8.2.3 倍角公式-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3 倍角公式 学业标准 学科素养 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正 1.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的推 弦、余弦、正切公式.(难点) 导,培养逻辑推理等核心素养 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的应 地将公式变形运用.(重点) 用,提升数学运算等核心素养 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 I教制梳理 2.公式的逆用 。 2sin acos a-sin 2a,sin acos a= 2sin2, 导学 倍角公式 2tana cos{②}a-sin2= 问题1在公式C,S。和T。。中,若a= 1-tan{}a tan2a. 3.公式还成立吗? 3.倍角公式的重要变形--升寡公式和降寡 公式 (1)升幕公式 问题2 在上述公式中,若a一3,你能得到什 1+cos2a- ,1-cos2a-2sina 么结论? 2. (2)降霉公式 cos{1+cos 2a 间题3 根据同角三角函数的基本关系式 2a,sin^{}1-cos 2a 2 sin{a十cos{a-1,你能否只用sina或cosa 4.角士:与2x的弦函数之间的关系 表示cos2a? (1)sin 2x-cos2({π-) ○结论形成 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) a-#S。-sin 2a一 co 2x-sin2(-) -2sin (2#-)o(#) #-#({)} (2)sin 2x-sin --cos 2(t+)1- T。-tan2a- -1. 81 ·数学·必修第三册(配BJB版) cos 2x-co -+2(+x)] 2tan T (4)- --tan 2 -sin 2(+x) #(#+)cos(+x). 2.已知sina-3cosg,那么tan2a的值为 -2sin ( ~ A.2 基础自测 B.-2 C D3 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 2sin 2.co等于 (1)存在角a,使cos2a=2cosa. ( __ 3.化简 1+cos2a sing ) ( ) A. 2cosa B. 2sina C. (3)cos{}a= D. cosa 25i. 4. tan15o。 ~_ ) 1-tan②150* 关键能力 课堂案。互动探究 素养提升 题型一 倍角公式的正用、逆用 规律万法 例1求下列各式的值 二倍角公式的关注点 (1) cos${-sin{ 12 (1)对“二倍角”应该有广义的理解,如:4a是 2; (2) tan22.5。 1-tan^{22.5-; 角等。 (3)cos20*cos40*cos80*. (2)求值要结合诱导公式和同角三角函数的 [自主解答] 基本关系构造符合二倍角公式形式. (3)化简求值关注四个方向:分别从“角”“函 数名”“寡”“形”着手分析,消除差异。 [触类旁通] 1.(1)计算:1-2sin22.5{*- ,) (2)tan15*等于 C ) B-1 A.2一、③ C- D.2十3 82 第八章 向量的数量积与三角恒等变换· 题型二 条件求值问题 一题多变 [素养聚焦]在条件求值的解题过程中,应用了 2(1知co#(十)-< 正弦、余弦、正切二倍角公式及其变形,体现了数学 运算、逻辑推理等核心素养, 则cos(2a十)的值为 规律方法 解决条件求值问题的方法 (2)已知sin (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系 明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式 cos2x -的值. co#(})# 的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 (2)当遇到士x这样的角时可利用互余角 [自主解答] 的关系和诱导公式,将条件与结论沟通, [触类旁通] 2.(1)(2024·辽宁抚顺高一期中)若tan ,_ -4,则tana= # (2)(2024·浙江杭州高一期中)已知 2cos2a十sina+3=0,则sina= ( ) A.1 B.-1 [母题变式] . D.-1或 1.(变结论)若例2(2)的条件不变,则 sin2x 题型三 倍角公式的化简证明问题 sin(#}+) 3-4cos 2A+cos 4A-tanA. (2)求证3-4co52A+cos4A [自主解答] 如何? 83 ·数学·必修第三册(配BJB版) 规律万法 (1)求f(x)的最小正周期 (_# (2)求证:当x 1.三角函数式的化简原则 {时,f(x)二 三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一 函数名,能求值的求值,必要时切化弦,更易通 分、约分. 2.证明三角恒等式的原则与步骤 [规范解答] (1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从 3 复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端 都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑” 的思想. 2cos2x [失分警示] ①处化简成一名 (2)证明恒等式的一般步骤 -sin(2xc十).①. 一角形式,容易出现 ①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面 符号、系数错误. .............(5分) 的差异; .--....--......_ ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子 所以f(x)的最小正周期 结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到 2π T_ 一π. 2 ........................分) 证明的目的, [触类旁通] & .............9分) 3.(1)化简:(1 ### sin2a. 所以sin ##22) (2)求证:cos^{}(A十B)-sin{②}(A-B)= {[失分警示] cos2A· cos2B sin(-)--②# ②处没有注意角 的范围,容易求错范 围扣2分. ............(11分) -.----------_-- 所以当x 时,f(x)二一 2. .................................分) [纠错心得] 讨论三角函数的性质关键是把三角函数化成 f(x)一Asin(ax十)的形式 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)倍角公式的推导. (1)利用二倍角公式求值、 (2)利用倍角公式的正化简时注意转化法 [填密思维提能区] 规范答题 用、逆用进行化简、求(2)不要混淆倍角公式的 利用三角恒等变换讨论三角函数的性质 值和证明. 过余弦公式. [典例](13分)已知函数f(x)-/3cos(2x-) 提示 -2sinxcosx. 请完成1课后案1学业评价(I九) 84@ n(o叶君）-9选B 4.解析 原式= 1× 2tan150° 21-tan150 =tan300 (2)y=cosx+cos(x+号】 anc360'-609=2an(-60) 1 1 coscos rcossin sin3 π 2tan60°=- 5 sinx 答案 课堂案·互动探究 =icos(e+若） [例1] [解析]原式=o吾-号 当c0s(x+)）=1时y有最大值. (2)原式= 1 2 tan 45-. 函数的周期为2元 1 [答案](1)B(2)W32x (3)原式-2sn20·2sin20°cos20°cos40'cos80 [触类旁通] =2sin20·sin40°·cos40cos80 3.aD“5csr-sinx=2(停osx-sn) 1 1 2sin20sin80*cos80°=27sin20·sin160 -2(sin cos +-cos sin < sin20° 1 2sin20=8 =2sn(骨-)=-号sin(得-)-号 [触类旁通] (2Dfa)-nr+n(e+受）】 1.(1)B由余弦的二倍角公式，得1-2sin222.5 -9mr+s-号n(+号） o45-号 (2)Atan30°= 因为x[0,]所以x+音∈[肾]， 品- 解得tan15°=2-√3或-2-√5， 所以s(+)∈[合] tan15>0,∴.tan15=2-√3. 所以e[停] [例2][解析](1)co(2a+) 8.2.3倍角公式 课前案·自主学习 =6os2acos年-sin2asin子 π [教材梳理] 导学 -号cas2a-sh2a0. 问题1[提示] 成立 "cos(e+)=号受<a<警 问题2[提示]cos2a=cos'a-sin2a,sin2a=2 sin acos a, tan 2a=1-tan a' 2tan a 又os(a+）=>0, 问题3[提示]cos2a=cos2a-sin2a =cosa-(1-cosa) =2cos'a-1=(1-sin'a)-sin'a sin(e+)=-导， =1-2sin2a. ⊙结论形成 从而cos2a=sin(2a+交)】 1.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1-2sin'a sin 2a 2tan a =2sn(a+平)os(e+) cos 2a 1-tana 2.cos 2a = 3.(1)2cos2a 4.(a)2sim(年-z）(2)2cos(年+x）2sim(牙+x） sin2a=-cos(2a+晋） [基础自测] =1-2os(e+）3 1.(1)/(2)√(3)√(4)× 2.D因为sina=3cosa,所以tana=3, aca(2a+）-号(-第云)=- 所以tan2a= 2②0<<sm(任-)- 3.A原式= 4sin acos a.cos'a-2cos a. 1+2cos a-1 sin a “-xe(o,）os(-x）)-号 28 cos 2x cos'x-sin'x : [触类旁通] cos(不+z） 号(cosx一sin cos sin 3.(1)解析 原式 2 2 2sin'a =E(cosx+snx）=2cos(年-z)=0 sin c082 2sin acos a [答案](1)-312 50 (2)略 2 sin a2cos a.sin a2. [母题变式] sin受·cos cos a sin a cos a (2)证明 左边=1+Cos(2A+2B-1-c0s(2A-2B 2 2 平方得sm2红=品 =cos (2A+2B)+cos (2A-2B) 2 sim(任+）-o[受-（径+] (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+ =cos(受-)= sin 2Asin 2B) =cos2Acos2B=右边，所以等式成立. 所以 sin 2x 119×13_119 8.2.4三角恒等变换的应用 im(年+x) 16912=156 课前案·自主学习 答案器 [教材梳理] 导学1 2.解析 因为am(行-z)=是 问题1[提示] 结果是c0sa=2c0s2号-1 所以sin(受-z)-是o(受-小 =1-2sin受=cos受-sin2号 又sim(开-z)+cos2(牙-z）-1, 问题2[提示] “os号=1+gg, 2 故可解得c©s(冬-z)-=号 .c0s2 /1+cos a 2 原或=2o(任-)-卷 同理sin2 =士√ 1-cos a 2 [触类旁通] 2.acma=an(2x号）=4=-是 an受 =土 1-cos a cos号 1+cos a' (2)B因为cos2a=1-2sin2a, ⊙结论形成 所以2(1-2sin2a)+sina十3=0， 解得血a=-1减子（舍去）. 1-2sin'a 2cos'a-11-2sin'号2cos2号-1 1+cos a 1-cos a [例3][解析](1) o2g(1+-tan ztan号) 2 2 2cosz 导学2 =sin 2x(1+ sin xsin 2 问题1[提示]能.因为cos(a士=cos acos3士sin asin, 2cos z cos xcos2 运用方程思想得 cos acos os (co =sin 2x cos xcos 号+-sin sin受 2 2cos x c0sxc0s号 sin asin B-- [cos(a+D-cos(a-m]. 问题2[提示]能.类似地由sin(a士)=sin acos B士 sin 2x cos asin得到： 2cos x =tan x. cos xcos 2 sin acos sin in (2)证明 因为左边一 3-4c0s2A+2c0322A-1 3+4cos 2A+2cos2A-1 cos asin B Esin (+-sin ( /1-cos2A12 2sin'A) ○结论形成 1+cos2A/ =(tan'A)2 2cos'A =tan'A=右边】 1.cos (a+A+cos (-]cos (a+p-cos (a-] 所以3-4c0s2A+c0s4 3+4cos 2A+cos 4A =tan'A. Lsin (++sin (-]sin (a+B-sin (a-] 29