第27讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质(第2课时)（二类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第27讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(第2课时)（十二大题型） 学习目标 1、 学会列二次函数解应用题； 2、知道建立二次函数模型求解实际问题； 3、初步掌握利用二次函数解决几何问题。 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【即学即练1】飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝60t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（　　）s． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A 【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论． 【解析】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， 此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当y＝600﹣150＝450时， 即60t﹣t2＝450， 解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去）， ∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程. 【即学即练2】小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度（米）与旋转时间（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（   ） /分 … 2. 66 3. 23 3. 46 … /米 … 69. 16 69. 62 68. 46 … A．8分 B．7分 C．6分 D．5分 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质，由题意可得最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此即可找到答案． 【解析】解：由题意得，最值在自变量大于2.66小于3.23之间， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题． 【即学即练3】如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【解析】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 【即学即练4】在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（    ） A．1米 B．3米 C．5米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴有最大值， ∴此次羽毛球最高可达到， 故选：D． 【即学即练5】在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，如果点Ｍ在y轴右侧的抛物线上，，那么点Ｍ的坐标是 ． 【答案】（1，-6）或（4，6）． 【分析】根据抛物线的定义可求出m=2，然后再令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和S△ABO=S△COB，这两个条件求出M点坐标． 【解析】∵y=x2-x-6为抛物线， ∵抛物线y=x2-x-6与x轴交于A，B两点， 令y=0，设方程x2-x-6=0的两根为x1，x2， ∴x1=-2，x2=3， ∴A（-2，0），B（3，0）， 设M点坐标为（a，a2-a-6），（a＞0） ∵S△AMO=S△COB， ∴×AO×|yM|=××OC×|xB|， ∴×2×|a2-a-6|=××6×3， 解得，a1=0，a2=1，a3=-3，a4=4， ∵点M在y轴右侧的抛物线上， ∴a＞0， ∴a=1，或a=4， a2-a-6=12-1-6=-6，或a2-a-6=42-4-6=6 ∴M点坐标为（1，-6）或（4，6）． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质.根据面积关系列出等式求解是解题的关键. 题型1：增长率问题 【典例1】．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解． 【解析】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【典例2】．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 题型2：拱桥问题 【典例3】．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【解析】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 【典例4】．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出解析式，再把代入解析式即可判断． 【解析】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为，且过， ∴设出池底所在抛物线的解析式为， 把代入解析式可得， 解得， ∴， 当时，， 此时最深处到水面的距离为， 故选：C． 题型3：投球问题 【典例5】．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【解析】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 【典例6】．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【解析】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 【典例7】．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【解析】解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为， ∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确， 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确， 函数关系可表示为， 把代入得：， 解得：， ∴A正确， ∴函数关系式为， 时，， 解得：（负值舍去），， ∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误， 综上所述，说法错误的是D， 故选：D． 题型4：喷水问题 【典例8】．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【解析】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 【典例9】．如图①是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图②所示，点B该水流的最高点，点C为该冰流的落地点，且，垂足为D，若，，则的长为 m． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 设抛物线解析式为，将点代入求出的值即可求解． 【解析】解：根据题意，， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 所以当时，，即 故答案为：3． 【典例10】．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案． 【解析】解：在中，当时，或（舍去）， ∴， 由对称性可知，， ∴， 故答案为：22． 题型5：销售问题 【典例11】．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【解析】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴要想获得最大利润，则销售单价为元， 故选：A． 【典例12】．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【解析】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 【典例13】．某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为（    ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．根据生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数以及表格中的数据，得到生产成本和销售价格的表达式，进而根据利润每件产品的利润生产数量，把相关数值代入可生产利润得关于生产数量的二次函数，进而根据二次函数的性质可得生产数量为多少时，利润最大． 【解析】解：设生产数量为万件，生产成本为元件，销售价格为元件． 生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， 设，． ，符合， ， 解得：． ． ，符合， ． 解得：． ． 设生产利润为，则 ． ， 当时，利润最大, 即为获最大利润，生产数量应为4万件． 故选：B． 题型6：其他问题 【典例14】．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【解析】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 【典例15】．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可． 【解析】解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 【典例16】．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，要使其落入锅中，需要满足，由即可求解；找出的取值范围是解题的关键． 【解析】解：由题意得 ， 解得：，（舍去）， 要使其落入锅中， ， ， ， ， ， 不可能； 故选：D． 【典例17】．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围． 【解析】解：，， 点的坐标为． 点，的坐标分别为，． ， 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 又此时抛物线过， ． ． 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 令， ． 或（舍去）． ． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，顶点为． 此时，把代入，得． 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 故答案为：． 题型7：长度问题 【典例18】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【解析】解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 【典例19】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【解析】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 题型8：面积问题 【典例20】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以为边作菱形，若菱形的顶点A，B在这条抛物线上，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出，再求出对称轴为直线，则，即可得到，再由菱形的性质得到，则点A､B关于直线对称，可得，再利用勾股定理求出的长即可利用菱形面积计算公式求出答案． 【解析】解：设抛物线的对称轴交于点E，如解图， 当时，，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵四边形为菱形， ， ∴点A､B关于直线对称， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【典例21】．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0），则梯形COBD的面积是 ． 【答案】6 【分析】将点A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，可得抛物线的解析式为，令x=0，求出y的值，即可得到OC的长，再根据对称轴，求出CD的长，从而可以得到B点的坐标，得到OB的长，利用梯形的面积公式，即可求出梯形COBD的面积． 【解析】解：将A（−1，0）代入中，得：0=4a+4， 解得：a=−1， 则抛物线解析式为； 令x=0，得到y=3，即OC=3， ∵抛物线解析式为的对称轴为直线x=1， ∴CD=1， ∵A（−1，0）， ∴B（3，0），即OB=3， 则=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点，以及二次函数与几何的综合应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质是解题的关键． 题型9：角度问题 【典例22】．如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识． （1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案； （2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可． 【解析】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图， ∵，． ∴， ∵，， ∴， 点P的坐标为； ②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图， 同理可证，， ， ∴.点的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或； （2）如解图，设直线的解析式为， 由点B、P的坐标可得 则 解得 ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，， 当时， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为， 当时， 解得（舍去）或， 则 点的坐标为. 综上所述，点D的坐标为或. 【典例23】．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【解析】（1）将，代入，得 解得 二次函数的表达式为； （2）对于，令，得， 解得，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如解图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得（舍去）或， ， ． 题型10：特殊三角形问题 【典例24】．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【解析】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【典例25】．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)存在，或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、三种情况，分别求解即可． 【解析】（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 则点坐标为，顶点的坐标为， ∴； （2）设， 当时，如图， 则点纵坐标与中点的纵坐标相同， ， ， 解得：， 故此时点坐标为； ②当时，如图， ， ， 故此时点的坐标为或； ③当时，如图， , , 解得：， 故此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或； 题型11：特殊四边形问题 【典例26】．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【解析】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【典例27】．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【解析】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型12：相似三角形问题 【典例28】．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)存在，点E的坐标为， 【分析】（1）令，，解方程即可； （2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【解析】（1）解：在中，令，， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，令，， ∴点C的坐标为； （2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线， ∴点D的坐标为； ∵，， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 如图，设交l于点G， ∵点E，F关于直线l对称， ∴， ∵， 则，， ∴． 分两种情况讨论： 当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n， 则，，， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，， ∴， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似， ∴点E的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【典例29】．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①当时，线段的长最大值为，②证明见详解 (3)或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【解析】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图3.2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3.3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得． 【解析】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2， 则函数解析式是：y=100（1-x）2． 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的． 2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式． 【解析】解：设小正方形边长为xcm，由题意知： 现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键． 3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（    ） A．25件 B．20件 C．30件 D．40件 【答案】A 【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得． 【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125， ∴当x=25时，y取得最大值，最大值为125， 即销售单价为25元时，销售利润最大， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质． 4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 【答案】B 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线，与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【解析】解：当y＝0时，即＝0， 解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52） C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52） 【答案】A 【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案． 【解析】解：y关于x的函数表达式为：y（50+2﹣x）x x2+26x（2≤x＜52）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键． 6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（    ）件． 降价（元） 日销量（件） A．1200 B．750 C．1110 D．1140 【答案】C 【分析】由题意根据表中的数据分析得，每降元，销售量增加件，就可求出降元时的销售量，以此进行分析即可． 【解析】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件， 即每降元，销售量增加件， 降元时，销售量为（件）． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解答此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式． 7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图像经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5． 【解析】∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图像过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为． ∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为． ∴，∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键． 8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【解析】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值． 【解析】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入， 可得， 解得：， 则， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题． 10．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（    ） A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形 【答案】C 【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可． 【解析】解：令，， ∴点C的坐标是，故选项A正确； 令，，则点D的坐标是， ∴，故选项B正确； 令，则， 解得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，故选项D正确； 由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G， ∴， ∴． ∵直线与y轴交于点D，则． ∴． ∴． 设所在直线的解析式为． 将，代入，得． 解得． ∴直线的解析式是． 设，则，其中． ∴． ∴． ∵， ∴当时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是． 代入，得， 解得，故选项C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强． 二、填空题 11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【解析】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 12．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 米． 【答案】10 【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解． 【解析】解：当y=0时，， 解得：（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了把函数问题转化为方程问题，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米 【答案】0.64 【分析】根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长． 【解析】 解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系． 设抛物线的解析式为， 由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6， 代入， 有，， 点A的纵坐标即为OC的长， ∴0.36a＋0.28＝0.64a， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为， ， 故OC的长为：0.64m． 【点睛】本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键． 14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间，完成规定的翻腾动作． 【答案】/1.5 【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可． 【解析】依题意 整理得 即 解得（不符合题意，舍） 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键． 15．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移 cm． 【答案】60 【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可． 【解析】解：过点C作延长线于点E， cm 以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系， 则 设此时抛物线解析式为： 代入点得， ， 整理得， 解得 设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为： 将代入解析式得， 即小刚应把升降器向上平移60cm 故答案为：60 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直角坐标系，用待定系数法求解析式． 16．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论． 【解析】解：设大孔抛物线的解析式为， 把点解析式，得 ，解得， 因此大孔抛物线的解析式为； 由，可知点F的纵坐标为4， 代入解析式， 解得． 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用待定系数法求二次函数解析式是解决此题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    【答案】 【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积． 【解析】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 18．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为 ． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可． 【解析】解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 设，， ， ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题是二次函数和一次函数综合题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 三、解答题 19．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【解析】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间x/s 滑行距离y/m (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式； (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 【答案】(1) (2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可． 【解析】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：． （2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值， ∵函数关系式为，且， 当时，最大值， ∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式． 21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 【答案】(1)22米 (2)雕塑EF的高为米 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离； （2）代入x＝10求出y值即可． 【解析】（1）解：当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m． ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m． （2）解：∵，， 当x＝10时，， ∴点F（10，） ∴雕塑EF的高为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标． 22．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 【答案】(1) (2) (3)当米时，水流不落在池外 【分析】（1）喷头离地面的高度是二次函数与的交点，由此即可求解； （2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解； （3）水池的半径是当二次函数时，自变量的值，由此即可求解． 【解析】（1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键． 23．如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果，求点Q的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 ． (2)或 【分析】（1）根据点A、B的坐标设抛物线交点式解析式，然后把点C的坐标代入求出a的值即可得解；再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标； （2）由平移后抛物线的顶点在x轴上可知抛物线向下平移了4个单位长度，，根据轴对称图形的性质可得，点Q的纵坐标为，将代入中，求解即可． 【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点、点， ∴可设抛物线的解析式为， 又∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即， ∴抛物线顶点D的坐标为． （2）∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点在x轴上，抛物线向下平移了4个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为，， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， 又∵轴， ∴点Q与点P关于x轴对称， ∴点Q的纵坐标为 将代入中，得， 解得，， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移问题以及轴对称图形的性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【解析】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，对称轴是； (2)满足条件的点的坐标为：或或或． 【分析】（1）分别令和进行求解即可； （2）设，分别按C、N、Q三点为直角顶点，应用勾股定理进行求解． 【解析】（1）解：由得到：， 令，则， ∴或， 则，，对称轴是． 令，则， 所以， 综上所述，，，，对称轴是； （2）解：假设存在满足条件的点． 设． 又， ∴，，， ①当点是直角顶点时，则，即， 解得， 此时点的坐标是； ②当点为直角顶点时，，即， 解得， 此时点的坐标是； ③当点为直角顶点时，，即， 解得或， 此时点的坐标是或． 综上所述，满足条件的点的坐标为：或或或． 【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，二次函数解析式的三种形式，勾股定理以及两点间的距离公式．注意分类讨论数学思想的应用． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）分别令和，求解即可； （2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可． 【解析】（1）解：令，则， 解得，， ， 令，则， ． （2）， ， 对称轴为． 当为边时，分两种情况： 当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点， ，， ， ， ． 设所在直线解析式为， 将，代入得，， 解得， 所在直线解析式为， 当时，． ． 当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点， 易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为． 当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 27．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．    (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分； (3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为， (2)见解析 (3)E点的横坐标为或或或 【分析】（1）根据题意点在图象的对称轴上，由对称轴的性质即可确定解析式，然后确定点C的坐标即可； （2）根据题意得出点E的纵坐标为1，平行于x轴．然后由平行线的性质确定，再由二次函数得出，确定，，利用等边对等角及等量代换即可证明； （3）分两种情况进行分析：或 ，根据题意首先得出为直角三角形，，然后分别分两种情况结合函数图象利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）∵点在图象的对称轴上， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴； （2）∵，且垂直于y轴， ∴点E的纵坐标为1，平行于x轴． ∴． 令，则， 解得． ∵点E位于对称轴右侧， ∴． ∴． 令，则， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． （3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似， 且为直角三角形， ∴为直角三角形．   ∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴． ∵，， ∵， ∴， 则， ∴G点坐标为． ∴，． ∴， ∴或 ， 设， 当点D在点G的上方时，则， .； 如图，当 时，    则有， ， 解得， （负值舍去） 如图3当时，    则有，， 解得， （负值舍去） 当点D在点G的下方时，则， ， 如图，当时，    则有， 解得，（负值舍去） 如图，当时，    则有，， 解得，（负值舍去） 综上，E点的横坐标为或或或． 【点睛】题目主要考查二次函数综合问题，包括确定函数解析式及二次函数的基本性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图象进行分类讨论是解题关键． 28．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．      (1)求二次函数的解析式； (2)已知点，当，且时，求k的值； (3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变． 【答案】(1) (2) (3)不论k取何值，的值不变，都是 【分析】（1）令，得，得出，根据求出，把代入，求出的值即可； （2）连接证明，得到，根据中点坐标公式求出点G的坐标，代入，求出的值即可； （3）设，联立方程，得到，根据两点间距离公式可求出，再根据顶点坐标公式以及中点坐标公式分别求出，求出，从而求出． 【解析】（1）令，则， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 把代入，得：， 解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）连接设与交于点G，如图，      ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴即 把代入，得：， 解得，； （3）设， ∵点M，N是直线 与抛物线的交点， ∴联立方程得，， 整理得， ∴ 又 ∴， ∴ ∵ ∴抛物线的顶点坐标为 又线段的中点为S， ∴，即， ∴， ∴， 故，不论k取何值，的值不变，都是． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质的综合运用，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质以及中间坐标公式等知识，综合运用所学知识是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 69 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质(第2课时)（十二大题型） 学习目标 1、 学会列二次函数解应用题； 2、知道建立二次函数模型求解实际问题； 3、初步掌握利用二次函数解决几何问题。 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 【即学即练1】飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝60t﹣t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（　　）s． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【即学即练2】小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度（米）与旋转时间（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（   ） /分 … 2. 66 3. 23 3. 46 … /米 … 69. 16 69. 62 68. 46 … A．8分 B．7分 C．6分 D．5分 【即学即练3】如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（    ） A．1米 B．3米 C．5米 D．米 【即学即练5】在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，如果点Ｍ在y轴右侧的抛物线上，，那么点Ｍ的坐标是 ． 题型1：增长率问题 【典例1】．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 题型2：拱桥问题 【典例3】．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【典例4】．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面5 ，原来的水面宽24 ，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为（    ） A．1.2 B．1 C．0.8 D．0.6 题型3：投球问题 【典例5】．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【典例6】．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例7】．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（   ） A． B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是 C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于 题型4：喷水问题 【典例8】．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【典例9】．如图①是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图②所示，点B该水流的最高点，点C为该冰流的落地点，且，垂足为D，若，，则的长为 m． 【典例10】．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ． 题型5：销售问题 【典例11】．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（    ） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 【典例12】．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 【典例13】．某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为（    ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 题型6：其他问题 【典例14】．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A． B． C． D．6 【典例15】．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【典例16】．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 【典例17】．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ． 题型7：长度问题 【典例18】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ． 【典例19】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 题型8：面积问题 【典例20】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以为边作菱形，若菱形的顶点A，B在这条抛物线上，则菱形的面积为 ． 【典例21】．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与轴交于点C，过点C作CD轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD，已知点A坐标为（-1，0），则梯形COBD的面积是 ． 题型9：角度问题 【典例22】．如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 【典例23】．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 题型10：特殊三角形问题 【典例24】．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例25】．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11：特殊四边形问题 【典例26】．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【典例27】．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型12：相似三角形问题 【典例28】．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例29】．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．重装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，则要想获得最大利润每天必须卖出（    ） A．25件 B．20件 C．30件 D．40件 4．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 5．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52） C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52） 6．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（    ）件． 降价（元） 日销量（件） A．1200 B．750 C．1110 D．1140 7．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　) A． B． C． D． 8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 9．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（    ） A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形 二、填空题 11．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ． 12．如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 米． 13．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米 14．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间，完成规定的翻腾动作． 15．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移 cm． 16．如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点M距水面（即），小孔顶点N距水面（即）．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度是 m． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．    18．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为 ． 三、解答题 19．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 20．某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下： 滑行时间x/s 滑行距离y/m (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式； (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为． (1)求落水点C、D之间的距离； (2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高． 22．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 23．如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果，求点Q的坐标． 24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 25．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．    (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分； (3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标． 28．如图1，二次函数的图象F交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且，直线l：交图象F于M，N两点（点M在点N左侧）．      (1)求二次函数的解析式； (2)已知点，当，且时，求k的值； (3)如图2，设图象F的顶点为P，线段的中点为S，连接，求证：不论k取何值，的值不变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$