7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 象在第一象限每个周期内与 ｙ＝ 1 x 的图象都有两个交点， 在 区间 1 6 ， 13 6 6 " 上有两个交点， 在区间 13 6 ， 25 6 6 " 上有两个 交点， 从而在 0 ， 25 6 6 " 上有 ４ 个交点， ④ 正确 ． １３. 解： （ １ ） 由题意知 1 2 Ｔ＝ 仔 棕 = 7仔 12 - 仔 12 = 仔 2 ， 故 棕＝２ ， 又 ｆ 仔 12 6 " ＝ｓｉｎ 仔 6 + 6 " φ ＝－１ ， 仔 6 +φ=- 仔 2 +２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 即 φ＝－ 2仔 3 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， ∵|φ|＜仔 ， ∴φ＝－ 2 3 仔 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 . （ ２ ） ｘ∈ 仔 6 ， ， % 仔 ， 2x- 2 3 仔∈ - 仔 3 ， 4 3 ， % 仔 ， ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 3 ， 仔 2 ， % 上 单 调 递 增 ， 在 仔 2 ， 4 3 ， % 仔 上 单 调 递 减 ， ∴ｓｉｎ 2x- 2 3 6 " 仔 ∈ - 3 姨 2 ， ， % 1 ， ∴ 函数的值域为 - 3 姨 2 ， ， % 1 . １４. 解： （ １ ） 由 ｆ （ ｘ ）的最小正周期为 仔 ， 知 2仔 棕 ＝仔 ， 即 棕＝２． 又 ｆ （ ｘ ）图象的一条对称轴 为直线 ｘ＝ 仔 6 ， ∴２× 仔 6 ＋φ＝ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ. 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， 即 φ＝ 仔 6 ． ∵ ｆ （ ｘ ）图象过点 （ ０ ， １ ）， 即 １＝Ａｓｉｎ 仔 6 ， 得 Ａ＝２. ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ ２ｓｉｎ 2x + 仔 6 6 " ， 故 ｆ 仔 24 6 " ＝ ２ｓｉｎ 仔 12 + 仔 6 6 " ＝２ｓｉｎ 仔 4 ＝ 2 姨 ． （ ２ ） 当 ｘ ∈ 0 ， 仔 2 ， % 时 ， ２ｘ ＋ 仔 6 ∈ 仔 6 ， 7仔 6 ， % ， ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " ∈ - 1 2 ， ， % 1 ， ∴| ｆ （ ｘ ） |∈ ［ ０ ， ２ ］， 作函数 |ｆ （ ｘ ） |＝ ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 在 0 ， 仔 2 ， % 上的图象， 如图所示， 数形结合 可知 ， 若方程 |ｆ （ ｘ ） |－ｍ＝０ 有两个不同的实数根 ， 则 ｍ∈ （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ， 即 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 为 （ ０ ， １ ） ∪ （ １ ， ２ ） ． 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） 散点图如图 ． （ ２ ） 从散点图可以看出 ， 每经过相同的时间间隔 Ｔ （ １５ ｓ ）， 血压就重复出现相同的数值， 因此， 血压是周期性 变化的 ． 变式训练 ２ 解： 设 ｘ ｍｉｎ 后盛水 ｙ Ｌ ， 由例 ２ 知每转一圈， 水车最 多盛水 １６×１０＝１６０ （ Ｌ ） ， ∴ｙ＝ x 5 · １６０＝３２ｘ ， 为使水车盛 ８００ Ｌ 的水， 则有 ３２ｘ≥８００ ， ∴ｘ≥２５ ， 即水车盛 ８００ Ｌ 的 水至少需要 ２５ ｍｉｎ． 变式训练 ３ 解： 由题知， 该摆球摆动一个来回需用时 ３.２ ｓ ， ∵1 ｍｉｎ＝６０ ｓ＝ （ １８×３.２＋２.４ ） ｓ ， 而 ２.４－１.６＝０.８ ｓ ， ∴ 经过 １ ｍｉｎ 后摆球在点 Ｏ 处 ． 随堂练习 １. Ａ ２. Ｃ ３. Ｃ ４. g 4仔 2 ５. 解： （ １ ） 将 ｔ＝０ 代入 ｓ＝４ｓｉｎ 2t+ 仔 3 6 " ， 得 ｓ＝４ｓｉｎ 仔 3 ＝ ２ 3 姨 ， ∴ 小球开始振动时的位移是 ２ 3 姨 ｃｍ． （ ２ ） 小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别 是 ４ ｃｍ 和 －４ ｃｍ． （ ３ ） ∵ 振动的周期是 仔 ， ∴ 小球往复振动一次所用的 时间是 仔 ｓ． 练习手册 效果评价 １. Ｃ 【解析】 由题意， 知周期 Ｔ＝ 2仔 2仔 ＝１ ｓ ， 从最右边到 最左边的时间是半个周期， 为 1 2 ｓ. 故选 Ｃ． ２. Ｃ 【解析】 ∵ｙ＝５００ｓｉｎ （ 棕ｘ＋φ ） ＋９ ５００ （ 棕＞０ ）， ∴ 当 ｘ＝ １ 时， ５００ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＋９ ５００＝１０ ０００ ； 当 ｘ＝２ 时， ５００ｓｉｎ （ ２棕＋ φ ） ＋９ ５００＝９ ５００ ， 即 ｓｉｎ （ ２棕＋φ ） ＝０ ， ｓｉｎ （ 棕＋φ ） ＝１ １ ， ∴ ２棕＋φ＝ｍ仔 ， ｍ∈Ｚ ， 棕＋φ＝ 仔 2 +２ｎ仔 ， ｎ∈Ｚ １ . 易得 ３棕＋φ＝－ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ. 又当 ｘ＝３ 时， ｙ＝５００ｓｉｎ （ ３棕＋φ ） ＋９ ５００ ， ∴ｙ＝９ ０００. 故选 Ｃ． ３. Ａ 【解析】 方法一： 由已知条件， 用排除可知 . 令 ｘ＝ ３ 可排除 Ｄ ， 令 ｘ＝７ 可排除 Ｂ ， 由 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ 可排除 Ｃ． 方法二： 由题意， 可得 Ａ＝ 9-5 2 ＝２ ， ｂ＝７. 周期 Ｔ＝ 2仔 棕 ＝ ２× （ ７－３ ） ＝８ ， 则 棕＝ 仔 ４ ， ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x+ 6 " φ ＋７. ∵ 当 ｘ＝３ 时， ｙ ＝９ ， ∴２ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＋7 ＝９ ， 即 ｓｉｎ 3仔 4 + 6 " φ ＝１. ∵ |φ |＜ 仔 2 ， ∴φ＝－ 仔 4 . ∴ ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 仔 4 x- 仔 4 6 " ＋７ （ １≤ｘ≤１２ ， ｘ∈Ｎ ＋ ） . 故选 Ａ． ４. Ｃ 【解析】 由 ２ｋ仔－ 仔 4 ≤ t 2 ≤２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 知函 数 Ｆ （ ｔ ）的单调递增区间为 ［ ４ｋ仔－仔 ， ４ｋ仔＋仔 ］， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ＝ １ 时， ｔ∈ ［ ３仔 ， ５仔 ］ . ∵ ［ １０ ， １５ ］ 哿 ［ ３仔 ， ５仔 ］， 故选 Ｃ． ５. 仔 6 【解析】 根据图象， 知 1 6 ， 6 " 0 ， 11 12 ， 6 " 0 两点的 距离刚好是 3 4 个周期 ， ∴ 3 4 Ｔ＝ 11 12 - 1 6 = 3 4 . ∴Ｔ＝１ ， 则 棕＝ 第 １４ 题答图 变式训练 １ 答图 f （ x ） = ２ｓｉｎ 2x+ 仔 6 6 " 47 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2仔 r ＝２仔. ∵ 当 ｔ＝ 1 6 时， 函数取得最大值， ∴２仔× 1 6 ＋φ＝ 仔 2 ＋ ２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， ∴φ＝ 仔 6 ． 提升练习 ６. 解 ： （ １ ） 由已知可设 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓωｔ （ ω＞０ ， ｔ≥ ０ ）， 由已知周期为 １２ ｍｉｎ ， 可知 ω＝ 2仔 12 ， 即 ω＝ 仔 6 . ∴ｙ＝ ４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ （ ｔ≥０ ） ． （ ２ ） 令 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝６０.５ ， 得 ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝－ 1 2 ， ∴ 仔 6 ｔ＝ 2 3 仔 或 仔 6 ｔ＝ 4 3 仔 ， 解得 ｔ＝４ 或 ｔ＝８ ， 故第四次距离地面 ６０.５ ｍ 时， 用时为 １２＋８＝２０ （ ｍｉｎ ） ． ７. 解： （ １ ） 令 ｔ＝０ ， 得 ｈ＝３ｓｉｎ 仔 4 ＝ 3 2 姨 2 ， ∴ 开始振 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 3 2 姨 2 ｃｍ 处 ． （ ２ ） 由题意知， 当 ｈ＝３ 时， ｔ 的最小值为 仔 8 ， 即小球 第一次上升到最高点的时间为 仔 8 ｓ． 当 ｈ＝－３ 时， ｔ 的最小值为 5仔 8 ， 即小球第一次下降到 最低点的时间为 5仔 8 ｓ． （ ３ ） Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔 ， 即经过约 仔 ｓ 小球往返振动一次 ． （ ４ ） ｆ＝ 1 T ＝ 1 仔 ， 即每秒内小球往返振动 1 仔 次 ． ８. 解 ： （ １ ） 由已知数据 ， 描出曲线如图 ． 易知函数 ｙ＝ｆ （ ｔ ）的周期 Ｔ＝ １２ ， 振幅 Ａ＝３ ， ｂ＝１０ ， 则 ω＝ 2仔 T ＝ 仔 6 ， ｙ＝３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋ １０ （ ０≤ｔ≤２４ ） ． （ ２ ） 由题意 ， 该船进出港 时， 水深应不小于 ５＋６.５＝１１.５ （ ｍ ）， 由 ｙ≥１１.５ ， 得 ３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋１０≥１１.５ ， 即 ｓｉｎ 仔 6 ｔ≥ 1 2 . ① ∵０≤ｔ≤２４ ， ∴０≤ 仔 6 ｔ≤4仔. ② 由 ①② ， 得 仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 5仔 6 或 13仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 17仔 6 . 化简得 １≤ｔ≤５ 或 １３≤ｔ≤１７． ∴ 该船最早能在凌晨 １ 时进港 5 时出港， 或在 13 时进 港 １７ 时出港， 故在港内最多可停留 4 ｈ． 第 ８ 题答图 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学习手册 变式训练 １ （ １ ） Ｄ （ ２ ） 2 2 姨 3 【解析】 （ １ ） 设两个单位向量 分别为 ｅ １ ， ｅ ２ ， 则 ｅ １ · ｅ ２ ＝ｃｏｓ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝－１ ， 由于 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ∈ ［ ０ ， 仔 ］， ∴ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝仔. 故选 Ｄ. （ ２ ） ∵ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ| ， 则 ３|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝|ｂ| ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 1 3 . 又 ∵ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＋ｃｏｓ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝１ ， 得 ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 8 9 . ∵０≤ 〈 ａ ， ｂ 〉 ≤仔 ， ∴ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 2 2 姨 3 ． 变式训练 ２ ①②⑥ 【解析】 由于 ａ ２ ≥０ ， ｂ ２ ≥０ ， ∴ 若 ａ ２ ＋ｂ ２ ＝０ ， 则 ａ＝ｂ＝０ ， ∴① 正确； 若 ａ＋ｂ＝０ ， 则 ａ＝－ｂ ， 又 ａ ， ｂ ， ｃ 是三个非零向量 ， ∴ａ · ｃ＝－ｂ · ｃ ， ∴|ａ · ｃ|＝|ｂ · ｃ| ， ∴② 正确； ａ ， ｂ 共线 圳ａ · ｂ＝±|ａ||ｂ| ， ∴③ 不正确； 对于 ④ ， 应有 |ａ||ｂ|≥ａ · ｂ ， ∴④ 不正确； 对于 ⑤ ， 应该是 ａ · ａ · ａ＝|ａ| ２ ａ ， ∴⑤ 不正确； ａ ２ ＋ｂ ２ ≥２|ａ||ｂ|≥２ａ · ｂ ， ∴⑥ 正确； 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ０° 时， 也有 ａ · ｂ＞０ ， ∴⑦ 不正确； |ｂ|ｃｏｓθ 表示向量 ｂ 在向量 ａ 方向上的正投影的数量 ， 而非投影长， ∴⑧ 不正确 . 综上可知 ①②⑥ 正确 ． 变式训练 ３ （ １ ） Ｄ （ ２ ） ６ 【解析 】 （ １ ） 如 图， 取 ＡＢ 的中点 Ｈ ， 连接 ＣＨ ， 则向 量A () C 在A () B 方向上的投影的 数量为 ＡＨ＝|A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ ， ∴A () B·A () C ＝|A () B | · |A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝|A () B ||A () H |＝２. 故选 Ｄ． （ ２ ） ∵ 向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的 数量是 ２ ， |ｂ|＝３ ， 则 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ |ａ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉） |ｂ|＝ ２×３＝６． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｂ ３. Ｄ ４. １２０° ５. 解： （ １ ） ａ∥ｂ ， 若 ａ 与 ｂ 同向， 则 θ＝０° ， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| · ｃｏｓ０°＝４×５＝２０ ； 若 ａ 与 ｂ 反向， 则 θ＝１８０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ ||ｂ |ｃｏｓ１８０°＝４×５× （ －１ ） ＝－２０． （ ２ ） 当 ａ⊥ｂ 时， θ＝９０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ９０°＝０． （ ３ ） 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ３０° 时， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ３０°＝４×５× 3 姨 2 ＝１０ 3 姨 ． 练习手册 效果评价 １. B 【解析】 ∵∠ABC=30° ， ∴ 〈A () B ， B () C 〉=180°-30°= 150°. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴ 向量A () B·B () C =|A () B | · |B () C |cos150°=3× 4× - 3 姨 2 2 . =-6 3 姨 . 故选 B. 变式训练 ３ 答图 t/h y/m 48 第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 了解周期现象在现实中广泛存在 . ２. 感受周期现象对实际工作的意义 . ３. 能熟练地判断简单的实际问题的周期 . 要 点 精 析 要点 1 利用图象判断周期现象 例 １ 下表是 ２０２２ 年 ５ 月 １ 日在泰山山 顶每隔 ２ ｈ 测得的温度 （单位： ℃ ） . （ １ ） 以时刻为 ｘ 轴， 以气温为 ｙ 轴， 描 出图象； （ ２ ） 若山顶的温度随时刻 ｔ 的变化具有周 期现象， 试估计泰山山顶一天中的最大温差 . 解： （ １ ） 如图： （ ２ ） 由图 （表） 知， 泰山山顶一天中的 最大温差约为 ２８- （ -２ ） ＝３０ （ ℃ ） . 反思感悟 利用图象判断周期现象的方法 （ １ ） 由题中提供的数据画出图象； （ ２ ） 观察图象是否是随着一个变量的 等值变化， 另一个变量的值重复出现， 若 满足， 则是周期现象 . 变式训练 1 我们的心跳都是有节奏、 有规律的， 心 脏跳动时， 血压在增大或减小 . 下表是某人 在一分钟内的血压与时间的对应关系表， 通 过表中数据来研究血压变化的规律 . （ １ ） 根据上表提供的数据在平面直角坐 标系中作出血压 ｐ 与时间 ｔ 的关系的散点图； （ ２ ） 说明血压变化的规律 . 7.4 数学建模活动： 周期现象的描述 ℃ h 图 7-4-1 时刻 气温 0 13.5 2 6.0 4 0.1 6 -2 8 0.14 10 5.9 12 14.1 时刻 气温 14 22.5 16 27.5 18 28 20 27.3 22 21.0 24 14.5 （续表） t/s 5 10 15 20 25 30 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 t/s 35 40 45 50 55 60 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115 59 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 周期现象的计算问题 例 ２ 水车上装有 １６ 个盛水槽， 每个 盛水槽最多盛水 １０ Ｌ ， 假设水车 ５ ｍｉｎ 转一 圈， 计算 １ ｈ 内最多盛水多少升？ 解 ： ∵１ ｈ＝６０ ｍｉｎ＝１２×５ ｍｉｎ ， 且水车 ５ ｍｉｎ 转一圈， ∴１ ｈ 内水车转 １２ 圈 . 又 ∵ 水 车上装有 １６ 个盛水槽， 每个盛水槽最多盛 水 １０ Ｌ ， ∴ 每转一圈 ， 最多盛水 １６×１０＝ １６０ （ Ｌ ）， ∴ 水车 １ ｈ 内最多盛水 １６０×１２＝ １ ９２０ （ Ｌ ） 反思感悟 （ １ ） 应用周期现象中 “周而复始” 的 规律性可以达到 “化繁为简” “化无限为 有限” 的目的 . （ ２ ） 只要确定好周期现象中重复出现 的 “基本单位” 就可以把问题转化到一个 周期内来解决 . 变式训练 2 利用例 ２ 中的水车盛 ８００ Ｌ 的水， 至少 需要多少时间？ 要点 3 周期现象的应用 例 ３ 一根长为 ｌ 的 线， 一端固定， 另一端悬 挂一个小球， 如图 . 已知小 球从 Ｍ 点放下， 经过 ０.５ ｓ 第一次到达平衡位置 Ｏ ， 求小球第三次经过平衡位置 Ｏ 的时间 . 解： 设小球从点 Ｍ 处放下， 经过平衡 位置 Ｏ 到达最高点 Ｎ ， 由于第一次到达平衡 位置的时间为 ０.５ ｓ ， 因此由 Ｍ 点第一次到 达 Ｎ 点的时间为 １ ｓ ， 由 Ｎ 处摆动到平衡位 置是第二次到达平衡位置， 用时 ０.５ ｓ ， 到达 Ｍ 点用时 ０.５ ｓ ， 从点 Ｍ 再次达到平衡位置 点 Ｏ ， 即第三次到达平衡位置又用时 ０.５ ｓ. 故第三次经过平衡位置的时间为 １＋０.５＋０.５＋ ０.５＝２.５ （ ｓ ） . 反思感悟 应用周期现象解决实际问题的两个要点 变式训练 3 如图是一单摆， 摆球从点 Ｂ 到点 Ｏ ， 再 到点 Ｃ 用时 １.６ ｓ （不计阻力） . 若从摆球在 点 Ｂ 处开始计时， 经过 １ ｍｉｎ 后， 请估计摆 球相对于点 Ｏ 的位置 . 图 7-4-2 图 7-4-3 一找 判断某种周期现象的 “周期” 时， 要 仔细审题， 找准最基本的 “重复单位” 就是其 “周期” 二化 只要确定了周期现象中的 “周期”， 我 们就可以把问题转化到一个 “周期” 内解决 60 第七章 三角函数 学 数 学 文 化 傅立叶变换是数字信号处理领域一种 很重要的算法 . 要知道傅立叶变换算法的意 义， 首先要了解傅立叶原理的意义 . 傅立叶 原理表明 ： 任何连续测量的时序或信号 ， 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无 限叠加 . 而根据该原理创立的傅立叶变换算 法利用直接测量到的原始信号， 以累加方 式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、 振幅和相位 . 例 已知某种通信信号 Ｆ （ ｄＢｍ ） 随时 间 ｔ （ ｓ ） 的变化规律可以拟合为函数 Ｆ＝ ５ 2 姨 ｓｉｎ 100仔t- 仔 2 2 # ， ｔ∈ ［ ０ ， ＋∞ ）， 则这种 通信信号在 ０.５ ｓ 内往复传输 次 . 解析： 据 Ｆ＝５ 2 姨 ｓｉｎ 100仔t- 仔 2 2 & 知 ω＝ １００仔 ｒａｄ/ｓ ， 该通信信号的周期为 Ｔ＝ 2仔 ω ＝ ２仔 １00仔 ０.０２ ｓ ， 则这种通信信号在 ０.５ ｓ 内往 复传输的次数为 ｎ＝２ · t T ＝２× 0.5 0.02 ＝５０ （次） . 61