8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解两角和与差的正弦公式的推导过 程及公式的结构特征 . ２. 掌握两角和与差的正弦公式并能运用 公式进行化简和求值 . 要 点 精 析 要点 1 两角和与差的正弦公式的简单应用 例 1 （ 1 ） sin47°-sin17°cos30° cos17° = （ ） A. - 3 姨 2 B. - 1 2 C. 1 2 D. 3 姨 2 （ 2 ） 求 ｓｉｎ１５７°ｃｏｓ６７°＋ｃｏｓ２３°ｓｉｎ６７° 的值 . （ ３ ） 求 ｓｉｎ （ θ＋７５° ） ＋ｃｏｓ （ θ＋４５° ） － 3 姨 · ｃｏｓ （ θ＋１５° ） 的值 . 分析 （ １ ） 化简求值应注意公式的 逆用 . （ ２ ） （ ３ ） 对于非特殊角的三角函数式 化简应转化为特殊角的三角函数值 . （ １ ） 解析： sin47°-sin17°cos30° cos17° ＝ sin （ 17°+30° ） -sin17°cos30° cos17° ＝ sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30° cos17° ＝ cos17°sin30° cos17° =sin30°= 1 2 . 故选 Ｃ. （ ２ ） 解： 原式 ＝ｓｉｎ （ １８０°－２３° ） ｃｏｓ６７°＋ ｃｏｓ２３° ｓｉｎ６７° ＝ｓｉｎ２３° ｃｏｓ６７° ＋ｃｏｓ２３° ｓｉｎ６７° ＝ ｓｉｎ （ ２３°＋６７° ） ＝ｓｉｎ９０°＝１. （ ３ ） 解： ｓｉｎ （ θ ＋ ７５° ） ＋ ｃｏｓ （ θ ＋ ４５° ） － 3 姨 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ＝ｓｉｎ （ θ＋１５°＋６０° ） ＋ｃｏｓ （ θ＋１５°＋ ３０° ） － 3 姨 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ＝ｓｉｎ （ θ＋１５° ） ｃｏｓ６０°＋ ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ｓｉｎ６０°＋ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ （ θ＋ １５° ） ｓｉｎ３０°－ 3 姨 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ＝ 1 2 ｓｉｎ （ θ＋１５° ） ＋ 3 姨 2 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ＋ 3 姨 2 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） － 1 2 ｓｉｎ （ θ＋ １５° ） － 3 姨 ｃｏｓ （ θ＋１５° ） ＝０. 变式训练 1 化简下列各式： （ １ ） ｓｉｎ x+ π 3 3 # ＋ 2sin x- π 3 3 3 - 3 姨 · cos 2π 3 - - 3 x ； （ ２ ） ｓｉｎ （ ２α＋β ） ｓｉｎα －２ｃｏｓ （ α＋β ） . 8.2.2 两角和与差的正弦、 正切 第 1课时 两角和与差的正弦 76 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 要点 2 给值求值问题 例 ２ 设 α∈ π 2 ， " # π ， β∈ 3π 2 ， 2 " 2 π ， 若 ｃｏｓα＝－ 1 2 ， ｓｉｎβ＝－ 3 姨 2 ， 求 ｓｉｎ （ α＋β ） 的值 . 解： ∵α∈ π 2 ， ， 2 π ， ｃｏｓα＝－ 1 2 ， ∴ｓｉｎα＝ 3 姨 2 . ∵β∈ 3π 2 ， 2 ， 2 π ， ｓｉｎβ＝－ 3 姨 2 ， ∴ｃｏｓβ＝ 1 2 . ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝ 3 姨 2 × 1 2 ＋ - 1 2 ， 2 × - 3 姨 2 ， 2 = 3 姨 2 . 变式训练 2 （变结论） 若例 ２ 中的条件不变， 试求 ｓｉｎ （ α－β ） ＋ｃｏｓ （ α－β ） 的值 . 变式训练 3 （变条件） 若将例 ２ 中的角 β 的条件改 为在第三象限， 其他条件不变， 则结果如 何？ 变式训练 4 （ １ ） 已知 ｓｉｎα＝ 4 5 ， α∈ π 2 ， ， 2 π ， ｃｏｓβ＝ － 5 13 ， β 是第三象限角， 求 ｓｉｎ （ α＋β ）， ｓｉｎ （ α－ β ） 的值 . （ ２ ） 已知 α∈ 0 ， π 2 ， 2 ， β∈ π 2 ， ， 2 π ， 且 ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ 33 65 ， ｃｏｓβ＝－ 5 13 ， 求 ｓｉｎα. 77 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 给值求角问题 例 ３ 已知 α ， β 均为锐角 ， 且 ｃｏｓα＝ 2 5 姨 ， ｓｉｎβ＝ 3 10 姨 ， 求 α－β. 分析 根据平方关系求出 ｓｉｎα ， ｃｏｓβ ， 从而可求出 ｓｉｎ （ α－β ） . 解： 由已知 α ， β 均为锐角， 且 ｃｏｓα＝ 2 5 姨 ， ｓｉｎβ＝ 3 10 姨 ， 得 ｓｉｎα＝ 1- 2 5 姨 姨 # 2 姨 = 1 5 姨 ， cosβ＝ 1- 3 10 姨 姨 姨 2 姨 = 1 10 姨 ， ∴ｓｉｎ （ α－ β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ 1 5 姨 × 1 10 姨 － 2 5 姨 × 3 10 姨 ＝－ 2 姨 2 . 又 ∵ｓｉｎα＜ｓｉｎβ ， ∴０＜α＜β＜ π 2 ， ∴－ π 2 ＜α－ β＜０ ， ∴α－β＝－ π 4 . 反思感悟 已知 α ， β 的三角函数值求 α ， β 的和 或差的值， 通常是先求其三角函数值， 再 求角 . 需要注意的是， 要对角的范围进行判 断， 再确定其值 . 变式训练 5 已知 α∈ 0 ， π 2 2 姨 ， β∈ - π 2 ， 2 姨 0 ， 且 ｃｏｓ （ α－β ） ＝ 3 5 ， ｓｉｎβ＝－ 2 姨 10 ， 试求角 α 的大小 . 要点 4 利用公式解三角形 例 ４ 在 △ＡＢＣ 中， ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝ 2 姨 2 ， 求 ｓｉｎＡ 的值 . 解： 方法一： ∵ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝ 2 姨 ｃｏｓ （ Ａ－ ４５° ） ＝ 2 姨 2 ， ∴ｃｏｓ （ Ａ－４５° ） ＝ 1 2 . 又 ∵０°＜Ａ＜１８０° ， ∴Ａ－４５°＝６０° ， ∴Ａ＝１０５°. ∴ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ （ ４５°＋６０° ） ＝ｓｉｎ４５° · ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°ｓｉｎ６０°＝ 2 姨 + 6 姨 4 . 方法二： ∵ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝ 2 姨 ｓｉｎ （ Ａ＋４５° ） ＝ 2 姨 2 ， ∴ｓｉｎ （ Ａ＋４５° ） ＝ 1 2 . 又 ∵０°＜Ａ＜１８０° ， ∴Ａ＋４５°＝１５０° ， ∴Ａ＝１０５°. ∴ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ （ ４５°＋６０° ） ＝ｓｉｎ４５° · ｃｏｓ６０°＋ｃｏｓ４５°ｓｉｎ６０°＝ 2 姨 + 6 姨 4 . 反思感悟 解决三角形中的有关问题的解题方法： （ １ ） 三角形的内角和等于 １８０°. （ ２ ） 创设条件使之能运用两角和与差 的三角函数公式 . （ ３ ） 记住以下常用结论 . 在 △ＡＢＣ 中， ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝ｓｉｎＣ ， ｃｏｓ （ Ａ＋ Ｂ ） ＝－ｃｏｓＣ ， ｓｉｎ A+B 2 ＝ｃｏｓ C 2 ， ｃｏｓ A+B 2 ＝ｓｉｎ C 2 ， ｔａｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝－ｔａｎＣ. 变式训练 6 在 △ＡＢＣ 中 ， 若 ２ｃｏｓＢｓｉｎＡ ＝ｓｉｎＣ ， 则 78 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 △ＡＢＣ 的形状一定是 （ ） Ａ. 等腰直角三角形 Ｂ. 直角三角形 Ｃ. 等腰三角形 Ｄ. 等边三角形 要点 5 ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ a 2 +b 2 姨 ｓｉｎ （ ｘ＋θ ） 的应用 例 ５ 求函数 ｙ＝ｓｉｎ π 3 -2 # $ 兹 ＋ｃｏｓ π 3 +2 % & 兹 的最大值和最小正周期 . 分析 将函数解析式化为 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋ φ ） 的形式 ， 然后求其最大值和最小正 周期 . 解： ｙ＝ｓｉｎ π 3 -2 % & 兹 ＋ｃｏｓ π 3 +2 % & 兹 ＝ sin π 3 cos2兹-cos π 3 sin2 % & 兹 + cos π 3 cos2兹-sin π 3 · sin2 % & 兹 = 1+ 3 姨 2 （ cos2兹-sin2兹 ） =- 2 姨 + 6 姨 2 · sin 2兹- π 4 % & ， 当 2兹- π 4 ＝２ｋπ－ π 2 ， 即 兹＝ ｋπ－ π 8 （ ｋ∈Ｚ ） 时 ， ｙ ｍａｘ ＝ 2 姨 + 6 姨 2 ， Ｔ＝ 2π 2 ＝π ， ∴ 函数的最大值是 2 姨 + 6 姨 2 ， 最小正 周期是 π. 反思感悟 使用公式 ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ a 2 +b 2 姨 ｓｉｎ （ ｘ＋兹 ） 时应注意的问题： （ １ ） ａｓｉｎｘ ， ｂｃｏｓｘ 中的 ｘ 是同一个角 . （ ２ ） 一般在提取系数时 ， 我们提取 a 2 +b 2 姨 ， 特殊情况下， 也可以提取 － a 2 +b 2 姨 . （ ３ ） 兹 由 ｃｏｓ兹＝ a a 2 +b 2 姨 ， ｓｉｎ兹＝ b a 2 +b 2 姨 决定， 通常将 兹 化归到区间 - π 2 ， π 2 2 ) 内 . （ ４ ） 若令 ｓｉｎφ＝ a a 2 +b 2 姨 ， ｃｏｓφ＝ b a 2 +b 2 姨 ， 则有 ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ a 2 +b 2 姨 ·（ ｓｉｎφｓｉｎｘ＋ｃｏｓφｃｏｓｘ ） ＝ a 2 +b 2 姨 ｃｏｓ （ ｘ－φ ） . 变式训练 7 求函数 ｆ （ ｘ ） ＝３ｃｏｓ５ｘ＋４ｓｉｎ５ｘ 的最大值 、 最小值、 最小正周期 . 例 ６ 已知函数 ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２. （ １ ） 若 ｘ∈Ｒ ， 求函数的最大值和最小值； （ ２ ） 若 ｘ∈ 0 ， π 2 2 2 ， 求函数的最大值 和最小值 . 分析 将 ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ 平方得 １＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ ， 于是 ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ 和 ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ 可用一个未知数 代替， 这样就可以把原函数转化为关于此 未知数的二次函数 . 79 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 解： （ １ ） 设 ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ 2 姨 · ｓｉｎ x+ π 4 " # ∈ ［ - 2 姨 ， 2 姨 ］， 则 ｔ ２ ＝１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ ， ∴２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ ２ －１. ∴ｙ＝ｔ ２ ＋ｔ＋１＝ t+ 1 2 2 & 2 + 3 4 ∈ 3 4 ， 3+ 2 姨 姨 ( . ∴ｙ ｍａｘ ＝３＋ 2 姨 ， ｙ ｍｉｎ ＝ 3 4 . （ ２ ） 若 ｘ∈ 0 ， π 2 姨 2 ， 则 ｔ∈ ［ １ ， 2 姨 ］ . ∴ｙ∈ ［ ３ ， ３＋ 2 姨 ］， 即 ｙ ｍａｘ ＝３＋ 2 姨 ， ｙ ｍｉｎ ＝３. 反思感悟 在解与三角函数有关的最值问题中经 常用到三角函数的有界性 ， 即 |ｓｉｎｘ |≤１ ， |ｃｏｓｘ|≤１. 在这类问题中， 要注意最值点是 否在定义域内 . 变式训练 8 求函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎｘｃｏｓｘ １＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ 的最大值和最 小值 . 变式训练 9 桔槔见于 《墨子·备城门》， 作 “颉皋”， 是一种利用杠杆原理的取水机械 . 桔槔的结 构相当于一个普通的杠杆， 在其横长杆的某 处 （点 O 处） 由竖木支撑或悬吊起来， 横杆 的一端 （点 A 处） 用一根绳子与汲器相连， 另一端 （点 B 处） 绑上一块重石头， 如图 8-2-4 所示， 已知 CD⊥BC ， OD=L 1 ， OC=L 2 . 当要汲水时， 人用力将绳子与汲器往下压， 汲满后， 就让另一端的石头下降 . 经测量， OB= 1 2 m ， L 1 = 2 姨 m ， 当桶装满水时水与 桶共重 150 N ， 且当水桶恰好离开水面时横 杆与套桶的绳的夹角为 105° ， 则在没有外力 的干扰下， 当水桶恰好离开水面， 且杠杆处 于静止状态时 ， 石头的重力约为 （ ） ［由杠杆原理知， 当杠杆处于静止状态时有 F 1 L 1 =F 2 L 2 （ F 1 等于水和桶的重力， F 2 等于石 头的重力） . 绳子的质量忽略不计， 3 姨 ≈ 1.732 ］ A． 400.5 N B． 419 N C． 439.2 N D． 445 N 图 8-2-4 F 1 F 2 L 1 L 2 A D C B O 80 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 数 学 文 化 例 德国著名的天文 学家开普勒说过： “几何 学里有两件宝， 一个是勾 股定理， 另一个是黄金分 割 . 如果把勾股定理比作 黄金矿的话， 那么可以把 黄金分割比作钻石矿 . ” 黄金三角形有两种， 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形 被认为是最美的三角形， 它是一个顶角为 ３６° 的等腰三角形 （另一种是顶角为 １０８° 的 等腰三角形） . 例如， 五角星由五个黄金三 角形与一个正五边形组成， 如图所示， 在其 中一个黄金 △ＡＢＣ 中， BC AC ＝ 5 姨 -1 2 . 根据 这些信息， 可得 ｓｉｎ１２６°＝ （ ） Ａ. 1-2 5 姨 4 B. 3+ 5 姨 8 Ｃ. 1+ 5 姨 4 D. 4+ 5 姨 8 解析： ∵△ＡＢＣ 是顶角为 ３６° 的等腰三 角形， ∴∠ＡＣＢ＝７２° ， 则 ｃｏｓ７２°＝ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ 1 2 BC AC ＝ 5 姨 -1 4 ， ｓｉｎ１２６°＝ｓｉｎ （ ９０°＋３６° ） ＝ ｃｏｓ３６° ， 而 ｃｏｓ７２°＝２ｃｏｓ ２ ３６°－１ ， ∴ｃｏｓ３６° ＝ 1+cos72° 2 姨 = 3+ 5 姨 8 姨 = 6+2 5 姨 16 姨 = 5 姨 +1 4 . 故选 Ｃ. 图 8-2-5 81 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解两角和与差的正切公式的推导 . ２. 掌握公式的正、 逆向及变形运用 . ３. 能够灵活应用和、 差角公式进行化 简、 求值、 证明 . 要 点 精 析 要点 1 两角和与差的正切公式的直接应用 例 1 已知 ｓｉｎα＝－ 3 5 ， α 是第四象限角， 求 ｔａｎ α－ π 4 ! " ， ｔａｎ α－ π 2 ! " 的值 . 解： ∵ｓｉｎα＝－ 3 5 ， α 是第四象限角， 得 ｃｏｓα＝ １－ｓｉｎ ２ α 姨 ＝ １－ - 3 5 ! " 2 姨 = 4 5 ， ｔａｎα＝ sinα cosα = - 3 5 4 5 =- 3 4 . 于是有 ｔａｎ α－ π 4 ! " = tanα-tan π 4 1+tanαtan π 4 = - 3 4 -1 1+ － 3 4 ! " =-7. ｔａｎ α－ π 2 ! " = sin α－ π 2 ! " cos α－ π 2 ! " = -sin π 2 - ! " α cos π 2 - ! " α = -cosα sinα = - 4 5 - 3 5 = 4 3 . 反思感悟 运用两角和与差的正切公式时应注意： （ １ ） 公式 Ｔ α＋β 成立的条件是： α≠ｋπ＋ π 2 ， β≠ｋπ＋ π 2 ， α＋β≠ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ） . （ ２ ） 公式 Ｔ α-β 成立的条件是： α≠ｋπ＋ π 2 ， β≠ｋπ＋ π 2 ， α－β≠ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 且 在从左向右写出等式时， 角 α ， β 的位置不 要写反 . 变式训练 1 （ １ ） 求 ｔａｎ１０５° 的值； （ ２ ） 已知 ｃｏｓθ＝－ 12 13 ， θ∈ π ， 3π 2 ! " ， 求 ｔａｎ θ- π 4 ! " 的值 . 第 2课时 两角和与差的正切 82 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 例 ２ 求下列各式的值： （ １ ） 3 姨 －ｔａｎ１５° １＋ 3 姨 ｔａｎ１５° ； （ ２ ） （ １＋ｔａｎ１° ）（ １＋ｔａｎ２° ）…（ １＋ｔａｎ４４° ）； （ ３ ） ｔａｎ２５°＋ｔａｎ３５°＋ 3 姨 ｔａｎ２５°ｔａｎ３５°. 解： （ １ ） 原式 ＝ ｔａｎ60°-tan15° １+tan60°tan15° ＝ｔａｎ （ ６０° －１５° ） ＝ｔａｎ４５°＝１. （ ２ ） ∵ （ １＋ ｔａｎ１° ）（ １＋ ｔａｎ４４° ） ＝１＋ ｔａｎ１°＋ ｔａｎ４４°＋ｔａｎ１°×ｔａｎ４４°＝１＋ｔａｎ （ １°＋４４° ）（ １－ｔａｎ１° · ｔａｎ４４° ） ＋ｔａｎ１°ｔａｎ４４°＝１＋ｔａｎ４５°－ｔａｎ４５° · ｔａｎ１° · ｔａｎ４４°＋ｔａｎ１°ｔａｎ４４°＝２ ， 同理 （ １＋ｔａｎ２° ）（ １＋ｔａｎ４３° ） ＝２ ， …， ∴ 原式 ＝２ ２２ . （ ３ ） ∵ｔａｎ６０°＝ｔａｎ （ ２５°＋３５° ） ＝ tan25°+tan35° 1-tan25°tan35° = 3 姨 ， ∴ｔａｎ２５°＋ｔａｎ３５°＝ 3 姨 （ １－ｔａｎ２５°ｔａｎ３５° ）， ∴ｔａｎ２５°＋ｔａｎ３５°＋ 3 姨 ｔａｎ２５°ｔａｎ３５°＝ 3 姨 . 反思感悟 （ １ ） “ １ ” 的代换： 在 Ｔ α±β 中如果分子 中出现 “ １ ” 常利用 １＝ｔａｎ４５° 来代换， 以达 到化简求值的目的； （ ２ ） 若 α＋β＝ π 4 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， 则有 （ １＋ ｔａｎα ）（ １＋ｔａｎβ ） ＝２ ； （ ３ ） 公式 ｔａｎ （ α＋β ） ＝ tanα+tanβ 1-tanαtanβ 有以下 一些变形： ①ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎ （ α＋β ）（ １－ｔａｎαｔａｎβ ）； ②ｔａｎαｔａｎβ＝１－ tanα+tanβ tan （ α+β ） ； ③ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎαｔａｎβｔａｎ （ α＋β ） ＝ｔａｎ （ α＋ β ）； ④ 当 β＝ π 4 时， ｔａｎ （ α＋β ） ＝ｔａｎ α＋ π 4 4 $ = 1+ｔａｎα 1-ｔａｎα . 对于公式 ｔａｎ （ α－β ） ＝ tanα-tanβ 1+tanαtanβ ， 也有 类似的结论 . 变式训练 2 求值： （ １ ） sin15°+cos15° sin15°-cos15° ； （ ２ ） ｔａｎ π 6 - - & 兹 +ｔａｎ π 6 + - & 兹 + 3 姨 ｔａｎ π 6 - - & 兹 · ｔａｎ π 6 + - & 兹 . 要点 2 给值求值问题 例 ３ 已 知 ｓｉｎα ＝ 3 5 ， α∈ （ ０ ， ２π ） ， ｔａｎ （ α－β ） ＝ 1 2 ， 求 ｔａｎβ 及 ｔａｎ （ ２α－β ） . 分析 先求出 ｔａｎα ， 然后将所求式中 的角分拆， 并运用两角和与差的正切公式可 求解 . 83 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 解： ∵ｓｉｎα＝ 3 5 ＞０ ， ∴α∈ （ ０ ， π ） . （ １ ） 当 α∈ 0 ， π 2 " # 时， ｃｏｓα＝ 1-sin 2 α 姨 ＝ 1- 3 5 5 & 2 姨 = 4 5 ， ∴ｔａｎα＝ siｎα cosα = 3 5 4 5 = 3 4 ， ∴ｔａｎβ＝ｔａｎ ［ α－ （ α－β ）］ ＝ ｔａｎα－ｔａｎ （ α－β ） 1+ｔａｎαｔａｎ （ α－β ） ＝ 3 4 - 1 2 1+ 3 4 × 1 2 ＝ 2 11 ， tan （ 2α-β ） =ｔａｎ ［ α+ （ α－β ）］ ＝ ｔａｎα+ｔａｎ （ α－β ） 1-ｔａｎαｔａｎ （ α－β ） ＝ 3 4 + 1 2 1- 3 4 × 1 2 ＝2. （ ２ ） 当 α∈ π 2 ， 5 & π 时， ｃｏｓα＝- 1-sin 2 α 姨 =- 1- 3 5 5 & 2 姨 ＝- 4 5 ， ∴ｔａｎα＝ siｎα cosα = 3 5 - 4 5 =- 3 4 ， ∴ｔａｎβ＝ｔａｎ ［ α－ （ α－β ）］ ＝ ｔａｎα－ｔａｎ （ α－β ） 1+ｔａｎαｔａｎ （ α－β ） ＝ - 3 4 - 1 2 1+ - 3 4 5 & × 1 2 =-2 ， ｔａｎ （ ２α－β ） ＝ｔａｎ ［ α＋ （ α－β ）］ ＝ ｔａｎα+ｔａｎ （ α－β ） 1-ｔａｎαｔａｎ （ α－β ） = - 3 4 + 1 2 1- - 3 4 5 & × 1 2 =- 2 11 ， 综上可得， 当 α∈ 0 ， π 2 5 & 时， ｔａｎβ＝ 2 11 ， ｔａｎ （ ２α－β ） ＝２ ； 当 α∈ π 2 ， 5 & π 时， ｔａｎβ＝-2 ， ｔａｎ （ ２α－β ） ＝－ 2 11 . 变式训练 3 已知 ｔａｎ （ α＋β ） ＝５ ， ｔａｎ （ α－β ） ＝３ ， 求 ｔａｎ２α ， ｔａｎ２β ， ｔａｎ 2α+ π 4 5 & . 要点 3 给值求角问题 例 ４ 已知 ｔａｎ （ α－β ） ＝ 1 2 ， ｔａｎβ＝－ 1 7 ， α ， β∈ （ ０ ， π ）， 求 ２α－β 的值 . 分析 本题主要考查已知三角函数值 求角， 可先利用已知条件求出 ｔａｎ （ ２α－β ） 的 值， 然后由 ２α－β 的范围作出判断， 求出 ２α－β 的值 . 解： ∵ｔａｎβ＝－ 1 7 ， ｔａｎ （ α－β ） ＝ 1 2 ， ∴ｔａｎα＝ ｔａｎ ［（ α－β ） ＋β ］ ＝ ｔａｎ （ α－β ） ＋ｔａｎβ 1-ｔａｎ （ α－β ） ｔａｎβ ＝ 1 2 - 1 7 1- 1 2 × - 1 7 5 & 84 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 = 1 3 . ｔａｎ （ ２α－β ） ＝ｔａｎ ［（ α－β ） ＋α ］ ＝ ｔａｎ （ α－β ） ＋ｔａｎα 1-ｔａｎ （ α－β ） ｔａｎα ＝ 1 2 + 1 3 1- 1 3 × 1 2 =1 . ∵ｔａｎα＝ 1 3 ＞０ ， ｔａｎβ＝－ 1 7 ＜０ ， ∴α∈ 0 ， π 2 2 # ， β∈ π 2 ， 2 ， π ， α－β∈ （ －π ， ０ ） . 又 ∵ｔａｎ （ α－β ） ＝ 1 2 ＞０ ， ∴α－β∈ -π ， - π 2 2 ， ， ２α－β＝α＋ （ α－β ） ∈ （ －π ， ０ ） . 而 ｔａｎ （ ２α－β ） ＝１ ， ∴２α－β＝－ 3 4 π. 变式训练 4 已知 － π 2 ＜α＜ π 2 ， － π 2 ＜β＜ π 2 ， 且 ｔａｎα ， ｔａｎβ 是方程 ｘ ２ ＋６ｘ＋７＝０ 的两根， 求 α＋β 的值 . 要点 4 利用公式解三角形 例 ５ 已知在 △ＡＢＣ 中 ， 满足 ｔａｎＡ＋ ｔａｎＢ ＋ 3 姨 ＝ 3 姨 ｔａｎＡｔａｎＢ ， 且 ｓｉｎＡｃｏｓＡ ＝ 3 姨 4 ， 判断 △ＡＢＣ 的形状 . 解： 若 ｔａｎＡｔａｎＢ＝１ ， ∵ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ 3 姨 ＝ 3 姨 ｔａｎＡｔａｎＢ ， 则 ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝０ ， ∴ｔａｎＡ＝－ｔａｎＢ ， ｔａｎ ２ Ｂ＝－１ ， 不可能， 故 ｔａｎＡｔａｎＢ≠１. 由 ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ 3 姨 ＝ 3 姨 ｔａｎＡｔａｎＢ 得 ， ｔａｎＡ×ｔａｎＢ 1-ｔａｎＡｔａｎＢ ＝－ 3 姨 ， 即 ｔａｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝－ 3 姨 . ∴ｔａｎＣ＝－ｔａｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝ 3 姨 ， 从而 Ｃ＝６０°. 由 ｓｉｎＡ · ｃｏｓＡ＝ 3 姨 4 得 ｓｉｎ ２ Ａｃｏｓ ２ Ａ＝ 3 16 ， 整理得 １６ｃｏｓ ４ Ａ－１６ｃｏｓ ２ Ａ＋３＝０ ， ∴ｃｏｓ ２ Ａ＝ 3 4 或 ｃｏｓ ２ Ａ＝ 1 4 ， 解得 ｃｏｓＡ＝± 3 姨 2 或 ｃｏｓＡ＝± 1 2 . 又 ∵Ａ∈ （ ０ ， π ） ， ∴Ａ＝３０° 或 １５０° 或 ６０° 或 １２０°. 当 Ａ＝１５０° 或 １２０° 时不符合题意， 舍去 . 当 Ａ＝３０° 时， Ｃ＝６０° ， ∴Ｂ＝９０° ， 与 ｔａｎＢ 有意义矛盾， 舍去 . ∴Ａ＝６０° ， Ｂ＝６０° ， Ｃ＝６０° ， 即 △ＡＢＣ 为正三角形 . 变式训练 5 已知 △ＡＢＣ 中， ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＋ 3 姨 ｔａｎＢｔａｎＣ ＝ 3 姨 ， 且 3 姨 ｔａｎＡ＋ 3 姨 ｔａｎＢ＝ｔａｎＡｔａｎＢ－１ ， 试判断 △ＡＢＣ 的形状 . 85 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 大雁塔作为 现存最早 、 规模最大 的唐代四方楼阁式砖 塔 ， 是凝聚了中国古 代劳动人民智慧结晶 的标志性建筑 . 如图所示， 已知 ∠ＡＢＥ＝α ， ∠ＡＤＥ＝β ， 垂直放置的标杆 ＢＣ 的高度 ｈ＝ ４ ｍ ， 大雁塔高度 Ｈ＝６４ ｍ. 某数学兴趣小组 准备用数学知识探究大雁塔的高度与 α ， β 的关系 . 该小组测得 α ， β 的若干数据并分析 测得的数据后， 发现适当调整标杆到大雁塔 的距离 ｄ ， 使 α 与 β 的差较大时， 可以提高 测量精确度， 求 α－β 最大时， 标杆到大雁塔 的距离 ｄ 为 ｍ. 分析 本题是两角和与差的正切在生 活中的应用， 结合条件， 选择合理公式解决 问题 . 解析： 由题意得 BD BD+d = 4 64 ， ∴ＢＤ＝ d 15 ， 因此 ｔａｎ （ α－β ） ＝ tanα-tanβ 1+tanαtanβ = 64 d - 60 d 1+ 64 d · 60 d = 4 d+ 64×60 d ≤ 4 2 d · 64×60 d 姨 = 1 8 15 姨 ， 当且仅 当 ｄ＝１６ 15 姨 时取等号， 因此当 ｄ＝１６ 15 姨 时， ｔａｎ （ α－β ） 取最大值， 即标杆到大雁塔的距离 ｄ 为 １６ 15 姨 ｍ. 图 8-2-6 86 参 考 答 案 ７. － 1 2 【解析】 方 法 一 ： ｃｏｓ （ α＋１２０° ） ｃｏｓα－ ｓｉｎ （ α＋ １２０° ） ｓｉｎ （ －α ） ＝ｃｏｓ （ α＋１２０° ） ｃｏｓ （ －α ） －ｓｉｎ （ α＋１２０° ） ｓｉｎ （ －α ） ＝ ｃｏｓ ［（ α＋１２０° ） ＋ （ －α ）］ ＝ｃｏｓ１２０°＝－ 1 2 ． 方法二： ｃｏｓ （ α＋１２０° ） ｃｏｓα－ｓｉｎ （ α＋１２０° ） ｓｉｎ （ －α ） ＝ｃｏｓ （ α＋ １２０° ） ｃｏｓα＋ｓｉｎ （ α＋１２０° ） ｓｉｎα＝ｃｏｓ ［（ α＋１２０° ） －α ］ ＝ｃｏｓ１２０°＝－ 1 2 ． ８. 1 2 【解析 】 ∵ａ＝ （ ｃｏｓα ， ｓｉｎα ）， ｂ＝ （ ｃｏｓβ ， ｓｉｎβ ）， ∴ |ａ|＝|ｂ|＝１. 又 ∵ａ 与 ｂ 的夹角为 仔 3 ， ∴ａ · ｂ＝|ａ| · |ｂ|ｃｏｓ 仔 3 ＝１×１× 1 2 ＝ 1 2 . 又 ∵ａ · ｂ ＝ （ ｃｏｓα ， ｓｉｎα ）·（ ｃｏｓβ ， ｓｉｎβ ） ＝ｃｏｓαｃｏｓβ ＋ ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｃｏｓ （ α－β ）， ∴ｃｏｓ （ α－β ） ＝ 1 2 ． ９. 56 65 【解析 】 由三角函数的定义可得 ， ｓｉｎα＝ 3 5 ， ｃｏｓβ＝ 5 13 ， ∴ｃｏｓα＝ 4 5 ， ｓｉｎβ＝ 12 13 . ∴ｃｏｓ （ α－β ） ＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ ｓｉｎαｓｉｎβ＝ 4 5 × 5 13 ＋ 3 5 × 12 13 ＝ 56 65 . １０. 解： ∵ 仔 2 ＜α－β＜仔 ， ｃｏｓ （ α－β ） ＝－ 4 5 ， ∴ｓｉｎ （ α－β ） ＝ 3 5 . ∵ 3 2 仔＜α＋β＜２仔 ， ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－ 3 5 ， ∴ｃｏｓ （ α＋β ） ＝ 4 5 ． ∴ｃｏｓ２β＝ｃｏｓ ［（ α＋β ） － （ α－β ）］ ＝ｃｏｓ （ α＋β ） ｃｏｓ （ α－β ） ＋ｓｉｎ （ α＋ β ） ｓｉｎ （ α－β ） ＝ 4 5 × - 4 5 5 " ＋ - 3 5 5 " × 3 5 ＝－１. ∵ 仔 2 ＜α－β＜仔 ， 3仔 2 ＜ α＋β＜２仔 ， ∴ 仔 2 ＜２β＜ 3仔 2 ， ∴２β＝仔 ， ∴β＝ 仔 2 ． 提升练习 １１. Ｂ 【解析】 ∵ｓｉｎαｓｉｎβ＝１ ， －１≤ｓｉｎα≤１ ， －１≤ｓｉｎβ≤ １ ， ∴ ｓｉｎα＝１ ， ｓｉｎβ＝ ＝ １ 或 ｓｉｎα＝－１ ， ｓｉｎβ＝-１ ＝ ， 解得 ｃｏｓα＝０ ， ｃｏｓβ＝０ ＝ ， 于是 ｃｏｓ （ α－β ） ＝ ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝１. 故选 Ｂ． １２. Ｃ 【解析】 ｃｏｓβ＝ｃｏｓ ［ α－ （ α－β ）］ ＝ｃｏｓαｃｏｓ （ α－β ） ＋ ｓｉｎαｓｉｎ （ α－β ）， 由已知 ｃｏｓα＝ ３ ５ ， ｃｏｓ （ α－β ） ＝ ７ ２ 姨 １0 ， ０＜β＜ α＜ 仔 2 ， 可知 ｓｉｎα＝ ４ ５ ， ｓｉｎ （ α－β ） ＝ ２ 姨 １0 ， 代入上式得 ｃｏｓβ＝ ３ ５ × ７ ２ 姨 １0 + ４ ５ × ２ 姨 １0 = ２５ ２ 姨 50 ＝ ２ 姨 ２ ， ∴β＝ 仔 ４ . 故选 Ｃ． １３. Ｃ 【解析】 ∵０＜α＜ 仔 2 ， － 仔 2 ＜β＜０ ， ∴ 仔 ４ ＜α＋ 仔 ４ ＜ ３仔 ４ ， 仔 ４ ＜ 仔 ４ － β 2 ＜ 仔 2 . 又 ∵ｃｏｓ 仔 ４ + 5 " α = 1 3 ， ｃｏｓ 仔 ４ - β 2 5 " ＝ 3 姨 3 ， ∴ｓｉｎ 仔 ４ + 5 " α = 2 2 姨 3 ， ｓｉｎ 仔 ４ - β 2 5 " = 6 姨 3 ， ∴ｃｏｓ α+ β 2 5 " ＝ｃｏｓ 仔 ４ + 5 " α - 仔 ４ - β 2 5 "2 ' ＝ｃｏｓ 仔 ４ + 5 " α ｃｏｓ 仔 ４ - β 2 5 " ＋ｓｉｎ 仔 ４ + 5 " α sin 仔 ４ - β 2 5 " = 1 3 × 3 姨 3 + 2 2 姨 3 × 6 姨 3 = 5 3 姨 9 . 故选 Ｃ． １４. 8 2 姨 -3 15 【解析 】 ∵ｓｉｎα＝－ 1 3 ， α∈ 仔 ， ３ 2 5 " 仔 ， ∴ｃｏｓα＝－ １－ｓｉｎ ２ α 姨 ＝－ ２ 2 姨 ３ . 又 ｃｏｓβ＝－ ４ ５ ， β∈ 仔 2 ， 5 " 仔 ， ∴ｓｉｎβ＝ １－cos ２ β 姨 ＝ 3 ５ ， ∴ｃｏｓ （ α－β ） ＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝ - 2 2 姨 3 × - 4 5 5 " ＋ 3 5 × - 1 3 5 " ＝ 8 2 姨 -3 15 . １５. － 16 65 【解析】 ∵ｃｏｓＢ＝－ 12 13 ， 且 ０＜Ｂ＜仔 ， ∴ 仔 2 ＜Ｂ＜仔 ， ∴ｓｉｎＢ＝ １－ｃｏｓ ２ Ｂ 姨 ＝ １－ - 12 13 5 " 2 姨 = 5 13 ， 且 ０＜Ａ＜ 仔 2 ， ∴ｃｏｓＡ＝ １－ｓin ２ A 姨 ＝ １－ 4 5 5 " 2 姨 ＝ 3 5 ， ∴ｃｏｓ （ Ａ－Ｂ ） ＝ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ 3 5 × - 12 13 5 " ＋ 4 5 × 5 13 ＝－ 16 65 . １６. 解： （ １ ） 设O )* P 的模为 ｒ ， O )* P 在角 θ 的终边上， 则 ｘ＝ｒｃｏｓθ ， ｙ＝ｒｓｉｎθ ， 由题意可得O )* Q 在角 θ－α 的终边上 ， 且 O )* Q 的模也是 ｒ . 由三角函数的定义可得 ｘ′＝ｒｃｏｓ （ θ－α ） ＝ ｒｃｏｓθｃｏｓα＋ｒｓｉｎθｓｉｎα＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα ， 即 ｘ′＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎα． （ ２ ） 设点 Ｃ （ ｘ １ ， ｙ １ ）， ∵ 动点 Ａ 在半圆上， ∴ 设点 Ａ （ ｃｏｓθ ， ｓｉｎθ ）， ０°≤θ≤１８０° ， 则向量B )* A 的坐标为 （ｃｏｓθ－２ ， ｓｉｎθ ）， 向量B )* C 的坐标为 （ｘ １ －２ ， ｙ １ ） ． 由已知可得向量B )* A 绕点 Ｂ 顺时针方向旋转 ６０° 得到向 量B )* C ， ∴ 由 （ １ ） 的结论得 ｘ １ －２＝ （ ｃｏｓθ－２ ） ｃｏｓ６０°＋ｓｉｎθｓｉｎ６０° ＝ 1 2 ｃｏｓθ＋ 3 姨 2 ｓｉｎθ－１＝ｃｏｓ （ θ－６０° ） －１ ， ∴ｘ １ ＝１＋ｃｏｓ （ θ－６０° ） . ∵０°≤θ≤１８０° ， ∴－６０°≤θ－６０°≤１２０° ， ∴－ 1 2 ≤ｃｏｓ （ θ－６０° ） ≤１ ， ∴ｘ １ ∈ 1 2 ， ， , 2 ． １７. 解： ∵α∈ 仔 2 ， 5 " 仔 ， β∈ ０ ， 仔 2 5 " ， ∴α－ β 2 ∈ 仔 4 ， 5 " 仔 ， α 2 －β∈ - 仔 4 ， 仔 2 5 " . ∴ｓｉｎ α－ β 2 5 " ＝ 1-ｃｏｓ ２ α－ β 2 5 " 姨 = 1- 1 81 姨 ＝ 4 5 姨 9 ， cos α 2 － 5 " β ＝ 1-ｓin ２ α 2 － 5 " β 姨 = 1- 4 9 姨 = 5 姨 3 ， ∴ｃｏｓ α+β 2 ＝ ｃｏｓ α－ β 2 5 " - α 2 － 5 " β 2 , =cos α－ β 2 5 " cos α 2 － 5 " β +sin α－ β 2 5 " · sin α 2 － 5 " β ＝- 1 9 × 5 姨 3 + 4 5 姨 9 × 2 3 = 7 5 姨 27 . 8.2.2 两角和与差的正弦、 正切 第 1 课时 两角和与差的正弦 学习手册 变式训练 １ 解 ： （ １ ） 原 式 ＝ｓｉｎｘｃｏｓ 仔 3 ＋ｃｏｓｘｓｉｎ 仔 3 ＋２ｓｉｎｘｃｏｓ 仔 3 － ２ｃｏｓｘｓｉｎ 仔 3 － 3 姨 ｃｏｓ 2仔 3 ｃｏｓｘ － 3 姨 ｓｉｎ 2仔 3 ｓｉｎｘ ＝ 1 2 ｓｉｎｘ ＋ 3 姨 2 ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ－ 3 姨 ｃｏｓｘ＋ 3 姨 2 ｃｏｓｘ－ 3 2 ｓｉｎｘ＝ 1 2 +1- 3 2 5 " ｓｉｎｘ＋ 3 姨 2 - 3 姨 + 3 姨 2 5 " ｃｏｓｘ＝０． （ ２ ） 原式 ＝ ｓｉｎ ［（ α＋β ） ＋α ］ －２ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎα ｓｉｎα 57 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 = ｓｉｎ （ α＋β ） ｃｏｓα-cos （ α+β ） ｓｉｎα ｓｉｎα ＝ ｓｉｎ ［（ α＋β ） -α ］ ｓｉｎα ＝ ｓｉｎβ ｓｉｎα . 变式训练 ２ 解 ： ｓｉｎ （ α－β ） ＋ｃｏｓ （ α－β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＋ｃｏｓαｃｏｓβ＋ ｓｉｎαｓｉｎβ＝ 3 姨 2 × 1 2 － - 1 2 2 # × - 3 姨 2 2 2 + - 1 2 2 2 × 1 2 + 3 姨 2 × - 3 姨 2 2 2 = 3 姨 4 - 3 姨 4 - 1 4 - 3 4 =-1. 变式训练 ３ 解： ∵α∈ 仔 2 ， 2 2 仔 ， ｃｏｓα＝－ 1 2 ， ∴ｓｉｎα＝ ３ 姨 2 ． ∵β 为第三象限角， ∴ｃｏｓβ＝－ 1 2 ． ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝ ３ 姨 2 × - 1 2 2 2 + - 1 2 2 2 × - ３ 姨 2 2 2 ＝－ ３ 姨 4 + ３ 姨 4 =0. 变式训练 ４ 解： （ １ ） ∵ｓｉｎα＝ 4 5 ， α∈ 仔 2 ， 2 2 仔 ， ∴ｃｏｓα＝－ １－ｓｉｎ ２ α 姨 ＝－ １－ 4 5 2 2 2 姨 ＝－ 3 5 . ∵ｃｏｓβ ＝－ 5 13 ， β 是 第 三 象 限 角 ， ∴ｓｉｎβ＝－ １－cos ２ β 姨 ＝－ １－ - 5 13 2 2 2 姨 =- 12 13 . ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝ 4 5 × - 5 13 2 2 + - 3 5 2 2 × - 12 13 2 2 = 16 65 ， ｓｉｎ （ α－β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ 4 5 × - 5 13 2 2 - - 3 5 2 2 × - 12 13 2 2 =- 56 65 . （ ２ ） 由 ０＜α＜ 仔 2 ， 仔 2 ＜β＜仔 ， 得 仔 2 ＜α＋β＜ 3仔 2 ， 故由 ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ 33 65 ， 得 ｃｏｓ （ α＋β ） ＝－ 56 65 . 由 ｃｏｓβ＝－ 5 13 ， 得 ｓｉｎβ＝ 12 13 ． ∴ｓｉｎα＝ｓｉｎ ［（ α＋β ） －β ］ ＝ｓｉｎ （ α＋β ） ｃｏｓβ－ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎβ＝ 33 65 × - 5 13 2 2 － - 56 65 2 2 × 12 13 ＝ 3 5 ． 变式训练 ５ 解 ： ∵α 0 ， 仔 2 2 2 ， β∈ - 仔 2 ， 2 2 0 ， ∴α－β∈ （ ０ ， 仔 ） . 由 ｃｏｓ （ α－β ） ＝ 3 5 ， 知 ｓｉｎ （ α－β ） ＝ 4 5 . 由 ｓｉｎβ＝－ 2 姨 10 ， 知 ｃｏｓβ＝ 7 2 姨 10 . ∴ｓｉｎα＝ｓｉｎ ［（ α－β ） ＋β ］ ＝ｓｉｎ （ α－β ） ｃｏｓβ＋ｃｏｓ （ α－β ） ｓｉｎβ＝ 4 5 × 7 2 姨 10 ＋ 3 5 × - 2 姨 10 2 2 = 2 姨 2 . 又 α∈ 0 ， 仔 2 2 2 ， ∴α＝ 仔 4 ． 变式训练 ６ Ｃ 【解析 】 在 △ＡＢＣ 中 ， ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ ｃｏｓＡｓｉｎＢ ， ∴２ｃｏｓＢｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ ， 即 ｓｉｎＡｃｏｓＢ － ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝０ ， 亦即 ｓｉｎ （ Ａ－Ｂ ） ＝０ ， ∴Ａ－Ｂ＝０ ， Ａ＝Ｂ ， 从而 △ＡＢＣ 是等腰三角形， 故选 Ｃ． 变式训练 ７ 解 ： ｆ （ ｘ ） ＝ 3 2 +4 2 姨 ｓｉｎ （ ５ｘ＋θ ） ＝５ｓｉｎ （ ５ｘ＋θ ） ． ∴ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ３ｃｏｓ５ｘ＋４ｓｉｎ５ｘ 的最大值是 ５ ， 最小值是 －５ ， 最小正周期为 2仔 5 ． 变式训练 ８ 解： 设 ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ ， 则 ｔ＝ 2 姨 ｓｉｎ x+ 仔 4 2 2 ． ∵－１≤ｓｉｎ x+ 仔 4 2 # ≤１ ， 又 １＋ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ≠０ ， ∴ｔ∈ ［ － 2 姨 ， －１ ） ∪ （ －１ ， ２ ］， 则 ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ ｔ ２ －1 2 ， ｆ （ ｘ ） ＝ ｔ ２ －1 2 1+t = ｔ－1 2 . 当 ｔ＝ － 2 姨 时， ｆ （ ｘ ）取最小值 － 2 姨 +1 2 ； 当 ｔ＝ 2 姨 时， ｆ （ ｘ ）取最 大值 2 姨 -1 2 . 因此， ｆ （ ｘ ）的最小值是 - 2 姨 +1 2 ， 最大值是 2 姨 -1 2 ． 变式训练 9 C 【解 析 】 由 题 意 得 ， ∠OAD =180° -105° =75° ， 则 ∠BOC=∠AOD=15° ， ∴L 2 =OC=OBcos15°= 1 2 cos （ 45°-30° ） = 1 2 （ cos45°cos30°+ sin45°sin30° ） = 1 2 × 2 姨 2 × 3 姨 2 + 2 姨 2 × 1 2 2 2 = 6 姨 + 2 姨 8 （ m ） . 由 F 1 L 1 =F 2 L 2 ， 得 6 姨 + 2 姨 8 F 2 =150 2 姨 ， 解 得 F 2 = 600 （ 3 姨 -1 ） ≈439.2 （ N ）， ∴ 当水桶恰好离开水面， 且杠杆处于静止状态时， 石 头的重力约为 439.2 N ， 故选 C. 随堂练习 １. Ａ ２. Ｃ ３. Ａ ４. ＢＤ ５. － 1 2 ６. 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓ 仔 3 ＋ｃｏｓｘｓｉｎ 仔 3 =ｓｉｎｘ＋ 1 2 · ｓｉｎｘ＋ 3 姨 2 ｃｏｓｘ＝ 3 2 ｓｉｎｘ＋ 3 姨 2 ｃｏｓｘ＝ 3 姨 ｓｉｎｘｃｏｓ 仔 6 +ｃｏｓｘｓｉｎ 仔 6 2 2 = 3 姨 ｓｉｎ x+ 仔 6 2 2 . 当 ｓｉｎ x+ 仔 6 2 2 ＝－１ 时 ， ｆ （ ｘ ） ｍｉｎ ＝－ 3 姨 ， 此 时 ｘ＋ 仔 6 ＝ 3仔 2 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ｘ＝ 4仔 3 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ｆ （ ｘ ） 的最小值为 － 3 姨 ， ｘ 的集合为 x|ｘ＝ 4仔 3 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ Ｚ . ） ． （ ２ ） 将 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象上所有点的横坐标不变， 纵坐标 变为原来的 3 姨 倍 ， 得 ｙ＝ 3 姨 ｓｉｎｘ 的图象 ； 然后将 ｙ＝ 3 姨 ｓｉｎｘ 的图象上所有的点向左平移 仔 6 个单位， 得 ｆ （ ｘ ） ＝ 3 姨 ｓｉｎ x+ 仔 6 2 2 的图象 ． 练习手册 效果评价 １. Ｃ 【解析 】 逆用两角差的正弦公式 ， ｓｉｎ８°ｃｏｓ３８°－ ｓｉｎ８２°ｓｉｎ３８°＝ｓｉｎ８°ｃｏｓ３８°－ｃｏｓ８°ｓｉｎ３８°＝ｓｉｎ （ ８°－３８° ） ＝ｓｉｎ （ －３０° ） 58 参 考 答 案 ＝－ 1 2 . 故选 Ｃ． ２. Ａ 【解析】 ｓｉｎ 3仔 4 + ! " 兹 ｃｏｓ 仔 12 - ! " 兹 ＋ ｃｏｓ 3仔 4 + ! " 兹 · ｓｉｎ 仔 12 - ! " 兹 ＝ｓｉｎ 3仔 4 + ! " 兹 + 仔 12 - ! " 兹 兹 $ =ｓｉｎ 5仔 6 ＝ 1 2 . 故选 Ａ． ３. Ｃ 【解析】 由 ｃｏｓ α- 仔 3 ! " ＋ｃｏｓα＝ 1 2 ｃｏｓα＋ 3 姨 2 ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＝ 3 姨 ｃｏｓ α- 仔 6 ! " ＝－１ ， 故选 Ｃ． ４. ＣＤ 【解析】 ∵α∈ 仔 ， ３仔 2 ! " ， ｓｉｎα＝－ ３ ５ ， ∴ｃｏｓα＝－ ４ ５ ， ｓｉｎ α+ 仔 ４ ! " ＝ｓｉｎαｃｏｓ 仔 ４ ＋ｃｏｓαｓｉｎ 仔 ４ ＝－ ３ ５ × 2 姨 ２ + - ４ ５ ! " × 2 姨 ２ ＝- ７ 2 姨 10 . ｓｉｎ α- 仔 ４ ! " ＝ｓｉｎαｃｏｓ 仔 ４ -cosαsin 仔 ４ =- ３ ５ × 2 姨 ２ + 4 ５ × 2 姨 ２ ＝ 2 姨 10 . 故选 ＣＤ． ５. Ｄ 【解析】 ∵Ａ＝１８０°－ （ Ｂ＋Ｃ ） ， ∴ｓｉｎＡ＝ ｓｉｎ （ Ｂ＋Ｃ ） ＝ ２ｓｉｎＢｃｏｓＣ. 又 ∵ｓｉｎ （ Ｂ＋Ｃ ） ＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ ， ∴ｓｉｎＢｃｏｓＣ- ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝ｓｉｎ （ Ｂ－Ｃ ） ＝０ ， 则 Ｂ＝Ｃ ， 故 △ＡＢＣ 为等腰三角形 ． 故选 Ｄ． ６. Ｂ 【解析 】 由题意知 ｓｉｎ∠ＢＥＣ＝ 1 5 姨 ， ｃｏｓ∠ＢＥＣ＝ 2 5 姨 ， 又 ∵∠ＣＥＤ＝ 仔 4 －∠ＢＥＣ ， ∴ｓｉｎ∠ＣＥＤ＝ｓｉｎ 仔 4 ｃｏｓ∠ＢＥＣ -ｃｏｓ 仔 4 ｓｉｎ∠ＢＥＣ＝ 2 姨 2 × 2 5 姨 - 2 姨 2 × 1 5 姨 = 10 姨 10 . 故 选 Ｂ． ７. 仔 ， １ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘｃｏｓ 仔 6 ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ 仔 6 ＋ｃｏｓ２ｘｃｏｓ 仔 3 －ｓｉｎ２ｘｓｉｎ 仔 3 ＝ｃｏｓ２ｘ ， ∴ 最小正周期 Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔 ， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝１． ８. 3 姨 【解析】 ∵ｓｉｎ６８°＝ｓｉｎ６０°ｃｏｓ８°＋ｃｏｓ６０°ｓｉｎ８° ， ｃｏｓ６８° ＝ｃｏｓ６０°ｃｏｓ８°－ｓｉｎ６０°ｓｉｎ８° ， ∴ ｓｉｎ６８°－ｃｏｓ６０°ｓｉｎ８° ｃｏｓ６８°＋ｓｉｎ６０°ｓｉｎ８° = ｓｉｎ６0°ｃｏｓ8° ｃｏｓ６0°cos８° ＝ｔａｎ６０°＝ 3 姨 ． ９. ２ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ 1+ 3 姨 sinx cosx ! " cosｘ＝ｃｏｓｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＝ ２ 1 2 cosx+ 3 姨 2 sin ! " x =2sin x+ 仔 6 ! " . ∵０≤ｘ＜ 仔 2 ， ∴ 仔 6 ≤ｘ＋ 仔 6 ＜ 2仔 3 ， ∴ 1 2 ≤ｓｉｎ x+ 仔 6 ! " ≤１ ， ∴１≤ｆ （ ｘ ） ≤２ ， ∴ ｆ （ ｘ ）的最大值为 ２． １０. 解： ∵ｓｉｎ （ α－β ） ｃｏｓα－ｃｏｓ （ β－α ） ｓｉｎα＝ｓｉｎ （ α－β ）· ｃｏｓα－ ｃｏｓ （ α－β ） ｓｉｎα＝ｓｉｎ （ α－β－α ） ＝ｓｉｎ （ －β ） ＝－ｓｉｎβ＝ 4 5 ， ∴ｓｉｎβ＝－ 4 5 . 又 ∵β 是第三象限角， ∴ｃｏｓβ＝－ １－ｓｉｎ ２ β 姨 ＝－ 3 5 ， ∴ｓｉｎ β+ 仔 4 ! " ＝ ｓｉｎβｃｏｓ 仔 4 ＋ｃｏｓβｓｉｎ 仔 4 ＝ - 4 5 ! " × 2 姨 2 ＋ - 3 5 ! " × 2 姨 2 = - 7 2 姨 10 . 提升练习 １１. Ｃ 【解析 】 ∵ｃｏｓ α- 仔 6 ! " ＋ｓｉｎα＝ 3 姨 2 ｃｏｓα＋ 3 2 ｓｉｎα＝ 4 3 姨 5 ， ∴ 1 2 ｃｏｓα＋ 3 姨 2 ｓｉｎα＝ 4 5 . ∴ｓｉｎ α+ 7仔 6 ! " ＝－ｓｉｎ α+ 仔 6 ! " ＝－ 3 姨 2 ｓｉｎα+ 1 2 cos ! " α =- 4 5 . 故选 Ｃ． １２. Ｃ 【解析 】 ∵α∈ 0 ， 仔 2 ! " ， α＋β∈ 仔 2 ， ! " 仔 ， 且 ｃｏｓα＝ 4 5 ∈ 2 姨 2 ， 3 姨 2 ! " ， ∴α∈ 仔 6 ， 仔 4 ! " . ∵ｓｉｎ （ α＋β ） ＝ 2 3 ∈ 1 2 ， 2 姨 2 ! " ， ∴α＋β∈ 3仔 4 ， 5仔 6 ! " ， ∴ β∈ 仔 2 ， 2仔 3 ! " ， 故选 Ｃ． １３. ②③ 【解析】 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ＋ 3 姨 ｃｏｓｘ ＝２ sinx · 1 2 +cosx · 3 姨 2 ! " =2 sinxcos 仔 3 +cosxsin 仔 3 ! " =2sin x+ 仔 3 ! " ， 显然， ｆ （ ｘ ）不是偶函数， ① 不正确； 由 － 仔 2 ＋２ｋ仔≤ｘ＋ 仔 ３ ≤ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 得 － ５仔 ６ ＋２ｋ仔≤ｘ≤ 仔 ６ ＋２ｋ仔 ， ∴ ｆ （ ｘ ）在 － ５仔 ６ ＋２ｋ仔 ， 仔 ６ ＋２ｋ ! " 仔 上单调递增， 从而 ｆ （ ｘ ）在 - 仔 6 ， 仔 6 ! " 上单调递增， ② 正确； 函数 ｆ （ ｘ ）的最大值为 ２ ， 此时 ｘ＋ 仔 3 ＝ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｘ＝ 仔 6 ＋２ｋ仔＝兹 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｃｏｓ兹＝ 3 姨 2 ， ③ 正确 ． １４. 仔 3 【解析】 由题意得， ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ 3 3 姨 14 ， ∴ｓｉｎ （ α－β ） ＝ 3 3 姨 14 . ∵０＜β＜α＜ 仔 2 ， ∴ｃｏｓ （ α－β ） ＝ 1- 27 196 姨 ＝ 13 14 . 又 ∵ｃｏｓα＝ 1 7 ， ∴ｓｉｎα＝ 4 3 姨 7 . ｃｏｓβ＝ｃｏｓ ［ α－ （ α－β ）］ ＝ ｃｏｓαｃｏｓ （ α－β ） ＋ｓｉｎαｓｉｎ （ α－β ） ＝ 1 7 × 13 14 ＋ 4 3 姨 7 × 3 3 姨 14 = 1 2 ， ∴β＝ 仔 3 ． １５. 解 ： （ １ ） 由 ｆ 5仔 12 ! " ＝Ａｓｉｎ 5仔 12 + 仔 3 ! " ＝Ａｓｉｎ 3仔 4 ＝ 2 姨 A 2 ＝ 3 2 姨 2 ， 可得 Ａ＝３． （ ２ ） ｆ （ 兹 ） －ｆ （ －兹 ） ＝ 3 姨 ， 则 ３ｓｉｎ 兹+ 仔 3 ! " －３ｓｉｎ 仔 3 - ! " 兹 = 3 姨 ， ３ 3 姨 2 cos兹+ 1 2 sin ! " 兹 -3 3 姨 2 cos兹- 1 2 sin ! " 兹 = 3 姨 ， 得 ｓｉｎ兹＝ 3 姨 3 . ∵兹∈ 0 ， 仔 2 ! " ， ∴ｃｏｓ兹＝ 6 姨 3 ， ｆ 仔 6 - ! " 兹 ＝ ３ｓｉｎ 仔 6 -兹+ 仔 3 ! " ＝３ｓｉｎ 仔 2 - ! " 兹 ＝３ｃｏｓ兹＝ 6 姨 ． １６. 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ 仔 6 ＋ｃｏｓ２ｘ＋ａ＝ 3 姨 ｓｉｎ２ｘ＋ ｃｏｓ２ｘ＋ａ＝２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 ! " ＋ａ ， ∴ ｆ （ ｘ ）的最小正周期 Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔． 当 ２ｋ仔－ 仔 2 ≤２ｘ＋ 仔 6 ≤２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 即 ｋ仔－ 仔 3 ≤ｘ≤ 59 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ｋπ＋ π 6 （ ｋ∈Ｚ ） 时， 函数 ｆ （ ｘ ）单调递增， 故 ｆ （ ｘ ）的单调递 增区间为 ｋπ－ π 3 ， ｋπ＋ π 6 6 # （ ｋ∈Ｚ ） ． （ ２ ） 当 ｘ∈ 0 ， π 2 6 $ 时， 2x+ π 6 ∈ π 6 ， 7π 6 6 $ ， ∴ 当 ｘ＝ π 2 时， ｆ （ ｘ ）取得最小值 . ∴２ｓｉｎ 2× π 2 + π 6 6 ' ＋ａ＝－２ ， ∴ａ＝－１． 第 2 课时 两角和与差的正切 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） ｔａｎ１０５°＝ｔａｎ （ １８０°－７５° ） ＝－ｔａｎ７５°＝－ｔａｎ （ ４５°＋ ３０° ） ＝－ 1+ 3 姨 3 1- 3 姨 3 ＝- 3+ 3 姨 3- 3 姨 =- 12+6 3 姨 6 =-2- 3 姨 . （ ２ ） ∵ｃｏｓθ＝－ 12 13 ， θ∈ π ， 3π 2 6 ' ， ∴ｓｉｎθ＝－ １－ｃｏｓ ２ θ 姨 ＝ － 5 13 ， ∴ｔａｎθ＝ sinθ cosθ = 5 12 . ∴ｔａｎ θ- π 4 6 ' ＝ tanθ-tan π 4 1+tanθtan π 4 = 5 12 -1 1+ 5 12 =- 7 17 . 变式训练 ２ 解： （ １ ） 原式 ＝ ｔａｎ１５°＋1 ｔａｎ１５°-1 = ｔａｎ１５°＋ｔａｎ４５° ｔａｎ４５° · ｔａｎ１５°－１ =－ｔａｎ （ １５°＋ ４５° ） ＝－ｔａｎ６０°＝－ 3 姨 ． （ ２ ） 原式 ＝ｔａｎ π 6 - 6 ' θ + π 6 + 6 ' θ 6 # · 1-tan π 6 - 6 ' θ · tan π 6 + 6 ' θ 6 # + 3 姨 tan π 6 - 6 ' θ · tan π 6 + 6 ' θ =tan π 3 · 1-tan π 6 - 6 ' θ · tan π 6 + 6 ' θ 6 # + 3 姨 tan π 6 - 6 ' θ · tan π 6 + 6 ' θ = 3 姨 - 3 姨 tan π 6 - 6 ' θ tan π 6 + 6 ' θ + 3 姨 tan π 6 - 6 ' θ · tan π 6 + 6 ' θ = 3 姨 . 变式训练 ３ 解 ： ｔａｎ２α＝ｔａｎ ［（ α＋β ） ＋ （ α－β ）］ ＝ ｔａｎ （ α＋β ） ＋ｔａｎ （ α－β ） 1-ｔａｎ （ α＋β ） ｔａｎ （ α－β ） = 5+3 1-5×3 =- 4 7 ， ｔａｎ２β＝ｔａｎ ［（ α＋β ） － （ α－β ）］ ＝ ｔａｎ （ α＋β ） -ｔａｎ （ α－β ） 1+ｔａｎ （ α＋β ） ｔａｎ （ α－β ） ＝ 5-3 1+5×3 ＝ 1 8 ， ｔａｎ 2α+ π 4 6 ' ＝ 1+tan2α 1-tan2α = 1- 4 7 1+ 4 7 = 3 11 . 变式训练 ４ 解： 由根与系数的关系， 得 ｔａｎα＋ｔａｎβ＝－６＜０ ， ｔａｎαｔａｎβ＝ ７＞０ ， ∴ｔａｎα＜０ ， ｔａｎβ＜０. 又 ∵－ π 2 ＜α＜ π 2 ， － π 2 ＜β＜ π 2 ， ∴－ π 2 ＜α＜０ ， － π 2 ＜β＜０ ， ∴－π＜α＋β＜０. ∵ｔａｎ （ α＋β ） ＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ 1-ｔａｎαｔａｎβ = -6 1-7 =1 ， ∴α＋β＝－ 3 4 π． 变式训练 ５ 解： 若 ｔａｎＢｔａｎＣ＝１ ， ∵ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＋ 3 姨 ｔａｎＢｔａｎＣ＝ 3 姨 ， 则 ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝０ ， ∴ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ ， ∴ｔａｎ ２ Ｃ＝－１ ， 不可能 ， 故 ｔａｎＢｔａｎＣ≠１． 由 ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＋ 3 姨 ｔａｎＢｔａｎＣ＝ 3 姨 得 ， ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ 1-ｔａｎＢｔａｎＣ = 3 姨 ， ∴ｔａｎ （ Ｂ＋Ｃ ） ＝ 3 姨 . 同理 ｔａｎＡｔａｎＢ≠１ ， ∵ 3 姨 ｔａｎＡ＋ 3 姨 ｔａｎＢ＝ｔａｎＡ · ｔａｎＢ－１ ， ∴ ｔａｎＢ＋ｔａｎA 1-ｔａｎＢｔａｎA =- 3 姨 3 ， ∴ｔａｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝－ 3 姨 3 . 又 ∵Ａ ， Ｂ ， Ｃ 为 △ＡＢＣ 的内角， ∴Ｂ＋Ｃ＝６０° ， Ａ＋ Ｂ＝１５０° ， ∴Ａ＝１２０° ， Ｂ＝Ｃ＝３０° ， ∴△ＡＢＣ 为顶角是钝角的等 腰三角形 ． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ａ ３. Ｂ ４. 1 2 ５. 解： ∵α＋ π 5 ＝ （ α＋β ） － β- π 5 6 ' ， ∴ｔａｎ α+ π 5 6 ' ＝ｔａｎ （ α+β ） - β- π 5 6 '6 $ ＝ ｔａｎ （ α+β ） -tan β- π 5 6 ' 1+ｔａｎ （ α+β ） tan β- π 5 6 ' = 2 5 - 1 4 1+ 2 5 × 1 4 = 3 22 . ６. 解 ： （ １ ） ｔａｎα＝ｔａｎ ［（ α－β ） ＋β ］ ＝ ｔａｎ （ α－β ） ＋ｔａｎβ 1-ｔａｎ （ α－β ） ｔａｎβ = 1 2 - 1 7 1+ 1 14 = 1 3 . （ ２ ） ｔａｎ （ ２α－β ） ＝ｔａｎ ［（ α－β ） ＋α ］ ＝ ｔａｎ （ α－β ） ＋ｔａｎα 1-ｔａｎ （ α－β ） ｔａｎα ＝１． ∵０＜α＜ π 4 ， π 2 ＜β＜π ， ∴０＜２α＜ π 2 ， －π＜－β＜－ π 2 . ∴－π＜２α－β＜ ０. ∴２α－β＝－ 3π 4 ． 练习手册 效果评价 １. D 【解析】 sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin （ 30°+60° ） = sin90°=1. 故选 D. 2. D 【解析】 ∵tan α+ π 4 6 ' =2 ， tan β- 3π 4 6 ' =-3 ， 则 tan （ α-β ） =tan ［（ α-β ） +π ］ =tan α+ π 4 6 ' - β- 3π 4 6 '6 $ = tan α+ π 4 6 ' -tan β- 3π 4 6 ' 1+tan α+ π 4 6 ' tan β- 3π 4 6 ' = 2+3 1+2× （ -3 ） =-1. 故选 D. 3. C 【解析】 点 P （ -3 ， 4 ） 为角 α 终边上一点， 利用三 角函数的定义解得 ， sinα= 4 5 ， cosα=- 3 5 ， ∴cos2α=1- 2sin 2 α =- 7 25 ， sin2α =2sinαcosα =2 × 4 5 × - 3 5 6 ' =- 24 25 ， 故 cos 2α- π 4 6 ' =cos2αcos π 4 +sin2αsin π 4 =- 31 2 姨 50 . 故选 C. 4. B 【解析】 sin π 3 - 6 ' α = 3 姨 3 ， α∈ 0 ， π 2 6 ' ， 60 参 考 答 案 ∴cos 仔 3 - ! " α = 1-sin 2 仔 3 - ! " α 姨 = 6 姨 3 ， 则 cosα=cos 仔 3 - 仔 3 - ! " α α % =cos 仔 3 cos 仔 3 - ! " α +sin 仔 3 sin 仔 3 - ! " α = 1 3 × 6 姨 3 + 3 姨 2 × 3 姨 3 = 6 姨 +3 6 ， 故选 B． 5. B 【解析】 角 A 为 △ABC 的一个内角 ， sinA+cosA= 2 姨 sin A+ 仔 4 ! " ， 如果 A∈ 0 ， 仔 2 %! ， A+ 仔 4 ∈ 仔 4 ， 3仔 4 %! ， 2 姨 sin A+ 仔 4 ! " ∈ ［ 1 ， 2 姨 ］， A∈ 仔 2 ， ! " 仔 ， A+ 仔 4 ∈ 3仔 4 ， 5仔 4 ! " ， 2 姨 sin A+ 仔 4 ! " ∈ （ -1 ， 1 ）， ∵sinA+cosA= 11 25 ， ∴A 是钝角， 故此三角形是钝角三角形 ． 故选 B. 6. B 【 解 析 】 sin105° =sin （ 60° +45° ） =sin60° cos45° + cos60°sin45°= 3 姨 2 × 2 姨 2 + 1 2 × 2 姨 2 = 6 姨 + 2 姨 4 ． 故 选 B． 7. A 【解析 】 ∵cos兹+cos 兹+ 仔 3 ! " =1 ， ∴cos兹+ 1 2 cos兹- 3 姨 2 sin兹=1 ， 可得 3 2 cos兹- 3 姨 2 sin兹=1 ， 可得 3 姨 cos 兹+ 仔 6 ! " = 1 ， 即 cos 兹+ 仔 6 ! " = 3 姨 3 ， 则 cos 2兹+ 仔 3 ! " =2cos 2 兹+ 仔 6 ! " -1= 2× 3 姨 3 ! " 2 -1=- 1 3 . 故选 A. 8. B 【解析 】 在 △ABC 中 ， AB=40 ， AC=20 ， ∠BAC= 120° ， 由余弦定理得 BC 2 =AB 2 +AC 2 -2AB · AC · cos120°=2 800 ， ∴BC=20 7 姨 . 由正弦定理得 sin∠ACB= AB BC · sin∠BAC= 21 姨 7 . 由 ∠BAC=120° 知 ∠ACB 为锐角 ， 故 cos∠ACB= 2 7 姨 7 ， ∴cos兹=cos （ ∠ACB+30° ） =cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°= 21 姨 14 . 故选 B. 9. ABC 【解析】 ∵f （ x ） =sin2x+2 3 姨 cos 2 x- 3 姨 =sin2x+ 3 姨 （ 2cos 2 x-1 ） =sin2x+ 3 姨 cos2x=2sin 2x+ 仔 3 ! " ， 函数的最 小正周期为 2仔 2 =仔 ， 故 A 正确； 当 x∈ - 仔 3 ， α % 0 时， 2x+ 仔 3 ∈ - 仔 3 ， 仔 3 α % ， 此时正弦函数为单调增函数 ， 故 B 正确 ； 令 2x+ 仔 3 =k仔 （ k∈Z ）， 解得 x=- 仔 6 + k仔 2 （ k∈Z ）， ∴ f （ x ） 的 对 称 中 心 - 仔 6 + k仔 2 ， ! " 0 ， 当 k =1 时 ， 对 称 中 心 为 仔 3 ， ! " 0 ， 故 C 正确； 令 2x+ 仔 3 =k仔+ 仔 2 （ k∈Z ）， 解得 x= 仔 12 + k仔 2 （ k∈Z ）， ∴ f （ x ）的对称轴为 x= 仔 12 + k仔 2 （ k∈Z ）， 故 D 错误 . 故选 ABC. 10. AD 【解析】 ∵sin （ A+B ） +sin （ A-B ） =sinAcosB+cosAsinB+ sinAcosB-cosAsinB=2sinAcosB ， ∴2sinAcosB=3sin2B=6sinBcosB ， 化简可得 cosB （ sinA-3sinB ） =0 ， 解得 cosB=0 或 sinA= 3sinB ， 若 cosB=0 ， B 为 △ABC 的内角， ∴B= 仔 2 . ∵C= 仔 3 ， ∴A= 仔 2 -C= 仔 6 ， ∴sinA=sin 仔 6 = 1 2 ， ∴ a b = 1 2 ； 若 sinA=3sinB ， 由 正弦定理得 a=3b ， ∴ a b =3 ， 综上所述 ， a b 的值为 1 2 或 3. 故选 AD. 11. AC 【解析】 ∵tanα+tanβ= 3 姨 - 3 姨 tanαtanβ ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 3 姨 ， 故 α+β= 仔 3 +k仔 （ k∈Z ）， 对比选项， 可知 α+β 的值可 能为 仔 3 ， - 2仔 3 . 故选 AC. 12. BC 【解析】 由 A （ 1 ， 3 姨 ） 知 A 为角 仔 3 终边上一 点， ∴B 2cos 仔 3 - ! " 兹 ， 2sin 仔 3 - ! " 兹 ! " ， ∴ f （ 兹 ） =2sin 仔 3 - ! " 兹 +2cos 仔 3 - ! " 兹 =2 2 姨 sin 仔 3 -兹+ 仔 4 ! " =2 2 姨 sin 7仔 12 - ! " 兹 =2 2 姨 cos 仔 12 - ! " 兹 ， 故 A 正确； g （ 兹 ） =4sin 仔 3 - ! " 兹 cos 仔 3 - ! " 兹 =2sin 2仔 3 -2 ! " 兹 . 当 兹= 仔 3 时， f （ 兹 ） =2 ， g （ 兹 ） =0 ， 故 B 错误； 当 兹= 仔 12 时， f （ 兹 ） =2 2 姨 ， g （ 兹 ） =2 ， f 2 （ 兹 ） -8g （ 兹 ） =-8≠ 2 ， 故 C 错误； 对于 g （ 兹 ）， 当 - 仔 2 < 2仔 3 -2兹< 仔 2 ， 即 仔 12 <兹< 7仔 12 时， g （ 兹 ） 单调递减， 对于 f （ 兹 ）， 当 -仔< 仔 12 -兹<0 ， 即 仔 12 <兹< 13仔 12 时 ， f （ 兹 ）单 调递减， ∴ f （ 兹 ）与 g （ 兹 ）都在区间 仔 12 ， 7仔 12 ! " 上单调递减， D 说法 正确 ． 故选 BC. 13. BD 【解析 】 由 bsin 仔 4 + ! " C -csin 仔 4 + ! " B =a 及正 弦 定 理 ， 得 sinBsin 仔 4 + ! " C -sinCsin 仔 4 + ! " B =sinA ， 即 sinB 2 姨 2 sinC+ 2 姨 2 cos ! " C -sinC 2 姨 2 sinB+ 2 姨 2 cos ! " B = 2 姨 2 . 整理得 sinBcosC-cosBsinC=1 ， 即 sin （ B-C ） =1. 又 0<B< 3仔 4 ， 0<C< 3仔 4 ， ∴B-C= 仔 2 ， 故 B 正确， A 错误； 由 B+C= 3仔 4 ， 易得 B= 5仔 8 ， C= 仔 8 ， ∵A= 仔 4 ， a= 2 姨 ， 61 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ∴b= asinB sinA =2sin 5仔 8 ， c= asinC sinA =2sin 仔 8 ， 故 C 错误； ∴△ABC 的 面 积 为 1 2 bcsinA = 2 姨 sin 5仔 8 sin 仔 8 = 2 姨 sin 仔 8 cos 仔 8 = 2 姨 2 sin 仔 4 = 1 2 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 14. cosα 【解析】 sin200 ° = sin （ 180 ° +20 ° ） =- sin20 ° ， ∴cos20°cos （ α-20° ） +sin200°sin （ α-20° ） =cos20°cos （ α-20° ） - sin20°sin （ α-20° ） =cosα． 故答案为 cosα． 15. - 10 姨 5 【解析】 若 tan 兹+ 仔 4 4 $ = 1 2 ， 故 1+tan兹 1-tan兹 = 1 2 ， 解得 tan兹=- 1 3 ， 由于 兹 为第二象限角 ， ∴sin兹= 1 10 姨 ， cos兹=- 3 10 姨 ， 故 sin兹+cos兹= 1 10 姨 - 3 10 姨 =- 10 姨 5 . 故答案 为 - 10 姨 5 . 提升练习 16. 解： （ 1 ） f （ x ） =sin 2x+ 仔 3 % & - 仔 2 2 ( +sin 2x+ 仔 3 4 & =sin 2x+ 仔 3 4 & -cos 2x+ 仔 3 4 & = 2 姨 sin 2x+ 仔 3 - 仔 4 4 & = 2 姨 sin 2x+ 仔 12 4 & ， ∴ f （ x ）的最小正周期为 T= 2仔 2 =仔. （ 2 ） ∵ f α 2 4 & = 1 2 ， ∴sin α+ 仔 12 4 & = 2 姨 4 ， ∴cos α+ 仔 12 4 & = ± 14 姨 4 . ∵α∈ 仔 6 ， 4 & 仔 ， ∴α+ 仔 12 ∈ 仔 4 ， 13仔 12 4 & . 又 sin α+ 仔 12 4 & = 2 姨 4 <sin 仔 4 ， ∴cos α+ 仔 12 4 & =- 14 姨 4 ， ∴sin 2α+ 仔 6 4 & =2sin α+ 仔 12 4 & cos α+ 仔 12 4 & =- 7 姨 4 . 17. 解： （ 1 ） lg5+lg2+ 3 5 4 & 0 +lne 1 2 =lg10+1+ 1 2 =2 1 2 ． （ 2 ） ∵cosα= 2 2 姨 3 ， α∈ 0 ， 仔 2 4 & ， ∴sinα= 1 3 ． 又 ∵sin （ α+β ） = 1 3 ， 而 α∈ 0 ， 仔 2 4 & ， β∈ 仔 2 ， 4 & 仔 ， ∴α+β∈ 仔 2 ， 3仔 2 4 & ， ∴cos （ α+β ） =- 2 2 姨 3 ， 于是 cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= - 2 2 姨 3 × 2 2 姨 3 + 1 3 × 1 3 =- 8 9 + 1 9 =- 7 9 ， 故 cosβ=- 7 9 . 18. 解 ： （ 1 ） ∵E 为 BC 中点 ， ∴CE= 1 2 . 在 Rt△ECF 中， 设 CF=t ， 则 EF= t 2 + 1 2 4 & 2 姨 ， ∵△ECF 的周长为 2 ， ∴ 1 2 +t+ t 2 + 1 2 4 & 2 姨 =2 ， 解得 t= 2 3 ， 即 CF= 2 3 ； 在 Rt△ABE 中 ， AB=1 ， BE= 1 2 ， ∠BAE=α ， ∴tanα= 1 2 ， 在 Rt△ADF 中 ， AD=1 ， DF= 1 3 ， ∠DAF=β ， ∴tanβ= 1 3 ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ =1. （ 2 ） 在 Rt△ABE 中， AB=1 ， BE= 1 2 ， ∠BAE=α ， ∴BE =tanα∈ （ 0 ， 1 ）， AE= 1 cosα ， 在 Rt△ADF 中， AD=1 ， DF= 1 3 ， ∠DAF=β ， ∴DF=tanβ∈ （ 0 ， 1 ）， AF= 1 cosβ ， ∴ 在 Rt△ECF 中 ， CE =1 -tanα ， CF =1 -tanβ ， ∴EF = （ 1-tanα ） 2 + （ 1-tanβ ） 2 姨 . ∵△ECF 的周长为 2 ， ∴1-tanα+1- tanβ+ （ 1-tanα ） 2 + （ 1-tanβ ） 2 姨 =2. 化简得 tanα+tanβ=1-tanαtanβ ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 1. 又 ∵0＜α+β＜ 仔 2 ， ∴α+β= 仔 4 ， ∴∠EAF= 仔 2 - （ α+β ） = 仔 4 ， ∴A A, E·A A, F =|A A, E | · |A A, F | · cos∠EAF= 1 cosα · 1 cosβ · cos 仔 4 = 2 姨 2cosαcos 仔 4 - % & α = 2 2 姨 sin 2α+ 仔 4 % & +1 . ∵0＜α＜ 仔 4 ， ∴ 仔 4 ＜2α+ 仔 4 ＜ 3仔 4 ， ∴ 当 2α+ 仔 4 = 仔 2 ， 即 α= 仔 8 时 ， sin 2α+ 仔 4 % & 取得最大值 1 ， 即A A, E·A A, F 取得最小值 2 2 姨 +1 =2 （ 2 姨 -1 ） . 8.2.3 倍角公式 学习手册 变式训练 1 解 ： （ １ ） 原式 ＝ 1 2 ×２ｓｉｎ 仔 8 ｃｏｓ 仔 8 ＝ 1 2 ×ｓｉｎ 仔 4 ＝ 1 2 × 2 姨 2 ＝ 2 姨 4 ． （ ２ ） 原式 ＝ｃｏｓ 2× 仔 6 % & ＝ｃｏｓ 仔 3 = 1 2 . （ ３ ） 原式 ＝ 1 2 １－２ｓｉｎ ２ 仔 8 % & ＝ 1 2 ｃｏｓ 仔 4 ＝ 1 2 × 2 姨 2 ＝ 2 姨 4 ． （ ４ ） 原式 ＝ｔａｎ （ ２×１５° ） ＝ｔａｎ３０°＝ 3 姨 3 ． 变式训练 ２ 解： 【方法一】 由已知条件得 ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝－ 3 2 姨 5 ， 将 此式两边平方得 ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ 7 25 ， 由此可得 （ ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ ） ２ ＝ 32 25 . ∵ｘ∈ 仔 4 ， 仔 2 % & ， ∴ｓｉｎｘ＞０ ， ｃｏｓｘ＞０ ， ∴ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝ 4 2 姨 5 . 故 ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ ２ ｘ－ｓｉｎ ２ ｘ＝ （ ｃｏｓｘ＋ ｓｉｎｘ ）（ ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ ） ＝ 4 2 姨 5 × - 3 2 姨 5 % & =- 24 25 . 【方法二】 ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ 仔 2 -2 % & x ＝２ｓｉｎ 仔 4 - % & x cos 仔 4 - % & x ， ∵ｓｉｎ 仔 4 - % & x ＝－ 3 5 ， ｘ∈ 仔 4 ， 仔 2 % & ， ∴ 仔 4 －ｘ∈ - 仔 4 ， % & 0 ， ∴ｃｏｓ 仔 4 - % & x = 4 5 ， 故 ｃｏｓ２ｘ＝２× - 3 5 % & × 4 5 =- 24 25 . 62