练案9 7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图像(一)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

练案［９］ 第七章　 三角函数 ７． ３　 ［７． ３． ２　 第１课时　 正弦型函数的性质与图像（一）］ Ａ组　 基础巩固 一、选择题 １．函数ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ３ ＋ π( )５ 的周期、振幅依次是（Ｂ ） Ａ． ６π，－ ２ Ｂ． ６π，２ Ｃ． π，２ Ｄ． π，－ ２ ２．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π４个单位， 再向上平移１个单位所得的图像的函数解析 式是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ Ｂ． ｙ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ２ｘ Ｃ． ｙ ＝ １ ＋ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ Ｄ． ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － １ ３．把函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ 的图像向右平移π８个单 位，所得的图像对应的函数是 （　 　 ） Ａ．非奇非偶函数 Ｂ．既是奇函数又是偶函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数 ４．函数ｙ ＝ ｓｉｎ（－２ｘ），ｘ∈［０，２π］的简图是（Ｄ ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ５．有下列四种变换方式： ①向左平移π４个单位长度，再将横坐标变为原 来的１２（纵坐标不变） ②横坐标变为原来的１２（纵坐标不变），再向左 平移π８个单位长度； ③横坐标变为原来的１２（纵坐标不变），再向左 平移π４个单位长度； ④向左平移π８个单位长度，再将横坐标变为原 来的１２（纵坐标不变） 其中能将正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像的是 （Ａ ） Ａ．①和② Ｂ．①和③ Ｃ．②和③ Ｄ．②和④ 二、填空题 ６．利用“五点法”作函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ 的图像 时，所取的五个点的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 ． ７．将函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )４ 的图像向右平移π３个 单位后所得的图像的函数解析式为　 　 　 　 ． ８．将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像向左平移φ（０≤φ ＜ ２π）个单位长度后，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )６ 的 图像，则φ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ ｘ２ ＋ π( )６ ＋３（ｘ∈Ｒ），用五 点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图                                                                  ． —１０９— １０．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图像，可以由函数ｙ ＝ １ ２ ｃｏｓ ｘ的图像经过怎样的变换得到？ Ｂ组　 素养提升 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 在区间－ π２，[ ]π 上的简 图可能是 （Ａ ） ２．已知曲线Ｃ１：ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ ，Ｃ２：ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋２π( )３ ， 则下面结论正确的是 （Ｄ ） Ａ．把Ｃ１上各点的横坐标伸长到原来的２倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π６个 单位长度，得到曲线Ｃ２ Ｂ．把Ｃ１ 上各点的横坐标伸长到原来的２倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π１２ 个单位长度，得到曲线Ｃ２ Ｃ．把Ｃ１上各点的横坐标缩短到原来的１２倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π６个 单位长度，得到曲线Ｃ２ Ｄ．把Ｃ１上各点的横坐标缩短到原来的１２倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π１２ 个单位长度，得到曲线Ｃ２ ３．将函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ 的图像先向左平移 π ６个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原 来的２倍，得到函数ｇ（ｘ）的图像，则函数ｇ（ｘ） 的解析式为 （　 　 ） Ａ． ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２π( )３ Ｂ． ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ４ｘ － ２π( )３ Ｃ． ｇ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ Ｄ． ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ４ｘ 二、填空题 ４．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移Ｓ（ｃｍ）和 时间ｔ（ｓ）的函数关系是Ｓ ＝ １２ ｓｉｎ ２πｔ ＋ π( )３ ，则摆 球往复摆动一次所需要的时间是　 　 　 　 ｓ． ５．将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）ω ＞０，－ π２≤φ ＜ π( )２ 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵 坐标不变，再向右平移π６个单位长度得到ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像，则ｆ π( )６ ＝ 　 　 　 　                                                                         ． —１１０— 三、解答题 ６．已知函数ｙ ＝ ３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ ． （１）用“五点法”画函数的图像； （２）此图像是由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像经过怎样的变 换得到的？ Ｃ组　 创新拓展 　 下图是函数ｙ１ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） Ａ ＞ ０，ω ＞ ０， ｜φ ｜ ＜ π )２ 在一个周期内的图像． （１）写出ｙ１的解析式； （２）若ｙ２与ｙ１的图像 关于直线ｘ ＝ ２对称， 求ｙ２ 的解析式，并写 出ｙ２的最小正周期、频率、振幅； （３）不作图像，试说明ｙ２的图像怎样由ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的图像变换得到                                                                         ． —１１１— 即ｇ（ｔ）∈［２，１０］． 所以函数ｆ（ｘ）的值域为［２，１０］． １０．按五个关键点列表： ｘ － π － π２ ０ π ２ π ｓｉｎ ｘ ０ － １ ０ １ ０ ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ １ ３ １ － １ １ 描点连线得： ①由图像可知，图像在ｙ ＝ １上方部分ｙ ＞ １，在ｙ ＝ １下方部 分ｙ ＜ １，所以当ｘ∈（－ π，０）时，ｙ ＞ １；当ｘ∈（０，π）时，ｙ ＜ １． ②如图，当直线ｙ ＝ ａ与ｙ ＝１ －２ｓｉｎ ｘ有两个交点时，１ ＜ ａ ＜３或 －１ ＜ ａ ＜１，所以ａ的取值范围是｛ａ ｜１ ＜ ａ ＜３或－１ ＜ ａ ＜１｝． ③由图像可知，ｙ最大值为３，此时ｘ ＝ － π２ ；ｙ最小值为－ １， 此时ｘ ＝ π２ ． Ｂ组　 素养提升 １． Ｂ　 ｆ － １５π( )４ ＝ ｆ － １５π４ ＋ ３π２( )× ３ ＝ ｆ ３π( )４ ＝ ｓｉｎ ３π４ ＝槡２２ ． ２． Ａ　 因为ｆ（ｘ）是定义在［－ ５，５］上的偶函数，所以其图像关于 ｙ轴对称， 结合图像可知：当ｘ∈［－ ５，－ ２）∪（２，５］时，ｆ（ｘ）＞ ０；当ｘ∈ （－ ２，２）时，ｆ（ｘ）＜ ０； 由ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＜ ０得： ｆ（ｘ）＞ ０ ｓｉｎ ｘ{ ＜ ０或ｆ（ｘ）＜ ０，ｓｉｎ ｘ ＞ ０{ ， 所以－ π ＜ ｘ ＜ － ２或０ ＜ ｘ ＜ ２或π ＜ ｘ≤５， 所以ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＜ ０的解集为（－ π，－ ２）∪（０，２）∪（π，５］． ３． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ２ｘ － ｓｉｎ ｘ ＋ ａ ＝ ０， ∴ ａ ＝ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ２ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ －（１ － ｓｉｎ２ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ５４ ． ∵ ０ ＜ ｘ≤ π２ ，∴ ０ ＜ ｓｉｎ ｘ≤１， ∴ １２ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋ １ ２ ≤ ３ ２ ， ∴ １４ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ ≤ ９４ ， ∴ －１ ＜ ｓｉｎ ｘ ＋( )１２ ２ － ５４ ≤１，即－ １ ＜ ａ≤１． ∴实数ａ的取值范围是（－ １，１］． ４． ０　 ｆ（ａ）＝ ａ３ ＋ ｓｉｎ ａ ＋ １ ＝ ２， ∴ ａ３ ＋ ｓｉｎ ａ ＝ １， ∴ ｆ（－ ａ）＝ － ａ３ － ｓｉｎ ａ ＋ １ ＝ － １ ＋ １ ＝ ０． ５． １ 　 １ 　 ｆ － １７π( )６ ＝ ｆ － １７π６ ＋ ３( )π ＝ ｆ π( )６ ＝ ｆ π６ － π( )２ ＝ ｆ － π( )３ ＝ ｆ π( )３ ＝ １． ｆ ３１π( )６ ＝ ｆ ５π ＋ π( )６ ＝ ｆ π( )６ ＝ ｆ π６ － π( )２ ＝ ｆ － π( )３ ＝ ｆ π( )３ ＝１． ６．（１）由题可知ｂ≠０． 因为－１≤ｓｉｎ ｘ≤１， 所以当ｂ ＞０时，有 ａ ＋ ｂ ＝ ３２ ， ａ － ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝１{ ． 当ｂ ＜０时，有 ａ － ｂ ＝ ３２ ， ａ ＋ ｂ ＝ － １２ { ，解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ －１{ ． （２）由（１）知ａ ＝ １２ ，所以函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ ＝ － １ ２ ｓｉｎ ｘ，所以当ｘ ＝２ｋπ － π２ （ｋ∈Ｚ）时，函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ取得最大值． （３）函数ｙ ＝ － ａｓｉｎ ｘ ＝ － １２ ｓｉｎ ｘ，所以其图像的对称轴方程为ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）∵函数ｆ（ｘ）＝ １ｓｉｎ ｘ， ∴ ｓｉｎ ｘ≠０，∴ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ， 故函数的定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ｝．显然，ｆ（ｘ）的周期，即ｙ ＝ １ ｓｉｎ ｘ的周期为２π． 由于ｆ（－ ｘ）＝ １ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － １ ｓｉｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）在｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ， ｋ∈Ｚ｝上为奇函数． （２）证明：正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在区间０，π( )２ 上单调递增，设０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ２ ＜ π ２ ，则０ ＜ ｓｉｎ ｘ１ ＜ ｓｉｎ ｘ２ ＜１， ∴ ｆ（ｘ１）＝ １ｓｉｎ ｘ１ ＞ １ ｓｉｎ ｘ２ ＝ ｆ（ｘ２），即ｆ（ｘ１）＞ ｆ（ｘ２），故ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区 间０，π( )２ 上单调递减． 练案［９］ Ａ组　 基础巩固 １． Ｂ　 函数ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ３ ＋ π( )５ 的周期为Ｔ ＝ ２π１ ３ ＝６π，振幅为２． ２． Ｂ　 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π４个单位，得ｙ [＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( ) ]４ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ ｃｏｓ ２ｘ的图像，再向上平移１个单位，得ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ １的图像，故选Ｂ． ３． Ｄ　 向右平移π８个单位，所得图像对应的函数的解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π( )８ － π[ ]４ ＝ｓｉｎ ２ｘ － π( )２ ＝ －ｓｉｎ π２ －２( )ｘ ＝ －ｃｏｓ ２ｘ， 而ｆ（－ ｘ）＝ － ｃｏｓ（－ ２ｘ）＝ － ｃｏｓ ２ｘ ＝ ｆ（ｘ），所以为偶函数，故 Ｄ正确． ４． Ｄ　 ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ），ｘ∈［０，２π］，可得函数的最小正周期为π， 函数ｙ的图像为两个周期，故Ａ、Ｂ均错；由ｘ∈ ０，π( )４ 可得 ２ｘ∈ ０，π( )２ ，ｙ ＝ ｓｉｎ（－ ２ｘ）＜ ０，故选Ｄ． ５． Ａ　 ①向左平移π４个单位长度，再将横坐标变为原来的 １ ２ （纵 坐标不变），则正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像；②横坐标变为原来的１２ （纵坐标不变），再向左平移 π ８个单位长度，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )８ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )４ 的图像；③横坐标变为原来的１２ （纵坐标不 变），再向左平移π４个单位长度，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ                                                                       的图像变 —１８１— 为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )４ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ 的图像；④向左平移π８个 单位长度，再将横坐标变为原来的１２ （纵坐标不变），正弦函 数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像变为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )８ 的图像，因此①和② 符合题意，故选Ａ． ６． π８ ，( )０ ， ３π８ ，( )２ ， ５π８ ，( )０ ， ７π８ ，( )－２ ， ９π８ ，( )０ 　 令２ｘ － π４ ＝ ０，π２ ，π， ３π ２ ，２π得ｘ ＝ π ８ ， ３π ８ ， ５π ８ ， ７π ８ ， ９π ８ ，故五个点的坐标是 π ８ ，( )０ ，３π８ ，( )２ ，５π８ ，( )０ ，７π８ ，( )－ ２ ，９π８ ，( )０ ． ７． ｙ ＝ ３ｓｉｎ ３ｘ － ３π( )４ 　 平移所得图像的函数解析式为ｙ ＝ ３ｓｉｎ ３ ｘ － π( )３ ＋ π[ ]４ ＝ ３ｓｉｎ ３ｘ － ３π( )４ ． ８． １１π６ 　 将函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像向左平移φ个单位后，得ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的图像，而ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )６ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ １１π( )６ ，所以φ ＝ １１π６ ． ９．（１）列表： ｘ ２ ＋ π ６ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｘ － π３ ２π ３ ５π ３ ８π ３ １１π ３ ｆ（ｘ） ３ ６ ３ ０ ３ （２）描点画图： １０． ｙ ＝ １２ ｃｏｓ ｘ ＝ １ ２ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ ，先将函数ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ 的 图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的２倍，得 到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ 的图像；再将所得图像上所有点的纵坐 标不变，横坐标缩短为原来的１２ ，得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ 的 图像；然后将所得图像上所有的点向右平移π３个单位，得到函数 ｙ ＝ｓｉｎ ２ ｘ － π( )３ ＋ π[ ]２ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ 的图像． Ｂ组　 素养提升 １． Ａ　 当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ ｓｉｎ － π( )３ ＝ －槡３２ ＜ ０，故Ｂ、Ｄ不可能；当ｘ ＝ π６时，ｙ ＝ ０，故Ｃ不可能，故选Ａ． ２． Ｄ　 把Ｃ１：ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )２ 上各点的横坐标变为原来的１２倍， 纵坐标不变，可得ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ 的图像，再把得到的曲线向 左平移π１２个单位长度，得到曲线Ｃ２：ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π ６ ＋ π( )２ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ２π( )３ 的图像，故选Ｄ． ３． Ｃ 　 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ 的图像先向左平移π６ 可得ｙ ＝ ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π( )６ ＋ π[ ]６ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ， 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的２倍可得ｇ（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ． 故选Ｃ． ４． １　 摆球往复摆动一次所需要的时间即为函数Ｓ ＝ １２ (ｓｉｎ ２πｔ ＋ π )３ 的最小正周期．根据正弦函数的性质得出Ｔ ＝ ２π２π ＝ １． ５．槡２２ 　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像向左平移 π ６个单位长度，得到ｙ (＝ ｓｉｎ ｘ ＋ π )６ 的图像，再对每一点横坐标伸长为原来的２倍，得到ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ ＋ π( )６ 的图像即为ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图像， ∴ ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ １２ ｘ ＋ π( )６ ，ｆ π( )６ ＝槡２２ ． ６．（１）列表： １ ２ ｘ － π ４ ０ π ２ π ３π ２ ２π ｘ π２ ３π ２ ５π ２ ７π ２ ９π ２ ｙ ０ ３ ０ － ３ ０ 描点、连线，如图． 这样就得到了函数ｙ ＝３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 在一个周期内的图像，再 将这部分图像向左或向右平移４ｋπ（ｋ∈Ｎ）个单位长度，得函数 ｙ ＝３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 的图像． （２）①把ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像上所有的点向右平行移动π４个单位 长度，得到ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 的图像； ②把ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 图像上所有点的横坐标伸长到原来的２ 倍（纵坐标不变），得到ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 的图像； ③将ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 的图像上所有的点的纵坐标伸长到原 来的３倍（横坐标不变），就得到ｙ ＝ ３ｓｉｎ １２ ｘ － π( )４ 的图像． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）由题图可知，Ａ ＝ ２，Ｔ ＝ ２ ×［３ －（－ １）］＝ ８，ω ＝ ２πＴ ＝ ２π ８ ＝ π ４ ，∴ ｙ１ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ ＋( )φ ． 将点（－ １，０）代入得０ ＝ ２ｓｉｎ － π４ ＋( )φ ， ∴ － π４ ＋φ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），φ ＝ ｋπ ＋ π ４ （ｋ∈Ｚ）． ∵ ｜φ ｜ ＜ π２ ，∴ φ ＝ π ４ ，∴ ｙ１ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ ＋ π( )４ ． （２）设ｙ２的图像上任意一点的坐标为（ｘ，ｙ２），则其关于直线ｘ ＝ ２对称的点的坐标为（４ － ｘ，ｙ２），由题意知（４ － ｘ，ｙ２）在ｙ１ 的图像上，故ｙ２ ＝ ２ｓｉｎ π４ （４ － ｘ）＋ π[ ]４ ＝ ２ｓｉｎ π４ ｘ － π( )４ ，故 ｙ２的最小正周期Ｔ ＝ ２ππ ４ ＝８，频率ｆ ＝ １Ｔ ＝ １ ８ ，振幅Ａ ＝２                                                                       ． —１８２— （３）方法一：先平移再伸缩． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图像 向右平移π４ → 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － π( )４ 的图像 横坐标变为原来的４ π →纵坐标不变 ｙ ＝ ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像 纵坐标变为原来的２倍 →横坐标不变 ｙ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像． 方法二：先伸缩再平移． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 的图像 横坐标变为原来的４ π →纵坐标不变 ｙ ＝ ｓｉｎ π ４ ｘ 的图像 向右平移１ → 个单位 ｙ ＝ ｓｉｎ π４ （ｘ －１[ ]） ＝ ｓｉｎ π４ ｘ － π( )４ 的图像 纵坐标变为原来的２倍 →横坐标不变 ｙ ＝ ２ｓｉｎ π ４ ｘ － π( )４ 的图像． 练案［１０］ Ａ组　 基础巩固 １． Ａ　 函数ｙ ＝ １２ ｓｉｎ ｘ ３ ＋ π( )６ 的最大值为１２ ，周期为６π，故 选Ａ． ２． Ｂ　 将函数ｙ ＝２ｓｉｎ ２ｘ的图像向左平移π１２个单位长度，所得到的 图像对应函数的解析式为ｙ ＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )１２ ＝２ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ，由 ２ｘ ＋ π６ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，得ｘ ＝ π ６ ＋ １ ２ ｋπ，ｋ∈Ｚ． ３． Ａ　 由题图可得ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ ＝ ４ ７π１２ － π( )３ ＝ π， 所以ω ＝ ２πＴ ＝ ２， 由２·７π１２ ＋ φ ＝ ３π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 解得φ ＝ π３ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 由｜φ ｜≤ π２得φ ＝ π ３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 所以ｆ（φ）＝ ｆ π( )３ ＝ Ａｓｉｎ π ＝ ０． ４． Ｄ　 因为ｆ（ｘ）的最小正周期为π，故可得２π｜ω ｜ ＝ π，又ω ＞ ０，解 得ω ＝ ２； 故ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ），将其图像向右平移π６个单位长度，可得 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ φ － π( )３ ， 又因为其是奇函数， 故可得φ － π３ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ， 又｜φ ｜ ＜ π２ ，故可得φ ＝ π ３ ． 综上所述，ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 又ｘ∈ － π２ ，[ ]０ ，则２ｘ ＋ π３ ∈ － ２３ π，π[ ]３ ， 故ｆ（ｘ）在区间－ π２ ，[ ]０ 上的最大值为ｓｉｎ π３ ＝槡３２ ． ５． Ｃ　 因为函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的最小正周期为π，其图像关 于直线ｘ ＝ π６对称， 所以 ２π ω ＝ π， π ６ ω ＋ φ ＝ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ{ ， 解得 ω ＝ ２， φ ＝ π６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ{ ， 因为｜φ ｜ ＜ π２ ，所以φ ＝ π ６ ， 因此ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ ． ①将ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ 的图像向右平移π６个单位长度后函 数解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ，由２ｘ － π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，得ｘ ＝ π１２ ＋ ｋπ２ ，ｋ∈Ｚ，所以其对称中心为 π １２ ＋ ｋπ ２ ，( )０ ，ｋ∈Ｚ，故①错； ②由２ｘ ＋ π６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得ｘ ＝ － π １２ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，即函数 ｆ（ｘ）的对称中心为－ π１２ ＋ ｋπ ２ ，( )０ ，ｋ∈Ｚ，令－ π１２ ＋ ｋπ２ ＝ ５π１２， 则ｋ ＝ １，故②正确；③由ｆ π( )４ ＝ ｓｉｎ π２ ＋ π( )６ ＝ ｃｏｓ π６ ＝槡３２ ， 故③错；④由－ π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ π ６ ≤ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，得－ π ３ ＋ ｋπ≤ｘ≤ π６ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，即函数ｆ（ｘ） [的增区间为 － π３ ＋ ｋπ，π６ ＋ ｋ ]π ，ｋ∈Ｚ，因此ｆ（ｘ）在区间０，π[ ]６ 上单调递增，故 ④正确． ６． ２π　 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 的最小正周期是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ２的最小 正周期的一半，而函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２的最小正周期为 ２π １ ２ ＝ ４π，故 函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 的最小正周期是２π． ７． ５π１２ 　 平移后解析式为ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ － ２φ），图像关于ｘ ＝ π ６对称， ∴ ２ × π６ － ２φ ＝ ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）， ∴ φ ＝ － ｋπ２ － π １２（ｋ∈Ｚ）．又∵ φ ＞ ０， ∴当ｋ ＝ － １时，φ的最小值为５π１２ ． ８． ２３ 　 由题图可知 Ｔ ２ ＝ １１π １２ － ７π １２ ＝ π ３ ，Ｔ ＝ ２π ３ ，则可补全函数图 像得ｆ π( )４ ＝ ０， 故点π４ ，( )０ 为函数的一个中心对称点， 所以得ｆ（０）＝ － ｆ π( )２ ＝ ２３ ． ９．（１）ｆ（ｘ） 槡＝ ３ｓｉｎ πｘ４ － π( )３ ． 故ｆ（ｘ）的最小正周期为Ｔ ＝ ２π π ４ ＝ ８                                                                      ． —１８３—