第26讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质(第1课时)（四类知识点+七大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第26讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(第1课时)（七大题型） 学习目标 1、 学会二次函数一般式与顶点式的相互联系； 2、知道二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质； 3、掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与性质的应用。 一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即学即练1】用配方法将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【即学即练3】二次函数的截距是 ． 【即学即练4】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是 ． 题型1：根据图像总结图像特点与性质 【典例1】．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 【典例2】．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 【典例3】．已知二次函数． （1）将其化成的形式； （2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； （3）求图象与两坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象； （5）说明其图象与抛物线的关系； （6）当x取何值时，y随x增大而减小； （7）x取何值时，； （8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？ （9）时，y的取值范围； （10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积． 【典例4】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【典例5】．如图，二次函数的图象经，，三点．    (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？ 【典例6】．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 题型2：二次函数一般式配方化成顶点式 【典例7】．将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【典例8】．把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 题型3：二次函数的平移 【典例9】．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（    ） A．B． C． D． 【典例10】．将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为 ． 【典例11】．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 【典例12】．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为 ． 【典例13】．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 【典例14】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 题型3：图像与性质综合 【典例15】．下列二次函数图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【典例16】．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【典例17】．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【典例18】．已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3 C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3 【典例19】．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，下列说法正确的是（   ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C． 时，y的值随x值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【典例20】．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（    ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．的最大值为 【典例21】．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下 题型4：求二次函数的解析式、对称轴等 【典例22】．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【典例23】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 【典例24】．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ． 【典例25】．已知二次函数，则该二次函数的对称轴为 . 题型5：二次函数的大致图像 【典例26】．二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【典例27】．已知二次函数如图所示，那么的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【典例28】．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型6：二次函数的图像与参数符号；性质及求参数范围 【典例29】．已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例30】．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例31】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【典例32】．已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例33】．已知抛物线过四点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例34】．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例35】．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 题型7：二次函数的综合应用 【典例36】．已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 【典例37】．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【典例38】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【典例39】．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（    ） A．若，则抛物线的函数表达式为： B． C．不等式的解集是 D．对于函数，当时，随的增大而减小 一、单选题 1．把二次函数用配方法化成的形式（  ） A． B．C． D． 2．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（    ） A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 3．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当时，y有最大值-3 C．图象的对称轴是直线 D．图象与x轴有两个交点 5．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 8．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为．命题1：如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；命题2：如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上．下列说法中，正确的是（    ） A．命题1是真命题，命题2也是真命题 B．命题1是真命题，命题2是假命题 C．命题1是假命题，命题2是真命题 D．命题1是假命题，命题2也是假命题 二、填空题 11．二次函数的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ． 12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ． 13．已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是 （用“<”连接）． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为 . 15．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为 ． 16．函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是 , 最大值是 . 17．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 18．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论： ①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号） 三、解答题 19．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．已知二次函数的图像经过、，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果点和点在函数图像上，那么当时，请直接写出与的大小关系：_____． 21．已知一个二次函数的图像经过三点 （1）求这个二次函数的解析式． （2）求tan∠BAC的值. 22．已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)． (1)求三点的坐标； (2)当取何值时，随着的增大而减小? 23．已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标． （2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由． 24．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，． （1）求的值； （2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标． 25．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(第1课时)（七大题型） 学习目标 1、 学会二次函数一般式与顶点式的相互联系； 2、知道二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质； 3、掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与性质的应用。 一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点： 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 四、求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 要点： 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 【即学即练1】用配方法将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了运用配方法将二次函数一般式化为顶点式，根据题意，将化为顶点式进行比较即可求解． 【解析】解：根据题意，， 故选：A ． 【即学即练2】二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【解析】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数图象的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 【即学即练3】二次函数的截距是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的截距，理解截距的定义是解题关键． 【解析】解：， 当时，， ∴截距为， 故答案为：． 【即学即练4】将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【解析】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即， 故选D 【即学即练5】已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案． 【解析】解：的对称轴为，函数图像开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大 ∵ ∴ 故选：A ． 【即学即练6】已知抛物线有最大值，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向下 【分析】根据二次函数的性质即可解答． 【解析】解：∵抛物线有最大值， ∴抛物线的其他值都是小于， ∴抛物线开口向下， 故答案为：向下． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型1：根据图像总结图像特点与性质 【典例1】．用描点法画出的图像 （1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … … （2）在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是 ； ②抛物线与轴交点坐标是 ； ③当x满足 时，y＜0； ④它的对称轴是 ； ⑤当 时，随的增大而减小 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1 【分析】（1）把对应的x值代入求出对应的y值填表即可； （2）根据表中的数值描点、连线即可； （3）根据画的图象回答问题即可． 【解析】解：（1）根据对称性列表： … -3 -2 -1 0 1 … … 0 -3 -4 -3 0 … （2）描点、连线，函数图像如图所示： （3）观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是（0，-3）； ②抛物线与轴交点坐标是（-3，0），（1，0）； ③当-3<x<1 时，y＜0； ④它的对称轴是直线x=-1； ⑤当x<-1时，随的增大而减小． 故答案为：①（0，-3）；②（-3，0），（1，0）；③-3<x<1 ④直线x=-1；⑤x<-1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法和二次函数图象的性质，解题关键是正确画出函数图象，利用数形结合思想准确解题． 【典例2】．求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）开口向上，x ＝ 1，（1， 3）；（2）开口向下，x ＝ 1，（1，－2）；（3）开口向上，x ＝ ，（ ， ）；（4）开口向下，x ＝ －1，（－1，1）；（5）开口向下，x ＝ 2，（2，0） 【解析】略 【典例3】．已知二次函数． （1）将其化成的形式； （2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； （3）求图象与两坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象； （5）说明其图象与抛物线的关系； （6）当x取何值时，y随x增大而减小； （7）x取何值时，； （8）当x取何值时，函数y有最值？并求出最值？ （9）时，y的取值范围； （10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积． 【答案】（1）；（2）开口向上，直线，顶点；（3）与x轴交点，与y轴交点；（4）见解析；（5）将抛物线向左平移1个单位，向下平移8个单位；得到的图象；（6）；（7）当或时，；当或时，；当时，；（8）时，；（9）；（10）． 【分析】（1）将函数表达式配方成顶点式形式即可； （2）由a值的正负可判断开口方向，顶点式可得出对称轴和顶点坐标； （3）分别让x=0，y=0可分别求出图像与y轴的交点坐标，和x轴的交点坐标； （4）可根据顶点坐标，图像与x、y轴交点坐标，对称轴方程画出函数图像的简图； （5）将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度即可得到y＝2(x＋1)2－8； （6）根据函数图像可判断函数的增减性； （7）根据函数图像可判x取何值时，； （8）根据函数图像可得当x取何值时，函数y有最值，以及最值的结果； （9）根据图像的开口方向及x的值离对称轴的远近即可求解； （10）根据图像可求线段长度，利用三角形面积公式即可求解． 【解析】解：（1）∵ = = = ∴化成的形式为； （2）由可得： 开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－8)； （3）由y=0得，，解得或， 由x=0得： ∴与x轴交点坐标为(－3，0)，(1，0)，与y轴交点坐标为(0，－6)； （4）由（1）（2）（3）可得函数简图如下： （5）将抛物线先向左平移1个单位，可得的图象，然后再向下平移8个单位得到的图像； （6）由图像可得： 当时，y随x增大而减小； （7）由图像可得： 当或时，， 当或时，， 当时，； （8）由图像可得： 当时，函数有最小值，且最小值为； （9）∵， ∴当时取得最小值为， 当时离对称轴最远，此时， ∴y的取值范围为； （10）由图可得，三角形底的长度为，高的长度为6， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质，熟练运用数形结合的思想． 【典例4】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【答案】（1）；（2）直线 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用对称轴公式求解即可． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；     ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5． （2）二次函数图象的对称轴为直线； 故二次函数的对称轴为：直线； 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式． 【典例5】．如图，二次函数的图象经，，三点．    (1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1)，，， (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的性质求解． 【解析】（1）解：由图可知：，，， 设抛物线解析式为， 根据题意得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质． 【典例6】．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【解析】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 题型2：二次函数一般式配方化成顶点式 【典例7】．将二次函数化成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 【解析】解：． 故选：A 【典例8】．把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【解析】． 故选：B． 题型3：二次函数的平移 【典例9】．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为，则平移前的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据题意可知将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即可得出答案． 【解析】平移前的抛物线的表达式为． 故答案为：A． 【典例10】．将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则：“左加右减，上加下减”解答即可． 【解析】解：抛物线向右平移1个单位后的解析式为，再向下平移3个单位得到抛物线解析式为， 故答案为：． 【典例11】．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【典例12】．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题关键．先将抛物线化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解析】解：， 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 【典例13】．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【解析】解：根据题意可知将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线， 原抛物线解析式为， 整理，得：，即， ∴． 故答案为：12． 【典例14】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【解析】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 题型3：图像与性质综合 【典例15】．下列二次函数图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故经过原点，符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 故选：． 【典例16】．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可． 【解析】解：由抛物线，可知： ，抛物线开口向上，因此A选项正确； 抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确； 当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确； 因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【典例17】．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【解析】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 【典例18】．已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3 C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质求解． 【解析】解：根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故选项A是错误的； 根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为，故选项B是正确的；选项D是错误的； 根据图象当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故选项C是错误的； 故选：B． 【典例19】．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，下列说法正确的是（   ） A． B．抛物线的对称轴为直线 C． 时，y的值随x值的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【分析】先利用交点式写出抛物线解析式，再把解析式化为一般式，从而可对选项进行判断；然后把一般式配成顶点式，从而根据二次函数的性质可对B、C、D选项进行判断．本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 【解析】解：抛物线与轴交于点和点， 抛物线解析式为， 即， ，所以A选项不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，所以B选项符合题意，C、D选项不符合题意． 故选：B． 【典例20】．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（    ） x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．的最大值为 【答案】C 【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断． 【解析】解：将点，，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴A选项不符合题意； ∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小， ∴B选项不符合题意； ∵当时，；当时，， 又∵抛物线的对称轴为， 当时，， 又∵， ∴当时，， ∴C选项符合题意； ∵抛物线的解析式为， ∴当时，抛物线取得最大值， ∴D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式． 【典例21】．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值，即可求解． 【解析】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线， ∴顶点为， ∵数据从到1对应的y值不断减小， ∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，函数有最小值， 故选项A，B，D都错误． 故选：C． 题型4：求二次函数的解析式、对称轴等 【典例22】．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答． 【解析】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的； C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的； D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的； 故选：B 【典例23】．将抛物线绕它的顶点旋转180°后的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解题的关键． 将函数图象绕其顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【解析】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线绕顶点旋转180°后的图象的表达式为． 故选：B． 【典例24】．方程的两根为和，那么抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程，由条件可求得抛物线与轴的两个交点的横坐标，再利用对称性可求得抛物线线的对称轴，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】方程的两根为和， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∴抛物线对称轴， 故答案为：． 【典例25】．已知二次函数，则该二次函数的对称轴为 . 【答案】直线x=1 【分析】根据二次函数的性质解答即可. 【解析】∵二次函数， ∴二次函数与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)， ∴二次函数的对称轴为直线x=,. 故答案为直线x=1 【点睛】本题考查了二次函数的性质，交点式方程y=a（x-x1）（x-x2）与x轴的交点坐标是（x1,0），（x2,0），这时抛物线的对称轴是直线： . 题型5：二次函数的大致图像 【典例26】．二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像，根据解析式得到顶点，与y轴的交点判断即可得到答案； 【解析】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时， ， ∴抛物线过点， 故选：A． 【典例27】．已知二次函数如图所示，那么的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知二次函数的图象，得出，进而判断的图象，即可求解． 【解析】解：二次函数的图象，开口向下，对称轴在轴左侧，则， ∴， ∴ 则的图象，开口向上，对称轴为直线，与轴交于点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【典例28】．二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【解析】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 题型6：二次函数的图像与参数符号；性质及求参数范围 【典例29】．已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．表示出顶点坐标，判断横纵坐标的符号即可解答． 【解析】解：抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的顶点在第三象限． 故选：C． 【典例30】．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【解析】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 【典例31】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【解析】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 【典例32】．已知二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案． 【解析】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，顶点为，对称轴为直线， ∵二次函数的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D． 【典例33】．已知抛物线过四点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【解析】解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 故选：A 【典例34】．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【解析】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【典例35】．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解析】解：由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x＝＞0， ∴a、b异号，即b＞0． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数一般形式y=ax2+bx+c中各系数的意义，掌握a，b，c意义是解题关键. 题型7：二次函数的综合应用 【典例36】．已知抛物线C：． (1)直接写出该抛物线关于x轴对称的抛物线C1的解析式． (2)将抛物线平移至，使其经过点，且顶点在轴上，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用原抛物线上的关于轴对称的点的特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答； （2）由题意知平移后的解析式为：，即可求得抛物线解析式． 【解析】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为，与 轴交点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴顶点坐标是，且与轴交点． 设的解析式为，把代入，解得：， ∴的解析式为， 即； （2）要使顶点在轴上，则平移后的解析式为：， ∵经过点， ∵， 解得∶ ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典例37】．已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据顶点式可直接得出答案； （3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解析】（1）解：由抛物线经过，两个点， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴顶点为， 故答案为：； （3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线， 故答案为：． 【典例38】．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解析】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 【典例39】．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（    ） A．若，则抛物线的函数表达式为： B． C．不等式的解集是 D．对于函数，当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】利用平移规律求出将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为．当n=2即可直接求出的解析式，即可判断A；对于，令，即，解出x，即可知点C、D坐标，即可求出CD的长，即可判断B；，即，解出不等式即可判断C；由的解析式为，可知其对称轴为，根据抛物线开口向下，即可知当时，y随x的增大而减小，即可判断D． 【解析】将改为顶点式为．则将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为． 当n=2时，抛物线的解析式为， 整理得：，故A正确，不符合题意； 对于，令，即， 解得：． 即C(，0)、D(，0)， ∴．故B正确，不符合题意； ，即， ∴ ∴ ∴，故C正确，不符合题意； ∵的解析式为， ∴其对称轴为， ∵该抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小．故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象和性质．掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 一、单选题 1．把二次函数用配方法化成的形式（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤换成顶点式即可． 【解析】． 故选C． 【点睛】本题考查顶点式的转换,关键在于熟练掌握配方法． 2．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（    ） A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】把二次函数化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数的图象平移而得到． 【解析】解：根据题意y＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2−1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 故选：B． 【点睛】此题不仅考查了二次函数图像的平移规律，关键是把二次函数的一般式转化顶点式． 3．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【解析】解：∵， ∴对称轴是直线x＝﹣2，开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， 比较可知，B（，）离对称轴最近，C（，）离对称轴最远， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当时，y有最大值-3 C．图象的对称轴是直线 D．图象与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【解析】解：， ，开口向下，顶点， 当时，有最大值， 图象与轴没交点， 对称轴是直线， 当时，随的增大而增大． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是由二次函数的顶点式得到函数的性质． 5．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求出由抛物线与抛物线的对称轴，根据关于直线对称列出关于m的方程求出m，再找到抛物线与y轴的交点，由点关于直线对称的点，把代入抛物线，故可求出n的值． 【解析】由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线， ∵抛物线：与抛物线：关于直线对称， ∴，解得. ∵点关于直线对称的点，在抛物线：上， ∴把点代入得， 解得， 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数对称性的应用． 6．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【解析】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 7．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可． 【解析】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 8．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大即可得出结论． 【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为和 ∴抛物线的对称轴为：， ∵点，在抛物线上，且， ∴点比点到直线的距离要大， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解析】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0， 因为对称轴在y轴右侧，对称轴为＞0， 而a＜0，所以b＞0， 由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，可知c＞0，故abc＜0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等，所以当x=-1时y<0，即a-b+c<0，故②正确； 由图象可知：对称轴=1，对任意实数都有，即，故③正确； ④由图象可知：对称轴=1，即b=-2a，a-b+c<0，所以，即，故④正确． 综上可得：②③④正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）． 10．已知抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为．命题1：如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；命题2：如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上．下列说法中，正确的是（    ） A．命题1是真命题，命题2也是真命题 B．命题1是真命题，命题2是假命题 C．命题1是假命题，命题2是真命题 D．命题1是假命题，命题2也是假命题 【答案】A 【分析】根据题意可知抛物线M、抛物线N开口方向相反，对称轴互为相反数，据此判断即可；根据二次函数的性质的抛物线M、抛物线N的关系是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为． ∴抛物线M、抛物线N开口方向相反，对称轴互为相反数； ∴如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；原说法是真命题； 如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上；即原说法是真命题． 故选A 二、填空题 11．二次函数的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ． 【答案】 向上 直线x=-1 （-1，-1） 【分析】把题目中给的二次函数的一般式化为顶点式，然后根据顶点式性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解析】解：， ∵，∴开口向上， 对称轴：直线， 顶点坐标：． 故答案是：向上；直线；． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是化一般式为顶点式，然后写出函数的性质． 12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ． 【答案】 3或1/1或3 2 【分析】（1）先求出平移后的解析式，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可； （2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可． 【解析】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位， ∴， ∵平移后的二次函数图象经过点， ∴， 解得， 故答案为3或1； （2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点， ∴， ∴与y轴交点的纵坐标最大值为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键． 13．已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】y3<y2<y1 【解析】二次函数y==x2-7x+，其对称轴为直线x=-=-7， ∵a=＜0， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小， 又∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧， ∴y3<y2<y1． 故答案为y3<y2<y1． 14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为 . 【答案】或/或 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【解析】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为 ． 【答案】（3，4） 【分析】y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=-1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）． 【解析】解：∵抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m， ∴y=m（x2-2x-3）+x+1， 抛物线过定点说明在这一点y与m无关， 显然当x2-2x-3=0时，y与m无关， 解得：x=3或x=-1， 当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）； 当x=-1时，y=0，定点坐标为（-1，0）， ∵P不在坐标轴上， ∴P（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，根据函数过定点得到y与m无关是解题的关键． 16．函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是 , 最大值是 . 【答案】 -1 24 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性即可得出答案. 【解析】根据题意得：抛物线的对称轴为x==2, ∵a=1＞0，抛物线开口向上； ∴当－3≤x≤2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时，y有最小值y=4－8+3=﹣1； 当x=﹣3时，y有最大值y=9+12+3=24. 故答案为﹣1；24. 17．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接BC交OA于D，根据菱形的性质得，得到，，设，则，得到，把代入算出（舍去），，则，，得到，，根据菱形的面积公式即可得出答案． 【解析】连接BC交OA于D，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，，，BC平分， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ 把代入得： 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握性质和特征是本题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论： ①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④． 【解析】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确； ②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确； ③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③正确； ④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误； 综上所述，正确的为①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 三、解答题 19．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9），画图见解析；（2）抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10），画图见解析；（3）抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），画图见解析；（4）抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3），画图见解析． 【分析】（1）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可； （2）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可； （3）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可； （4）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可． 【解析】解：（1）∵抛物线解析式为 ∴a＝－3，b＝12，c＝－3， ∴－＝－＝2，＝＝9， ∴抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9）， 函数图像如下所示： （2）∵抛物线解析式为：， ∴a＝4，b＝－24，c＝26， ∴－＝－＝3，＝＝－10， ∴抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10）， 函数图像如下所示： （3）∵抛物线解析式为：， ∴a＝2，b＝8，c＝－6， ∴－＝－＝－2，＝＝－14， ∴抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），函数图像如下所示： （4）∵抛物线解析式为：， ∴a＝，b＝－2，c＝－1， ∴－＝－＝2，＝＝－3， ∴抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3）， 函数图像如下所示： 【点睛】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．已知二次函数的图像经过、，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果点和点在函数图像上，那么当时，请直接写出与的大小关系：_____． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将三个点坐标代入二次函数解析式，可求出a、b、c的值，即可得到答案； （2）根据（1）求出的二次函数解析式，确定开口方向、对称轴，增减性，即可判断、大小． 【解析】（1）将、，代入中得： ， 解得：， 二次函数解析式为：； （2）由题可知：， 二次函数开口向下， 对称轴为直线， 当时，图像y随x的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键． 21．已知一个二次函数的图像经过三点 （1）求这个二次函数的解析式． （2）求tan∠BAC的值. 【答案】（1）y＝x2−4x＋3；（2）tan∠BAC＝ 【分析】（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法列式计算出a、b、c的值，从而得解； （2）过点C作CM⊥AB于点M，先求出点M的坐标，然后根据三角形函数的定义列式进行计算即可． 【解析】解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2−4x＋3； （2）如图，过点C作CM⊥AB于点M， ∴点M的坐标为（1，3）， ∴tan∠BAC＝． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，正确的画出图象是解题的关键． 22．已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)． (1)求三点的坐标； (2)当取何值时，随着的增大而减小? 【答案】(1)点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）； (2)当x＞2时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据题目中的二次函数解析式，可以求得该函数与x轴和y轴的交点坐标，从而可以写出A、B、C三点的坐标； （2）把二次函数化成顶点式，根据顶点式即可以写出当x取何值时，y随着x的增大而减小． 【解析】（1）解：∵二次函数， ∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝1， ∴当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）； （2）对于二次函数来说， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的顶点式和交点式、二次函数的增减性等知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 23．已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标． （2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由． 【答案】（1），；（2）相似，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线与坐标轴有交点，分别令解方程即可求得的坐标；（2）根据（1）的结论，求得的长，根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可． 【解析】（1）抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C， 令，解得， ， 令， 即， 解得， ； （2），理由如下， 如图， ，；， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定，根据题意求得的坐标是解题的关键． 24．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，． （1）求的值； （2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可； 【解析】解：（1）抛物线过点， ， ； （2）由得，， ， ， ， 当时，，无实数根； 当时， ， 或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 25．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【解析】（1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $$