第25讲 特殊二次函数的图像与性质(第3课时)（二类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第25讲 特殊二次函数的图像与性质(第3课时)（九大题型） 学习目标 1、 会用描点法画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）； 2、知道二次函数y=a（x+m）2+k的图像特点； 3、掌握二次函数y=a（x+m）2+k的图像与性质及应用。 一、函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即学即练1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2）开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4）开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）． 【分析】根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【解析】（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）； （2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）； （3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）； （4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． 【即学即练2】对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向上，顶点坐标为 C．开口向下，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 【答案】A 【分析】根据二次函数的图形和性质可直接得出答案． 【解析】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知抛物线的开口方向由a的符号确定，顶点坐标为． 【即学即练3】抛物线过三点，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小． 【解析】解：在二次函数，对称轴， 在图象上的三点，，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 【即学即练4】关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【解析】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 【即学即练5】将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关键是确定旋转后的a的值和顶点坐标． 先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可． 【解析】解：∵抛物线的，顶点是， ∴将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线的，顶点是， ∴旋转后的抛物线解析式为． 故选：C． 题型1：一次函数的图像平移—左加右减，上加下减 【典例1】．将直线向上平移2个单位长度，相当于（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键． 根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【解析】解：将直线向上平移2个单位长度，可得函数解析式为： ，即相当于将直线直线向左平移2个单位长度得到的，则A选项符合题意． 故选A． 【典例2】．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【解析】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为， 故选：D． 【典例3】．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一次函数的平移，根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可. 【解析】解：将函数的图象向左平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是，即， 故选：D 【典例4】．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，掌握在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【解析】解：将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即． 故选：C． 【典例5】．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】主要考查的是一次函数图象平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【解析】解：将直线向右平移个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故选：A． 【典例6】．将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线的平移．直线的平移规律遵循：上加下减，左加右减，据此分别求出平移后直线、的解析式，结合与直线恰好重合可得关于的方程，解方程即得答案． 【解析】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位长度后得到直线， 直线的解析式为， 直线和直线恰好重合， ， 解得：， 故选：A． 题型2：画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k的图像，并总结图像特点与性质 【典例7】．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【解析】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【典例8】．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【典例9】．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案． 【解析】解：根据题意可得： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向上 直线 向上 直线 向下 直线 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键． 【典例10】．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为2 【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设顶点式，将代入解析式，即可求得的值，进而求得抛物线的解析式； （2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大； （3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，进而求得当时，最值为2． 【解析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设顶点式，将代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即时，随的增大而增大， （3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下， 当时，有最大值，最大值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握的图象与性质是解题的关键． 题型3：写出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k顶点坐标、对称轴等概念 【典例11】．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式的性质．直接利用抛物线的解析式即可写出． 【解析】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【典例12】．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，顶点坐标是，可得答案． 【解析】解：抛物线为， 开口向下，则最高点坐标是顶点坐标， 顶点坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式． 【典例13】．抛物线 的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】根据顶点式写对称轴即可． 【解析】解：∵， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴．解题的关键在于熟练掌握：的对称轴为直线． 【典例14】．已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中给定的函数顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【解析】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 【典例15】．抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标表达解析式：，其中的值决定开口方向，的值是对称轴，是顶点坐标． 【解析】解：抛物线中，的值大于0， 所以：开口向上； 对称轴是直线； 顶点坐标是． 故答案为：上，，． 题型4：特殊二次函数的平移问题 【典例16】．已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，点在平移中的变化规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减．”是解题的关键． 【解析】解：由题意得 抛物线的顶点为， 将向左平移3个单位， 再向下平移4个单位得， 故选：D． 【典例17】．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可． 【解析】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的表达式是： 即． 故答案为：． 【典例18】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【解析】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 题型5：二次函数y=a（x+m）2+k的性质 【典例19】．已知点、、都在函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图像开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质得在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大，根据点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1得，即可得． 【解析】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大， ∵点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【典例20】．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【解析】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 【典例21】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【解析】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【典例22】．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】利用形如的形式的二次函数的性质进行判断即可． 【解析】解：二次函数的对称轴为直线，， 二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数中，决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口，对称轴为直线，熟练掌握此二次函数的性质是解题的关键． 【典例23】．下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解析】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误； B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误； C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确； D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质． 题型6：按要求写出特殊二次函数的解析式 【典例24】．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【典例25】．已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出一个二次函数的表达式即可． 【解析】解：∵在对称轴右侧的部分是上升的 ∴抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线可为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【典例26】．将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意将抛物线绕顶点坐标旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，开口大小不变，据此解答即可． 【解析】解：∵抛物线绕它的顶点旋转， ∴顶点坐标仍为，开口大小不变，即，开口方向相反，即， ∴旋转后的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标不变，开口方向相反，开口大小不变是解本题的关键． 题型7：求参数范围 【典例27】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【答案】/ 【分析】可先求得抛物线的对称轴，以及开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．本题主要考查二次函数图象性质，由函数的增减性，对称轴，以及开口方向得到关于的不等式是解题的关键． 【解析】解：， 对称轴为， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 即， 故答案为： 【典例28】．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【解析】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【典例29】．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的， ∴． 故答案为：． 【典例30】．已知点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，注意分类讨论是解题的关键．对进行分类讨论：，，，再利用开口方向和离对称轴距离判断增减性即可得． 【解析】解：二次函数的对称轴为直线， 当时，开口向下，且点离对称轴距离比点远， 则，不符合题意； 当时，即时，开口向上，且点离对称轴距离比点远， 则，符合题意； 当时，开口向上，且点离对称轴距离比点近， 则，不符合题意； 综上所述，， 故选：C． 题型8：参数符号与图像的位置相互判断 【典例31】．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【典例32】．如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【解析】解：A．图像与x轴交于、B，关于对称，所以，说法正确，但不符合题意； B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，但符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，说法正确，但不符合题意； D．根据函数图象可知，函数图象与y轴交于正半轴，即当时，， ∴，说法正确，但不符合题意． 故选：B． 【典例33】．如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（    ）    A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】函数开口向下，则，即可判定A；根据函数解析式可判断B；根据抛物线的对称性可判断C；根据抛物线的增减性可判断D． 【解析】解：A、由函数图象可知，抛物线开口向下，则，原说法正确，不符合题意； B、∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，原说法正确，不符合题意； C、∵抛物线对称轴为直线，二次函数的图象与x轴交于，B， ∴，原说法正确，不符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，当时，二次函数开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当时，二次函数开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 【典例34】．已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标，轴对称方程，结合抛物线的开口方向，再逐一分析即可． 【解析】解：∵， ∴顶点坐标为，轴对称为直线， ∵抛物线开口向上，则，抛物线对称轴位于y轴右侧， 则， ∵顶点在第四象限， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟记抛物线的顶点式的特点及图象性质是解本题的关键． 题型9：特殊二次函数图像与性质的综合应用 【典例35】．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3. 【分析】（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积； 【解析】（1）二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1， 所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）； （3）令x=0时，易求： y=， ∴点C的坐标为（0，）即：OC= 令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴=3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键. 【典例36】．如图，现要在抛物线上找点，根据值的不同，找到的点的个数也不同．若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及二次函数最值、直线与抛物线的交点等知识，读懂题意，转化为直线与抛物线交点个数是2时，求的取值范围是解决问题的关键． 【解析】解：抛物线， 抛物线顶点坐标为， 作直线（为常数），如图所示： 若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为， 故选：C． 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为， 故选：． 2．关于抛物线以下说法正确的是（    ） A．抛物线在直线右侧的部分是上升的 B．抛物线在直线右侧的部分是下降的 C．抛物线在直线右侧的部分是上升的 D．抛物线在直线右侧的部分是下降的 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【解析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线在直线右侧的部分先下降，后上升，则选项A，B错误； 抛物线在直线右侧的部分是上升的，则选项C正确，选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 3．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【答案】A 【分析】首先根据对称轴是直线x＝3，求出m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标； 【解析】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3， ∴m＝3， ∴解析式y＝（x﹣3）2+1， ∴顶点坐标为：（3，1）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线的三种表示方式，特别是顶点式，故居顶点式写出对称轴是解题关键． 4．已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小． 【解析】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式． 5．二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过两点．若，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，然后解不等式后进行判断． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线过两点， ， 解得． 故选：A． 6．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【解析】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 二、填空题 7．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案． 【解析】解：的顶点坐标为． 故答案为：． 8．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 【答案】8 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可． 【解析】解：把原点代入解析式，得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式． 9．抛物线在对称轴右侧的部分是 的.(填“上升”或“下降”) 【答案】下降 【分析】首先根据抛物线解析式判定开口向下，以及对称轴，然后即可得解. 【解析】根据题意，得 抛物线开口向下，对称轴为 ∴对称轴右侧的部分是下降的 【点睛】此题主要考查抛物线图像的增减性，熟练掌握，即可解题. 10．已知二次函数，当时，若y随着x的增大而 （填“增大”“不变”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质进行解答即可． 【解析】∵,对称轴， ∴当时，若y随着x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，分清a、h的符号和二次函数顶点式的增减性是解题的关键． 11．已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先得出的坐标为，抛物线的对称轴为，根据对称性，即可求解． 【解析】解：∵点在抛物线上，点的横坐标是， 抛物线的对称轴为，当时，，则的坐标为， ∵点与点关于此抛物线的对称轴对称， ∴， 故答案为：． 12．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式． 【解析】解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式． 三、解答题 13．（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴方程为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质．解题时，利用了数形结合的数学思想，减少了繁琐的计算过程． （1）由顶点式可得顶点坐标及对称轴方程． （2）开口向下时在对称轴的左侧随的增大而增大，可得到答案． 【解析】解：（1）， 抛物线顶点坐标为，对称轴方程为． （2）， ∴抛物线开口向下， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 14．已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数有最大值 (3)当，随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 【解析】（1）解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值-4； （3）对称轴，开口向下 ∴当，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键． 15．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可； （2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可． 【解析】解：（1）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（，）， ∵抛物线的顶点坐标在第二象限， ∴， ∴； （2）当时，抛物线解析式为， 令，即， 解得或， 令，， ∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3）， ∴OD=3，AB=2， ∴， ∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 16．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 17．如图，在中，，，P为BC边上的动点（与B，C不重合），，交于点，连接，设，的面积为S． (1)用含的代数式表示的长； (2)求S与x的函数关系式，并求当S随x的增大而减小时x的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据相似三角形的性质，用表示，进而求得结果； （2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出随增大而减小时的取值范围． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ， ，，， ， ， ， 即； （2）根据题意得，， 当时，随的增大而减小， ， 当随增大而减小时的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，列出一次函数解析式，列二次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，关键是正确列出函数解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 特殊二次函数的图像与性质(第3课时)（九大题型） 学习目标 1、 会用描点法画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k（a≠0）； 2、知道二次函数y=a（x+m）2+k的图像特点； 3、掌握二次函数y=a（x+m）2+k的图像与性质及应用。 一、函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即学即练1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练2】对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向上，顶点坐标为 C．开口向下，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 【即学即练3】抛物线过三点，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【即学即练5】将抛物线绕原点旋转，旋转后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 题型1：一次函数的图像平移—左加右减，上加下减 【典例1】．将直线向上平移2个单位长度，相当于（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【典例2】．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【典例6】．将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型2：画出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k的图像，并总结图像特点与性质 【典例7】．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【典例8】．已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【典例9】．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【典例10】．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 题型3：写出二次函数y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k顶点坐标、对称轴等概念 【典例11】．抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是 ． 【典例12】．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是 ． 【典例13】．抛物线 的对称轴是 ． 【典例14】．已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是 ． 【典例15】．抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 题型4：特殊二次函数的平移问题 【典例16】．已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（    ） A．向右平移3个单位，再向上平移4个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移4个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移4个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【典例17】．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【典例18】．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（    ）． A． B． C． D． 题型5：二次函数y=a（x+m）2+k的性质 【典例19】．已知点、、都在函数的图像上，则（    ） A． B． C． D． 【典例20】．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例21】．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【典例22】．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【典例23】．下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 题型6：按要求写出特殊二次函数的解析式 【典例24】．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【典例25】．已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是 ．（只要写出一个符合条件的即可） 【典例26】．将抛物线绕它的顶点旋转后得到的抛物线解析式为 ． 题型7：求参数范围 【典例27】．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【典例28】．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例29】．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【典例30】．已知点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8：参数符号与图像的位置相互判断 【典例31】．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【典例32】．如图，二次函数的图象与轴交于两点，下列说法错误的是（    ）    A．点的坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．图象的对称轴为直线 D． 【典例33】．如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（    ）    A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【典例34】．已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型9：特殊二次函数图像与性质的综合应用 【典例35】．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【典例36】．如图，现要在抛物线上找点，根据值的不同，找到的点的个数也不同．若能找到2个满足条件的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．关于抛物线以下说法正确的是（    ） A．抛物线在直线右侧的部分是上升的 B．抛物线在直线右侧的部分是下降的 C．抛物线在直线右侧的部分是上升的 D．抛物线在直线右侧的部分是下降的 3．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 4．已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（        ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 二、填空题 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 9．抛物线在对称轴右侧的部分是 的.(填“上升”或“下降”) 10．已知二次函数，当时，若y随着x的增大而 （填“增大”“不变”或“减小”）． 11．已知点在抛物线上，点与点关于此抛物线的对称轴对称，如果点的横坐标是，那么点的坐标是 ． 12．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ． 三、解答题 13．（1）求抛物线的顶点坐标及对称轴方程； （2）当为何值时，随的增大而增大 14．已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 15．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 16．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 17．如图，在中，，，P为BC边上的动点（与B，C不重合），，交于点，连接，设，的面积为S． (1)用含的代数式表示的长； (2)求S与x的函数关系式，并求当S随x的增大而减小时x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$