第28讲 二次函数（上海考点练）（二类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第28讲 二次函数（上海考点练）（九大题型） 学习目标 1、 掌握常考考点； 2、熟悉二次函数有关的一些专业术语。 1. 掌握上海常考考点或题型； 2. 学会上海描述二次函数的一些专业术语（如沿着x轴的正方向看，如果某抛物线在y轴左侧的部分是上升的；教材顶点式的深刻理解等） 【即学即练1】（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 【即学即练2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 【即学即练3】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 4．（2023·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，那么点在第 象限． 【即学即练5】（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【即学即练6】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 题型1：概念综合 【典例1】．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）二次函数的截距是 ． 【典例2】．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2024·上海杨浦·一模）写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【典例4】．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【典例5】．（2024·上海青浦·二模）如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【典例6】．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 题型2：二次函数的平移 【典例7】．（2024·上海杨浦·三模）如果函数的图像向左平移2个单位后经过原点，那么 ． 【典例8】．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（    ） A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【典例9】．（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【典例10】．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 题型3：二次函数的图像与性质 【典例11】．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 【典例12】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“>”、“<”或“=”） 【典例13】．（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【典例14】．（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 题型4：求参数范围 【典例15】．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【典例16】．（2024·上海·模拟预测）已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【典例17】．（2024·上海徐汇·二模）如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【典例18】．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ． 题型5：坐标轴的交点坐标 【典例19】．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【典例20】．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 题型6：实际应用 【典例21】．（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【典例22】．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 题型7：二次函数的图像与参数符号的判断 【典例23】．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例24】．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例25】．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【典例26】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8：新定义题 【典例27】．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【典例28】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 题型9：解答综合题 【典例29】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【典例30】．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式．      一、单选题 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 4．（23-24九年级上·上海松江·期末）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 5．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 9．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 12．（2024·上海杨浦·一模）写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 13．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 14．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 15．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如果点和点都在抛物线的图像上，那么 ． 16．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是： ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是： ． 18．（21-22八年级下·上海·期末）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 三、解答题 19．（2023·上海虹口·一模）画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． x … 0 2 4 5 … y … 　　　　　 4 　　　 … 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 23．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 24．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 25．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28讲 二次函数（上海考点练）（九大题型） 学习目标 1、 掌握常考考点； 2、熟悉二次函数有关的一些专业术语。 1. 掌握上海常考考点或题型； 2. 学会上海描述二次函数的一些专业术语（如沿着x轴的正方向看，如果某抛物线在y轴左侧的部分是上升的；教材顶点式的深刻理解等） 【即学即练1】（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 【答案】，答案不唯一 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，由此可以确定函数解析式不唯一． 【解析】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴符合条件的函数有，答案不唯一． 答案为：，答案不唯一． 【即学即练2】（23-24九年级上·上海宝山·期末）如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法． 【解析】解：二次函数的对称轴为直线，， ∴距离对称轴越远的点，函数值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 【即学即练3】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据对称轴的右侧部分上升即可得到答案． 【解析】解：对称轴的右侧部分上升， 故函数图像在对称轴的右侧单调递增， 它的开口方向是向上． 故答案为：向上． 【即学即练4】（2023·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限． 【解析】解：由抛物线的图象得，，， ， 在第二象限． 故答案为：二． 【即学即练5】（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【解析】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 【即学即练6】（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴． ∴的取值范围是：． 故答案为：． 题型1：概念综合 【典例1】．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）二次函数的截距是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的截距，理解截距的定义是解题关键． 【解析】解：， 当时，， ∴截距为， 故答案为：． 【典例2】．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【解析】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 【典例3】．（2024·上海杨浦·一模）写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 【解析】依题意得，开口向下，经过点， ∴抛物线的表达式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【典例4】．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数的对称轴为直线即可解答． 【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例5】．（2024·上海青浦·二模）如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【解析】将抛物线向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是． 故答案为：． 【典例6】．（23-24九年级上·上海松江·期末）如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ． 【答案】，答案不唯一 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数． 由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，由此可以确定函数解析式不唯一． 【解析】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的， ∴这个二次函数的二次项系数为正数， ∴符合条件的函数有，答案不唯一． 答案为：，答案不唯一． 题型2：二次函数的平移 【典例7】．（2024·上海杨浦·三模）如果函数的图像向左平移2个单位后经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【解析】把函数的图像向左平移2个单位后得， 平移后的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为：； 【典例8】．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（    ） A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移变换，根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可解答．将图像的平移转化成顶点的平移是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴顶点由到需要向右平移1个单位再向下平移3个单位． 故选：D． 【典例9】．（23-24九年级上·上海松江·期末）在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减求解即可． 【解析】解：将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是， 故答案为：． 【典例10】．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【解析】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 题型3：二次函数的图像与性质 【典例11】．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”） 【答案】向上 【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据对称轴的右侧部分上升即可得到答案． 【解析】解：对称轴的右侧部分上升， 故函数图像在对称轴的右侧单调递增， 它的开口方向是向上． 故答案为：向上． 【典例12】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知点和在二次函数图像上，则 0．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【解析】解：， 图象的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， ， 故答案为． 【典例13】．（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解析】解：∵抛物线， ∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 故选：D． 【典例14】．（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【解析】解： ， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，故A，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大， ∴该抛物线与轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意； 故选：C 题型4：求参数范围 【典例15】．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解． 【解析】解：，又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升； 二次函数的图像的一部分是下降的， ， 故答案为：． 【典例16】．（2024·上海·模拟预测）已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可． 【解析】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上， 如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动， 当对称轴在点A左侧时，， 把代入得， 解得或 (舍去)， 时，抛物线与线段没有交点， 当对称轴在点A右侧时，， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为， 联立，得：， 抛物线与线段没有交点， ， ， 综上，当或，抛物线与线段没有交点， 故答案为：或． 【典例17】．（2024·上海徐汇·二模）如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解． 【解析】解：，又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升； 二次函数的图像的一部分是上升的， ， 故答案为：． 【典例18】．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质；根据抛物线的开口向上，得到，计算即可． 【解析】∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 题型5：坐标轴的交点坐标 【典例19】．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可． 【解析】解： 当时，， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 【典例20】．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知抛物线经过点，其对称轴为直线，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解即可，解题的关键是正确理解二次函数的图象及性质． 【解析】∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴抛物线一定经过另一点的坐标是， 故答案为：． 题型6：实际应用 【典例21】．（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 【解析】解：根据题意可得，， 故答案为：． 【典例22】．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【解析】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 题型7：二次函数的图像与参数符号的判断 【典例23】．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【解析】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 【典例24】．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据二次函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴判断出b的符号，再由一次函数的性质解答． 【解析】解：根据二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【典例25】．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【解析】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【典例26】．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知即可判定①、抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，可判定，则可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值大于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确． ∵抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴， ∴，， ∴， ∴，故②错误， 当时，， 即，故③错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确， 综上①④正确， 故选：B． 题型8：新定义题 【典例27】．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【解析】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 【典例28】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线的表达式，然后利用公式求出顶点坐标和对称点坐标，根据四边形是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解． 【解析】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 题型9：解答综合题 【典例29】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【典例30】．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线表达式为，直线的表达式为 (2)新抛物线的表达式或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）设直线与轴交于点，求出，设点的坐标为，则点的坐标为，分当点在线段上时，当点在延长线上时两种情况讨论即可； 本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）∵抛物线顶点为坐标原点O， ∴，， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴新拋物线的表达式， 当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接， 如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（正值不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． ∴新抛物线的表达式．      一、单选题 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【解析】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A．，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B．，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； C．，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； D．，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可． 【解析】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线， 故选A． 4．（23-24九年级上·上海松江·期末）关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系； 由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【解析】， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的， 把代入得 ∴抛物线经过， 故选：C． 5．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【解析】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 6．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【解析】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 二、填空题 7．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可． 【解析】解：把，代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）二次函数图像的最高点的横坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【解析】解：， 二次函数图像的最高点的横坐标是， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴． ∴的取值范围是：． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知抛物线的最高点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，把代入即可求出的值，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 【解析】解：把代入得，, ∴， 故答案为：． 12．（2024·上海杨浦·一模）写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 【解析】依题意得，开口向下，经过点， ∴抛物线的表达式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 13．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∵开口向上， ∴对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的， ∴． 故答案为：． 15．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如果点和点都在抛物线的图像上，那么 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求解即可． 【解析】∵抛物线, ∴对称轴为， ∵点和点都在抛物线的图像上，纵坐标相同， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解答本题的关键． 16．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）为了研究抛物线与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现与的位置特征，你的发现是： ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是： ． 【答案】 顶点关于原点对称 顶点的横纵坐标都互为相反数 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意画出相应的图象，得出顶点关于原点对称；分别求得抛物线和的顶点坐标，据此即可求解． 【解析】解：取时，则抛物线与； 取，时，则抛物线与； 观察图象，发现与的位置特征是：抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称； 抛物线的顶点坐标为， 的顶点坐标为，即， ∴顶点关于原点对称，理由是：顶点的横纵坐标都互为相反数． 故答案为：顶点关于原点对称；顶点的横纵坐标都互为相反数． 18．（21-22八年级下·上海·期末）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【解析】由题意得：A(m，h)，且， 上式中令x=0，得， ∴． ∵点A在直线上， ∴， 即，， ∵点B、点C关于x轴的对称， 则． ①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线， ∴OA=OB， ∵，， 则， 由于m≠0， 解得：或， 所以点A的坐标为或； ②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同， 即， ∴，m=0（舍去）， 所以点A的坐标为； 综上所述，点A的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏． 三、解答题 19．（2023·上海虹口·一模）画二次函数的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表格，并求该二次函数的解析式． x … 0 2 4 5 … y … 　　　　　 4 　　　 … 【答案】见解析， 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解决问题的关键．由表格中的对应值得当时，，当时，，然后将其代入二次函数中求出a，b的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当时，时对应的y的值即可． 【解析】解：由表格中的对应值可知：当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当时，，当时，， 填表如下： x … 0 2 4 5 … y … 0 4 0 … 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【解析】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 22．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为；顶点坐标为； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可得． 【解析】（1）解：抛物线经过点，， ， ， 抛物线表达式为； ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 与该抛物线的对称轴交于点，抛物线的对称轴为直线， 当时，． ． 23．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【解析】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 24．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【解析】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 25．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【解析】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $$