8.2.1 两角和与差的余弦(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

所以=(，月.序-(-2） 方法二：a=(cosa,ana)b=(cos B,sin B) (a+b)·(a-b)=a2-b2=lal2-1b12 所以.脉(x-2)+子=(-2+之 =(cos'a+sin'a)-(cos'B+sin'B)=1-1=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 所以当x=1时，衣，取得最小值： 8.2三角恒等变换 当=0或x=2时，取得最大值号 8.2.1 两角和与差的余弦 对点训练4：方法一（儿何法）：(1)在边长为1的正方形ABCD 中，EC·AD=Et·Bd=IEt1IBC1cos∠BCE=1BCI2=1(定 必备知识探新知 值). 知识点：cos aces B+sin asin B cos acos B-sin asin B (2)如图，作CV⊥EM,垂足为N,则 对应练习 D △RN△C,得号-票 1.C cos(a-B)cos B-sin(a-B)sin B=cos[(a-B)+B]= cos & 所以EM,N=CM,MB=子 2.c0m838°+m8h38°=0m(38-89）=m30-夏 所以E元·Ei=IE元IIEMleos∠CEN= IEMI(IECICOS CEN)=IEMIEMI =EMIEM+) 3.Aco(a+)=co acos B-sin asinB ①. =同+网=国P+子≤+子1+子 cm(a-)=sawB+sin asin月=-手②. 子 由①+②得cos arcos B=0. 关键能力攻重难 所以当点E在点A处时，武·网矿取得最大值号 例1：(1)A(2)见解析 【解析】(1)利用诱导公式得c0s525°=cos(360°+165°) 方法二（坐标法）：以点A为坐标原点， =c08165°=cs(180°-150）=-c015°=-0s(45°- AB,AD所在直线分别为x轴，y轴建立 D 30）=-(cms45°cmg30°+sin45°sin30°）= 平面直角坐标系，则A(0.0),C(1,1) D(0,1),设E(x,0),xe[0,1, -(停x+号x6 4 (1)E元·AD=(1-x,1)·(0,1)=1 (定值) 20原式=m0+219)-(0-2月=s45-号 (2)由上述可知，C1,),M1,） ②原式=-in(180°-13o)sim(180+43°)+sin(180°+ 77）·sin(360°-47°)=sin13°·sin430+sin77°sin47 则屁，丽=(1-x,)·(1-2）=(1-x八+2当x =sin130sin430+c0s13°cos430=c0s(130-430）= [0,1]时，(1-+单调递减，当x=0时，E武·团取得最 -0)9 对点训练1：(1)原式=c(15°-105°)=cs(-90°)=0. 大价号 (2)原式=o0[x-(x+y）]=o0s(-y)=c0sy 课堂检测固双基 (3)原式=c05(a-35)-(25°+ax)]=c0s(-60°）=cos60 1.A因为a=（-2,1),b=(3,2),所以a·(a+b)=(-2,1) ·(1,3)=-2+3=1.放选A 2.Aa…b=2-x=1,.x=1. 例2：：nx= x∈(0，m), 3 3D31a2-4a·b=3[(-4)2+32]-4(-4×5+3×6) =83. 当xe(0,}时，osx=v-m=子： 4B因为a=(3,1),b=(2,2), 所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 当e(受时，m=--专 则1a+b1=5+3=/34,la-b1=/1+I=/2,(a+b)· 六当xe(0,受时，eo(+号）=mseo号-inxm哥 (a-b)=5×1+3×(-1)=2, 所以ms(a+b,a-b)=a+b):a: 2 la+blla-bl /34×2 10 能选B 当xe(受时。 5.【证明】方法一：由已知a=(cosa,ime),b= (+）=mxm号-nn 4 3 2 (cos B,sin B),a+b=(cos a cos B,sin a sin B), a-b cos a-cos B.sin a-sin B). .4+ 2 10 又(a+b)+(a-b) (cos a+cos B)(cos a cos B)+sin a +sin B)(sin a- 对点训练2：ae(受，na=行 sin B)=cos'a -cos'B+sin'a-sin'B=0, (a+b)⊥(a-b). : ma-a-子 162 B是第三象限角m=B=一青 课堂检测固双基 1.Acos80°c0s35°+sin809cos559 如B=-B=是 =c0s80°cos35°+sin80°sim35° .cos(《+B）=cos acos B-sin asin B ()()÷×()器 (0-359)5m5-号 2.C 例3：受<a<m晋<受<受 5 2￥m 又：0<B<受， 3.B因为角0的终边经过点(-3,4).所以血0=号，6o0 4-<-B<0,-<-号<0 <a号<m<号-<受 号所以0-）s0:m景+mn子=沿 10 (-）V-m-新4 将品 4.cosB原式=cs[(a-B)-a]=eos(-B)=cosB m(号--Vm(受-例-√舌 5由na=子ae(受 m“m[(a-号)（受-] ! 得msa--面a=号 =a-号m(受-+(a-号m(受-) m(年+a=m[号-（得+a川 对点训练3：因为(a+B)-(B-年）=a+平 (》 所以e(a+）=m[a+)-(B-】 8.2.2两角和与差的正弦、正切 =os(a+)·eo(B-4)+in(a+B)·im(B-4）) 第1课时两角和与差的正弦 因为a,Be(0,受）所以0<a+B<,-年<B-牙<开， 必备知识探新知 所以ma+8=子m(B--是 4 知识点1：sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asin B 对应练习 所以ma+引号×号+×器 1.Dsin45°c0s15°-c0s135°n1659 例4a8均为领角，sa2学os9= =sin45°es15°-eos(90°+45)sin(180°-15) 10 =sin45cos15°+sin45°sin159 六ma=5mB=3而 5 =i459ms150+es45°m15°=6im60°= 10 号m0=-m0=号 ma二B》aB+迪mB2空x四+×2D中0为院角，im0是5 5 9 血(0-45)=(a0-m=号x号-)-吾 叉ma<mB0<a<B<号， 知识点2：+市公+示 -号<a-B<0.a-B=-寻 对应练习 对点调练4：由加a+加B=子两边平方得m。+加B+ 3.cy=m-s=(停m-号=m(-） ∴函数的最小正周期为T=2π 2sin asin B=25 9 ①，关键能力攻重难 例1：(1)si14°cos16°+sin76°cos74 由omsa+0mB=号两边平方得cm2a+omB+2= =in14°cos16°+cs14°sin16 品 ②. =n(14+16)=n30°=7 ①+②得2+2c0s(a-B)=1, 1 2)血晋=m(号-) 六cos(a-B)=-2 0<a<B<T,∴-T<a-B<0, a-B=-号 号-号6： 4 163*"% 三角恒等变换 ８． ２． １　 两角和与差的余弦 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．通过感悟利用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式的过程，进一步体会向量方法的作用． ２．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦 公式． ３．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值． 培养逻辑推理、数学抽象、数学运算等核 心素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点　 两角和与差的余弦式 对任意α与β，都有 Ｃα － β：ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β　 ． Ｃα ＋ β：ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β　 ． ［思考］ 　 　 提醒： šQê Ｃα － β/ Ｃα ＋ β%”neL （１） Qê%Zû—n ： Qê%,„(½ （ / ） "%Š‰ ， -„%êD(– 5£À~*…P%/ （ ½ ） ê ， ·1q"/…½%Š‰QêÓÔ ， Zû(FŠ Š!! ， 6¾67G ． （２） Qê%ò1rô ： Qêa% α，β ~r·Å(84¡%"，÷ Å(mFs¡G ， ‰ ｃｏｓ α ＋ β２ － α － β( )２ a%“α ＋ β２ ”6ºQêa% α， “α － β２ ”6ºQêa% β． （３） Qê%FÌG1 ： Qê%¸¹KFÌG ， ¡Ø=!1#¯1#‡ 1 ． -‡1ôtÕqNO ： JQꧧ%‡1 ， ‰ ｃｏｓ（α － β）－ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＝ ｓｉｎ αｓｉｎ β． P"%‡1 ， ÃÁŽ"%‡² ， ‰ ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ［（α ＋ β）－ β］»． ●/012 １． ｃｏｓ（α － β）ｃｏｓ β － ｓｉｎ（α － β）ｓｉｎ β化简为 （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｓｉｎ（２α ＋ β）　 Ｂ． ｃｏｓ（α － β） Ｃ． ｃｏｓ α Ｄ． ｃｏｓ β ２．计算ｃｏｓ ８°ｃｏｓ ３８° ＋ ｓｉｎ ８°ｓｉｎ ３８°等于 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ． － 槡３ ２ ３．已知ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ４５，ｃｏｓ（α － β）＝ － ４ ５，则ｃｏｓ αｃｏｓ β的值为 （Ａ ） Ａ． ０ Ｂ． ４５ Ｃ． ０或 ４ ５ Ｄ． ０或± ４ ５ 思考：在两角差的余弦 公式中，α，β都是具体 的角吗？ 提示： Qêa%" α，β ·Å(4¡:m"Äà ·Å(m"%Fž ¡GÄ܉ [ｃｏｓ （α ＋ β）－ β － π( ) ]４ a%（α ＋ β）/ β － π( )４ ÿý· ŪtQêa% α，β． $!# 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%deÐ?Á`Ñ@´š–ˆc}ur １．（１）（２０２４·本溪高一检测）ｃｏｓ ５２５° ＝ （　 　 ） Ａ． －槡６ ＋槡２４ 　 　 　 Ｂ．槡 ６ ＋槡２ ４ 　 　 　 Ｃ． 槡６ －槡２ ４ 　 　 　 Ｄ． 槡２ －槡６ ４ （２）化简下列各式： ①ｃｏｓ（θ ＋２１°）ｃｏｓ（θ －２４°）＋ｓｉｎ（θ ＋２１°）ｓｉｎ（θ －２４°）； ② － ｓｉｎ １６７°·ｓｉｎ ２２３° ＋ ｓｉｎ ２５７°·ｓｉｎ ３１３°． ［归纳提升］ 〉 /KL1 １．计算下列各式的值： （１）ｃｏｓ １５°ｃｏｓ １０５° ＋ ｓｉｎ １５°ｓｉｎ １０５°； （２）ｓｉｎ ｘｓｉｎ（ｘ ＋ ｙ）＋ ｃｏｓ ｘｃｏｓ（ｘ ＋ ｙ）； （３）ｃｏｓ（α －３５°）ｃｏｓ（２５° ＋α）＋ ｓｉｎ（α －３５°）ｓｉｎ（２５° ＋α）． ●:;C%“r（ˆ）ur ２．已知ｓｉｎ ｘ ＝ ３５，ｘ∈（０，π），求ｃｏｓ ｘ ＋ π( )３ 的值． 【分析】　 由ｓｉｎ ｘ ＝ ３５，求ｃｏｓ ｘ时，结果有两种，因此所求结果要讨论， 分两种情况讨论． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．已知α∈ π２，( )π ，β是第三象限角，ｓｉｎ α ＝ ４５，ｃｏｓ β ＝ － ５１３，求ｃｏｓ（α ＋ β） 的值． 归纳提升：１． =q"/ …½%Š‰QêaÄ α，β ·Å(:"Äà ·Å(q"%/Ç ½Ä=¸1QêAÊX q"%/ǽRŽm ž¡ ． ２． =q"/…½%Š‰ QêñŸB1a%m¢ ÚcV （１） è$—˜";éŽ —˜"%/ǽÄ!1 Qê϶ñŸÉ （２） =;éz{aÄu ÿä1ЙQêÄûÇ q"/ǽ%Š‰Qê %ZûvêÄM{¯1 QêñŸ ． 归纳提升： ºd֔" ~*Ÿ%^_~M] AÄBÿ‘’œ ． ÿ +œ(mԇK%* jÚÛNÕÄ[8¡º /6Ÿ1 ． $!% ●:;M%?@ÒÓ ３．已知ｃｏｓ α － β( )２ ＝ － １９，ｓｉｎ α２ －( )β ＝ ２３，且π２ ＜ α ＜ π，０ ＜ β ＜ π２，求 ｃｏｓ α ＋ β２ 的值． 【分析】　 注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系： α － β( )２ － α２ －( )β ＝α ＋ β２ ，因此可以求出ｃｏｓ α ＋ β２ 的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．已知ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ３５，ｓｉｎ β － π( )４ ＝ ５１３，α，β∈ ０，π( )２ ，求ｃｏｓ α ＋ π( )４ ． ●:;R%µ+M?opru? ４．已知α，β均为锐角，且ｃｏｓ α ＝ ２槡５５ ，ｃｏｓ β ＝槡 １０ １０ ，求α － β的值． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ４．已知ｓｉｎ α ＋ ｓｉｎ β ＝ ３５，ｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ４ ５，０ ＜ α ＜ β ＜ π，求α － β的值． 归纳提升：１．解决三角 函数求值问题的关键是 把“所求角”用“已知 角”表示 （１） ºFö÷"G5q A ， Fdñ"Gm¢ 23ŽqFö÷"G %/ǽ%vê ； （２） ºFö÷"G5m A ， ¦ABvw Fdñ"G… Fö÷ "G%/ǽ%̀ ， M{B1ЙQêè Fdñ"G‡tFö÷ "G ． ２．常见的配角技巧 ２α ＝ （α ＋ β）＋ （α － β），α ＝ （α ＋ β）－ β，β ＝ α ＋ β２ － α － β ２ ，α ＝ α ＋ β ２ ＋ α － β ２ ， α － β ２ ＝ α ＋ β( )２ － α２ ＋( )β »． 归纳提升：已知三角函 数值求角的解题步骤 í １ ð1]"%|}Ä bcrôM]dñ"% |} ． í ２ ðñdñ"%óÔ ”"~*Ÿ ． Žx0A ¹4Z}®=hy|} 2:õ%”"~* ． í ３ ðZˆ”"~*Ÿ Õ"%|}ñ" ． $!& WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｃｏｓ ８０°ｃｏｓ ３５° ＋ ｓｉｎ ８０°ｃｏｓ ５５° ＝ （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． －槡 ２ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． － １ ２ ２． ｃｏｓ π３ －( )α 等于 （　 　 ） Ａ． １２ － ｃｏｓ α Ｂ． １ ２ ｃｏｓ α Ｃ． １２ ｃｏｓ α ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ α Ｄ． １ ２ ｃｏｓ α － 槡３ ２ ｓｉｎ α ３．设角θ的终边经过点（－ ３，４），则ｃｏｓ θ － π( )４ 的值为 （Ｂ ） Ａ． －槡２１０ Ｂ．槡 ２ １０ Ｃ． ７槡２１０ Ｄ． － ７槡２ １０ ４． ｓｉｎ（α － β）ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ（α － β）ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． ５．已知ｓｉｎ α ＝ ４５，α∈ π ２，( )π ，求ｓｉｎ π４ ＋( )α 的值． 请同学们认真完成练案［１７                         ］ ８． ２． ２　 两角和与差的正弦、正切 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角 和与差的正弦公式与正切公式． ２．能利用公式解决简单的化简求值问题． 培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 第１课时　 两角和与差的正弦 )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 两角和与差的正弦 　 　 Ｓα ＋ β：ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ． Ｓα － β：ｓｉｎ（α － β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β － ｃｏｓ αｓｉｎ β　 ． 其中α，β是任意角． ［思考］ 　 　 提醒：两角和与差的正弦公式的理解 （１） q"/…½%!‰Qê%,zŽq"/…½%!‰ ， -zŽ α，β %ÖÀ”"~*P%/…½ ， ·Å5(ŽF!ŠŠ! ，̂ _6£G ， ¥<¡ nƒ{%qiÿýŽq"%!‰jŠ‰ ， Š‰j!‰ ； {<(¡nƒ{% qi…´%µ¶^_…nƒ¥q"…´%µ¶^_6£ ； （２）α，β·Å(:"，÷Å(q"%/…½，=¸1QêAÊX q"%/ǽRŽmž¡ ． ●/012 １． ｓｉｎ ４５°ｃｏｓ １５° － ｃｏｓ １３５°·ｓｉｎ １６５° ＝ （Ｄ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． － １２ Ｂ． － 槡３ ２ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ 思考：和（差）角公式中 α，β都是任意角，如果 α为特殊角，你能从和 （差）公式推导出诱导 公式吗？ 提示： ÛmÜÄy™ ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ ｃｏｓ α． ｓｉｎ π２ ＋( )α ＝ｓｉｎ π２ ｃｏｓ α ＋ｃｏｓ π２ ｓｉｎ α ＝１·ｃｏｓ α ＋ ０·ｓｉｎ α ＝ ｃｏｓ α． $!'