8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握两角和与差的余弦公式， 会利用 公式进行三角函数式的化简和求值 . ２. 掌握常用角的变换， 会利用公式进行 化简和求值 . 要 点 精 析 要点 1 公式的简单应用 例 1 （ 1 ） ｃｏｓ３４５° 的值等于 （ ） A. 2 姨 - 6 姨 4 B. 6 姨 - 2 姨 4 C. 2 姨 + 6 姨 4 D. - 2 姨 + 6 姨 4 （ ２ ） 化简下列各式： ①ｃｏｓ （ θ＋２１° ） ｃｏｓ （ θ－２４° ） ＋ｓｉｎ （ θ＋２１° ）· ｓｉｎ （ θ－２４° ）； ②－ｓｉｎ１６７° · ｓｉｎ２２３°＋ｓｉｎ２５７° · ｓｉｎ３１３°. （ １ ） 解析 ： ｃｏｓ３４５°＝ｃｏｓ （ ３６０°－１５° ） ＝ ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ （ ４５°－３０° ） ＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５° ｓｉｎ３０°＝ 6 姨 + 2 姨 4 . 故选 Ｃ. （ ２ ） 解： ① 原式 ＝ｃｏｓ ［（ θ＋２１° ） － （ θ－２４° ）］ ＝ｃｏｓ４５°＝ 2 姨 2 . ② 原式 ＝－ｓｉｎ （ １８０°－１３° ） ｓｉｎ （ １８０°＋４３° ） ＋ ｓｉｎ （ １８０°＋７７° ） ｓｉｎ （ ３６０°－４７° ） ＝ｓｉｎ１３° · ｓｉｎ４３°＋ ｓｉｎ７７° ｓｉｎ４７° ＝ｓｉｎ１３° ｓｉｎ４３° ＋ｃｏｓ１３° · ｃｏｓ４３° ＝ ｃｏｓ （ １３°－４３° ） ＝ｃｏｓ （ －３０° ） ＝ 3 姨 2 . 反思感悟 （ １ ） 在两角和与差的余弦公式中， α ， β 可以是单个角， 也可以是两个角的和或 差， 在运用公式时常将两角的和或差视为 一个整体 . （ ２ ） 两角和与差的余弦公式在求值应 用中的一般思路 . ① 把非特殊角转化为特殊角的和或差， 正用公式直接求值 . ② 在转化过程中， 充分利用诱导公式， 构造两角和或差的余弦公式的结构形式， 然后逆用公式求值 . 变式训练 1 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ 13π 12 ； （ ２ ） ｓｉｎ４６０ ° ｓｉｎ （ －１６０ ° ） ＋ ｃｏｓ５６０ ° · ｃｏｓ （ －２８０° ）； （ ３ ） ｃｏｓ （ α ＋２０° ） ｃｏｓ （ ４０° －α ） －ｓｉｎ （ α ＋ ２０° ） ｓｉｎ （ ４０°－α ） . 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 72 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 要点 2 逆用或变形应用公式 例 ２ 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ） ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ｃｏｓ （ ｘ－７０° ）· ｓｉｎ （ ｘ－４０° ）； （ ２ ） ｓｉｎ３４７°ｃｏｓ１４８°＋ｓｉｎ７７°ｃｏｓ５８°. 解： （ １ ） 原式 ＝ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ） ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ ｓｉｎ ［ ９０°＋ （ ｘ－７０° ）］ ｓｉｎ （ ｘ－４０° ） ＝ｃｏｓ （ ｘ＋２０° ）· ｃｏｓ （ ｘ－４０° ） ＋ｓｉｎ （ ｘ＋２０° ） ｓｉｎ （ ｘ－４０° ） ＝ｃｏｓ ［（ ｘ＋ ２０° ） － （ ｘ－４０° ）］ ＝ｃｏｓ６０°＝ 1 2 . （ ２ ） 原式 ＝ｓｉｎ （ －１３°＋３６０° ）· ｃｏｓ （ １８０°－ ３２° ） ＋ｓｉｎ７７° ｃｏｓ５８°＝ｓｉｎ （ －１３° ） （ －ｃｏｓ３２° ） ＋ ｓｉｎ７７ ° ｃｏｓ５８ ° ＝－ ｓｉｎ１３ ° （ － ｃｏｓ３２ ° ） ＋ ｓｉｎ７７ ° · ｃｏｓ （ ９０°－３２° ） ＝ｃｏｓ７７°ｃｏｓ３２°＋ｓｉｎ７７° ｓｉｎ３２°＝ ｃｏｓ （ ７７°－３２° ） ＝ｃｏｓ４５°＝ 2 姨 2 . 反思感悟 本题若将各式用两角和与差的三角函 数公式展开， 运算将很麻烦， 以上解法是 对上式进行整体分析， 寻找角度之间的关 系， 再逆用公式进行化简 . 变式训练 2 求下列各式的值： （ １ ） ｃｏｓ８０°ｃｏｓ３５°＋ｃｏｓ１０°ｃｏｓ５５° ； （ ２ ） ｓｉｎ π 12 ＋ｃｏｓ π 12 . 例 ３ 化简： ２ｃｏｓ１０°－ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° . 解： 原式 ＝ ２ｃｏｓ （ ３０°－２０° ） －ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° = 3 姨 ｃｏｓ２０°＋ｓｉｎ２０°－ｓｉｎ２０° ｃｏｓ２０° ＝ 3 姨 . 变式训练 3 求 ２ｃｏｓ５０°－ 3 姨 ｓｉｎ１０° ｃｏｓ１０° 的值 . 要点 3 给值求值问题 例 ４ 设 ｃｏｓ α- β 2 2 # =- 1 9 ， sin α 2 - 2 - β = 2 3 ， 其中 α∈ π 2 ， ， - π ， β∈ 0 ， π 2 ， - ， 求 ｃｏｓ α+β 2 的值 . 解： ∵α∈ π 2 ， ， - π ， β∈ 0 ， π 2 ， - ， ∴α－ β 2 ∈ π 4 ， ， - π ， α 2 -β∈ - π 4 ， π 2 ， - ， ∴ｓｉｎ α- β 2 ， - = 1-cos 2 α- β 2 ， - 姨 = 1- 1 81 姨 = 4 5 姨 9 ， cos α 2 - ， - β = 1-sin 2 α 2 - ， - β 姨 = 1- 4 9 姨 73 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 = 5 姨 3 . ∴ｃｏｓ α+β 2 =cos α- β 2 2 # - α 2 - 2 - β β & ＝ｃｏｓ α- β 2 2 - cos α 2 - 2 - β +sin α- β 2 2 - sin α 2 - 2 - β =- 1 9 × 5 姨 3 + 2 3 × 4 5 姨 9 = 7 5 姨 27 . 反思感悟 给值求值问题的解题步骤： （ １ ） 找角的差异： 已知某些角的三角 函数值， 求另外一些角的三角函数值， 先 注意观察已知角与所求表达式中角的差异 . （ ２ ） 拆角与凑角： 根据需要灵活地进 行拆角或凑角的变换 . 常见角的变换有： α＝ （ α＋β ） －β ， α＝β－ （ β－α ）， α＝ （ ２α－β ） － （ α－β ）， α＝ 1 2 ［（ α＋β ） ＋ （ α－β ）］， α＝ 1 2 ［（ β＋α ） － （ β－α ）］ 等 . （ ３ ） 求解： 结合公式 Ｃ α±β 求解便可 . 变式训练 4 已知 ｃｏｓ （ ２α－β ） ＝－ 2 姨 2 ， ｓｉｎ （ α－２β ） ＝ 2 姨 2 ， 且 π 4 <α< π 2 ， ０＜β＜ π 4 ， 求 ｃｏｓ （ α＋β ） . 要点 4 给值求角问题 例 ５ 已知 α ， β 均为锐角 ， 且 ｃｏｓα＝ 2 5 姨 5 ， ｃｏｓβ＝ 10 姨 10 ， 求 α－β 的值 . 解 ： ∵α ， β 均为锐角 ， ∴ｓｉｎα＝ 5 姨 5 ， ｓｉｎβ＝ 3 10 姨 10 ， ∴ｃｏｓ （ α－β ） ＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝ 2 5 姨 5 × 10 姨 10 + 5 姨 5 × 3 10 姨 10 = 2 姨 2 . 又 ∵ｓｉｎα＜ｓｉｎβ ， ∴０＜α＜β＜ π 2 ， ∴－ π 2 ＜α－β＜０ ， ∴α－β＝－ π 4 . 变式训练 5 已知 ｃｏｓα＝ 1 7 ， ｃｏｓ （ α＋β ） ＝－ 11 14 ， 且 α ， β∈ 0 ， π 2 2 - ， 求 β 的值 . 74 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 变式训练 6 石景山游乐园 “梦 想之星 ” 摩天轮采用国 内首创的横梁中轴结构， 风格现代简约 . “梦想之 星 ” 摩天轮直径 88 m ， 总高约 100 m ， 匀速旋转一周时间为 18 min ， 配有 42 个球形全透视 360 度全景座舱 . 如果 不考虑座舱高度等其他因素， 该摩天轮的示 意图如图所示， 游客从离地面最近的位置进 入座舱， 旋转一周后出舱 . 甲、 乙两名同学 通过即时交流工具发现， 他们两人进入各自 座舱的时间相差 6 min. 这两名同学在摩天 轮上游玩的过程中， 他们所在的高度之和的 最大值约为 （ ） A． 78 m B． 112 m C． 156 m D． 188 m 变式训练 7 如图， 矩形 ABCD 区域内， D 处有一棵 古树， 为保护古树， 以 D 为圆心， DA 为半 径划定圆 D 作为保护区域， 已知 AB=30 m ， AD=15 m ， 点 E 为 AB 上的动点 ， 点 F 为 CD 上的动点， 满足 EF 与圆 D 相切 . （ 1 ） 若 ∠ADE=20° ， 求 EF 的长 . （ 2 ） 当点 E 在 AB 的什么位置时， 梯形 FEBC 的面积有最大值， 最大面积为多少？ （长度精确到 0.1 m ， 面积精确到 0.01 m 2 ） 数 学 文 化 例 《周髀算经》 中给 出了弦图， 所谓弦图是由四 个全等的直角三角形和中间 一个小正方形拼成一个大正 方形， 若图中直角三角形两 锐角分别为 α ， β ， 且小正方形与大正方形面 积之比为 4 ∶ ９ ， 则 ｃｏｓ （ α－β ） 的值为 （ ） Ａ. 5 9 Ｂ. 4 9 Ｃ. 2 3 Ｄ. ０ 解析： 设大正方形的边长为 １ ， 由于小 正方形与大正方形面积之比为 ４ ∶ ９ ， ∴ 小正 方形的边长为 2 3 ， ∴ｃｏｓα－ｓｉｎα＝ 2 3 ① ， ｓｉｎβ－ｃｏｓβ＝ 2 3 ②. 由图可得 ｃｏｓα＝ｓｉｎβ ， ｓｉｎα＝ｃｏｓβ ， ① × ② 可 得 4 9 ＝ｃｏｓαｓｉｎβ ＋ｓｉｎαｃｏｓβ － ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｓｉｎ ２ β＋ｃｏｓ ２ β－ｃｏｓ （ α－β ） ＝１－ ｃｏｓ （ α－β ）， 解得 ｃｏｓ （ α－β ） ＝ 5 9 . 故选 Ａ. 图 8-2-3 图 8-2-1 图 8-2-2 B C A D E F 75 参考答案。 2.13【解】析a在b上投影的数量为号-2x了 -2cos60cosl0°+2sin60°sinl0°-V3sinl0 cos10 l:b在a上投影的数量为bcos写-6x-3. 3 =cos10°+V3sinl0°-1V3sinl0° cos10 13.解：设两向量夹角为0，由b在a方向上的投影 =cos10°=l 为-3得，a-b_343m=-3,即m-3V3,c0sab c0s109 lal 2 变式训练4 2点}又0≤0≤， 解：晋a<受.0k牙.六晋2 a-..cos(2a 14.解：(1)，a=(-3,2).b=(2,1).c=(3,-1). =-V2 ,a+h=(-3,2)+H(2,1)=(-3+24,2H) ，sin(2aB)=V2 2 a4bV3242m=V5w5=V59 之√罗=子V万（肖且仅当号时等号成立） snc-29)Y2.0a-2号，csa-29=V7 (2)a-h=(-3,2)-1(2,1)=(-3-21,2-4). ∴.c0s(a+B)=c0s[(2aB)-(a-23)]=c0s(2a-8)c0s(a-23】 又，a-b与c共线，∴(-3-2)×(-1)=3x(2-4),解得 tsin(2a-B)sin(a-2B)=Vxx V2-0. 2 2 2 2 变式训练5 m8.2三角恒等变换 解：a,Be0.受，且c0m=7,cosa8)=4 Γ14 8.2.1两角和与差的余弦 a+Be (0.),:sina=VI-cos'a=4V3,sin(a+B)= 学习手册 变式训练1 VI-cos(a-B)=5V3B(a+B)-a.coB-cosI(a+ 14 解：（国cosc+cos号 B)--cos()cos+sin(a)sina= 14 o语径）-m牙君 7 =-cos号os石+inn若 y又8e0.引，号 变式训练6 C【解折】：角速度为瓷-号心游客从离地面最近的 V6+V2 位置进入座舱，游玩中到地面的距离为)=44sin写-受十 (2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°· 56=4cosg+56(0≤1≤18)， sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60° 由题意可得，甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 (3)cos(a+20°)cos(40°-a)-sin(a+20°)sin(40°-a)= gr)-(44cosg456+44cosg(46)+56] c0s[(a+20°)+(40°-a)]=c0s60°= 21 =1244cos号4cosg+】 变式训练2 解：(1)原式=cos80°cos35°+sin80°sin35=cos(80°- 1243m号4V罗sg 35)=cos45°= 2 =124sin号+君)0≤1≤18). 2)原式VY竖n唱am号 01≤8.君≤哥+君≤1 6 =V2(sm4in7eos年cos7 六号≤n号+君)≤1.-2≤4sn号+君)≤4， -V2 cos)V2cosv6 62 90≤1244in(晋+g≤156. 变式训练3 ,∴g(1)=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 解：原式=2cos(60P-10-V3sin10 156.故选C cos10 变式训练7 =2(cos60cos10+sin60sin10)-V3 sin10 解：(I)设EF与圆D相切于点H,连接DH,则 cos10° DH⊥EF.DH=AD=I5.则AE=EH.Rt△ADE与Rt△HED 55 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 全等，∠ADE=∠HDE-20 cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina=- 在Rt△HED中，EH-DHtan.20°=15tan20°.∠HDF-90 5 5 -2∠ADE=50° x2y5=2V5 在Rt△FHD中，HF=4Dan50°=l5an50°， 5 25 EF=EH+HF=15(tan20+tan50)=15 sin20sin50 练习手册 C0520° cos500 =15xsin209cos50°+cos20°sin509 效果评价 c0s20cos50° 1.C【解析】cos8°cos38°+sin8°sin38°=cos(8°-38)= =15xsin(20°+50) c0s(-30P)=0s30°=V3.放选C. c0s20°cos50 2 =15x sin70 c0s20°cos50 2.AB【解折】coa=Y5,则sina=士V-于 15 cos50 ±2y5.当sna=2y5时，cosa-=Y竖(coa+ 5 ≈23.3. (2)设∠ADE=8,∠HDF=90°-20，则AE=15tan8. sa)=3V0,当ia-2y5时.cosa-牙)= 10 5 FH=15an(90P-20). 2 samr2×ExDn=515an0+15tan(90e-20)】 (cosa+sina)=-VD.故选AB. 10 2 -空x15an+5o 3.B【解析】由条件coscof8=Y,--sinasinB.得 tan26, 2 SDxE x15tan0. =Y罗.pcwa=Y.a=号，房 2 2 .梯形AEFD的面积为 T满足题意.故选B. 5-(30n0 tan28 变式调练7答图 4.A【解析】0e0,晋)，9+石e(石受 =225 2tan0+1-tane 2 2tand sn0:石=号故co0=cs0+君君引=cos0+君： =23am0+≥2空x2V3anor25y 4 tand 2 晋na君m君-言x厚+景x5V业故 2 26 当且当3过。·即an:Y厚时取得等号，此时 选A 3 AE=15tan0=15xVY3-5V3=8.7. 5.AC【解析】ae0,受)，cosa=},sina= 3 即当a0=V3时，梯形AEFD的面积取得最小值 2Y.又aBe0.号引age0..na8 225V3 VI-co(coB-cos[(B)-a]-cos() 3 2 则此时梯形FEBC的面积有最大值15x30-225Y3。 )na=号+号-号A正确，sinp=4y2,B 9 2 255.14. 错误.cos(a-B)=4=,C正确.s血(a-8 .当AE=8.7时，梯形FEBC的面积有最大值，最大值 为255.14 ag-omig:0Y,D错误，放法AC 随堂练习 6.D【解析】~函数ex)eos+4)eos(-)sin+于)sinr 1.D2.D3.A 4.证明：原式=c0s(27P+x)sin(57°+x)-sin(180?+27+x)· -cos(+cos(-)+sin(+)sin(x)-cos(- sin(360°-33°+x)=cos(27°+x)sin(57+x)-sin(27°+x)·sin(339 -x)=cos(27P+x)cos(33°-x)-sin(27°+x)sin(33°-x)=cos[(27° c0s2+平引，。函数的最小正周期是，故A正确，由2x+ +x)+(33°-x)]=c0s60°= 2 牙，ke乙，得经-骨ke乙，六函数图象炎于直 或解：a.B都是悦角且co=写<分，号<as 5 线经-景keZ对称，放B,C正确，由2x+牙 是又a8=号>号号<a8<e,a9 受，ke乙，科=经+霄，ke乙，函数图象关于点 -Vsap=专m=Veos面-25，cog=(受+骨，0对称，其中eZ,放D不正确，放选D 5 56 参考答案。 1-号【将折】方法-：cs(a+120)com-血(a+ma=-V1-sn而-2y.又cog=-专，Be号m 3 120°)sin(-a)=cos(a+120°)cos(-a)-sin(a+120°)sin(-a)= sinB=VI-cos=cos(a-B)=covacoB+sinasinB= cosf(a+120°)+(-a)]=cos120°=- 2 方法二：cos(+120P)cosa-sin(a+120°)sin(-a)=cos(a+ 2y-+-8g3 1)co()sina-cos[() 15.长【解折】o=-吕且06<m,号<m 8.子【解折】a=(cooa,sina),b=(co,sing), :B=V-co=V-'=音且0kik号，oM a=ibel.又a与b的夹角为号，ab=ls号=lxIx Vsic(-)-coMAcossind sint- 分又ab(oa,sna(cag.sp)taog+ +号×- sinasir-cos(a-B).() 16.解：(1)设0示的模为r,0示在角0的终边上，则 9治【解析】由三角函数的定义可得，ma=号 x=cos0,3y=sin6,由题意可得OQ在角0-a的终边上，且 =清，coa=号，sm9=是.cos(a-B)=coco+ CosB=5 O0的模也是r,由三角函数的定义可得x'=心os(B-)= rcosdcosa+rsinsina=xcosa+ysina.x'=xcosa+ysina. (2)设点C(x,y),动点A在半圆上，设点A(cos9, sin0),0P≤0≤180°，则向量B的坐标为(cos0-2,sin0), 10.解：受ca<m,cos(a8)=-号，sin(cB)=号 向量BC的坐标为(x-2,)· 号rap2,sn(a8)=-},cos(a8)=号 由已知可得向量B绕点B顺时针方向旋转60°得到向 量BC,·由(1)的结论得x-2=(c0s0-2)cos60°+sindsin60 ..cos2B=cos[(a+B)-(a-B)]=cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+ sim(ap)=等×-号+号x号l.受a<m,< cosin0-1-cos(-)1,=co(-). 02.受c2k,29-,4号 0°≤0≤180，-60≤0-60≤120.3≤c0s(0-60) 提升练习 ≤1，e[32 11.B【解析】sinosinB=1,-1≤sina≤1，-1≤sin明≤ 17.解：ae受，Be0,受a号e平m 1,[Sinl,或na,解得oa0,于是cosB)= IsinB=-1. 1cos8=0. cosacos3+-sinorsinB-=l.故选B. 受Be(年引 12.C【解析】co9=cos[c-(e-B)]=cosacos(a-B)+ 号.ma=20,04g na-号-Vi-cowa-号=Vg.4y5 sinasin(a-f),由已知cosa=?。 os登B-V1-sim号P=V1号=Y9,cs“g9 3 ac号，可知m=专，血ap=得，代人上式得eog= cosa-号-号)-cos(a--号cos号)sin(a-号 多×品+号×85294县做陆c 50 号-gxy5×号 9 27 1Bc【懈桥】0a号，号00，小得a+号<平， 8.2.2两角和与差的正弦、正切 开<开-号<号.又ws得a=号，o(开-号 第1课时两角和与差的正弦 学习手册 厚，血晋+a=2y2,如骨-号)=y 变式训练1 osa+号-cos()号)eos(acos年号 解：()原式=incos-号+in号+2 sincos号 3 +im4asm晋-号)=号×Y号+2y2xY5 2osin号-V3cos2 cOKs-V3sm9simr=号simr+ 5V3.故选C coumin-V) 2 4.8V名-3【解折】s=一子，ae,2 3V e0x-0. 15 (2)原式=sin(a5)+a]-2cos(aB)sina Sina 57