7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第七章 三角函数 练 效 果 评 价 1. 单摆离开平衡位置 Ｏ 的位移 ｓ （单 位： ｃｍ ） 和时间 ｔ （单位： ｓ ） 的函数关系式 为 ｓ＝6ｓｉｎ 2πt+ π 6 6 " ， 则单摆在摆动时， 从最 右边到最左边的时间为 （ ） Ａ. 2 ｓ Ｂ. 1 ｓ Ｃ. 1 2 ｓ Ｄ. 1 4 ｓ 2. 某市某房地产中介对某楼群在今年的 房价作了统计与预测， 发现每个季度的平均 单价 ｙ （每平方米的价格， 单位： 元） 与第 ｘ 季度之间近似满足 ｙ＝500ｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） ＋9 500 （ ω＞0 ）， 已知第一季度和第二季度的平均单 价如下表所示： 则此楼群在第三季度的平均单价大约是 （ ） Ａ. 10 000 元 Ｂ. 9 500 元 Ｃ. 9 000 元 Ｄ. 8 500 元 3. 据市场调查 ， 某种商品一年内每 件出厂价在 7 千元的基础上， 按月呈 ｆ （ ｘ ） ＝Aｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） +b Ａ＞0 ， ω＞0 ， ｜φ｜＜ π 2 6 " 的模型 波动 （ ｘ 为月份）， 已知 3 月达到最高价 9 千 元， 7 月价格最低为 5 千元， 根据以上条件 可确定 ｆ （ ｘ ）的解析式为 （ ） Ａ. ｆ （ ｘ ） ＝2ｓｉｎ π 4 x- π 4 6 " ＋7 （ 1≤ｘ≤12 ， ｘ∈ Ｎ ＋ ） Ｂ. ｆ （ ｘ ） ＝9ｓｉｎ π 4 x- π 4 6 " （ 1≤ｘ≤12 ， ｘ∈ Ｎ ＋ ） Ｃ. ｆ （ ｘ ） ＝2 2 姨 ｓｉｎ π 4 x＋7 （ 1≤ｘ≤12 ， ｘ∈ Ｎ ＋ ） Ｄ. ｆ （ ｘ ） ＝2ｓｉｎ π 4 x+ π 4 6 " ＋7 （ 1≤ｘ≤12 ， ｘ∈ Ｎ ＋ ） 4. 商场人流量被定义为每分钟通过入口 的人数， 某节日期间某一天商场的人流量满 足函数 Ｆ （ ｔ ） ＝50＋4ｓｉｎ t 2 （ ｔ≥0 ）， 则人流量增 加的时间段是 （ ） Ａ. ［ 0 ， 5 ］ Ｂ. ［ 5 ， 10 ］ Ｃ. ［ 10 ， 15 ］ Ｄ. ［ 15 ， 20 ］ 5. 有一小球从某点 开始来回摆动 ， 与平衡 位置的距离 ｓ （单位： ｃｍ ） 关于时间 ｔ （单位： ｓ ） 的函 数解析式是 ｓ＝Ａｓｉｎ （ ωｔ＋φ ）， Ａ＞0 ， ω＞0 ， 0＜φ＜ π 2 ， 函数图象如图所示， 则 φ＝ . 提 升 练 习 6. 如图， 游乐场中的摩天轮匀速旋转， 每转一圈需要 12 ｍｉｎ ， 其中心 Ｏ 距离地面 40.5 ｍ ， 半径 40 ｍ. 如果你从最低处登上摩 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 x 1 2 y 10 000 9 500 s/cm t/s 第 5 题图 39 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化 而变化， 以你登上摩天轮的时刻开始计时 . 请解答下列问题： （ 1 ） 求出你与地面的距离 ｙ 与时间 ｔ 的 函数关系式 . （ 2 ） 当你第四次距离地面 60.5 ｍ 时， 用 了多长时间？ 7. 已知弹簧上挂着的小球做上下振动， 它与平衡位置 （静止时的位置 ） 的距离 ｈ （单位： ｃｍ ） 和时间 ｔ （单位： ｓ ） 的函数关 系式为 ｈ＝3ｓｉｎ 2t+ π 4 ! " . （ 1 ） 求小球开始振动的位置 . （ 2 ） 求小球第一次上升到最高点和下降 到最低点的时间 . （ 3 ） 经过多长时间小球往返振动一次？ （ 4 ） 每秒内小球能往返振动多少次？ 第 6 题图 40 第七章 三角函数 练 8. 某港口水深 ｙ （单位 ： ｍ ） 是时间 ｔ （ 0≤ｔ≤24 ， 单位： ｈ ） 的函数， 记作 ｙ＝ｆ （ ｔ ）， 下面是某日水深的数据： 经长期观察， ｙ＝ｆ （ ｔ ）的曲线可近似地看 成是函数 ｙ＝Ａｓｉｎωｔ＋ｂ （ Ａ＞0 ， ω＞0 ） 的图象 . （ 1 ） 试根据以上数据， 求出函数 ｙ＝ｆ （ ｔ ） 的近似解析式 . （ 2 ） 一般情况下， 船舶航行时， 船底高 出海底的距离为 5 ｍ 或 5 ｍ 以上时认为是安 全的 （船舶停靠时， 船底只需不碰海底即 可） . 某船吃水深度 （船底与水面的距离） 为 6.5 ｍ ， 如果该船希望在同一天内安全进 出港， 那么它至多能在港内停留多长时间 （忽略进出港所需的时间）？ t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 41 参 考 答 案 象在第一象限每个周期内与 ｙ＝ 1 x 的图象都有两个交点， 在 区间 1 6 ， 13 6 6 " 上有两个交点， 在区间 13 6 ， 25 6 6 " 上有两个 交点， 从而在 0 ， 25 6 6 " 上有 ４ 个交点， ④ 正确 ． １３. 解： （ １ ） 由题意知 1 2 Ｔ＝ 仔 棕 = 7仔 12 - 仔 12 = 仔 2 ， 故 棕＝２ ， 又 ｆ 仔 12 6 " ＝ｓｉｎ 仔 6 + 6 " φ ＝－１ ， 仔 6 +φ=- 仔 2 +２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 即 φ＝－ 2仔 3 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， ∵|φ|＜仔 ， ∴φ＝－ 2 3 仔 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 . （ ２ ） ｘ∈ 仔 6 ， ， % 仔 ， 2x- 2 3 仔∈ - 仔 3 ， 4 3 ， % 仔 ， ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 3 ， 仔 2 ， % 上 单 调 递 增 ， 在 仔 2 ， 4 3 ， % 仔 上 单 调 递 减 ， ∴ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 ∈ - 3 姨 2 ， ， % 1 ， ∴ 函数的值域为 - 3 姨 2 ， ， % 1 . １４. 解： （ １ ） 由 ｆ （ ｘ ）的最小正周期为 仔 ， 知 2仔 棕 ＝仔 ， 即 棕＝２． 又 ｆ （ ｘ ）图象的一条对称轴 为直线 ｘ＝ 仔 6 ， ∴２× 仔 6 ＋φ＝ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ. 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， 即 φ＝ 仔 6 ． ∵ ｆ （ ｘ ）图象过点 （ ０ ， １ ）， 即 １＝Ａｓｉｎ 仔 6 ， 得 Ａ＝２. ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ ２ｓｉｎ 2x + 仔 6 6 " ， 故 ｆ 仔 24 6 " ＝ ２ｓｉｎ 仔 12 + 仔 6 6 " ＝２ｓｉｎ 仔 4 ＝ 2 姨 ． （ ２ ） 当 ｘ ∈ 0 ， 仔 2 ， % 时 ， ２ｘ ＋ 仔 6 ∈ 仔 6 ， 7仔 6 ， % ， ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " ∈ - 1 2 ， ， % 1 ， ∴| ｆ （ ｘ ） |∈ ［ ０ ， ２ ］， 作函数 |ｆ （ ｘ ） |＝ ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 在 0 ， 仔 2 ， % 上的图象， 如图所示， 数形结合 可知 ， 若方程 |ｆ （ ｘ ） |－ｍ＝０ 有两个不同的实数根 ， 则 ｍ∈ （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ， 即 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 为 （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ． 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） 散点图如图 ． （ ２ ） 从散点图可以看出 ， 每经过相同的时间间隔 Ｔ （ １５ ｓ ）， 血压就重复出现相同的数值， 因此， 血压是周期性 变化的 ． 变式训练 ２ 解： 设 ｘ ｍｉｎ 后盛水 ｙ Ｌ ， 由例 ２ 知每转一圈， 水车最 多盛水 １６×１０＝１６０ （ Ｌ ） ， ∴ｙ＝ x 5 · １６０＝３２ｘ ， 为使水车盛 ８００ Ｌ 的水， 则有 ３２ｘ≥８００ ， ∴ｘ≥２５ ， 即水车盛 ８００ Ｌ 的 水至少需要 ２５ ｍｉｎ． 变式训练 ３ 解： 由题知， 该摆球摆动一个来回需用时 ３.２ ｓ ， ∵1 ｍｉｎ＝６０ ｓ＝ （ １８×３.２＋２.４ ） ｓ ， 而 ２.４－１.６＝０.８ ｓ ， ∴ 经过 １ ｍｉｎ 后摆球在点 Ｏ 处 ． 随堂练习 １. Ａ ２. Ｃ ３. Ｃ ４. g 4仔 2 ５. 解： （ １ ） 将 ｔ＝０ 代入 ｓ＝４ｓｉｎ 2t+ 仔 3 6 " ， 得 ｓ＝４ｓｉｎ 仔 3 ＝ ２ 3 姨 ， ∴ 小球开始振动时的位移是 ２ 3 姨 ｃｍ． （ ２ ） 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别 是 ４ ｃｍ 和 －４ ｃｍ． （ ３ ） ∵ 振动的周期是 仔 ， ∴ 小球往复振动一次所用的 时间是 仔 ｓ． 练习手册 效果评价 １. Ｃ 【解析】 由题意， 知周期 Ｔ＝ 2仔 2仔 ＝１ ｓ ， 从最右边到 最左边的时间是半个周期， 为 1 2 ｓ. 故选 Ｃ． ２. Ｃ 【解析】 ∵ｙ＝５００ｓｉｎ （ 棕ｘ＋φ ） ＋９ ５００ （ 棕＞０ ）， ∴ 当 ｘ＝ １ 时， ５００ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＋９ ５００＝１０ ０００ ； 当 ｘ＝２ 时， ５００ｓｉｎ （ ２棕＋ φ ） ＋９ ５００＝９ ５００ ， 即 ｓｉｎ （ ２棕＋φ ） ＝０ ， ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＝１ １ ， ∴ ２棕＋φ＝ｍ仔 ， ｍ∈Ｚ ， 棕＋φ＝ 仔 2 +２ｎ仔 ， ｎ∈Ｚ １ . 易得 ３棕＋φ＝－ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ. 又当 ｘ＝３ 时， ｙ＝５００ｓｉｎ （ ３棕＋φ ） ＋９ ５００ ， ∴ｙ＝９ ０００. 故选 Ｃ． ３. Ａ 【解析】 方法一： 由已知条件， 用排除可知 . 令 ｘ＝ ３ 可排除 Ｄ ， 令 ｘ＝７ 可排除 Ｂ ， 由 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ 可排除 Ｃ． 方法二： 由题意， 可得 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ ， ｂ＝７. 周期 Ｔ＝ 2仔 棕 ＝ ２× （ ７－３ ） ＝８ ， 则 棕＝ 仔 ４ ， ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x+ 6 " φ ＋７. ∵ 当 ｘ＝３ 时， ｙ ＝９ ， ∴２ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＋7 ＝９ ， 即 ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＝１. ∵ |φ |＜ 仔 2 ， ∴φ＝－ 仔 4 . ∴ ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x- 仔 4 6 " ＋７ （ １≤ｘ≤１２ ， ｘ∈Ｎ ＋ ） . 故选 Ａ． ４. Ｃ 【解析】 由 ２ｋ仔－ 仔 4 ≤ t 2 ≤２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 知函 数 Ｆ （ ｔ ）的单调递增区间为 ［ ４ｋ仔－仔 ， ４ｋ仔＋仔 ］， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ＝ １ 时， ｔ∈ ［ ３仔 ， ５仔 ］ . ∵ ［ １０ ， １５ ］ 哿 ［ ３仔 ， ５仔 ］， 故选 Ｃ． ５. 仔 6 【解析】 根据图象， 知 1 6 ， 6 " 0 ， 11 12 ， 6 " 0 两点的 距离刚好是 3 4 个周期 ， ∴ 3 4 Ｔ＝ 11 12 - 1 6 = 3 4 . ∴Ｔ＝１ ， 则 棕＝ 第 １４ 题答图 变式训练 １ 答图 f （ x ） = ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 47 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2仔 r ＝２仔. ∵ 当 ｔ＝ 1 6 时， 函数取得最大值， ∴２仔× 1 6 ＋φ＝ 仔 2 ＋ ２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， ∴φ＝ 仔 6 ． 提升练习 ６. 解 ： （ １ ） 由已知可设 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓωｔ （ ω＞０ ， ｔ≥ ０ ）， 由已知周期为 １２ ｍｉｎ ， 可知 ω＝ 2仔 12 ， 即 ω＝ 仔 6 . ∴ｙ＝ ４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ （ ｔ≥０ ） ． （ ２ ） 令 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝６０.５ ， 得 ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝－ 1 2 ， ∴ 仔 6 ｔ＝ 2 3 仔 或 仔 6 ｔ＝ 4 3 仔 ， 解得 ｔ＝４ 或 ｔ＝８ ， 故第四次距离地面 ６０.５ ｍ 时， 用时为 １２＋８＝２０ （ ｍｉｎ ） ． ７. 解： （ １ ） 令 ｔ＝０ ， 得 ｈ＝３ｓｉｎ 仔 4 ＝ 3 2 姨 2 ， ∴ 开始振 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 3 2 姨 2 ｃｍ 处 ． （ ２ ） 由题意知， 当 ｈ＝３ 时， ｔ 的最小值为 仔 8 ， 即小球 第一次上升到最高点的时间为 仔 8 ｓ． 当 ｈ＝－３ 时， ｔ 的最小值为 5仔 8 ， 即小球第一次下降到 最低点的时间为 5仔 8 ｓ． （ ３ ） Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔 ， 即经过约 仔 ｓ 小球往返振动一次 ． （ ４ ） ｆ＝ 1 T ＝ 1 仔 ， 即每秒内小球往返振动 1 仔 次 ． ８. 解 ： （ １ ） 由已知数据 ， 描出曲线如图 ． 易知函数 ｙ＝ｆ （ ｔ ）的周期 Ｔ＝ １２ ， 振幅 Ａ＝３ ， ｂ＝１０ ， 则 ω＝ 2仔 T ＝ 仔 6 ， ｙ＝３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋ １０ （ ０≤ｔ≤２４ ） ． （ ２ ） 由题意 ， 该船进出港 时， 水深应不小于 ５＋６.５＝１１.５ （ ｍ ）， 由 ｙ≥１１.５ ， 得 ３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋１０≥１１.５ ， 即 ｓｉｎ 仔 6 ｔ≥ 1 2 . ① ∵０≤ｔ≤２４ ， ∴０≤ 仔 6 ｔ≤4仔. ② 由 ①② ， 得 仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 5仔 6 或 13仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 17仔 6 . 化简得 １≤ｔ≤５ 或 １３≤ｔ≤１７． ∴ 该船最早能在凌晨 １ 时进港 5 时出港， 或在 13 时进 港 １７ 时出港， 故在港内最多可停留 4 ｈ． 第 ８ 题答图 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学习手册 变式训练 １ （ １ ） Ｄ （ ２ ） 2 2 姨 3 【解析】 （ １ ） 设两个单位向量 分别为 ｅ １ ， ｅ ２ ， 则 ｅ １ · ｅ ２ ＝ｃｏｓ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝－１ ， 由于 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ∈ ［ ０ ， 仔 ］， ∴ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝仔. 故选 Ｄ. （ ２ ） ∵ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ| ， 则 ３|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝|ｂ| ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 1 3 . 又 ∵ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＋ｃｏｓ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝１ ， 得 ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 8 9 . ∵０≤ 〈 ａ ， ｂ 〉 ≤仔 ， ∴ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 2 2 姨 3 ． 变式训练 ２ ①②⑥ 【解析】 由于 ａ ２ ≥０ ， ｂ ２ ≥０ ， ∴ 若 ａ ２ ＋ｂ ２ ＝０ ， 则 ａ＝ｂ＝０ ， ∴① 正确； 若 ａ＋ｂ＝０ ， 则 ａ＝－ｂ ， 又 ａ ， ｂ ， ｃ 是三个非零向量 ， ∴ａ · ｃ＝－ｂ · ｃ ， ∴|ａ · ｃ|＝|ｂ · ｃ| ， ∴② 正确； ａ ， ｂ 共线 圳ａ · ｂ＝±|ａ||ｂ| ， ∴③ 不正确； 对于 ④ ， 应有 |ａ||ｂ|≥ａ · ｂ ， ∴④ 不正确； 对于 ⑤ ， 应该是 ａ · ａ · ａ＝|ａ| ２ ａ ， ∴⑤ 不正确； ａ ２ ＋ｂ ２ ≥２|ａ||ｂ|≥２ａ · ｂ ， ∴⑥ 正确； 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ０° 时， 也有 ａ · ｂ＞０ ， ∴⑦ 不正确； |ｂ|ｃｏｓθ 表示向量 ｂ 在向量 ａ 方向上的正投影的数量 ， 而非投影长， ∴⑧ 不正确 . 综上可知 ①②⑥ 正确 ． 变式训练 ３ （ １ ） Ｄ （ ２ ） ６ 【解析 】 （ １ ） 如 图， 取 ＡＢ 的中点 Ｈ ， 连接 ＣＨ ， 则向 量A () C 在A () B 方向上的投影的 数量为 ＡＨ＝|A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ ， ∴A () B·A () C ＝|A () B | · |A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝|A () B ||A () H |＝２. 故选 Ｄ． （ ２ ） ∵ 向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的 数量是 ２ ， |ｂ|＝３ ， 则 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ |ａ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉） |ｂ|＝ ２×３＝６． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｂ ３. Ｄ ４. １２０° ５. 解： （ １ ） ａ∥ｂ ， 若 ａ 与 ｂ 同向， 则 θ＝０° ， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| · ｃｏｓ０°＝４×５＝２０ ； 若 ａ 与 ｂ 反向， 则 θ＝１８０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ ||ｂ |ｃｏｓ１８０°＝４×５× （ －１ ） ＝－２０． （ ２ ） 当 ａ⊥ｂ 时， θ＝９０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ９０°＝０． （ ３ ） 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ３０° 时， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ３０°＝４×５× 3 姨 2 ＝１０ 3 姨 ． 练习手册 效果评价 １. B 【解析】 ∵∠ABC=30° ， ∴ 〈A () B ， B () C 〉=180°-30°= 150°. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴ 向量A () B·B () C =|A () B | · |B () C |cos150°=3× 4× - 3 姨 2 2 . =-6 3 姨 . 故选 B. 变式训练 ３ 答图 t/h y/m 48