阶段性练习卷(6)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 一、 单项选择题： 本题共 6 小题 . 在每小题 给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的 . 1. 已知 ａ · ｂ＝-12 2 姨 ， ｜ａ｜＝4 ， ａ 和 ｂ 的 夹角为 135° ， 则 ｜ｂ｜＝ （ ） Ａ. 12 Ｂ. 3 Ｃ. 6 Ｄ. 3 3 姨 2. 已知 ｜ｂ｜＝3 ， ａ 在 ｂ 方向上的投影是 2 3 ， 则 ａ · ｂ 为 （ ） Ａ. 1 3 Ｂ. 4 3 Ｃ. 3 Ｄ. 2 3. 设 ａ · ｂ＝40 ， ｜ｂ｜＝10 ， 则向量 ａ 在 ｂ 方 向上的投影为 （ ） Ａ. 4 Ｂ. 4 3 姨 Ｃ. 4 2 姨 Ｄ. 8＋ 3 姨 2 4. 在 △ＡＢＣ 中， A #$ B ＝ａ ， B #$ C ＝ｂ ， 若 ａ · （ ａ＋ｂ ） ＜0 ， 则 △ＡＢＣ 是 （ ） Ａ. 锐角三角形 Ｂ. 钝角三角形 Ｃ. 直角三角形 Ｄ. 无法确定 5. 已知非零向量 ｍ ， ｎ 满足 4｜ｍ｜＝3 ｜ｎ ｜ ， ｃｏｓ 〈 ｍ ， ｎ 〉 ＝ 1 3 . 若 ｎ⊥ （ ｔｍ＋ｎ ）， 则实数 ｔ 的值 为 （ ） Ａ. 4 Ｂ. -4 Ｃ. 9 4 Ｄ. - 9 4 6. 设非零向量 ａ ， ｂ ， ｃ ， 满足 ｜ｂ｜＝2 ， ｜ａ｜＝ 1 ， 且 ｂ 与 ａ 的夹角为 θ ， 则 “ ｜ｂ-ａ ｜＝ 3 姨 ” 是 “ θ＝ π 3 ” 的 （ ） Ａ. 充分非必要条件 Ｂ. 必要非充分条件 Ｃ. 充分必要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 二、 多项选择题： 本题共 2 小题 . 在每小题 给出的选项中， 有多项符合题目要求 . 7. △ＡＢＣ 是边长为 2 的等边三角形， 已 知向量 ａ ， ｂ 满足 A #$ B ＝2ａ ， A #$ C ＝2ａ＋ｂ ， 则下 列结论不正确的是 （ ） Ａ. ｜ｂ｜＝1 Ｂ. ａ⊥ｂ Ｃ. ａ · ｂ＝1 Ｄ. （ 4ａ＋ｂ ） ⊥B #$ C 8. 对于非零实数 ａ ， ｂ ， ｃ ， 以下四个命 题都成立： ① （ ａ＋ｂ ） 2 ＝ａ 2 ＋2ａ · ｂ＋ｂ 2 ； ② 若 ａ · ｂ＝ａ · ｃ ， 则 ｂ＝ｃ ； ③ （ ａ＋ｂ ）· ｃ＝ａ · ｃ＋ｂ · ｃ ； ④ （ ａ · ｂ ）· ｃ＝ ａ ·（ ｂ · ｃ ） . 那么类比于此， 对于非零向量 ａ ， ｂ ， ｃ ， 相应命题仍然成立的是 （ ） Ａ. ① Ｂ. ② Ｃ. ③ Ｄ. ④ 三、 填空题： 本题共 4 小题 . 9. 已知向量 ａ＝ （ -4 ， 3 ）， ｂ＝ （ 6 ， ｍ ）， 且 ａ⊥ｂ ， 则 ｍ＝ . 10. 已知 ａ ， ｂ 为单位向量， 且 ａ · ｂ＝0 ， 若 ｃ＝2ａ- 5 姨 ｂ ， 则 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｃ 〉 ＝ . 11. 设向量 ａ＝ （ 1 ， 0 ）， ｂ＝ （ -1 ， ｍ ） . 若 ａ⊥ （ ｍａ-ｂ ）， 则 ｍ＝ . 12. 已知平面向量 ｜ａ｜＝2 ， ｜ｂ｜＝6 ， 且 ａ 与 ｂ 夹 角为 π 3 ， 则 ａ 在 ｂ 上投影的数量为 ， ｂ 在 ａ 上投影的数量为 . 阶段性练习卷 （六） 49 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 四、 解答题： 本题共 2 小题 . 解答应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤 . 13. 已知向量 ａ＝ （ 1 ， 3 姨 ）， ｂ＝ （ 3 ， ｍ ）， 且 ｂ 在 ａ 方向上的投影为 -3 ， 求向量 ａ 与 ｂ 的夹角 . 14. 已知向量 ａ＝ （ -3 ， 2 ） ， ｂ＝ （ 2 ， 1 ） ， ｃ＝ （ 3 ， -1 ）， ｔ∈Ｒ. （ 1 ） 求 ｜ａ＋ｔｂ｜ 的最小值及相应的 ｔ 值； （ 2 ） 若 ａ-ｔｂ 与 ｃ 共线， 求实数 ｔ. 50 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 14.(,-U之，2【解析】向量a=(2,1), (2)mb+nc=(-6m+,-3m+8n)=(5,-5),. 6mt=5, -3m+8=-5. 2x(-1+1m0. (,m),若a与b的夹角为能角，则ab. am 解得m=-1, In=-1. 解得m2且m≠-宁 (3)C7=07-0C=3c,.0=3c+0C=(3,24)+(-3, -4)=(0,20),M(0,20).又CN=0N-00C=-2b,.0N 15.(6,1)【解析】由题意知，AC=2AB=(4.4)→ =-2b+0C=(12.6)+(-3,-4)=(9,2).N(9,2),m (9,-18). C(6,1). 16.1【解析】a+2h=(1+2m,-3),a1(a+2b),a· 一阶段性练习卷（六） (a+2b)=1×(1+2m)+1×(-3)=0,,∴m=1. 1.C【解析】由向量数量积的定义知，a-b=al-Wblcos135°， 17.2【解析】a=(1,0),b=(2,1),a·b=1×2+0x1=2. 得b= 18.解：(1)根据题意a=(-1,1),b=(4,3),则a+ alcos135o=-12V2-6.放选C. 4x-V2 b=(3,4),a-b=(-1)x4+1x3=-1. 2 (2)设a与b的夹角为B,由(1)的结论，ab=-1. 2.D【解析】由题意得alcos(a,b)=子，根据数量积 且lal=V2,bl=5,则cos0=ab 的几何意义知a:b=-lalblcos(a,.b=3x号=2，放选D (3)a在b方向上的投影为ab=-1 3.A【解析】设a与b的夹角为0，∴.向量a在b方向 提升练习 上的投影为ao-n路-决-84，放选A 19.(1)解：当=1时，m=a+3b=(-5,5),n=ka+b= 4.B【解析】AB=a.BC-b.a+b=AB+BC=AC -2,2+1).m/m,5-2)=-5(2+).解得=号 'a(a+b)<0,a·AC<0.即IAB-IAClcos∠BAC<0, （2)证明：mn=[a+(t+2)b]·(ka+b)=ka2+t(1+2)·b+ ∴Cos∠BAC<0,即∠BAC>90°，即△ABC是钝角三角形， (kt+2k+t)a·b=5k+5(t+2),,mn=5,5h+5t(1+2)=5. 故选B. ,*k=--21+1=-(1+1)2+2≤2. 5.B【解析】由n⊥(m+n)可得n(m+n)=0,即m 20.解：(1)2a+b=(3,2y-3),(2a+h)1b,∴3-3(2y n+n2=0,=-n2 n =-3.Iml 3)=0,解得y=2.a=(1,2),lal=V5,a在b上的投 m”miinco(m.n)Imixnx-》 影为助的 2 =-3x号-3×号4故选B (2),ka+2h=(+2,2k-6),2a-4h=(-2,16),又(ka+ 6.C【解析】由h-a=V3得.b+a2-2 labl-cos0=3.即 2b)/(2a-4b).hl,ka+2h=L,-8.a+2h=(2a- 5-4co0=3,co0=之p0=号：由0=号，b-a-b 4h),此时ka+2b与2a-4h反向. 2L.解：(1)设C(x,y),D(m,n),AC=(x+1,y-2), -2=3,h-a=V3.“b-aV3”是“=号 A与AC的夹角为牙，BC=2, 的充要条件，故选C 7.ABC【解析】在△ABC中，由BC=AC-AB-2a+b- AB.AC 2 2a=b,得hl=2.又al=1,∴a-b=lallblcos120°=-1，.(4a+b): MMCV2+2.V(x+1)P+0-2 =2,化为 2 BC=(4a+b)-b=4ab+ib=4x(-1)+4-0.(4a+b)⊥BC,D (x+1)+(-2)=1,① 正确.故选ABC. 又AB.AC=2(x+1)+2(0-2)=2.化为x+=2,② 8.AC【解析】(+b)2-㎡+2ab+b2.利用向量的数量积公 聚立①2计算相格后政以，又点C在第三象 式，可得对于非零向量a,b,c,相应命题仍然成立，故A 正确：若a=0,满足a-b=ac,但是b=e不一定成立，故B 限，.C(-1,3) 错误；向量的数量积满足分配律，故C正确；(ab)·e与 又C可=B,(m+1,n-3)=(-2,-2),计算得出m= c共线，a(bc)与a共线，当a,c方向不同时，向量的 -3,n=1,D(-3,1 数量积运算的结合律不成立，故D不正确.故选AC. (2)由(1)可以知，AC=(0,1).AC+mAB=(2m. 9.8【解析】由a⊥b得，ab=0,即-24+3m=0,m=8. 2m+1),BC=AC-AB=(-2,-1).AC+mAB与BC垂直， 10.号【解析】ac=a(2a-V5b)=2m-V5ab=2, (MC+mAB)-BC=4m-(2m+1)=0,解得m=- 6 ,c2=(2a-V5b)2=4a2-4V5a…b+5b2-9,.lc=3,.cos(a. 22.解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8), e)=ac_2 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6.-3)-3(1,8)=(15-6-3. lallcl 3 -15-3-24)=(6,-42). 11.-1【解析】由a上(ma-b)得，(1,0)(m+1,-m) =0,即m+1=0,.m=-1. 54 参考答案。 2.13【解】析a在b上投影的数量为号-2x了 -2cos60cosl0°+2sin60°sinl0°-V3sinl0 cos10 l:b在a上投影的数量为bcos写-6x-3. 3 =cos10°+V3sinl0°-1V3sinl0° cos10 13.解：设两向量夹角为0，由b在a方向上的投影 =cos10°=l 为-3得，a-b_343m=-3,即m-3V3,c0sab c0s109 lal 2 变式训练4 2点}又0≤0≤， 解：晋a<受.0k牙.六晋2 a-..cos(2a 14.解：(1)，a=(-3,2).b=(2,1).c=(3,-1). =-V2 ,a+h=(-3,2)+H(2,1)=(-3+24,2H) ，sin(2aB)=V2 2 a4bV3242m=V5w5=V59 之√罗=子V万（肖且仅当号时等号成立） snc-29)Y2.0a-2号，csa-29=V7 (2)a-h=(-3,2)-1(2,1)=(-3-21,2-4). ∴.c0s(a+B)=c0s[(2aB)-(a-23)]=c0s(2a-8)c0s(a-23】 又，a-b与c共线，∴(-3-2)×(-1)=3x(2-4),解得 tsin(2a-B)sin(a-2B)=Vxx V2-0. 2 2 2 2 变式训练5 m8.2三角恒等变换 解：a,Be0.受，且c0m=7,cosa8)=4 Γ14 8.2.1两角和与差的余弦 a+Be (0.),:sina=VI-cos'a=4V3,sin(a+B)= 学习手册 变式训练1 VI-cos(a-B)=5V3B(a+B)-a.coB-cosI(a+ 14 解：（国cosc+cos号 B)--cos()cos+sin(a)sina= 14 o语径）-m牙君 7 =-cos号os石+inn若 y又8e0.引，号 变式训练6 C【解折】：角速度为瓷-号心游客从离地面最近的 V6+V2 位置进入座舱，游玩中到地面的距离为)=44sin写-受十 (2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°· 56=4cosg+56(0≤1≤18)， sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60° 由题意可得，甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 (3)cos(a+20°)cos(40°-a)-sin(a+20°)sin(40°-a)= gr)-(44cosg456+44cosg(46)+56] c0s[(a+20°)+(40°-a)]=c0s60°= 21 =1244cos号4cosg+】 变式训练2 解：(1)原式=cos80°cos35°+sin80°sin35=cos(80°- 1243m号4V罗sg 35)=cos45°= 2 =124sin号+君)0≤1≤18). 2)原式VY竖n唱am号 01≤8.君≤哥+君≤1 6 =V2(sm4in7eos年cos7 六号≤n号+君)≤1.-2≤4sn号+君)≤4， -V2 cos)V2cosv6 62 90≤1244in(晋+g≤156. 变式训练3 ,∴g(1)=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 解：原式=2cos(60P-10-V3sin10 156.故选C cos10 变式训练7 =2(cos60cos10+sin60sin10)-V3 sin10 解：(I)设EF与圆D相切于点H,连接DH,则 cos10° DH⊥EF.DH=AD=I5.则AE=EH.Rt△ADE与Rt△HED 55