7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 能正确使用五点法、 图象变换法作出 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的图象， 并熟悉其变换 过程 . ２. 会求函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的周期、 频 率与振幅 . ３. 结合具体实例， 了解 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 的实际意义， 并且了解 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）中的 参数 Ａ ， ω ， φ 对函数图象变化的影响以及 它们的物理意义 . 要 点 精 析 要点 1 正弦型函数的定义域和值域 一般地， 形如 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的函数称 为正弦型函数， 其中 Ａ ， ω ， φ 都是常数 ， 且 Ａ≠０ ， ω≠０. 正弦型函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ≠０ ， ω≠ ０ ） 的定义域为 Ｒ ， 值域为 ［ -｜Ａ｜ ， ｜Ａ｜ ］ . 例 １ 求下列函数的最大值和最小值， 并写出取得最值时的 ｘ 的取值集合 . （ １ ） ｙ ＝ 1- 1 2 sinx 姨 ； （ ２ ） ｙ ＝３ ＋ ２ｓｉｎ 2x+ 仔 3 # $ ； （ ３ ） ｙ＝２ｃｏｓ ２ ｘ＋５ｓｉｎｘ-４. 分析 解答本题中的 （ ３ ） 可先减少函 数名， 即利用 ｓｉｎ ２ ｘ＋ｃｏｓ ２ ｘ＝１ 消去 ｃｏｓ ２ ｘ 便可 转化成关于 ｓｉｎｘ 的二次函数问题 . 解： （ １ ） ∵ 1- 1 2 sinx≥0 ， -1≤sinx≤1 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴-１≤ｓｉｎｘ≤ １. 当 ｓｉｎｘ＝-１ 时， ｙ ｍａｘ ＝ 6 姨 2 ， 此时 ｘ 的取值 集合为 ｘ ｘ＝- 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - ； 当 ｓｉｎｘ＝１ 时， ｙ ｍｉｎ ＝ 2 姨 2 ， 此时 ｘ 的取 值集合为 ｘ ｘ＝ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - . （ ２ ） ∵ - １ ≤ ｓｉｎ 2x + 仔 3 3 $ ≤ 1 ， ∴ 当 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 3 $ ＝１ 时， ｙ ｍａｘ ＝５ ， 此时 ２ｘ＋ 仔 3 ＝ 仔 2 ＋ ２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 即 ｘ＝ 仔 12 ＋ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 故 ｘ 的 取值集合为 ｘ ｘ＝ 仔 12 ＋ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - . 当 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 3 $ ＝-１ 时， ｙ ｍｉｎ ＝１ ， 此时 ２ｘ＋ 仔 3 ＝- 仔 2 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 即 ｘ＝- 5仔 12 ＋ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 故 ｘ 的取值集合为 ｘ＝- 5仔 12 ＋ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - . （ ３ ） ｙ ＝２ｃｏｓ ２ ｘ ＋５ｓｉｎｘ -４ ＝-２ｓｉｎ ２ ｘ ＋５ｓｉｎｘ - ２ ＝-２ sinx- 5 4 3 $ 2 + 9 8 . ∵ｓｉｎｘ ∈ ［ -１ ， １ ］ ， ∴ 当 ｓｉｎｘ＝-１ ， 即 ｘ＝- 仔 2 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） 时 ， ｙ 有 最 小 值 -９ ， 此 时 ｘ 的 取 值 集 合 为 ｘ ｘ＝- 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - ； 当 ｓｉｎｘ＝１ ， 即 ｘ＝ 仔 2 ＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｙ 有最大值 １ ， 此时 ｘ 的 取值集合为 ｘ ｘ＝ 仔 2 ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ , - . 反思感悟 （ １ ） 求有关 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） ＋ｂ ， ｘ∈R 的 最值或值域这类题目的关键在于充分利用 7.3.2 正弦型函数的性质与图象 36 第七章 三角函数 学 好正弦函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的有界性， 即 ｜ｓｉｎｘ｜≤１. （ ２ ） 形如 ｙ＝ｐｓｉｎ ２ ｘ＋ｑｓｉｎｘ＋ｒ （ ｐ≠０ ） 形 的三角函数最值问题常利用二次函数的思 想转化成在给定区间 ［ ｍ ， ｎ ］ 上求二次函 数最值的问题， 解答时依然采用数形结合 的思想加以分析， 必要时要分区间讨论转 化成常见的 “轴变区间定” 或 “轴定区间 变” 问题 . 变式训练 1 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝２ａｓｉｎ 2x- 仔 3 # $ ＋ｂ 的定义 域为 0 ， 仔 2 2 & ， 值域为 ［ -５ ， １ ］， 求 ａ 和 ｂ 的值 . 要点 2 三角函数的周期性 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）中 Ｔ＝ ２仔 ω ， 所以往往 通过求周期 Ｔ 来确定 ω. 可通过已知曲线与 ｘ 轴的交点从而确定 Ｔ ， 即相邻的最高点与最 低点之间的距离为 T 2 ； 相邻的两个最高点 （或最低点） 之间的距离为 Ｔ. 例 ２ 求下列函数的周期： （ １ ） ｙ＝ｓｉｎ 1 2 ｘ ； （ ２ ） ｙ＝２ｓｉｎｘ x 3 - 仔 6 # ' . 解： 方法一： （ １ ） 如果令 ｕ＝ 1 2 ｘ ， 则 ｓｉｎ 1 2 ｘ＝ｓｉｎｕ 是周期函数， 且周期为 ２仔. ∴ｓｉｎ 1 2 x+2 # ' 仔 ＝ｓｉｎ 1 2 ｘ ， 即 ｓｉｎ 1 2 （ x+4仔 2 & ） =sin 1 2 x. ∴ｓｉｎ 1 2 ｘ 的周期是 ４仔. （ ２ ） ∵２ｓｉｎ x 3 - 仔 6 +2 # ' 仔 =2sin x 3 - 仔 6 # ' ， 即 2sin 1 3 （ x+6仔 ） - 仔 6 2 & =2sin x 3 - 仔 6 # ' . ∴2sin x 3 - 仔 6 # ' 的周期是 ６仔. 方法二： （ １ ） ∵ω＝ 1 2 ， ∴Ｔ＝ 2仔 1 2 ＝４仔. （ ２ ） ∵ω＝ 1 3 ， ∴Ｔ＝ 2仔 1 3 ＝６仔. 反思感悟 方法一可以理解为自变量 ｘ 上增加周 期 Ｔ ， 与其他系数无关； 方法二是求周期 常用方法， 需要注意 ω 为正， 保证 Ｔ＝ ２仔 ω 是最小正周期， 有时也可以通过图象直观 判断函数周期 . 变式训练 2 求下列函数的周期： （ １ ） ｙ＝ｓｉｎ 5x+ 仔 6 # ' ； （ ２ ） ｙ＝ｓｉｎ 1 仔 x+ 仔 4 # ' . 37 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 正弦型函数的单调性 例 3 求 y=sin 3x- 仔 3 3 " 的单调区间 . 解 ： 令 ｕ＝３ｘ- 仔 3 ， 当 ｘ∈Ｒ 时单调递 增， ∴ 当函数 ｙ＝ｓｉｎｕ 递增时， 复合函数 ｙ＝ ｓｉｎ 3x- 仔 3 3 " 也单调递增； 当函数 ｙ＝ｓｉｎｕ 递减 时， 复合函数 ｙ＝ｓｉｎ 3x- 仔 3 3 " 也单调递减 . 由 ２ｋ仔- 仔 2 ≤３ｘ- 仔 3 ≤２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 得 2 3 ｋ仔- 仔 18 ≤ｘ≤ 2 3 ｋ仔＋ 5 18 仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 故原函 数的单调递增区间为 2 3 k仔- 仔 18 ， 2 3 k仔+ ５仔 18 8 & ， ｋ∈Ｚ. 由 ２ｋ仔＋ 仔 2 ≤３ｘ- 仔 3 ≤２ｋ仔＋ 3仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 得 2 3 ｋ仔＋ 5 18 仔≤ｘ≤ 2 3 ｋ仔＋ 11 18 仔 ， ｋ∈Ｚ ， 故原函数 的单调递减区间为 2 3 k仔+ 5 18 仔 ， 2 3 k仔+ 11 18 8 & 仔 ， ｋ∈Ｚ. 反思感悟 （ １ ） 本题用的是代换法， 所谓代换法， 就是将比较复杂的三角函数符号后的整体 当作一个角 ｕ （或 ｔ ）， 利用基本三角函数的 单调性来求所要求的三角函数的单调区间， 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的 单调区间， 如 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 2k仔- 仔 ２ ， ２k仔+ 仔 ２ 8 & （ ｋ∈Ｚ ） 上单调递增， 在 2k仔+ 仔 ２ ， ２k仔+ 3仔 ２ 8 & （ ｋ∈Ｚ ） 上单调递减 . （ ２ ） 在求三角函数的单调区间时， 一 定要注意复合函数的有关知识， 忽略复合函 数的条件， 是同学们在解题中常犯的错误 . 变式训练 3 求函数 ｙ＝３ｓｉｎ 仔 3 - x 2 3 " 的单调递增区间 . 要点 4 作正弦型函数的简图 例 ４ 用五点法作函数 ｙ＝２ｓｉｎ x- 仔 3 3 " ＋３ 的图象， 并写出函数的定义域、 值域、 周 期、 单调区间、 对称轴方程 . 分析 先确定一个周期内的五个关键 点， 画出一个周期的图象， 左、 右扩展可 得图象， 然后根据图象求性质 . 解： ① 列表： ② 描点连线， 作出一周期的函数图象 . ③ 把 此 图 象 左 、 右 扩 展 即 得 ｙ ＝ ２ｓｉｎ x- 仔 3 3 " ＋３ 的图象 . x 仔 3 5 6 仔 4 3 仔 11 6 仔 7 3 仔 x- 仔 3 0 仔 2 仔 3 2 仔 ２仔 y 3 5 3 1 3 图 7-3-4 38 第七章 三角函数 学 由图象可知函数的定义域为 Ｒ ， 值域为 ［ １ ， ５ ］， Ｔ＝ 2仔 棕 ＝２仔. 令 ２ｋ仔- 仔 2 ≤ｘ- 仔 ３ ≤２ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ） 得原 函数的增区间为 2k仔- 仔 6 ， ２k仔+ 5 6 6 $ 仔 （ ｋ∈Ｚ ） . 令 ２ｋ仔＋ 仔 2 ≤ｘ- 仔 3 ≤２ｋ仔＋ 3 2 仔 （ ｋ∈Ｚ ） 得原函数的减区间为 2k仔+ 5 6 仔 ， ２k仔+ １１ 6 6 & 仔 （ ｋ∈Ｚ ） . 令 ｘ- 仔 3 ＝ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ） 得原函数的对 称轴方程为 ｘ＝ｋ仔＋ 5 6 仔 （ ｋ∈Ｚ ） . 反思感悟 （ １ ） 用五点法作 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的图 象， 应先令 ωｘ＋φ 分别为 ０ ， 仔 2 ， 仔 ， 3仔 2 ， ２仔 ， 然后解出自变量 ｘ 的对应值， 作出一 周期内的图象 . （ ２ ） 求 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的单调区间时， 首先把 ｘ 的系数化为正值， 然后利用整体 代换， 把 ωｘ＋φ 代入相应不等式中， 求出相 应的变量 ｘ 的范围 . 变式训练 4 用五点法作函数 ｙ＝２ｓｉｎ 2x+ 仔 4 ' ( 在一个 周期上的图象 . 要点 5 正弦型函数的图象变换 例 ５ 试说明如何由函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图 象通过变换得到函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( 的 图象 . 分析 尝试用两种方法变换： （ １ ） ｙ＝ ｓｉｎｘ →ｙ ＝ｓｉｎ x+ 仔 3 ' ( →ｙ ＝ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( →ｙ ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( . （ ２ ） ｙ＝ｓｉｎｘ→ｙ＝ｓｉｎ２ｘ→ｙ＝ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( → ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( . 解 ： 方 法 一 ： ｙ ＝ｓｉｎｘ 向左平移 仔 3 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ x+ 仔 3 ' ( 各横坐标变为原来的 1 2 倍 纵坐标不变 ｙ＝ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( 各纵坐标变为原来的 1 2 倍 横坐标不变 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( . 方法二： ∵ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( ＝ 1 2 ｓｉｎ２ x+ 仔 6 ' ( ， ∴ｙ＝ｓｉｎｘ 各横坐标变为原来的 1 2 倍 纵坐标不变 ｙ＝ｓｉｎ２ｘ 向左平移 仔 6 个单位 ｙ＝ｓｉｎ２ x+ 仔 6 ' ( 各纵坐标变为原来的 1 2 倍 横坐标不变 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 3 ' ( . 反思感悟 由 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象变换到 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 的图象变化途径有两条： （ １ ） ｙ＝ｓｉｎｘ 相位变换 ｙ＝ｓｉｎ （ ｘ＋φ ） 周期变换 ｙ＝ｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 振幅变换 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） . 39 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 （ ２ ） ｙ＝ｓｉｎｘ 周期变换 ｙ＝ｓｉｎωｘ 相位变换 ｙ＝ ｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 振幅变换 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） . 变式训练 5 函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2x+ 仔 6 ! " ＋ 5 4 的图象可由 ｙ＝ ｓｉｎｘ 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 要点 6 由函数的图象求解析式 例 ６ 如图是函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ＞０ ， ω＞０ ， -仔＜φ＜仔 ） 的图象， 由图中条件， 写出 该函数的解析式 . 分析 由给出的函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的 图象信息确定其中的 Ａ ， ω 及 φ 的值 . 从图 象的最高点、 图象的起始点、 结束点来分 析出 Ａ ， ω 及 φ 的值 . 解： 方法一 （最值点法）： 由题中图象 可得 Ａ＝２ ， Ｔ＝２× 仔+ 仔 2 ! " ＝３仔＝ ２仔 棕 ， ∴ω＝ 2 3 . 将最高点坐标 仔 4 ， ! " 2 代入 ｙ＝２ｓｉｎ 2 3 x+ ! " φ ， 得 ２ｓｉｎ 仔 6 + ! " φ ＝２ ， ∴ 仔 6 ＋φ＝２ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， ∴φ＝２ｋ仔＋ 仔 3 ， ｋ∈Ｚ. 由 -仔＜φ＜仔 知， φ＝ 仔 3 . ∴ 此函数的解析式为 ｙ＝２ｓｉｎ 2 3 x+ 仔 3 ! " . 方法二 （起始点法）： 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋ φ ） 的图象一般由五点法作出， 而起始点的 横坐标 ｘ 正是由 ωｘ＋φ＝０ 解得的， 故只要找 出起始点的横坐标 ｘ ０ 就可以迅速求得角 φ. 由题中图象求得 ω＝ 2 3 ， ｘ ０ ＝- 仔 2 ， φ＝ -ωｘ ０ ＝- 2 3 × - 仔 2 ! " = 仔 3 . 又 ∵Ａ＝２ ， ∴ 此函数的 解析式为 ｙ＝２ｓｉｎ 2 3 x+ 仔 3 ! " . 方法三 （平移法 ）： 由图象知 ， 将 ｙ＝ ２ｓｉｎ 2 3 ｘ 的图象沿 ｘ 轴向左平移 仔 2 个单位， 就得到本题图象， 故所求函数的解析式为 ｙ＝２ｓｉｎ 2 3 x+ 仔 2 ! " 2 % ， 即 ｙ＝２ｓｉｎ 2 3 x+ 仔 3 ! " . 反思感悟 确定函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的解析式的关 键是 φ 的确定， 常用方法有： （ １ ） 代入法： 把图象上的一个已知点 代入 （此时 Ａ ， ω 已知或代入图象与 ｘ 轴的 交点求解， 此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上） . （ ２ ） 五点法： 确定 φ 值时， 往往以寻 找五点法中的第一个零点 - 仔 棕 ， ! " 0 作为突 破口 . “五点” 的 ωｘ＋φ 的值具体如下： “第一点” （即图象上升时与 ｘ 轴的交 点） 为 ωｘ＋φ＝０ ； “第二点 ” （即图象的 “峰点 ” ） 为 图 7-3-5 40 第七章 三角函数 学 ωｘ＋φ＝ 仔 2 ； “第三点” （即图象下降时与 ｘ 轴的交 点） 为 ωｘ＋φ＝仔 ； “第四点 ” （即图象的 “谷点 ” ） 为 ωｘ＋φ＝ 3仔 2 ； “第五点” 为 ωｘ＋φ＝２仔. 变式训练 6 已知函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ＞０ ， ω＞０ ） 在一个周期内的函数图象如图， 求函数的一 个解析式 . 要点 7 正弦型函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的 对称性 １. 求函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的对称轴方程： 与正弦曲线一样， 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂 直于 ｘ 轴 . 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）对称轴方程的 求法： 令 ｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） ＝±１ ， 得 ωｘ＋φ＝ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 则 ｘ＝ （ ２ｋ＋１ ） 仔-２φ 2ω （ ｋ∈Ｚ ）， 所以 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的图象的对称轴方程为 ｘ＝ （ ２ｋ＋１ ） 仔-２φ 2ω （ ｋ∈Ｚ ） . ２. 求函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的对称中心： 与正弦曲线一样， 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） 图象的对称中心即函数图象与 ｘ 轴的交点 . 函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）对称中心的求法 ： 令 ｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） ＝０ ， 得 ωｘ＋φ＝ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 则 ｘ＝ ｋ仔-ω ω （ ｋ∈Ｚ ）， 所以函数 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）的 图象关于点 ｋ仔-ω ω ， ， # 0 （ ｋ∈Ｚ ） 成中心 对称 . 例 ７ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ２ｘ＋φ ） （ ０＜φ＜仔 ） . （ １ ） 若函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ２ｘ＋φ ）为偶函数， 求 φ 的值； （ ２ ） 若函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ２ｘ＋φ ）关于 ｘ＝ 仔 8 对 称， 求出 φ 的值及 ｆ （ ｘ ）的所有的对称轴方程 及对称中心的坐标 . 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ）为偶函数， ∴φ＝ｋ仔＋ 仔 2 . 又 φ∈ （ ０ ， 仔 ）， ∴φ＝ 仔 2 . （ ２ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ２ｘ＋φ ）关于 ｘ＝ 仔 8 对称 ， ∴ ｆ （ ０ ） ＝ｆ 仔 4 ， $ ， 即 ｓｉｎφ ＝ｓｉｎ 仔 2 + % $ φ ＝ｃｏｓφ ， ∴ｔａｎφ＝１ ， φ＝ｋ仔＋ 仔 4 （ ｋ∈Ｚ ） . 又 φ∈ （ ０ ， 仔 ）， ∴φ＝ 仔 4 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x+ 仔 4 ， $ . 由 ２ｘ＋ 仔 4 ＝ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝ k仔 2 + 仔 8 （ ｋ∈Ｚ ）， 由 ２ｘ＋ 仔 4 ＝ｋ仔 ， 得 ｘ＝ k仔 2 - 仔 8 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ ｆ （ ｘ ）的对称轴方程为 ｘ＝ k仔 2 + 仔 8 （ ｋ∈Ｚ ）， 对称中心 k仔 2 - 仔 8 ， ， $ 0 （ ｋ∈Ｚ ） . 图 7-3-6 41 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 过 ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）图象的最高点或最低 点作 ｘ 轴的垂线是对称轴所在直线， 函数 图象与 ｘ 轴交点是对称中心 . 变式训练 7 函数 ｆ （ ｘ ） ＝３ｓｉｎ 2x- 仔 3 ! " 的图象为 Ｃ ， 则 关于下列结论： ① 图象 Ｃ 关于直线 ｘ＝ 仔 12 对 称； ② 图象 Ｃ 关于点 2仔 3 ， ! " 0 对称； ③ 函数 ｆ （ ｘ ）在区间 - 仔 12 ， 5仔 12 ! " 内是增函数； ④ 由 ｙ＝ ３ｓｉｎ２ｘ 的图象向右平移 仔 3 个单位可以得到图 象 Ｃ. 其中正确的是 . （写出所有正 确结论的序号） 变式训练 8 某游乐场中半径 为 30 m 的摩天轮逆时 针 （固定从一侧观察） 匀速旋转 ， 每 5 min 转一圈 ， 其最低点离 底面 5 m ， 如果以你 从最低点登上摩天轮的时刻开始计时， 那么 你与底面的距离高度 y （ m ） 随时间 t （ s ） 变化的关系式为 . 变式训练 9 某港口海水的深度 y （ m ） 是时间 t （时） （ 0≤t≤24 ） 的函数， 记为 y=f （ t ） . 已 知某日海水深度的数据如下： 经长期观察， y=f （ t ）的曲线可近似地看 成函数 y=Asin （ ωt+φ ） +b A>0 ， ω>0 ， ｜φ｜< 仔 2 ! " 的图象 . （ 1 ） 根据以上数据， 求出函数 y=f （ t ） = Asin （ ωt+φ ） +b 的表达式； （ 2 ） 一般情况下， 船舶航行时， 船底离 海底的距离为 5 m 或 5 m 以上时认为是安全 的 （船舶停靠时 ， 船底只需不碰海底即 可） . 某船吃水深度 （船底离水面的距离） 为 7.5 m ， 如果该船希望在同一天内安全进 出港， 请问： 它至多能在港内停留多长时间 （忽略进出港所需时间）？ t/ 时 0 2 4 6 8 y/m 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 t/ 时 14 16 18 20 22 y/m 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 10 8.0 24 9.5 12 9.5 h A M O B P 图 7-3-7 42 第七章 三角函数 学 数 学 文 化 例 某景区每年都会接待大批游客， 在 景区的一家专门为游客提供食宿的客栈中， 工作人员发现为游客准备的食物有些月份浪 费严重 . 为了控制经营成本， 减少浪费， 计 划适时调整投入 . 为此他们统计了每个月入 住的游客人数， 发现每年各个月份来客栈入 住的游客人数呈周期性变化， 并且有以下规 律： ① 每年相同的月份， 入住客栈的游客人 数基本相同； ② 入住客栈的游客人数在二月 份最少， 在八月份最多， 相差约 ４００ ； ③ 二 月份入住客栈的游客约有 １００ 人， 随后逐月 递增， 在八月份达到最多 . （ １ ） 试用一个正弦型三角函数描述一年 中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； （ ２ ） 请问客栈在哪几个月份要准备 ４００ 份以上的食物 . 解： （ １ ） 设该函数为 ｆ （ ｘ ） ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ） ＋Ｂ （ Ａ＞０ ， ω＞０ ， ｜φ｜＜π ）， 其中 ｘ＝１ ， ２ ， …， １２. 根据 ① ， 可知这个函数的周期是 １２ ； 由 ② ， 可知 ｆ （ ２ ）最小 ， ｆ （ ８ ）最大 ， 且 ｆ （ ８ ） -ｆ （ ２ ） ＝４００ ， 故该函数的振幅为 ２００ ； 由 ③ ， 可知 ｆ （ ｘ ）在 ［ ２ ， ８ ］ 上单调递 增， 且 ｆ （ ２ ） ＝１００ ， ∴ ｆ （ ８ ） ＝５００. 根据上述分析可得 2π ω ＝１２ ， 故 ω＝ π 6 . 又 Ａ＝２００ ， 则 Ｂ＝５００-２００＝３００. 当 ｘ＝２ 时， ｆ （ ｘ ）最小， 当 ｘ＝８ 时， ｆ （ ｘ ） 最大， 故 ｓｉｎ 2× π 6 + ! " φ ＝-１ ， 且 ｓｉｎ 8× π 6 + ! " φ ＝１. 又 ｜φ｜＜π ， 故 φ＝- 5π 6 . ∴ 入住客栈的游客人数与月份之间的函 数关系式为 ｆ （ ｘ ） ＝２００ｓｉｎ π 6 x- 5π 6 ! " ＋３００ （ ｘ＝ １ ， ２ ， …， １２ ） . （ ２ ） 由条件 ， 可知 ２００ｓｉｎ π 6 x- 5π 6 ! " ＋ ３００≥４００ ， 化简得 ｓｉｎ π 6 x- 5π 6 ! " ≥ 1 2 ， 即 ２ｋπ＋ π 6 ≤ π 6 ｘ- 5π 6 ≤２ｋπ＋ 5π 6 ， ｋ∈ Ｚ ， 解得 １２ｋ＋６≤ｘ≤１２ｋ＋１０ ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ∈Ｎ * ， 且 １≤ｘ≤１２ ， 故 ｘ＝６ ， ７ ， ８ ， ９ ， １０. 即客栈在 ６ ， ７ ， ８ ， ９ ， １０ 这五个月 要准备 ４００ 份以上的食物 . 43 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 7.3.2 正弦型函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解： ∵0≤ｘ≤ π 2 ， ∴- π 3 ≤2ｘ- π 3 ≤ 2 3 π ， ∴- 3 姨 2 ≤ ｓｉｎ 2x- π 3 3 $ ≤1. 当 ａ＞0 时， 则 2ａ＋ｂ＝1 ， - 3 姨 ａ＋ｂ＝-5 % ， 解得 ａ＝12-6 3 姨 ， ｂ＝-23＋12 3 姨 % . 当 ａ＜0 时， 则 2ａ＋ｂ＝-5 ， - 3 姨 ａ＋ｂ＝1 % ， 解得 ａ＝-12＋6 3 姨 ， ｂ＝19-12 3 姨 % . 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ω＝5 ， ∴Ｔ＝ 2π ｜ω｜ ＝ 2 5 π. （ 2 ） ∵ω＝ 1 π ， ∴Ｔ＝ 2π ｜ω｜ ＝ 2π 1 π ＝2π 2 . 变式训练 3 解： 设 ｕ＝ π 3 - x 2 ， 则 ｙ＝3ｓｉｎｕ ， 当 2ｋπ＋ π 2 ≤ｕ≤2ｋπ＋ 3π 2 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｙ＝3ｓｉｎｕ 随 ｕ 的 增大而减小， 又 ∵ｕ＝ π 3 - x 2 随 ｘ 的增大而减小， ∴ 当 2ｋπ＋ π 2 ≤ π 3 - x 2 ≤2ｋπ＋ 3π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 即当 -4ｋπ- 7π 3 ≤ｘ≤-4ｋπ- π 3 ， ｋ∈Ｚ 时， ｙ 随 ｘ 的增大而增大 . ∴ 函数 ｙ＝3ｓｉｎ π 3 - x 2 3 2 的单调增区间为 4kπ- 7 3 π π ， 4kπ- π 3 3 （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 4 解： 列出五个关键点如下表： 描点作图， 如下图 . 变式训练 5 解： ［方法一］ 将函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 依次进行如下变换： ① 把函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π 6 个单位， 得到函数 ｙ＝ｓｉｎ ｘ+ π 6 6 2 的图象； ② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐 标不变）， 得到函数 ｙ＝ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 的图象； ③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 1 2 （横坐 标不变）， 得到函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 的图象； ④ 把得到的图象向上平移 5 4 个单位 ， 得到函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 + 5 4 的图象 . 综上得到函数 y= 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 + 5 4 的图象 . ［方法二］ 将函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 依次进行如下变换： ① 把函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变）， 得到函数 ｙ＝ｓｉｎ2ｘ 的图象； ② 把得到的图象向左平移 π 12 个单位 ， 得到函数 y= ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 的图象； ③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 1 2 （横坐 标不变）， 得到函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 的图象； ④ 把得到的图象向上平移 5 4 个单位 ， 得到函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 + 5 4 的图象 . 综上可得函数 ｙ＝ 1 2 ｓｉｎ 2ｘ+ π 6 6 2 + 5 4 的图象 . 变式训练 6 解 ： 由题图可知 ， Ａ＝ 3 姨 - （ - 3 姨 ） 3 = 3 姨 ， Ｔ＝2× 5π 6 - π 3 6 2 ＝π ， ∴ω＝ 2π T ＝2 ， ∴ｙ＝ 3 姨 ｓｉｎ （ 2ｘ＋φ ）， 由题图可 知 ， 当 ｘ＝ π 3 时 ， ｙ＝ 3 姨 ｓｉｎ 2 3 π＋ 6 2 φ ＝0 ， 则 2 3 π＋φ＝2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴φ＝2ｋπ- 2 3 π （ ｋ∈Ｚ ）， φ 可以取 - 2 3 π ， ∴ 函数 的一个解析式为 ｙ＝ 3 姨 ｓｉｎ 2x- 2 3 6 2 π . 变式训练 7 ②③ 【解析】 ｆ π 12 6 2 ＝3ｓｉｎ 2× π 12 - π 3 6 2 ＝3ｓｉｎ - π 6 6 2 ＝- 3 2 ， ｆ 2π 3 6 2 ＝3ｓｉｎ 4π 3 - π 3 6 2 ＝0 ， 故 ① 错， ② 正确 . 令 - π 2 ＋2ｋπ≤2ｘ- π 3 ≤ π 2 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， 解得 - π 12 ＋ｋπ≤ ｘ≤ 5π 12 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， 故 ③ 正确 . 函数 ｙ＝3ｓｉｎ2ｘ 的图象向右平 移 π 3 个单位， 得到函数 ｙ＝3ｓｉｎ2 x- π 3 6 2 ＝3ｓｉｎ 2x- 2π 3 6 2 的图 2x+ π 4 0 π 2 π 3π 2 2π x - π 8 π 8 3π 8 5π 8 7π 8 y 0 2 0 -2 0 变式训练 4 答图 36 参 考 答 案 象， 故 ④ 错 . 变式训练 8 y=30sin π 150 t- π 2 ! " +35 【解析】 设 y=Asin （ ωt+φ ） +B ， 由 题意可得 A=30 ， ω= 2π 300 = π 150 ， B=30×2+5-30=35. ∵ （ 0 ， 5 ） 为最低点， 代入可得 5=30sinφ+35 ， sinφ=-1 ， φ=- π 2 +2kπ ， k=0 时， φ=- π 2 ， ∴y=30sin π 150 t- π 2 ! " +35. 变式训练 9 解 ： （ 1 ） 由题设的数据可得 A+b=14 ， -A+b=8 # ， 故 A=3 ， b= 11 ， 周期 T=12 ， 故 ω= π 6 ， 故 y=3sin π 6 t+ ! " φ +11. ∵t=4 时， y =14 ， ∴3sin 2π 3 + ! " φ +11 =14 ， sin 2π 3 + ! " φ =1. ∵ ｜φ ｜< π 2 ， ∴φ=- π 6 ， y=3sin π 6 t- π 6 ! " +11. （ 2 ） 令 y≥7.5+5=12.5 ， 则 3sin π 6 t- π 6 ! " +11≥12.5 ， 得 π 6 t- π 6 ! " ≥ 1 2 ， ∴ π 6 +2kπ≤ π 6 t- π 6 ≤ 5π 6 +2kπ ， k∈Z ， 即 2+12k≤t≤6+12k. ∵t∈ ［ 0 ， 24 ］， ∴ 故 2≤t≤6 或 14≤ t≤18 ， 故船舶至多能在港内停留 16 h. 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｃ 3. Ａ 4. 3 π 2 2 π 4ｘ- π 3 - π 3 5. ｙ＝ｓｉｎ - 3 2 x+ 2π 3 ! " 练习手册 效果评价 1. Ｂ 【解析 】 令 ｓｉｎ 2x+ π 6 ! " ＝±1 ， 得 2ｘ＋ π 6 ＝ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 即 ｘ＝ k 2 π＋ π 6 （ ｋ∈Ｚ ）， 取 ｋ＝1 时， ｘ＝ 2π 3 . 故选 Ｂ. 2. Ａ 【解析】 将 （ 0 ， 1 ） 点代入 ｆ （ ｘ ）可得 ｓｉｎφ＝ 1 2 . ∵｜φ｜＜ π 2 ， ∴φ＝ π 6 ， Ｔ＝ 2π π 3 ＝6. 故选 Ａ. 3. Ｄ 【解析】 ∵Ｔ＝π ， ∴ 排除 Ａ ； 又 ∵ 图象关于 ｘ＝ π 3 对 称， ∴ 当 ｘ＝ π 3 时， ｙ 取得最大值 （或最小值） . 故选 Ｄ. 4. Ａ 【解析】 由 Ｔ＝π＝ 2π ω 得， ω＝2 ， ｇ （ ｘ ） ＝cos2ｘ=ｓｉｎ 2x+ π 2 ! " ， ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 2x+ π 4 ! " 的图象向左平移 π 8 个单位 ， 得 到 ｙ＝ ｓｉｎ 2 x+ π 8 ! " + π 4 4 ( ＝ｓｉｎ 2x+ π 4 ! " ＝ｇ （ ｘ ）的图象 . 故选 Ａ. 5. Ｂ 【解析】 方法一： 由图可知， 3 2 Ｔ＝ 5π 4 - π 4 ＝π ， 即 Ｔ＝ 2π 3 ， ∴ω＝ 2π T ＝3. ∴ｙ＝2ｓｉｎ （ 3ｘ＋φ ）， 将 π 4 ， ! " 0 代入上式 得， ｓｉｎ 3π 4 + ! " φ ＝0 ， ∴ 3π 4 ＋φ＝2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， 则 φ＝2ｋπ- 3π 4 . ∴ｆ 7π 12 ! " ＝2ｓｉｎ 7π 12 ×3+2kπ- 3π 4 ! " ＝0. 方法二： 由图可知， 3 2 Ｔ＝ 5π 4 - π 4 ＝π ， 即 Ｔ＝ 2π 3 . 又由 正弦图象性质可知， 若 ｆ （ ｘ 0 ） ＝0 ， 则 ｆ x 0 + T 2 ! " ＝0. ∴ｆ 7π 12 ! " ＝ ｆ π 4 + π 3 ! " ＝0. 故选 Ｂ. 6. Ａ 【解析】 3 4 Ｔ＝ 5π 12 - - π 3 ! " ， Ｔ＝π ， ∴ω＝2 ， ∴2× 5π 12 ＋φ＝ π 2 ， ∴φ＝- π 3 ， 故选 Ａ. 7. ｙ＝ｓｉｎ -x- π 4 ! " 【解析 】 作函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象关于 ｙ 轴的对称图象， 其函数解析式为 ｙ＝ｓｉｎ （ -ｘ ）， 再将函数 ｙ＝ ｓｉｎ （ -ｘ ） 的图象向左平移 π 4 个单位， 得到函数图象的函数 解析式为 ｙ＝ｓｉｎ - x+ π 4 ! "4 4 ＝ｓｉｎ -x- π 4 ! " . 8. 3 - π 5 【解析】 由已知得到函数解析式为 ｙ＝ｓｉｎ ωx- π 5 ! " 且 2π ω ＝ 2π 3 ， ∴ω＝3 ， φ＝- π 5 . 9. ②③ 【解析】 由 ｆ （ ｘ ） ＝0 ， 可得 2ｘ＋ π 3 ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ｘ＝ k 2 π- π 6 （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴ｘ 1 -ｘ 2 是 π 2 的整数倍 ， ∴① 错 误 ； 由 ｆ （ ｘ ） ＝4ｓｉｎ 2x+ π 3 ! " 可得 ｆ （ ｘ ） ＝4ｃｏｓ π 2 - 2x+ π 3 ! " 4 4 ＝ 4ｃｏｓ 2x- π 6 ! " ， 故 ② 正确； ｆ （ ｘ ） ＝4ｓｉｎ 2x+ π 3 ! " 的对称中心满 足 2ｘ＋ π 3 ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ｘ＝ k 2 π- π 6 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ - π 6 ， ! " 0 是函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的一个对称中心 . ∴③ 正确； 对于 ④ ， 函数 ｙ＝ ｆ （ ｘ ）的对称轴满足 2ｘ＋ π 3 ＝ π 2 ＋ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ｘ＝ π 12 ＋ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ） . ∴④ 错误 . 10. 解 ： （ 1 ） 依题意 ， Ａ＝ 2 姨 ， Ｔ＝4× 3π 8 - π 8 ! " ＝π. ∵Ｔ＝ 2π ｜ω｜ ＝π ， ω＞0 ， ∴ω＝2 ， ∴ｙ＝ 2 姨 ｓｉｎ （ 2ｘ＋φ ） . 又 ∵ 曲线 上的最高点为 π 8 ， 2 姨 ! " ， ∴ｓｉｎ 2× π 8 + ! " φ ＝1. ∵- π 2 ＜φ＜ π 2 ， ∴φ＝ π 4 . ∴ｙ＝ 2 姨 ｓｉｎ 2x+ π 4 ! " . （ 2 ） 列出 ｘ ， ｙ 的对应值表： 作图如下： 第 10 题答图 x 0 π 8 3 8 π π 2x+ π 4 π 4 π 2 π 9π 4 y 1 2 姨 0 1 5 8 π 3 2 π - 2 姨 7 8 π 2π 0 37 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 提升练习 11. Ａ 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ）图象的周期为 π ， ∴ω＝2. ∴ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 2x+ π 3 ! " ， ∴ｆ （ ｘ ）图象关于点 kπ 2 - π 6 ， ! " 0 （ ｋ∈Ｚ ） 对称， 关于 ｘ＝ kπ 2 + π 12 （ ｋ∈Ｚ ） 对称 . 故选 Ａ. 12. Ｄ 【解析】 由图象知 T 4 ＝ 7π 12 - π 3 ＝ π 4 ， ∴Ｔ＝π ， ω＝ 2 ， 且 2× 7π 12 ＋φ＝2ｋπ＋π （ ｋ∈Ｚ ）， φ＝2ｋπ- π 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 又 ｜φ｜＜ π 2 ， ∴φ＝- π 6 . 故选 Ｄ. 13. ＢＣ 【解析 】 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象横坐标变为原来的 1 2 ， 再向左平移 π 4 个单位， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2 x+ π 4 ! "4 % ＝ｓｉｎ 2x+ π 2 ! " 的图 象， 故 Ａ 不正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象横坐标变为原来的 1 2 ， 再 向左平移 π 8 个单位 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2 x+ π 8 ! "4 % ＝ｓｉｎ 2x+ π 2 ! " 的图 象， 故 Ｂ 正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π 4 个单位， 再将横 坐标变为原来的 1 2 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2x+ π 4 ! " 个单位， 故 Ｃ 正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π 8 个单位， 再将横坐标变为原来的 1 2 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2x+ π 8 ! " 的图象， 故 Ｄ 不正确 . 故选 ＢＣ. 14. 2 【解析】 由题意知 Ｔ＝2× 7π 12 - π 12 ! " ＝π. ∴ω＝ 2π T ＝2. 15. 4 9 - 11 12 【解析 】 由题意 ， 得 ｓｉｎｘ＝ 1 3 -ｓｉｎｙ. 由 ｓｉｎｘ∈ ［ -1 ， 1 ］， 得 -1≤ 1 3 -ｓｉｎｙ≤1 ， -1≤ｓｉｎｙ≤1 1 ， 解得 - 2 3 ≤ｓｉｎｙ≤1 ， ∴Ｍ＝ 1 3 -ｓｉｎｙ-ｃｏｓ 2 ｙ＝ｓｉｎ 2 ｙ-ｓｉｎｙ- 2 3 ＝ ｓｉｎｙ- 1 2 ! " 2 - 11 12 ， 则当 ｓｉｎｙ＝ 1 2 时 ， Ｍ 最小值为 - 11 12 ； 当 ｓｉｎｙ＝- 2 3 时 ， Ｍ 最大值 为 4 9 . 16. 解： ∵ π 4 ≤ｘ≤ 3π 4 ， ∴ 2π 3 ≤2ｘ＋ π 6 ≤ 5π 3 ， ∴-1≤ ｓｉｎ 2ｘ＋ π 6 ! " ≤ 3 姨 2 . 假设存在这样的有理数 ａ ， ｂ ， 则当 ａ＞0 时， - 3 姨 ａ＋2ａ＋ｂ＝-3 ， 2ａ＋2ｂ＋ｂ＝ 3 姨 -1 1 ， 解得 ａ＝1 ， ｂ＝ 3 姨 - 1 5 （不合题意 ， 舍 去）； 当 ａ＜0 时， 2ａ＋2ａ＋ｂ＝-3 ， - 3 姨 ａ＋2a＋ｂ＝ 3 姨 -1 1 ， 解得 ａ＝-1 ， ｂ＝1 1 . 故 ａ ， ｂ 存在， 且 ａ＝-1 ， ｂ＝1. 7.3.3 余弦函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： （ 1 ） 方法一 ： ｙ＝ 2ｃｏｓｘ＋1 ｃｏｓｘ-2 ＝2＋ 5 ｃｏｓｘ-2 ， ∵-1≤ ｃｏｓｘ≤1 ， ∴ -5≤ 5 ｃｏｓｘ-2 ≤- 5 3 ， -3≤2 ＋ 5 ｃｏｓｘ-2 ≤ 1 3 ， ∴ｙ ｍａｘ ＝ 1 3 ， ｙ ｍｉｎ ＝-3. 方法二 ： 由 ｙ＝ 2ｃｏｓｘ＋1 ｃｏｓｘ-2 ， 解得 ｃｏｓｘ＝ 2ｙ＋1 ｙ-2 . ∵-1≤ ｃｏｓｘ≤1 ， ∴-1≤ 2ｙ＋1 ｙ-2 ≤1 ， 解得 -3≤ｙ≤ 1 3 . ∴ｙ ｍａｘ ＝ 1 3 ， ｙ ｍｉｎ ＝-3. （ 2 ） ∵ - π 6 ≤ｘ≤ π 6 ， ∴0≤2ｘ ＋ π 3 ≤ 2π 3 ， ∴ -1≤ 2ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ≤2 ， 当 ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ＝1 ， 即 ｘ＝- π 6 时， ｙ ｍａｘ ＝2 ， 当 ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ＝- 1 2 ， 即 ｘ＝ π 6 时， ｙ ｍｉｎ ＝-1. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由 1-ｃｏｓｘ≥0 ， ｃｏｓｘ-1≥0 1 ， 圯ｃｏｓｘ＝1. ∴ｘ＝2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ 定义域关于原点对称， 而此时 ｙ＝0.∴ｙ＝ 1-ｃｏｓｘ 姨 ＋ ｃｏｓｘ-1 姨 既是奇函数又是偶函数 . （ 2 ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 3 4 x+ 3π 2 ! " =-ｃｏｓ 3 4 x ， 其定义域为 Ｒ ， ∴ｆ （ -ｘ ） ＝-cos - 3 4 ! " x =-ｃｏｓ 3 4 x ＝ ｆ （ ｘ ） ， ∴ 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 3 4 x+ 3π 2 ! " 为偶函数 . 变式训练 3 解： ∵ｙ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ≠0 ， ω≠0 ） 的周期为 Ｔ＝ 2π ｜ω｜ . （ 1 ） Ｔ＝ 2π 4 ＝ π 2 . （ 2 ） Ｔ＝ 2π ｜-2｜ ＝π. 变式训练 4 Ｂ 【解析】 本题主要考查利用函数的对称性求解析式， 设 Ｍ （ ｘ ， ｙ ） 是所求函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）图象上任意一点， 则点 Ｍ 关 于点 π 4 ， ! " 0 的对称点为 Ｍ′ π 2 -ｘ ， - ! " ｙ ， 代入已知函数 解析式中有 -ｙ＝ｓｉｎ π 2 -x+ π 4 ! " ＝ｓｉｎ π 2 - x- π 4 ! " 4 % =ｃｏｓ x- π 4 ! " ， 则 ｙ＝-ｃｏｓ x- π 4 ! " ， 故选 Ｂ. 变式训练 5 （ 1 ） ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ） （ 2 ） ［ -π ， 0 ］ ， ［ π ， 2π ］ 【解析】 （ 1 ） ｙ＝3-2ｃｏｓｘ 与 ｙ＝3＋2ｃｏｓｘ 的单调性 相反， 由 ｙ＝3＋2ｃｏｓｘ 的递减区间为 ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈ Ｚ ）， ∴ｙ＝3-2ｃｏｓｘ 的递增区间为 ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ） . （ 2 ） 函数 ｙ＝1＋ｃｏｓｘ 的单调递增区间为 ［ 2ｋπ＋π ， 2π＋ 2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ）， ∵ ［ 2ｋπ＋π ， 2π＋2ｋπ ］ ∩ ［ -π ， 2π ］ ＝ ［ -π ， 0 ］ ∪ ［ π ， 2π ］， ∴ｙ＝1＋ｃｏｓｘ 的单调递增区间为 ［ -π ， 0 ］， ［ π ， 2π ］ . 变式训练 6 解： （ 1 ） ｃｏｓ1 155°＝ ｃｏｓ （ 3 × 360 ° ＋ 75 ° ） ＝ ｃｏｓ75 ° ， ｃｏｓ （ -1 516° ） ＝ｃｏｓ1 516°＝ｃｏｓ （ 4×360°＋76° ） ＝ｃｏｓ76° ， ∵ｙ＝ ｃｏｓｘ 在 0 ， π 2 4 % 上是递减的， 且 0°＜75°＜76°＜90° ， ∴ｃｏｓ75°＞ 38