练案19 8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

５． － 槡３ ＋ ４ ３１０ 　 由已知得ｃｏｓ［（α ＋ β）－ α］＝ ｃｏｓ β ＝ － ４ ５ ， ∵ ４５０° ＜ β ＜ ５４０°，∴ ｓｉｎ β ＝ ３５ ， ∴ ｓｉｎ（６０° － β）＝槡３２ × －( )４５ － １２ × ３５ ＝ － 槡３ ＋ ４ ３１０ ． ６．（１）ｆ ５π( )１２ ＝ Ａｓｉｎ ５π１２ ＋ π( )４ ＝ ３２ ， ∴ Ａ ×槡３２ ＝ ３ ２ ，∴ Ａ 槡＝ ３． （２）ｆ（θ）＋ ｆ（－ θ） 槡＝ ３ｓｉｎ θ ＋ π( )４ 槡＋ ３ｓｉｎ － θ ＋ π( )４ ＝ ３２ ， 槡[∴ ３ 槡２２ （ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）＋槡２２ （－ ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ]） ＝ ３２ ． 槡∴ ６ｃｏｓ θ ＝ ３２ ，∴ ｃｏｓ θ ＝槡 ６ ４ ， 又∵ θ∈ ０，π( )２ ，∴ ｓｉｎ θ ＝ １ － ｃｏｓ２槡 θ ＝槡１０４ ， ∴ ｆ ３π４ －( )θ 槡＝ ３ｓｉｎ（π － θ）槡＝ ３ｓｉｎ θ ＝槡３０４ ． Ｃ组　 创新拓展 　 ｓｉｎ １° ＋ ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８°ｓｉｎ ７５° － ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８° ＝ ｓｉｎ（３８° － ３７°）＋ ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８°ｓｉｎ（３８° ＋ ３７°）－ ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８° ＝ ｓｉｎ ３８°ｃｏｓ ３７° － ｃｏｓ ３８°ｓｉｎ ３７° ＋ ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８°ｓｉｎ ３８°ｃｏｓ ３７° ＋ ｃｏｓ ３８°ｓｉｎ ３７° － ｓｉｎ ３７°ｃｏｓ ３８° ＝ ｓｉｎ ３８°ｃｏｓ ３７°ｓｉｎ ３８°ｃｏｓ ３７° ＝ １． 练案［１９］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｃ　 由１ － ｔａｎ α１ ＋ ｔａｎ α ＝ ２，得ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ １ ＋ ｔａｎ α１ － ｔａｎ α ＝ １２ ． ２． Ｂ　 因为ｔａｎ ９５° ＝ ｋ， 所以ｔａｎ ３５° ＝ ｔａｎ（９５° － ６０°）＝ ｋ 槡－ ３ 槡１ ＋ ３ｋ ． ３． Ｃ　 ∵ ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β１ － ｔａｎ αｔａｎ β， ∴ ｔａｎ α·ｔａｎ β ＝ １ － ｔａｎ α ＋ ｔａｎ βｔａｎ（α ＋ β） ＝ １ － ２ ４ ＝ １ ２ ，故选Ｃ． ４． Ｂ　 因为ｔａｎ α，ｔａｎ β是方程ｘ２ 槡＋ ３ ３ｘ ＋ ４ ＝ ０的两个根， 所以ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β 槡＝ － ３ ３ ＜ ０，ｔａｎ αｔａｎ β ＝ ４ ＞ ０．所以ｔａｎ α ＜ ０，ｔａｎ β ＜ ０，即α，β ∈ － π２ ，( )０ ，所以ｔａｎ （α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β １ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ 槡－ ３ ３１ － ４ 槡＝ ３．因为α，β∈ － π ２ ，( )０ ，所以α ＋ β∈（－ π，０），且α ＋ β≠ － π２ ，所以α ＋ β ＝ － ２π ３ ，故选Ｂ． ５． ＡＣ　 Ａ项，ｔａｎ ２５° ＋ ｔａｎ ３５° ＝ ｔａｎ（２５° ＋ ３５°）（１ － ｔａｎ ２５°ｔａｎ ３５°） 槡槡＝ ３ － ３ ｔａｎ ２５° ｔａｎ ３５°，故原式槡槡＝ ３ － ３ ｔａｎ ２５° ｔａｎ ３５° ＋ 槡３ｔａｎ ２５°· 槡ｔａｎ ３５° ＝ ３． Ｂ项，（１ ＋ ｔａｎ ２０°）（１ ＋ ｔａｎ ４０°）＝ １ ＋ ｔａｎ ２０° ＋ ｔａｎ ４０° ＋ 槡ｔａｎ ２０°ｔａｎ ４０° ＝ １ ＋ ３（１ － ｔａｎ ２０°ｔａｎ ４０°）＋ ｔａｎ ２０°ｔａｎ ４０° ＝ 槡１ ＋ ３ －（槡３ － １）ｔａｎ ２０°ｔａｎ ４０°≠槡３． Ｃ项，原式＝ ｔａｎ ４５° ＋ ｔａｎ １５°１ － ｔａｎ ４５°ｔａｎ １５° 槡＝ ｔａｎ ６０° ＝ ３． Ｄ项，原式＝ 槡３ ３ １ － 槡３( )３ ２ ＝槡３２ ． ６． π４ 　 由题图可知ｔａｎ α ＝ １ ３ ，ｔａｎ β ＝ １ ２ ，且α，β均为锐角，所以 ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β１ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ １ ３ ＋ １ ２ １ － １３ × １ ２ ＝ １． 因为α ＋ β∈（０，π），所以α ＋ β ＝ π４ ． ７． 槡－ ３　 ∵ ｔａｎ ７０° ＋ ｔａｎ ５０° ＝ ｔａｎ １２０°（１ － ｔａｎ ５０°·ｔａｎ ７０°）＝ 槡槡－ ３ ＋ ３ｔａｎ ５０°·ｔａｎ ７０° ∴原式 槡槡＝ － ３ ＋ ３ｔａｎ ５０°· 槡ｔａｎ ７０° － ３ｔａｎ ５０°· 槡ｔａｎ ７０° ＝ － ３． ８．槡５　 槡５ － ３２ 　 ∵ １ ＋ ｔａｎ Ａ １ － ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ π４ ＋ ｔａｎ Ａ １ － ｔａｎ π４ ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ π４ ＋( )Ａ ＝槡５５ ， ∴ ｃｏｓ π４ ＋( )Ａ ｓｉｎ π４ ＋( )Ａ ＝ １ ｔａｎ π４ ＋( )Ａ ＝ １ 槡５ ５ 槡＝ ５． ∵ １ ＋ ｔａｎ Ａ１ － ｔａｎ Ａ ＝ 槡５ ５ ， 槡∴ ５（１ － ｔａｎ Ａ）＝ ５（１ ＋ ｔａｎ Ａ）， 整理得ｔａｎ Ａ ＝槡５ －５ 槡５ ＋５ ＝ （槡５ －５） ２ （槡５ ＋５）（槡５ －５） ＝ 槡３０ －１０ ５－２０ ＝槡 ５ －３ ２ ． ９． ∵ ｓｉｎ α ＝ － 槡３ １０１０ 且α是第三象限角， ∴ ｃｏｓ α ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ － １ － － 槡３ １０( )１０槡 ２ ＝ －槡１０１０ ． ∴ ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ３． ∴ ｔａｎ α － π( )４ ＝ ｔａｎ α － ｔａｎ π４ １ ＋ ｔａｎ α·ｔａｎ π４ ＝ ３ － １１ ＋ ３ × １ ＝ １ ２ ． １０．（１）ｔａｎ α ＋ β － π( )４ ＝ ｔａｎ π１２ ＋( )α ＋ β － π( )[ ]３ ＝ ｔａｎ π１２ ＋( )α ＋ ｔａｎ β － π( )３ １ － ｔａｎ π１２ ＋( )α ｔａｎ β － π( )３ ＝ 槡 槡２ ＋ ２ ２ 槡 槡１ － ２ × ２ ２ 槡＝ － ２． （２）ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ β － π( )４ ＋ π[ ]４ ＝ ｔａｎ α ＋ β － π( )４ ＋ ｔａｎ π４ １ － ｔａｎ α ＋ β － π( )４ ｔａｎ π４ ＝ 槡－ ２ ＋ １ １ －（ 槡－ ２）× １ 槡 ＝ ２ ２ － ３． Ｂ组　 素养提升 １． Ｄ　 设离墙的距离为ｘ ｍ， 过Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ，交ＡＢ的延长线于 Ｄ，则ＣＤ ＝ ｘ ｍ，ＢＤ ＝３ ｍ，ＡＢ ＝ ５ ｍ， ＡＤ ＝８ ｍ，所以ｔａｎ θ ＝ ｔａｎ（∠ＡＣＤ － ∠ＢＣＤ）＝ ｔａｎ∠ＡＣＤ － ｔａｎ∠ＢＣＤ１ ＋ ｔａｎ∠ＡＣＤ·ｔａｎ∠                                                                      ＢＣＤ —１９５— ＝ ８ ｘ － ３ ｘ １ ＋ ８ｘ· ３ ｘ ＝ ５ ｘ ｘ２ ＋ ２４ ｘ２ ＝ ５ｘ ｘ２ ＋ ２４ ＝ ５ ｘ ＋ ２４ｘ ≤ ５ ２ ｘ·２４槡ｘ ＝ ５ 槡４ ６ ＝ 槡５ ６２４ ， 当且仅当ｘ ＝ ２４ｘ ，即ｘ 槡＝ ２ ６时等号成立． 由于０ ＜ θ ＜ π２ ，所以当ｔａｎ θ最大时，θ最大，此时ｘ 槡＝ ２ ６． ２． 槡Ｄ　 ∵ ３（ｔａｎ αｔａｎ β ＋ ２）＋ ２ｔａｎ α ＋ ３ｔａｎ β ＝ ０， 槡∴ ３ｔａｎ αｔａｎ β ＋ ３（ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β）＝ ｔａｎ α 槡－ ２ ３ ① ∵ ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β１ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ 槡３ ３ ， ∴ ３（ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β） 槡＝ ３（１ － ｔａｎ αｔａｎ β）， ② 将②代入①得槡３ ＝ ｔａｎ α 槡－ ２ ３，∴ ｔａｎ α 槡 槡 槡＝ ３ ＋ ２ ３ ＝ ３ ３． ３． ＣＤ　 ∵ ∠Ｃ ＝ １２０°，∴ ∠Ａ ＋∠Ｂ ＝ ６０°， ∴ ２（Ａ ＋Ｂ）＝Ｃ，∴ ｔａｎ（Ａ ＋Ｂ）＝ ｔａｎ Ａ ＋ ｔａｎ Ｂ１ － ｔａｎ Ａｔａｎ Ｂ 槡＝ ３，∴ Ａ、Ｂ错误； ∵ ｔａｎ Ａ ＋ ｔａｎ Ｂ 槡＝ ３（１ － ｔａｎ Ａ·ｔａｎ Ｂ）＝ 槡２ ３３ ，∴ ｔａｎ Ａ·ｔａｎ Ｂ ＝ １３ ①， 又ｔａｎ Ａ ＋ ｔａｎ Ｂ ＝ 槡２ ３３ ②， 由①②联立解得ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ Ｂ ＝槡３３ ， 所以ｃｏｓ Ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ，故Ｃ、Ｄ正确，故选ＣＤ． ４． 槡２ － ３　 原式＝ ｓｉｎ（１５° － ８°）＋ ｃｏｓ １５°ｓｉｎ ８°ｃｏｓ（１５° － ８°）－ ｓｉｎ １５°ｓｉｎ ８° ＝ ｓｉｎ １５°ｃｏｓ ８° － ｃｏｓ １５°ｓｉｎ ８° ＋ ｃｏｓ １５°ｓｉｎ ８°ｃｏｓ １５°ｃｏｓ ８° ＋ ｓｉｎ １５°ｓｉｎ ８° － ｓｉｎ １５°ｓｉｎ ８° ＝ ｔａｎ １５° ＝ ｔａｎ（４５° － ３０°） ＝ ｔａｎ ４５° － ｔａｎ ３０°１ ＋ ｔａｎ ４５°ｔａｎ ３０° 槡＝ ２ － ３． ５． π６ 　 ∵ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ３ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ，∴ ｔａｎ Ａ ＝ ３ｔａｎ Ｂ， 又Ｂ ＝ Ａ － π６ ， ∴ ｔａｎ Ｂ ＝ ｔａｎ Ａ － π( )６ ＝ ｔａｎ Ａ － ｔａｎ π６ １ ＋ ｔａｎ Ａｔａｎ π６ ， 即ｔａｎ Ｂ ＝ ３ｔａｎ Ｂ － ｔａｎ π６ １ ＋ ３ｔａｎ Ｂｔａｎ π６ ， ∴ ３ｔａｎ２Ｂ 槡－ ２ ３ｔａｎ Ｂ ＋ １ ＝ ０，∴ ｔａｎ Ｂ ＝槡３３ ， 又Ｂ为三角形的内角，∴ Ｂ ＝ π６ ． ６．（１）由题意知ｔａｎ α ＋ π( )４ [＝ ｔａｎ （α ＋β）－ β － π( ) ]４ ＝ ｔａｎ（α ＋β）－ ｔａｎ β － π( )４ １ ＋ ｔａｎ（α ＋β）ｔａｎ β － π( )４ ＝ ９ １３ ＋ １ ３ １ － ９１３· １ ３ ＝ ４３ 所以ｔａｎ α [＝ ｔａｎ α ＋ π( )４ － π ]４ ＝ ｔａｎ α ＋ π( )４ － １ １ ＋ ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ ４ ３ － １ １ ＋ ４３ ＝ １７ ． （２）由题意知ｃｏｓ γ ＝ 槡３ １０１０ 且γ为锐角， 所以ｓｉｎ γ ＝ １ － ｃｏｓ２槡 γ ＝ １ － 槡３ １０( )１０槡 ２ ＝槡１０１０ ， 所以ｔａｎ γ ＝ ｓｉｎ γｃｏｓ γ ＝ １ ３ ， 所以ｔａｎ ２γ ＝ ２ｔａｎ γ １ － ｔａｎ２γ ＝ ２ × １３ １ － ( )１３ ２ ＝ ３ ４ ， 所以ｔａｎ（α ＋ ２γ）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ ２γ１ － ｔａｎ αｔａｎ ２γ ＝ １ ７ ＋ ３ ４ １ － １７ × ３ ４ ＝ １， 因为α，γ为锐角， 所以０ ＜ ２γ ＜ π且ｔａｎ ２γ ＝ ３４ ＞ ０， 所以０ ＜ ２γ ＜ π２ ，则０ ＜ α ＋ ２γ ＜ π， 故α ＋ ２γ ＝ π４ ． Ｃ组　 创新拓展 　 由题意得ｍ≠０， Δ ＝（２ｍ － ３）２ － ４ｍ（ｍ － ２）≥０{ ， 解得ｍ≤ ９４且ｍ≠０． 且ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＝ －２ｍ －３ｍ ，ｔａｎ αｔａｎ β ＝ ｍ －２ ｍ ． ∴ ｔａｎ（α ＋ β）＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β１ － ｔａｎ αｔａｎ β ＝ － ２ｍ － ３ｍ １ － ｍ － ２ｍ ＝ ３２ － ｍ． 又ｍ≤ ９４且ｍ≠０， ∴ ｔａｎ（α ＋ β）的最小值为３２ － ９ ４ ＝ － ３ ４ ． 练案［２０］ Ａ组　 基础巩固 １． ＣＤ　 ２ｓｉｎ １５°ｃｏｓ １５° ＝ ｓｉｎ ３０° ＝ １２ ，Ａ不符合题意； ２ｓｉｎ２１５° － １ ＝ －（１ － ２ｓｉｎ２１５°）＝ － ｃｏｓ ３０° ＝ －槡３２ ，Ｂ不符合 题意； ２ｃｏｓ２１５° － １ ＝ ｃｏｓ ３０° ＝槡３２ ，Ｃ符合题意； ３ｔａｎ １５° １ － ｔａｎ２１５° ＝ ３２ ｔａｎ ３０° ＝ 槡３ ２ ，Ｄ符合题意． ２． Ａ　 １ － ｔａｎ ２１５° ２ｔａｎ １５° ＝ １ ２ｔａｎ １５° １ － ｔａｎ２１５° ＝ １ｔａｎ ３０° 槡＝ ３． ３． Ｂ　 ｃｏｓ ２５° － ｓｉｎ２５° ｓｉｎ ４０°ｃｏｓ ４０° ＝ ｃｏｓ １０° １ ２ ｓｉｎ ８０° ＝ ２ｃｏｓ １０°ｃｏｓ １０° ＝ ２． ４． Ｄ　 由３ｃｏｓ ２α －１０ｃｏｓ α ＝１得３（２ｃｏｓ２α － １）－ １０ｃｏｓ α ＝ １， 即３ｃｏｓ２α － ５ｃｏｓ α － ２ ＝ ０，解得ｃｏｓ α ＝ － １３或ｃｏｓ α ＝ ２（舍 去）． 又α∈（０，π），所以ｓｉｎ α ＝ 槡２ ２３ ， 所以ｓｉｎ ２α ＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － 槡４ ２９ ． ５． Ｄ　 因为ｃｏｓ α ＝ １ － ２ｓｉｎ２ α２ ＝ 槡 １ ＋ ５ ４ ，而α为锐角                                                                       ， —１９６— 练案［１９］ 第八章　 向量的数量积与三角恒等变换 ８． ２　 ［８． ２． ２　 第２课时　 两角和与差的正切］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．已知１ － ｔａｎ α１ ＋ ｔａｎ α ＝ ２，则ｔａｎ α ＋ π( )４ 的值是（Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． － ２ Ｃ． １２ Ｄ． － １ ２ ２．已知ｔａｎ ９５° ＝ ｋ，则ｔａｎ ３５° ＝ （　 　 ） Ａ．槡３ － ｋ １ ＋槡３ｋ Ｂ． ｋ －槡３ １ ＋槡３ｋ Ｃ． ｋ ＋槡３ １ －槡３ｋ Ｄ． ｋ ＋槡３ １ ＋槡３ｋ ３．已知ｔａｎ α ＋ ｔａｎ β ＝ ２，ｔａｎ（α ＋ β）＝ ４，则ｔａｎ α ·ｔａｎ β等于 （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． １ Ｃ． １２ Ｄ． ４ ４．已知α，β∈ － π２， π( )２ ，且ｔａｎ α，ｔａｎ β是方程 ｘ２ ＋ ３槡３ｘ ＋ ４ ＝ ０的两个根，则α ＋ β的值为 （　 　 ） Ａ． π３或－ ２π ３ Ｂ． － ２π ３ Ｃ． － π３或 ２π ３ Ｄ． － π ３ ５．（多选题）下列各式中，值为槡３的是 （　 　 ） Ａ． ｔａｎ ２５° ＋ ｔａｎ ３５° ＋槡３ｔａｎ ２５°ｔａｎ ３５° Ｂ．（１ ＋ ｔａｎ ２０°）（１ ＋ ｔａｎ ４０°） Ｃ． １ ＋ ｔａｎ １５°１ － ｔａｎ １５° Ｄ． ｔａｎ π６ １ － ｔａｎ２ π６ 二、填空题 ６．如图所示，三个相同的正方形相接，则α ＋ β的 大小为　 　 　 　 ． ７． ｔａｎ ７０° ＋ ｔａｎ ５０° －槡３ｔａｎ ５０°ｔａｎ ７０° ＝ 　 　 　 　 ． ８．若１ ＋ ｔａｎ Ａ１ － ｔａｎ Ａ ＝ 槡５ ５ ，则 ｃｏｓ π４ ＋( )Ａ ｓｉｎ π４ ＋( )Ａ ＝ 　 　 　 　 ； ｔａｎ Ａ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知ｓｉｎ α ＝ － ３槡１０１０ 且α是第三象限角，求 ｔａｎ α － π( )４ 的值． １０．已知ｔａｎ π１２ ＋( )α ＝槡２，ｔａｎ β － π( )３ ＝ ２槡２．求： （１）ｔａｎ α ＋ β － π( )４ 的值； （２）ｔａｎ（α ＋ β）的值                                                                  ． —１３１— Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．如图，有一壁画，最高点Ａ 处离地面１２ ｍ，最低点Ｂ 处离地面７ ｍ．若从离地 高４ ｍ的Ｃ处观赏它，若 要视角θ最大，则离墙的距离为 （　 　 ） Ａ．槡６ ｍ Ｂ． ３ ｍ Ｃ． ４ ｍ Ｄ． 槡２ ６ ｍ ２．已知α ＋ β ＝ π６，且α、β满足槡３（ｔａｎ αｔａｎ β ＋２）＋ ２ｔａｎ α ＋ ３ｔａｎ β ＝ ０，则ｔａｎ α等于 （Ｄ ） Ａ． －槡３３ Ｂ．槡３ Ｃ． －槡３ Ｄ． ３槡３ ３． （多选题）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ １２０°，ｔａｎ Ａ ＋ ｔａｎ Ｂ ＝ ２槡３３ ，下列各式正确的是 （Ｃ ） Ａ． Ａ ＋ Ｂ ＝ ２Ｃ Ｂ． ｔａｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ －槡３ Ｃ． ｔａｎ Ａ ＝ ｔａｎ Ｂ Ｄ． ｃｏｓ Ｂ ＝槡３ｓｉｎ Ａ 二、填空题 ４． ｓｉｎ ７° ＋ ｃｏｓ １５°ｓｉｎ ８°ｃｏｓ ７° － ｓｉｎ １５°ｓｉｎ １８° ＝ 　 　 　 　 ． ５．在△ＡＢＣ中，若ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ３ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ，Ｂ ＝ Ａ － π６，则Ｂ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知ｔａｎ（α ＋ β）＝ ９１３，ｔａｎ β － π( )４ ＝ － １３，ｃｏｓ γ ＝ ３槡１０１０ 其中α，γ为锐角． （１）求ｔａｎ α的值； （２）求α ＋ ２γ的值． Ｃ组　 创新拓展 　 已知ｔａｎ α，ｔａｎ β是关于ｘ的一元二次方程 ｍｘ２ ＋（２ｍ － ３）ｘ ＋ ｍ － ２ ＝ ０的两根，求ｔａｎ（α ＋ β）的最小值                                                                         ． —１３２—