 6 ． 此时 BD 2 = AB 2 +AD 2 -2AB · AD · cosA= （ 3 姨 ） 2 +1 2 -2× 3 姨 ×1× 3 姨 6 = 3 姨 ． 从而 AB=BD ， ∴△ABD 为等腰三角形 ． cos∠ADB= cosA= 3 姨 6 ， sin∠ADB= 33 姨 6 ， cos∠ADC=cos （ ∠ADB+ ∠BDC ） =cos ∠ADB+ π 6 6 ( = 3 姨 6 × 3 姨 2 - 33 姨 6 × 1 2 = 3- 33 姨 12 ， ∴AC 2 =AD 2 +CD 2 -2AD · CD · cos∠ADC=1 2 +1 2 -2×1× 1× 3- 33 姨 12 = 9+ 33 姨 6 ． 从而 AC= 9+ 33 姨 6 姨 km. 11. C 【解析 】 在 △ADC 中 ， ∠ACD=45° ， ∠ADC= 67.5° ， DC=2 3 姨 hm ， ∴∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5° ， ∴AC=DC=2 3 姨 hm. 在 △BCE 中， ∠BCE=75° ， ∠BEC=60° ， CE= 2 姨 hm ， ∴∠EBC=180°-75°-60°=45° ， ∴ EC sin∠EBC = BC sin∠BEC ， ∴BC = EC · sin∠BEC sin∠EBC = 2 姨 × 3 姨 2 2 姨 2 = 3 姨 （ hm ） ， 在 △ABC 中 ， AC =2 3 姨 hm ， ∠ACB =180° - ∠ACD-∠BCE=60° ， 则 AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC · BCcos∠ACB= 9 ， 则 AB=3 hm. 故选 C. 12. ABC 【解析】 由正弦定理可得 a ∶ b ∶ c=2 ∶ 3 ∶ 7 姨 ， 设 a=2m ， b=3m ， c= 7 姨 m （ m>0 ）， ∴S= 1 4 7m 2 ×4m 2 - 7m 2 +4m 2 -9m 2 2 6 2 2 2 + 姨 = 3 3 姨 2 m 2 =6 3 姨 ， 解得 m=2. ∴△ABC 的周长为 a+b+c=4+6+2 7 姨 =10+2 7 姨 ， A 正确 ； 由余弦定理得 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 16+36-28 2×4×6 = 1 2 ， ∴C=60° ， B 正确； 由正弦定理知外接圆直径为 2R= c sinC = 2 7 姨 sin π 3 = 4 21 姨 3 ， C 正确 ； 经计算可得 a 2 +b 2 = 1 2 c 2 +2CD 2 ， 即 CD 2 = 1 2 × 16+36- 1 2 ×2 2 2 8 =19 ， ∴CD= 19 姨 ， D 错误 . 13. 60° 20 3 姨 【解析】 如 图 ， O -. Ｂ表示风的矢量速度 ， O -. C 表示救生艇的矢量速度， O -. A表示 水的矢量速度， 易知 ∠AOB=60° ， 则 ∠OBC=120° . 由余弦定 理 知 OC 2 =20 2 +20 2 -800cos120°=1 200 ， 故 OC=20 3 姨 km ， 即救 生艇在洪水中漂行的速度的大小为 20 3 姨 km/h ， 方向为北 偏东 60°. 14. （ a-c ）（ b-c ） 姨 【解析】 过点 C 作 CD⊥AB ， 交 AB 的延长线于点 D ， 如图所示： 则 AB=a-b ， AD=a-c. 设 ∠BCD= α ， ∠ACB=β ， CD=x ， 在 △BCD 中 ， tanα= BD CD = b-c x ， 在 △ACD 中 ， tan （ α+β ） = AD CD = a-c x ， ∴tanβ=tan （（ α+β ） -α ） = a-c x - b-c x 1+ a-c x · b-c x = a-b x+ （ a-c ）（ b-c ） x ≤ a-b 2 x · （ a-c ）（ b-c ） x 姨 = a-b 2 （ a-c ）（ b-c ） 姨 ， 当 且 仅 当 x = （ a-c ）（ b-c ） x ， 即 x = （ a-c ）（ b-c ） 姨 时取等号， ∴tanβ 取最大值时， ∠ACB=β 最 大， ∴ 当离此树的水平距离为 （a-c ）（ b-c ） 姨 m 时看 A ， B 的视角最大 . 15. 解： （ 1 ） 设此山的高度为 h km ， 则 AC= h tan30° km ， 在 △ABC 中， ∠ABC=120° ， ∠BCA=60°-45°=15° ， AB=4 km. 根据正弦定理得 AC sin∠ABC = AB sin∠BCA ， 即 h sin120° · tan30° = 4 sin15 ° ， 解得 h=2 （ 6 姨 + 2 姨 ） km . ∴ 此山的高度为 A B C D 第 10 题答图 O A B C 北 第 13 题答图 第 14 题答图 A B CD 45°30° A B C D 第 9 题答图 38 参考答案 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 学习手册 变式训练 1. C 2. B 3. -2 4. -2 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. 5 2 4 5. 2 练习手册 1. B 【 解 析 】 ∵ 复 数 （ m 2 -2m ） +mi 是 纯 虚 数 ， ∴ m 2 -2m=0 ， m≠0 0 ， 解得 m=2. 故选 B. 2. A 【解析】 若 a=b=0 ， 则 （ a-b ） + （ a+b ） i 是 0 ， 为实 数， 即 ① 错误； ② 复数分为实数和虚数， 而任意实数都可 以比较大小， 虚数是不可以比较大小的， 即 ② 错误； ③ 若 z 1 =1-i ， z 2 =1+i ， 则 z 2 1 +z 2 2 =-2i+2i=0 ， 但 z 1 ≠z 2 ， 即 ③ 错 . 故 选 A. 3. D 【解析】 z=6i+2i 2 =-2+6i ， 则 z 的虚部为 6 ， 故选 D. 4. B 【解析 】 由题意 ， 知 n 2 + （ m+2i ） n+2+2i=0 ， 即 n 2 + mn+2+ （ 2n+2 ） i=0 ， ∴ n 2 +mn+2=0 ， 2n+2=0 0 ， 解得 m=3 ， n=-1 0 ， ∴z=3-i. 5. {0} 【解析】 ∵z 1 ＞z 2 ， ∴ 2a 2 +3a=0 ， a 2 +a=0 ， -4a+1>2a a % % % $ % % % & ， ∴a=0 ， 所求 a 的 取值集合为 {0}． 6. m=2 m=0 【解析】 复数 z=m+ （ m-2 ） i ， ∴ 当 m-2=0 ， 即 m=2 时， 复数为实数； 当 m-2≠0 ， 且 m=0 时， 即 m=0 时， 复数为纯虚数 ． 7. 3-3i 【解析 】 3i- 2 姨 的虚部为 3 ， 3i 2 + 2 姨 i=-3+ 2 姨 i 的实部为 -3 ， ∴ 所求的复数是 3-3i. 8. 解： 设 x=a 为方程的一个实数根， 则有 a 2 + （ 1-2i ） a+ （ 3m-i ） =0 ， 即（ a 2 +a+3m ） - （ 2a+1 ） i=0 ， ∵a ， m∈R ， 由复数相 等的充要条件， 得 a 2 +a+3m=0 ， 2a+1=0 0 ， 解得 m= 1 12 ， a=- 1 2 2 % % % % $ % % % % & . 故实数 m 的 值为 1 12 . 9. 解 ： （ 1 ） ∵z 1 ， z 2 ∈R ， ∴ t 2 -1=0 ， 2cos兹+1=0 0 ， 解得 t=±1 ， cos兹=- 1 2 ， ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴z 2 =sin兹= 1-cos 2 兹 姨 = 3 姨 2 ， 当 t=-1 时， z 1 <z 2 ， 不符合条件； 当 t=1 时， 满足 z 1 >z 2 . 综上所述， t=1. （ 2 ） 若 z 1 =z 2 ， 则 t=sin兹 ， t 2 -1=2cos兹+1 0 ， ∴sin 2 兹-1=2cos兹+1 ， 即 -cos 2 兹=2cos兹+1 ， ∴cos 2 兹+2cos兹+1=0 ， 即 （ cos兹+1 ） 2 =0 ， 解得 cos兹=-1. 又 ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴兹=π. 10. D 【解析 】 由 z 1 =z 2 ， 可知 sin2兹=cos兹 ， cos兹= 3 姨 sin兹 0 ， ∴cos兹= 3 姨 2 ， sin兹= 1 2 . ∴兹= π 6 +2kπ ， k∈Z ， 故选 D. 11. ± π 2 0 【解析 】 z=cos π 2 + + + 兹 +sin π 2 + + + 兹 i=-sin兹+ icos兹 ， 当 z 是实数时， cos兹=0 ， ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=± π 2 ； 当 z 为纯虚数时 -sin兹=0 ， cos兹≠0 0 ， 又 ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=0. 12. 解 ： 由于 z 1 <z 2 ， m∈R ， 所以 z 1 ∈R 且 z 2 ∈R ， 当 z 1 ∈R 时， m 2 +m-2=0 ， m=1 或 m=-2. 当 z 2 ∈R 时， m 2 -5m+ 4=0 ， m=1 或 m=4 ， ∴ 当 m=1 时 ， z 1 =2 ， z 2 =6 ， 满足 z 1 <z 2 . ∴z 1 <z 2 时， 实数 m 的取值为 m=1. 13. 解： 由题意知， x 2 +x+3m- （ 2x+1 ） i>0 ， 故 2x+1=0 ， x 2 +x+3m>0 0 ， 解得 x=- 1 2 ， m> 1 12 2 % % % % $ % % % % & . ∴ 实数 m 的取值范围为 m> 1 12 . 2 （ 6 姨 + 2 姨 ） km. （ 2 ） 由题意可知， 当点 C 到公路的距离最小时， 仰望 山顶 D 的仰角达到最大， 所以过点 C 作 CE⊥AB ， 垂足为 E ， 连接 DE ， 则 ∠DEC=兹 ， CE=AC · sin45° ， DC=AC · tan30° ， ∴tan兹= DC CE = 6 姨 3 . D E A B C 第 15 题答图 39