第24讲 特殊二次函数的图像与性质(第2课时)（二类知识点+九大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第24讲 特殊二次函数的图像与性质(第2课时)（九大题型） 学习目标 1、 会用描点法画出二次函数y=ax2+c（a≠0）； 2、知道二次函数y=ax2+c的图像特点； 3、掌握二次函数y=ax2+c的图像与性质及应用。 一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 二、二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练1】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 【即学即练2】抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，a决定开口方向，顶点坐标为．在抛物线中，若，开口向上，若，开口向下． 【解析】解：在抛物线中， ， 抛物线开口向下， 当时，， 顶点坐标是． 故答案选B． 【即学即练3】抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax2+c（a≠0）的基本形式，根据它的性质，进行解答． 【解析】解：抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴； 当x＞0时，y随x的增大而减小； -，则函数有最大值． 综上，选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+c（a≠0）的性质是解答此题的关键． 题型1：一次函数的图像平移—上加下减 【典例1】．直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解题的关键． 【解析】解：把直线向下平移个单位得到的函数解析式为， ∵，， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【典例2】．将一次函数的图像向上平移3个单位长度，所得直线表达式为 ． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的法则解答即可．本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知函数图像平移的法则是解题的关键． 【解析】解：∵一次函数的图像向上平移3个单位长度， ∴所得直线表达式为， 即． 故答案为：． 【典例3】．将正比例函数的图象向下平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的平移规律：“上加下减”是解题的关键．根据一次函数平移规律即可确定． 【解析】解：根据平移的性质，得， 故答案为：． 【典例4】．直线向上平移3个单位后，所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，解题的关键是掌握一次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，据此即可解答． 【解析】解：直线向上平移3个单位后，所得直线的解析式为， 故答案为：． 【典例5】．把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【解析】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度后 得 故答案为： 题型2：画出二次函数y=ax2+c的图像，并总结图像特点（性质板书总结） 【典例6】．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【解析】解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 【典例7】．抛物线的开口方向（   ） A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下是解题的关键． 根据，即可得出答案． 【解析】解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的开口向下， 故选：D． 【典例8】．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【解析】解：根据二次函数的图象与性质可知： 抛物线的对称轴是直线，即轴， 故选：． 【典例9】．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【解析】解∶ 抛物线的顶点坐标是， 故选∶B． 【典例10】．抛物线的对称轴为（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据抛物线的对称轴公式，即可解答． 【解析】解：∵， ∴该抛物线对称轴为直线，即为y轴， 故选：D． 题型3：画出二次函数y=ax2+c的图像，图像特点与性质的综合辨析 【典例11】．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【解析】（1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 【典例12】．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为； 综上：只有选项B是正确的； 故选B． 【典例13】．关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．有最小值 D．当时，函数随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象与性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【解析】解：抛物线中，， 抛物线开口向下，对称轴是轴，故A错误，B正确； 函数有最大值，当当时，函数随的增大而增大，故C、D错误， 故选：B． 【典例14】．对于二次函数的性质，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而减小 C．当时，有最大值是2 D．对称轴为轴 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质逐项分析即可解答． 【解析】解：A.由函数的图像开口方向向上，其顶点坐标为，故A选项不符合题意； B. 由函数的在时，随的增大而增大，故B选项不符合题意； C. 由函数的图像开口方向向上，y没有最大值，故C选项不符合题意； D. 函数的对称轴为轴，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 【典例15】．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【解析】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 题型4：二次函数y=ax2与y=ax2+c的图像相同、异同 【典例16】．下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题． 【解析】解：图像的形状与二次函数相同， 二次项系数为， 故选：A． 【典例17】．如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【解析】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 题型5：根据抛物线开口方向求参数范围 【典例18】．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可． 【解析】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【典例19】．已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：， ； 故选：B． 【典例20】．二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可知抛物线的开口向下，且最大值小于0，得出不等式组，求出取值范围即可． 【解析】∵二次函数的图像都在x轴的下方， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键． 题型6：根据二次函数y=ax2+c的性质比较大小 【典例21】．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据题意求出、的值比较即可． 【解析】解：将、代入抛物线， ， ， 故选C． 【典例22】．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【解析】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D．    【典例23】．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【解析】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 题型7：二次函数y=ax2+c的大致图像（不含参+含参，大致图像初识） 【典例24】．二次函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据函数解析式可判断出图像的开口方向和顶点坐标即可得出结果． 【解析】解：二次函数， ， 图像开口方向向下， 顶点坐标为， 故选：D． 【典例25】．如图，二次函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记：，图象开口向下，图象与y轴的交点在 x轴的上方，是解题关键． 根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案． 【解析】解：由二次函数可知二次函数的图象的对称轴为y轴， ， ∴图象开口向下，故A、B错误； ，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确； 故选：C． 【典例26】．下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解． 【解析】解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意； 若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方； 故选：A 【典例27】．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【解析】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型8：根据二次函数y=ax2+c的图像与性质求x或y的取值范围 【典例28】．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【解析】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【典例29】．对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【解析】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 题型9：二次函数y=ax2+c的综合应用（不同题型） 【典例30】．对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，确定，问题随之得解． 【解析】∵，且， ∴， ∵y的最小值是5， ∴， ∴， 故选：A． 【典例31】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【解析】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 【典例32】．已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 【答案】（1）m=-3或1；（2）当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）根据当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值，得出m的值，根据解析式即可得出顶点坐标． 【解析】解：（1）∵是关于x的二次函数 ∴m2+2m-1=2，m+1≠0， ∴m=-3或1 （2）当m=-3时， ∴二次函数的解析式为： ∵a=-2<0 ∴抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值 顶点坐标为：（0，3） 当m=1时， ∴二次函数的解析式为： ∴函数y有最小值，不合题意舍去 ∴当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键． 【典例33】．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【解析】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 【典例34】．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【解析】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 【典例35】．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值． 【解析】解：如图，连接交y轴于点D， 对于，当时，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 解得， 故选D． 【典例36】．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【解析】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 【典例37】．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 【答案】2 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【解析】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 【典例38】．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【解析】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 一、单选题 1．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，a决定开口方向，顶点坐标为．在抛物线中，若，开口向上，若，开口向下． 【解析】解：在抛物线中， ， 抛物线开口向下， 当时，， 顶点坐标是． 故答案选B． 2．抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y=ax2+c（a≠0）的基本形式，根据它的性质，进行解答． 【解析】解：抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴； 当x＞0时，y随x的增大而减小； -，则函数有最大值． 综上，选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+c（a≠0）的性质是解答此题的关键． 3．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与轴的交点．将点代入解析式进行求解即可． 【解析】解：∵与y轴交点的纵坐标为3， ∴在函数图象上，代入解析式的：， ∴； 故选D． 4．点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答． 【解析】解：∵抛物线解析式为， ∵，， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∵， ∴， 故选：A． 5．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【解析】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答． 【解析】化为顶点式解析式为： 二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， 实数a的取值范围是， 故选：B． 二、填空题 7．请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为一个开口向上，且经过，所以的，据此即可作答． 【解析】解：∵开口向上， ∴的， ∴ ∵经过 则时， ∴ 故答案为：（答案不唯一） 8．抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 【答案】下降 【分析】根据抛物线的性质判定即可． 【解析】∵抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴抛物线在轴的右侧y随x的增大而减小， 故答案为：下降． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 9．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【解析】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 10．已知点，是抛物线上的两点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【解析】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当点，是抛物线上的两点，且，则； 故答案为＜． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 【答案】/ 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得到，再证明为等腰直角三角形得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值． 【解析】解：设直线与轴交于点，如图，则， ， ， 过点且平行于轴， 为等腰三角形， ∵轴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 12．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是 ． 【答案】， 【分析】根据题意，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，得到横纵坐标的数量关系，直接将点代入函数解析式，解一元二次方程即可． 【解析】由题可知，“黎点”的坐标为，代入， 得，即， 解得， 故坐标为：，． 故答案为：， 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，推出点的横纵坐标关系，然后列方程求解． 三、解答题 13．已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【解析】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 特殊二次函数的图像与性质(第2课时)（九大题型） 学习目标 1、 会用描点法画出二次函数y=ax2+c（a≠0）； 2、知道二次函数y=ax2+c的图像特点； 3、掌握二次函数y=ax2+c的图像与性质及应用。 一、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 二、二次函数与之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练1】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【即学即练2】抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 【即学即练3】抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 题型1：一次函数的图像平移—上加下减 【典例1】．直线向下平移个单位所得到的直线不经过的象限是 ． 【典例2】．将一次函数的图像向上平移3个单位长度，所得直线表达式为 ． 【典例3】．将正比例函数的图象向下平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为 ． 【典例4】．直线向上平移3个单位后，所得直线的解析式为 ． 【典例5】．把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 题型2：画出二次函数y=ax2+c的图像，并总结图像特点（性质板书总结） 【典例6】．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【典例7】．抛物线的开口方向（   ） A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 【典例8】．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【典例9】．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例10】．抛物线的对称轴为（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 题型3：画出二次函数y=ax2+c的图像，图像特点与性质的综合辨析 【典例11】．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【典例12】．已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 【典例13】．关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．有最小值 D．当时，函数随的增大而减小 【典例14】．对于二次函数的性质，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为 B．当时，随的增大而减小 C．当时，有最大值是2 D．对称轴为轴 【典例15】．比较二次函数与的图象，则（　　） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 题型4：二次函数y=ax2与y=ax2+c的图像相同、异同 【典例16】．下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【典例17】．如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 题型5：根据抛物线开口方向求参数范围 【典例18】．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例19】．已知抛物线开口向下，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．任意实数 【典例20】．二次函数的图象都在x轴的下方，则k的取值范围是 ． 题型6：根据二次函数y=ax2+c的性质比较大小 【典例21】．抛物线的图象上有两点、，则、的大小是（    ） A． B． C． D．无法判断 【典例22】．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【典例23】．若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 题型7：二次函数y=ax2+c的大致图像（不含参+含参，大致图像初识） 【典例24】．二次函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例25】．如图，二次函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例26】．下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 【典例27】．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 题型8：根据二次函数y=ax2+c的图像与性质求x或y的取值范围 【典例28】．已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【典例29】．对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 题型9：二次函数y=ax2+c的综合应用（不同题型） 【典例30】．对于抛物线，若y的最小值是5，则（    ） A． B． C．5 D． 【典例31】．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例32】．已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 【典例33】．已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【典例34】．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【典例35】．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【典例36】．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【典例37】．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 ． 【典例38】．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 一、单选题 1．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（    ） A．向下， B．向下， C．向上， D．向上， 2．抛物线y＝﹣x2+3不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 3．二次函数与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（  ） A．0 B．1 C． D．3 4．点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ． 8．抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 9．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 10．已知点，是抛物线上的两点，若，则 （填“”“”或“”）． 11．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 12．在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如等．抛物线上的“黎点”是 ． 三、解答题 13．已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$