第29讲 二次函数 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第29讲 二次函数 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各点在抛物线上的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上． 【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上． B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上． C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上． D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 2．下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【解析】解：（1）是二次函数，故符合题意； （2），不是二次函数，故不符合题意； （3）是二次函数，故符合题意； （4）不是二次函数，故不符合题意； （5）不是二次函数，故不符合题意； （6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意； 综上所述，二次函数有2个． 故选：B． 3．拋物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象的对称轴． 根据抛物线解析式得出，代入数值，即可求出对称轴． 【解析】解：根据题意可得抛物线中的， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选A． 4．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可． 【解析】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线， 故选A． 5．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：二次函数， ，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意； 当时，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大． 6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【解析】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 二、填空题 7．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可． 【解析】解：把，代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故答案为：． 8．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可． 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴． ∴的取值范围是：． 故答案为：． 9．二次函数图像的最高点的横坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【解析】解：， 二次函数图像的最高点的横坐标是， 故答案为：． 10．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【解析】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 11．如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数值的比较方法． 【解析】解：二次函数的对称轴为直线，， ∴距离对称轴越远的点，函数值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 12．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的面积公式是本题的关键． 根据“增加的面积=半径增加后的圆的面积-半径增加前的圆的面积”作答即可． 【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 13．二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，根据表格中纵坐标相等的数据和二次函数的性质，可以得到该函数图像的对称轴． 【解析】解：由表格中的数据可得，和关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴是直线，即， 故答案为：． 14．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点． 【解析】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则，然后解不等式即可． 【解析】∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． 16．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可. 【解析】根据二次函数的图象可知： 对称轴为，已知一个点为， 根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为， 所以时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点的对称点是解题的关键． 17．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可知，与互为相反数，由此可解． 【解析】解：由题意知，若与互为梦函数，则，， 因此二次函数的其中一个梦函数是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，读懂题意，得出变换的规律是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【解析】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 三、解答题 19．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【解析】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题． （2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标． 【解析】（1）解：由题意得，，，． ，． 这个抛物线的表达式为． （2）由（1）得，． 该抛物线的对称轴是直线． 点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为， 的横坐标是4． 当时，． ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键． 21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．    (1)求点的坐标与的值； (2)求的面积． 【答案】(1)；3 (2)3 【分析】（1）根据所给的二次函数解析式，易求顶点的横坐标为1，再把代入，可求，于是可得顶点的坐标是，再把代入，易求； （2）画图后，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解析】（1）解：， 此函数的顶点的横坐标， 把代入，可得， 二次函数顶点的坐标是， 把代入，可得 ， 解得， 当时，，解得， 点坐标是； （2）解：如图， ．    【点睛】本题考查了二次函数的顶点、一次函数图象上点的特征、二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点点的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式及点的坐标； (2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值． 【答案】(1)，点的坐标是 (2)6 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标； （2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可． 【解析】（1）解：把和代入 ，解得 ∴抛物线的表达式为 ∴当时， ∴点的坐标是 （2） 设平移后的抛物线表达式为 把代入得 解得 ∵， ∴ 【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． 【解析】（1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：； (3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式． 【答案】(1)抛物线的解析式为；点A的坐标 (2)证明见解析 (3)直线的解析式为： 【分析】（1）将，代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解得m、n的值，即可得到抛物线解析式，再令，即可求出点A的坐标； （2）根据题意画出图形，通过坐标证明为直角三角形，且，利用及角的关系证明，结合，即可证明两个三角形相似； （3）作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线，先求直线A B’的解析式，与抛物线解析式联立求得F’的坐标，再求直线BB’的解析式，利用及求得的F’的坐标，即可求的解析式． 【解析】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ，解得 ∴抛物线的解析式为 当时，， ∴点A的坐标 （2）如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q ∵，， ∴ ∴ 即为直角三角形，且 ∵， ∴OA=OC ∴ 当时，点P只能在点B的右侧， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ （3）如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线 ∵，点B’和点B关于AC的对称， ∴ 设直线A B’的解析式为：，代入得： 解得： ∴直线A B’的解析式为： 联立 解得：（舍去） 则 设直线BB’的解析式为：，代入，得： ，解得 ∴直线BB’的解析式为： 由题意可知 ∴设直线的解析式为：，代入得： 解得： ∴直线的解析式为：． 【点睛】本题是二次函数综合题．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系数法求解函数解析式，难度较大，综合性强． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【解析】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，   过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 8 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 二次函数 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各点在抛物线上的是（      ） A． B． C． D． 2．下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．拋物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位 5．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 8．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 9．二次函数图像的最高点的横坐标是 . 10．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 11．如果二次函数的图像上有两点那么和那么 ．（填“”、“”或“”） 12．直径是2的圆，当半径增加x时，面积的增加值s与x之间的函数关系式是 ． 13．二次函数图像上部分点的坐标对应值如表所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ． … 14．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 15．沿着轴正方向看，如果抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是 ． 16．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是 . 17．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数与的图象的形状相同，并且对称轴关于轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数.如二次函数与互为梦函数，写出二次函数的其中一个梦函数 ． 18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    三、解答题 19．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标． 21．已知抛物线的顶点在直线上，直线与轴的交点为点．    (1)求点的坐标与的值； (2)求的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式及点的坐标； (2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：； (3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$