第23讲 特殊二次函数的图像与性质(第1课时)（二类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第23讲 特殊二次函数的图像与性质(第1课时)（十大题型） 学习目标 1、会用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）； 2、知道二次函数y=ax2的图像特点； 3、掌握二次函数y=ax2的图像与性质及应用。 一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练1】抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标为原点，即可求解． 【解析】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：C 【即学即练2】下列抛物线，其顶点是抛物线的最低点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，抛物线有最低点，由，抛物线有最高点，从而可得答案． 【解析】解：的顶点坐标是抛物线的最高点，故A不符合题意； 的顶点坐标是抛物线的最高点，故B不符合题意； 的顶点坐标是抛物线的最高点，故C不符合题意； 的顶点坐标是抛物线的最低点，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点坐标及图象的最高点与最低点”是解本题的关键． 【即学即练3】关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．它的顶点坐标是 B．它的对称轴是轴 C．它的最大值是0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解析】图象的顶点坐标是，故选项A正确， 该函数图象关于轴对称，故选项B错误， 该函数图象开口向上，故存在最小值，故选项C错误， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 注：可准备适量网格试纸解题 题型1：画出二次函数y=ax2的图像，并总结图像特点及性质 【典例1】．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题： x … 0 1 … … … … … … … … … （1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______； （2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称； （3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点． 【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上  y轴    向下  y轴  ；（2）x；（3）≠  >  低 > 高． 【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像； （1）根据所画的与图像可得答案； （2）根据所画的与图像可得答案； （3）根据所画的与图像可得答案； 【解析】列表如下： x … 0 1 … … 4 0 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线连接，如图所示： （1）根据所画的函数与的图像可得： 抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是； 故答案为：向上  y轴   向下  y轴   （2）由图像可得： 抛物线与抛物线的图象关于轴对称； 故答案为：x． （3）由图像可得： 抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点． 故答案为：≠  >  低  >  高． 【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【典例2】．抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键． 根据的性质求解即可． 【解析】解：∵在中，， ∴抛物线的开口方向是向上． 故答案为：向上． 【典例3】．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【答案】 向下 【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 根据二次函数的性质即可得出结论． 【解析】解：， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，． 故答案为：向下，，． 【典例4】．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【解析】解：、由，，则它的开口向上，且关于轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、它与的图象关于x轴对称，原选项说法正确，不符合题意； 、由，，则它的开口向上，它的顶点是抛物线的最低点，原选项说法错误，符合题意； 、它与轴只有一个交点，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 题型2：自主画二次函数y=ax2的图像，辨析图像与性质 【典例5】．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【解析】解：A、∵，∴开口向下，故不符合题意； B、抛物线，对称轴是y轴，故不符合题意； C、时y随x增大而减小，故不符合题意； D、顶点坐标，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意． 故选：D． 【典例6】．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，根据正比例函数，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，二次函数，时，开口向上，在上，y随x的增大而减小，在上，y随x的增大而增大，时，开口向下，在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，解答即可． 【解析】解：A、正比例函数的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数的对称轴为，且开口向上，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数的对称轴为，且开口向下，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 【典例7】．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【解析】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 【典例8】．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐选项判断即可． 【解析】解： ， 时，y的值随x值得增大而增大；A不正确； 当时，y有最大值，最大值为0，B正确； 当时，y的值随x值得增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小，C不正确；D不正确； 故选：B． 【典例9】．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【解析】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 题型3：抛物线开口方向确定参数；反之 【典例10】．若抛物线开口向下，请写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，是开放型题目，答案不唯一．掌握抛物线开口朝下，可知解析式的二次项系数小于是解答本题的关键．根据抛物线开口朝下，可知解析式的二次项系数小于，据此作答即可． 【解析】解：开口向下 即可以为小于的所有实数， 即可以为： 故答案为：（答案不唯一） 【典例11】．已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【解析】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【典例12】．二次函数的图象开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可． 【解析】∵为二次函数， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下． 故答案为：下． 【典例13】．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与和有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【解析】解：∵①②开口向上，则， ∵②的开口最宽， ∴是②，是①， ∵③④开口向下，则， ∵④的开口最宽， ∴是④，是③， 综上，依次②①④③， 故选：B． 【典例14】．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小. 【解析】解：如图，因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次， 所以. 【典例15】．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【解析】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 【典例16】．①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可． 【解析】解：根据题意，则 ∵， ∴抛物线开口从大到小的排列顺序是④②①③， 故答案为：④②③①． 【典例17】．函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ． 【答案】 向上 直线 最低 小 增大 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【解析】解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线，图象有最低点，函数有最小值，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：向上，，直线，最低，小，增大． 题型5：根据二次函数y=ax2的性质比较大小 【典例18】．如图，若抛物线的图像经过点，，，则，，的大小关系是： ． 【答案】/ 【分析】将A、B、C三点坐标分别代入抛物线解析式，即得出，，．再根据，即可判断． 【解析】分别将点，，代入抛物线， 得：，，． ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征．掌握二次函数图像上点的坐标满足其解析式是解题关键． 【典例19】．已知点，都在函数的图象上，则 （填“”，“”或“” ）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可直接进行求解． 【解析】解：， 抛物线开口向下，对称轴为轴， ， 点到轴距离小于点到轴距离， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典例20】．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【解析】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【典例21】．已知抛物线经过、、三点，则、、的大小关系是 （用“＜”连接） 【答案】 【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出、、的值，比较大小即可． 【解析】解：过、、三点， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 题型6：参数问题综合 【典例22】．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答． 【解析】解：二次函数的对称轴为轴，且图象经过， 该图象必经过点， 故选：A． 【典例23】．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1)它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点 (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）把代入，求出a的值，即可解答． （2）把代入表达式，求出函数值，判断是否等于，即可解答． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴此抛物线对应的函数解析式为． ∴它的开口向下，图象位于轴的两侧，轴的下方，顶点为原点； （2）解：把代入得，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数，顶点为原点，当时，开口向下，反之开口向上． 【典例24】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 【解析】（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【典例25】．二次函数与的图像关于 对称． 【答案】轴 【分析】本题考查了二次函数的图像．解题的关键是找出函数图像开口、对称轴与顶点坐标．本题根据二次函数与二次函数的图像回答即可． 【解析】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴是轴，顶点为， 二次函数的图像开口向下，对称轴是轴，顶点为， ∴二次函数与的图像关于轴对称． 故答案为：轴． 【典例26】．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1 【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【解析】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2； (2)由题意得，3a-2＜0，解得； (3)由题意得，，解得，； (4)由题意得，， 解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0， ∴a＝1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值. 【典例27】．二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 【解析】图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 题型7：与一次函数结合根据参数判断图像 【典例28】．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【解析】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 【典例29】．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题． 【解析】解：当a＞0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限， 当a＜0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限， 故选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型8：与一次函数结合综合解答题 【典例30】．已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【解析】（1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 【典例31】．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【解析】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 【典例32】．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可． （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论． 【解析】（1）把点A（-4，8）代入，得： ∴； 把点A（-4，8）代入，得： ∴； （2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N． ∵直线AB的解析式为y=-x+6， 令x=0，则y=6 ∴C（0，6）， ∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°， ∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°， ∴∠ACM=∠CDN， ∵CA=CD， ∴△AMC≌△CND（SAS）， ∴CN=AM=4，DN=CM=2， ∴D（-2，2）， 当x=-2时，y=×22=2， ∴点D在抛物线y=x2上． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型9：二次函数y=ax2的几何应用 【典例33】．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【解析】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 【典例34】．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可． 【解析】解：连接交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入， 得， 解得（舍去），， ，， ∴，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 题型10：二次函数y=ax2的代数应用 【典例35】．抛物线的共同性质是（   ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值；根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题． 【解析】解：抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是轴，顶点坐标为； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为； 故选：D． 【典例36】．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据二次函数解析式可得二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，由此求解即可． 【解析】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 【典例37】．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】先把代入二次函数图象图象上，求出，再将化简，然后代入即可求出结论． 【解析】∵点在函数图象上， ∴， 由， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【典例38】．已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围． 【解析】解：因为为抛物线上任意两点， 所以、， 代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，且， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意列出关于a的不等式是解题的关键． 一、单选题 1．关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．利用二次函数的性质对各选项进行判断即可． 【解析】解：， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 顶点为原点，关于轴对称，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， A、B、C选项错误，不符合题意， 无论x取何值，， D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【解析】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图， A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意； B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意； C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可． 【解析】解：根据题意，是二次函数， ， 解得：， 函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口方向向下， ， ，即， 当时，，故不在其图象上，在其图像上， 当时，，当时，，故，在其图象上， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 4．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【解析】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 5．关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【解析】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 6．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案． 【解析】解：如图所示：把代入得，， 把代入得， 抛物线的开口越小，的绝对值越大， 抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或 故选C．    二、填空题 7．二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式即可． 【解析】解：， 故顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化． 8．任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质可进行求解． 【解析】解：二次函数开口向上说明，对称轴为y轴，则有该二次函数解析式可以为； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．已知抛物线有最低点，则 ； 【答案】2 【分析】抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即可求解． 【解析】解：因为抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上，， 则， 故答案为：2 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．如果二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次函数图象开口方向即可判断； 【解析】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题 11．填写下表： 图象       开口方向 　 　 　 　 对称性 　 　 　 　 顶点与最高、最低点 　 　 　 　 【答案】向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点 【分析】根据二次函数的性质结合图象填空即可． 【解析】解：由图象可得： 当时，开口向上，图象关于轴对称，顶点是最低点； 当时，开口向下，图象关于轴对称，顶点是最高点； 故答案为：两列依次填写：向上，关于轴对称，顶点是最低点；向下，关于轴对称，顶点是最高点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，当时，图象开口向上，关于轴对称，顶点是最低点；当时，图象开口向下，关于轴对称，顶点是最高点． 12．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案． 【解析】（1）解：把代入可得： 点的坐标为 把代入可得： ，； （2）解：由（1）可得， 抛物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 13．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标， 【解析】（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线过点 抛物线的函数解析式为； （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， 直线 令，得 所以 当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 32 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 特殊二次函数的图像与性质(第1课时)（十大题型） 学习目标 1、会用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）； 2、知道二次函数y=ax2的图像特点； 3、掌握二次函数y=ax2的图像与性质及应用。 一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0 要点：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练1】抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】下列抛物线，其顶点是抛物线的最低点的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．它的顶点坐标是 B．它的对称轴是轴 C．它的最大值是0 D．以上都不对 注：可准备适量网格试纸解题 题型1：画出二次函数y=ax2的图像，并总结图像特点及性质 【典例1】．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题： x … 0 1 … … … … … … … … … （1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______； （2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称； （3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点． 【典例2】．抛物线的开口方向是 ． 【典例3】．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【典例4】．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的开口向上，且关于轴对称 B．它与的图象关于x轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与轴只有一个交点 题型2：自主画二次函数y=ax2的图像，辨析图像与性质 【典例5】．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【典例6】．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【典例7】．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【典例8】．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，y的值随x值得增大而减小 B．y有最大值，最大值为0 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．y的值随x值得增大而减小 【典9】．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 题型3：抛物线开口方向确定参数；反之 【典例10】．若抛物线开口向下，请写出一个符合条件的m的值 ． 【典例11】．已知抛物线的开口向下，且，则 ． 【典例12】．二次函数的图象开口向 ． 题型4：根据抛物线开口方向、大小确定参数大小关系 【典例13】．图中与抛物线，，，，的图象对应的是（    ） A．①②④③ B．②①④③ C．①②③④ D．②①③④ 【典例14】．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【典例15】．在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【典例16】．①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ． 【典例17】．函数的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，图象有 （填“最高”或“最低”）点，函数有最 值，当时，y随x的增大而 ． 题型5：根据二次函数y=ax2的性质比较大小 【典例18】．如图，若抛物线的图像经过点，，，则，，的大小关系是： ． 【典例19】．已知点，都在函数的图象上，则 （填“”，“”或“” ）． 【典例20】．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 【典例21】．已知抛物线经过、、三点，则、、的大小关系是 （用“＜”连接） 题型6：参数问题综合 【典例22】．若二次函数的图象经过，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【典例23】．已知抛物线经过点． (1)说出这个二次函数图象的开口方向和图象的位置； (2)判断点是否在此抛物线上． 【典例24】．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 【典例25】．二次函数与的图像关于 对称． 【典例26】．根据下列条件求a的取值范围： （1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大； （2）函数y＝(3a-2)x2有最大值； （3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线． 【典例27】．二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 题型7：与一次函数结合根据参数判断图像 【典例28】．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【典例29】．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A． B． C． D． 题型8：与一次函数结合综合解答题 【典例30】．已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 【典例31】．如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【典例32】．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)若于点，．试说明点在抛物线上． 题型9：二次函数y=ax2的几何应用 【典例33】．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【典例34】．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 题型10：二次函数y=ax2的代数应用 【典例35】．抛物线的共同性质是（   ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点 【典例36】．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【典例37】．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【典例38】．已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 一、单选题 1．关于x的二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图像开口向上 B．y随x的增大而减小 C．图像关于x轴对称 D．无论x取何值，y的值总是非正数 2．在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 3．二次函数，若在其图象的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．二次函数的顶点坐标是 ． 8．任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式 ． 9．已知抛物线有最低点，则 ； 10．如果二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是 ． 三、解答题 11．填写下表： 图象       开口方向 　 　 　 　 对称性 　 　 　 　 顶点与最高、最低点 　 　 　 　 12．函数与直线交于点 (1)求，的值； (2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？ 13．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$