7.2.4 诱导公式-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析】 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝ 1 2 ≠1 ， 故 Ａ 不成立； ｃｏｓα ｓｉｎα ＝ 1 3 ， 即 ｔａｎα＝3 ， 与 ｔａｎα＝2 矛盾 ， 故 Ｂ 不成立 ； ｓｉｎα＝1 时 ， 角 α 的终边落在 ｙ 轴的非负半轴上 ， 此时 ｔａｎα 无意 义， 故 Ｄ 不成立 . 故选 Ｃ. 2. Ｃ 【解析 】 ∵0＜ π 5 ＜ π 2 ， ∴ｃｏｓ π 5 ＞0. ∴ 1-ｓｉｎ 2 π 5 姨 ＝ ｃｏｓ 2 π 5 姨 ＝ｃｏｓ π 5 . 故选 Ｃ. 3. Ｃ 【解析】 由题意得 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝2 （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ）， ∴ （ ｓｉｎθ＋ ｃｏｓθ ） 2 ＝4 （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ） 2 ， 解得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝ 3 10 . 故选 Ｃ. 4. Ｂ 【解析】 1 ＋ ｓｉｎθｃｏｓθ ＝ ｓｉｎ 2 θ ＋ ｃｏｓ 2 θ ＋ ｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎ 2 θ ＋ ｃｏｓ 2 θ ＝ 1＋ｔａｎ 2 θ＋ｔａｎθ 1＋ｔａｎ 2 θ ＝ 1+2 2 +2 1+2 2 ＝ 7 5 . 故选 Ｂ. 5. Ｃ 【解析 】 由 ｓｉｎ 2 θ＋ｃｏｓ 2 θ＝1 ， 得 （ m-3 ） 2 （ ｍ+5 ） 2 ＋ （ 4-2m ） 2 （ ｍ+5 ） 2 ＝ 1 ， 解得 ｍ＝0 或 8. 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析 】 ｙ＝ ｜ｃｏｓｘ｜ ｃｏｓｘ ＋ ｜ｓｉｎｘ｜ ｓｉｎｘ . 当 ｘ 为第一象限角时 ， ｙ＝2 ； 当 ｘ 为第三象限角时， ｙ＝-2 ； 当 ｘ 为第二、 四象限角 时， ｙ＝0. 故选 Ｃ. 7. 二或四 【解析 】 由 ｓｉｎα＋2ｃｏｓα ｃｏｓα ＝1圯 ｔａｎα＝-1＜0. ∴α 在第二或第四象限 . 8. -2ｔａｎ 2 α 【解析】 ｓｉｎα 1＋ｓｉｎα - ｓｉｎα 1-ｓｉｎα ＝ ｓｉｎα （ 1-ｓｉｎα ） -ｓｉｎα （ 1＋ｓｉｎα ） （ 1＋ｓｉｎα ）（ 1-ｓｉｎα ） ＝ -2ｓｉｎ 2 α 1-ｓｉｎ 2 α ＝ -2ｓｉｎ 2 α cos 2 α ＝-2ｔａｎ 2 α. 9. π 3 【解析】 由题意知 ｃｏｓＡ＞0 ， 即 Ａ 为锐角 . 将 2 姨 · ｓｉｎＡ＝ 3ｃｏｓＡ 姨 两边平方得 2ｓｉｎ 2 Ａ＝3ｃｏｓＡ. ∴2ｃｏｓ 2 Ａ＋3ｃｏｓＡ- 2＝0 ， 解得 ｃｏｓＡ＝ 1 2 或 ｃｏｓＡ＝-2 （舍去）， ∴Ａ＝ π 3 . 10. 解： （ 1 ） 由根与系数的关系可知， ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 3 姨 +1 2 ， ① ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ｍ. ② 将 ① 式平方得 1＋2ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ 2+ 3 姨 2 ， ∴ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ 3 姨 4 ， 代入 ② 得 ｍ＝ 3 姨 4 . （ 2 ） ｓｉｎθ 1-ｃｏｔθ ＋ ｃｏｓθ 1-ｔａｎθ ＝ ｓｉｎ 2 θ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ＋ ｃｏｓ 2 θ ｃｏｓθ-ｓｉｎθ ＝ ｓｉｎ 2 θ-ｃｏｓ 2 θ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 3 姨 +1 2 . （ 3 ） 由 （ 1 ） 得 ｍ＝ 3 姨 4 ， ∴ 原方程化为 2ｘ 2 - （ 3 姨 ＋ 1 ） ｘ＋ 3 姨 2 ＝0 ， 解得 ｘ 1 ＝ 3 姨 2 ， ｘ 2 ＝ 1 2 . ∴ ｓｉｎθ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓθ＝ 1 2 2 & & & & % & & & & ' 或 ｓｉｎθ＝ 1 2 ， ｃｏｓθ＝ 3 姨 2 2 & & & & % & & & & ' . 又 ∵θ∈ （ 0 ， π ）， ∴θ＝ π 3 或 π 6 . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 ∵ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ａ ， ａ∈ （ 0 ， 1 ）， 两边平方整 理得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝ ａ 2 -1 2 ＜0 ， 故 - π 2 ＜θ＜0 且 ｃｏｓθ＞-ｓｉｎθ ， ∴｜ｃｏｓθ｜＞ ｜ｓｉｎθ｜ ， 借助三角函数线可知 - π 4 ＜θ＜0 ， -1＜ｔａｎθ＜0. 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 ｓｉｎ 2 θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ-2ｃｏｓ 2 θ＝ ｓｉｎ 2 θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ-2ｃｏｓ 2 θ ｓｉｎ 2 θ＋ｃｏｓ 2 θ ＝ ｔａｎ 2 θ＋ｔａｎθ-2 ｔａｎ 2 θ＋1 ， 又 ∵ｔａｎθ＝2 ， 故原式 ＝ 4+2-2 4+1 = 4 5 . 故选 Ｄ. 13. ＢＤ 【解析】 ∵160° 角为第二象限角， ∴ 1-ｓｉｎ 2 160° 姨 ＝｜ｃｏｓ160°｜＝-ｃｏｓ160° ， 故选 ＢＤ. 14. -1 【解析】 由 ｓｉｎα＋2ｃｏｓα＝0 ， 得 ｔａｎα＝-2. ∴2ｓｉｎαｃｏｓα- ｃｏｓ 2 α＝ 2ｓｉｎαｃｏｓα-ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α ＝ 2ｔａｎα-1 ｔａｎ 2 α＋1 ＝ -4-1 4+1 ＝-1. 15. 1 【解析 】 ∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝1 ， ∴ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝1. 又 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， ∴ｓｉｎαｃｏｓα＝0 ， ∴ｓｉｎα＝0 或 ｃｏｓα＝0 ， 当 ｓｉｎα＝0 时 ｃｏｓα＝1 ， 此时有 ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1 ； 当 ｃｏｓα＝0 时 ｓｉｎα＝1 ， 也有 ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1 ， ∴ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1. 16. 解 ： 设这两个锐角为 Ａ ， Ｂ ， ∵Ａ＋Ｂ＝90° ， ∴ｓｉｎＢ＝ ｃｏｓＡ ， ∴ｓｉｎＡ ， ｃｏｓＡ 为 8ｘ 2 ＋6ｋｘ＋2ｋ＋1＝0 的两个根 . ∴ ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝- 3k 4 ， ① ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ 2ｋ＋1 8 ， 2 & & & & % & & & & ' ② ② 代入 ① 2 ， 得 9ｋ 2 -8ｋ-20＝0 ， 解得 ｋ 1 ＝2 ， ｋ 2 ＝- 10 9 ， 当 ｋ＝2 时， 原方程变为 8ｘ 2 ＋12ｘ＋5＝0 ， ∵Δ＜0 ， ∴ 方程无解； 将 ｋ＝- 10 9 代入 ② ， 得 ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝- 11 72 ＜0 ， ∴Ａ 是钝角， 与已知直角三角形矛盾 . ∴ 不存在满足已 知条件的 ｋ. 7.2.4 诱导公式 第 1 课时 诱导公式 （一） 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原式 ＝ｓｉｎ （ 360°＋45° ）· ｃｏｓ765°＝ｓｉｎ45° · ｃｏｓ （ 2× 360°＋45° ） ＝ｓｉｎ45° · ｃｏｓ45°＝ 2 姨 2 × 2 姨 2 ＝ 1 2 . （ 2 ） 原式 ＝ 3 姨 -ｓｉｎ 37 6 6 * π · ｔａｎ 2π＋ π 6 6 , -ｃｏｓ 2π＋ π 3 6 , · ｔａｎ -5×2π- π 4 6 , ＝- 3 姨 ｓｉｎ 3×2π+ π 6 6 , · ｔａｎ π 6 -ｃｏｓ π 3 · ｔａｎ - π 4 6 , ＝- 3 姨 × 1 2 × 3 姨 3 - 1 2 × （ -1 ） ＝0. 变式训练 2 解： ∵ｃｏｓ （ α- 75 ° ） ＝- 1 3 ＜ 0 ， 且 α 为 第 四 象 限 角 ， ∴α-75° 是第三象限角 . ∴ｓｉｎ （ α-75° ） ＝- 1-ｃｏｓ 2 （ α-75° ） 姨 ＝ 29 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 - 1- - 1 3 ! " 2 姨 ＝- 2 2 姨 3 . ∴ｓｉｎ （ 105°＋α ） ＝ｓｉｎ ［ 180°＋ （ α-75° ）］ ＝-ｓｉｎ （ α-75° ） ＝ 2 2 姨 3 . 变式训练 3 解 ： 原 式 ＝ ｓｉｎα · ｃｏｓα ｓｉｎ （ -α ） ＋ ｃｏｓ （ -α ）· ｓｉｎα -ｔａｎα ＝ ｓｉｎα · ｃｏｓα -ｓｉｎα ＋ ｃｏｓα · ｓｉｎα -ｔａｎα ＝-ｃｏｓα＋ ｃｏｓα · ｓｉｎα - ｓｉｎα ｃｏｓα ＝-ｃｏｓα-ｃｏｓ 2 α. 变式训练 4 证 明 ： 左 边 ＝ ｓｉｎ π＋ α＋ 8π 7 ! "7 % +3cos α＋ 8π 7 ! " -3 7 % π ｓｉｎ 4π- α＋ 8π 7 ! "7 % -cos 2π+ α＋ 8π 7 ! "7 % ＝ -sin α＋ 8π 7 ! " -3cos α＋ 8π 7 ! " -sin α＋ 8π 7 ! " -cos α＋ 8π 7 ! " = tan α＋ 8π 7 ! " +3 tan α＋ 8π 7 ! " +1 = a+3 a+1 ＝ 右边 . ∴ 等式成立 . 随堂练习 1. Ｃ 2. Ｃ 3. Ａ 4. Ｄ 5. 3 姨 3 6. 解： （ 1 ） 原式 ＝ ｓｉｎ （ 2π-α ） ｃｏｓ （ 2π-α ） · ｓｉｎ （ -α ） ｃｏｓ （ -α ） ｃｏｓ （ π-α ） ｓｉｎ （ π-α ） ＝ -ｓｉｎα （ -ｓｉｎα ） ｃｏｓα ｃｏｓα （ -ｃｏｓα ） ｓｉｎα ＝- ｓｉｎα ｃｏｓα ＝-ｔａｎα. （ 2 ） 原式 ＝ 1＋2ｓｉｎ （ 360°-70° ） ｃｏｓ （ 360°＋70° ） 姨 ｓｉｎ （ 180°＋70° ） ＋ｃｏｓ （ 720°＋70° ） ＝ 1-2ｓｉｎ70°ｃｏｓ70° 姨 -ｓｉｎ70°＋ｃｏｓ70° ＝ ｜ｃｏｓ70°-ｓｉｎ70°｜ ｃｏｓ70°-ｓｉｎ70° ＝ ｓｉｎ70°-ｃｏｓ70° ｃｏｓ70°-ｓｉｎ70° ＝-1. 练习手册 效果评价 1. ＢＣＤ 【解析 】 ∵-1 000°＝-3×360°＋80° ， ∴-1 000° 是 第一象限角， ∴ｓｉｎ （ -1 000° ） ＞0 ， 故 Ａ 不符合题意； ∵ 10π 3 ＝ 2π＋ 4π 3 ， ∴ 10π 3 是第三象限角， ∴ｃｏｓ 10π 3 ＜0 ， 故 Ｂ 符合题 意； ∵ π 2 ＜2＜π ， ∴2 ｒａｄ 是第二象限角， ∴ｔａｎ2＜0 ， 故 Ｃ 符合 题； ∵ 3π 2 ＜5＜2π ， ∴5 ｒａｄ 是第四象限角， ∴ｓｉｎ5＜0 ， 故 Ｄ 符 合题意 . 故选 ＢＣＤ. 2. Ｂ 【解析 】 ｓｉｎ 2 （ π-α ） -ｃｏｓ （ π＋α ） ｃｏｓ （ -α ） ＋1＝ｓｉｎ 2 α＋ ｃｏｓ 2 α＋1＝2. 故选 Ｂ. 3. ＡＢ 【解析】 原式 ＝ 1-2ｓｉｎ2ｃｏｓ2 姨 ＝ （ ｓｉｎ2-ｃｏｓ2 ） 2 姨 ＝｜ｓｉｎ2-ｃｏｓ2｜＝ｓｉｎ2-ｃｏｓ2. 故选 ＡＢ. 4. Ｂ 【解析 】 ∵ｓｉｎ （ π-α ） ＝ｓｉｎα＝ｌｏｇ 2 3 2 -2 ＝- 2 3 ， ∴ｃｏｓ （ π＋ α ） ＝-ｃｏｓα＝- 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝- 1- 4 9 姨 ＝- 5 姨 3 . 故选 Ｂ. 5. Ｂ 【解析】 ∵ｔａｎ 2π 3 + ! " α ＝ ｔａｎ π - π 3 - ! " α 7 % ＝ - ｔａｎ π 3 - ! " α ， ∴ｔａｎ 2π 3 + ! " α ＝- 1 3 . 故选 Ｂ. 6. Ｂ 【解析 】 ①ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＋ｓｉｎＣ＝2ｓｉｎＣ ； ②ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ） ＋ ｃｏｓＣ＝-ｃｏｓＣ＋ｃｏｓＣ＝0 ； ③ｓｉｎ （ 2Ａ＋2Ｂ ） ＋ｓｉｎ2Ｃ＝ｓｉｎ ［ 2 （ Ａ＋Ｂ ）］ ＋ ｓｉｎ2Ｃ＝ｓｉｎ ［ 2 （ π-Ｃ ）］ ＋ｓｉｎ2Ｃ＝ｓｉｎ （ 2π-2Ｃ ） ＋ｓｉｎ2Ｃ＝-ｓｉｎ2Ｃ＋ｓｉｎ2Ｃ＝ 0 ； ④ｃｏｓ （ 2Ａ＋2Ｂ ） ＋ｃｏｓ2Ｃ＝ｃｏｓ ［ 2 （ Ａ＋Ｂ ）］ ＋ｃｏｓ2Ｃ＝ｃｏｓ ［ 2 （ π- Ｃ ）］ ＋ｃｏｓ2Ｃ＝ｃｏｓ （ 2π-2Ｃ ） ＋ｃｏｓ2Ｃ＝ｃｏｓ2Ｃ＋ｃｏｓ2Ｃ＝2ｃｏｓ2Ｃ. 故选 Ｂ. 7. - 3 姨 3 【解析】 ∵ 5π 6 -θ＋ π 6 ＋θ＝π ， 5π 6 -θ＝π- π 6 + ! " θ ， ∴ｃｏｓ 5π 6 - ! " θ ＝ｃｏｓ π- π 6 + ! " θ 7 % ＝-ｃｏｓ π 6 + ! " θ ＝- 3 姨 3 . 8. ｍ＋1 ｍ-1 【解析】 由 ｔａｎ （ 5π＋α ） ＝ｍ ， 得 ｔａｎα＝ｍ. 于是原 式 ＝ -ｓｉｎα-ｃｏｓα -ｓｉｎα＋ｃｏｓα ＝ ｔａｎα＋1 ｔａｎα-1 ＝ ｍ＋1 ｍ-1 . 9. 12 13 【解析 】 由于 ｃｏｓ （ 508°-α ） ＝ｃｏｓ （ 360°＋148°-α ） ＝ ｃｏｓ （ 148°-α ） ＝ 12 13 ， ∴ｃｏｓ （ 212°＋α ） ＝ｃｏｓ （ 360°＋α-148 ° ） ＝ ｃｏｓ （ α-148° ） ＝ｃｏｓ （ 148°-α ） ＝ 12 13 . 10. 解： 由条件得 ｓｉｎＡ＝ 2 姨 ｓｉｎＢ ， 3 姨 ｃｏｓＡ＝ 2 姨 ｃｏｓＢ ， 平方相加得 2ｃｏｓ 2 Ａ＝1 ， ｃｏｓＡ＝± 2 姨 2 ， 又 ∵Ａ∈ （ 0 ， π ） ， ∴Ａ＝ π 4 或 3 4 π. 当 Ａ＝ 3 4 π 时， ｃｏｓＢ＝- 3 姨 2 ＜0 ， ∴Ｂ∈ π 2 ， ! " π ， ∴Ａ ， Ｂ 均为钝角， 不合题意， 舍去 . ∴Ａ＝ π 4 ， ｃｏｓＢ＝ 3 姨 2 ， ∴Ｂ＝ π 6 ， ∴Ｃ＝ 7 12 π. 综上所述， Ａ＝ π 4 ， Ｂ＝ π 6 ， Ｃ＝ 7 12 π. 提升练习 11. Ａ 【解析】 ∵α 和 β 的终边关于 ｙ 轴对称， ∴ 不妨取 α＝π-β ， ∴ｓｉｎα＝ｓｉｎ （ π-β ） ＝ｓｉｎβ. 故选 Ａ. 12. Ｄ 【解析】 ｆ （ 2 009 ） ＝- （ ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓβ ） ＋4＝5 ， ｆ （ 2 015 ） ＝- （ ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓβ ） ＋4＝5. 故选 Ｄ. 13. 1 5 【解析】 ∵ｃｏｓ （ π＋α ） ＝-ｃｏｓα＝- 3 5 ， ∴ｃｏｓα＝ 3 5 . ∵π＜ α＜2π ， ∴ 3π 2 ＜α＜2π ， ∴ｓｉｎα＝- 4 5 . ∴ｓｉｎ （ α-3π ） ＋ｃｏｓ （ α-π ） ＝-ｓｉｎ （ 3π-α ） ＋ｃｏｓ （ π-α ） ＝-ｓｉｎ （ π- α ） ＋ （ -ｃｏｓα ） ＝-ｓｉｎα-ｃｏｓα＝- （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） ＝- - 4 5 + 3 5 ! " ＝ 1 5 . 14. -2 【解析 】 ∵ｆ - 11 6 ! " ＝ｓｉｎ - 11π 6 ! " ＝ｓｉｎ -2π+ π 6 ! " ＝ ｓｉｎ π 6 ＝ 1 2 ， ｆ 11 6 ! " ＝ｆ 5 6 ! " -1＝ｆ - 1 6 ! " -2＝ｓｉｎ - π 6 ! " -2＝- 1 2 -2＝ - 5 2 ， ∴ｆ - 11 6 ! " ＋ｆ 11 6 ! " ＝-2. 15. 解： 存在 α＝ π 4 ， β＝ π 6 使等式同时成立 . 理由如下： 由 ｓｉｎ （ 3π-α ） ＝ 2 姨 ｃｏｓ π 2 - ! " β ， 3 姨 ｃｏｓ （ -α ） ＝- 2 姨 ｃｏｓ （ π＋ β ） 得 ｓｉｎα＝ 2 姨 ｓｉｎβ ， 3 姨 ｃｏｓα＝ 2 姨 ｃｏｓβ β ， 两式平方相加得 ｓｉｎ 2 α＋3ｃｏｓ 2 α＝ 2 ， 得到 ｓｉｎ 2 α＝ 1 2 ， 即 ｓｉｎα＝± 2 姨 2 . ∵α∈ - π 2 ， π 2 ! " ， ∴α＝ π 4 或 α＝- π 4 . 将 α＝ π 4 代入 3 姨 ｃｏｓα＝ 2 姨 ｃｏｓβ ， 得 ｃｏｓβ＝ 30 参 考 答 案 3 姨 2 ， 由于 β∈ （ 0 ， π ） ， ∴β＝ π 6 . 将 α＝- π 4 代入 ｓｉｎα＝ 2 姨 ｓｉｎβ ， 得 ｓｉｎβ＝- 1 2 ， 由于 β∈ （ 0 ， π ）， 这样的角 β 不 存在 . 综上可知， 存在 α＝ π 4 ， β＝ π 6 使等式同时成立 . 16. 解： ∵ 方程 5ｘ 2 -7ｘ-6＝0 的两根为 2 和 - 3 5 ， ∴ｓｉｎα＝ - 3 5 . 由 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， 得 ｃｏｓα＝± 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝± 4 5 . 当 ｃｏｓα＝ 4 5 时 ， ｔａｎα＝- 3 4 ； 当 ｃｏｓα＝- 4 5 时 ， ｔａｎα＝ 3 4 . ∴ 原式 ＝ ｃｏｓαｃｏｓαｔａｎ 2 αｔａｎα ｓｉｎαｓｉｎα ＝ｔａｎα＝± 3 4 . 第 2 课时 诱导公式 （二） 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） ｓｉｎ - 10π 3 3 $ ＝-ｓｉｎ 10π 3 ＝-ｓｉｎ 2π+ 4π 3 3 & ＝-ｓｉｎ 4π 3 ＝-ｓｉｎ π+ π 3 3 & =sin π 3 = 3 姨 2 . （ 2 ） ｃｏｓ 29 6 π＝ｃｏｓ 4π+ 5π 6 3 & ＝ｃｏｓ 5π 6 ＝ｃｏｓ π- π 6 3 & =-cos π 6 ＝- 3 姨 2 . （ 3 ） ｓｉｎ 17π 6 ＝ｓｉｎ 2π+ 5π 6 3 & ＝ｓｉｎ 5π 6 ＝ｓｉｎ π 2 + π 3 3 & ＝ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 . 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ｃｏｓ （ π＋α ） ＝-ｃｏｓα＝- 1 2 ， ∴ｃｏｓα＝ 1 2 . 又 α 为 第一象限角， 则 ｃｏｓ π 2 + 3 & α ＝-ｓｉｎα＝- 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 1- 1 2 3 & 2 姨 ＝- 3 姨 2 . （ 2 ） ｃｏｓ 5π 6 + 3 & α · ｓｉｎ 2π 3 - 3 & α ＝ｃｏｓ π- π 6 - 3 & α α ( · ｓｉｎ π- π 3 + 3 & α α α ＝-ｃｏｓ π 6 - 3 $ α · ｓｉｎ π 3 + 3 $ α ＝- 1 3 · sin π 2 α - π 6 - 3 $ α α ＝- 1 3 ｃｏｓ π 6 - 3 $ α ＝- 1 9 . 变式训练 3 解： 原式 ＝ ｓｉｎ （ -α ）· ｃｏｓ （ -α ） ｓｉｎ 2π- π 2 - 3 $ α α α · cos 2π- π 2 - 3 $ α α α = （ -ｓｉｎα ）· ｃｏｓα ｓｉｎ - π 2 - 3 $ α α α · cos - π 2 - 3 $ α α α ＝ -ｓｉｎα · ｃｏｓα -ｓｉｎ π 2 - 3 $ α · cos π 2 - 3 $ α ＝ -ｓｉｎα · ｃｏｓα -cosα · sinα =1. 变式训练 4 证明 ： 左边 ＝ -2ｃｏｓθｓｉｎθ-1 ｃｏｓ 2 θ-ｓｉｎ 2 θ ＝ - （ ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ） 2 （ ｃｏｓθ-ｓｉｎθ ）（ ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ ） ＝ ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ＝ ｔａｎθ＋1 ｔａｎθ-1 ， 右边 ＝ ｔａｎθ＋1 ｔａｎθ-1 ， ∴ 等式成立 . 随堂练习 1. Ａ 2. Ａ 3. Ｄ 4. 0 5. 解： （ 1 ） ｆ （ α ） ＝ ｓｉｎ （ -α ） ｃｏｓ （ π＋α ） ｃｏｓ π 2 - 3 $ α ｃｏｓ （ π-α ） ｓｉｎ （ 2π＋α ） ｔａｎ （ π＋α ） ＝ -ｓｉｎα （ -ｃｏｓα ） ｓｉｎα -ｃｏｓαｓｉｎαｔａｎα ＝-ｃｏｓα. （ 2 ） 由题意知 ｃｏｓα＝- 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝- 4 5 ， ∴ｆ （ α ） ＝-ｃｏｓα＝ 4 5 . 练习手册 效果评价 1. Ａ 【解析 】 由已知得 ｃｏｓα＝ 1 3 ， 又 α∈ - π 2 ， 3 $ 0 ， ∴ｓｉｎα＝- 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 1- 1 9 姨 ＝- 2 2 姨 3 . 因此， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝-2 2 姨 . 故选 Ａ. 2. Ａ 【解析 】 ｆ （ ｃｏｓ10° ） ＝ｆ （ ｓｉｎ80° ） ＝ｃｏｓ240°＝ｃｏｓ （ 180°＋ 60° ） ＝-ｃｏｓ60°＝- 1 2 . 故选 Ａ. 3. Ｂ 【解析】 ∵ （ 75°＋α ） ＋ （ 15°-α ） ＝90° ， ∴ｃｏｓ （ 15°-α ） ＝ ｃｏｓ ［ 90°- （ 75°＋α ）］ ＝ｓｉｎ （ 75°＋α ） ＝ 1 3 . 故选 Ｂ. 4. Ｃ 【解析】 ∵ｓｉｎ （ π＋α ） ＋ｃｏｓ π 2 + 3 $ α ＝-ｓｉｎα-ｓｉｎα＝-ｍ ， ∴ｓｉｎα＝ m 2 . 故 ｃｏｓ 3π 2 - 3 $ α ＋2ｓｉｎ （ 2π-α ） ＝-ｓｉｎα-2ｓｉｎα＝-3ｓｉｎα＝ - 3 2 ｍ. 故选 Ｃ. 5. Ｃ 【解析 】 ∵ ｓｉｎθ＋cosθ sinθ-ｃｏｓθ ＝2 ， ｓｉｎθ＝3ｃｏｓθ ， ∴ｔａｎθ＝3. ∴ｓｉｎ （ θ-5π ） ｓｉｎ 3 2 π- 3 $ θ ＝ｓｉｎθcosθ＝ ｓｉｎθcosθ sin 2 θ+ｃｏｓ 2 θ ＝ tanθ tan 2 θ+1 ＝ 3 10 . 故选 Ｃ. 6. Ｂ 【解析 】 ｓｉｎ239°ｔａｎ149°＝ｓｉｎ （ 180°＋59° ）· ｔａｎ （ 180°- 31° ） ＝-ｓｉｎ59° （ -ｔａｎ31° ） ＝-ｓｉｎ （ 90°-31° ）（ -ｔａｎ31° ） ＝-ｃｏｓ31° · （ -ｔａｎ31° ） ＝ｓｉｎ31°＝ 1-ｃｏｓ 2 31° 姨 ＝ 1-ｍ 2 姨 . 故选 Ｂ. 7. -ｓｉｎ 2 α 【解析】 原式 ＝-ｓｉｎ （ 7π＋α ）· ｃｏｓ 3π 2 - 3 $ α ＝ -ｓｉｎ （ π＋α ）· -cos π 2 - 3 $ α α α =ｓｉｎα ·（ -ｓｉｎα ） ＝-ｓｉｎ 2 α. 8. - 7 25 【解析 】 ｓｉｎ π 2 + 3 $ θ ＝ｃｏｓθ＝ 3 5 ， 从而 ｓｉｎ 2 θ＝1- ｃｏｓ 2 θ＝ 16 25 ， ∴ｃｏｓ 2 θ-ｓｉｎ 2 θ＝- 7 25 . 9. 1 【解析 】 ∵ π 3 - 3 $ x ＋ π 6 + 3 $ x ＝ π 2 ， ∴ｓｉｎ 2 π 3 - 3 $ x ＋ ｓｉｎ 2 π 6 + 3 $ x ＝ｓｉｎ 2 π 3 - 3 $ x ＋ｃｏｓ 2 π 3 - 3 $ x ＝1. 10. 解： ｓｉｎ - π 2 - 3 $ α ＝-ｃｏｓα ， ｃｏｓ - 5π 2 - 3 $ α =ｃｏｓ 2π+ π 2 3 +α $ ＝-ｓｉｎα. ∴ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 60 169 ， 即 2ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 120 169 . ① 又 ∵ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， ② ①＋② 得， （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝ 289 169 ， 31 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ②-① 得， （ ｓｉｎα-ｃｏｓα ） 2 ＝ 49 169 . 又 ∵α∈ π 4 ， π 2 2 # ， ∴ｓｉｎα＞ｃｏｓα＞0 ， 即 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞0 ， ｓｉｎα-ｃｏｓα＞0 ， ∴ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 17 13 ， ③ ｓｉｎα-ｃｏｓα＝ 7 13 ， ④ ③＋④ 得， ｓｉｎα＝ 12 13 ， ③-④ 得， ｃｏｓα＝ 5 13 . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 ｓｉｎ 2 A+B 2 +ｓｉｎ 2 C 2 ＝ｓｉｎ 2 π-C 2 ＋ｓｉｎ 2 C 2 ＝ｃｏｓ 2 C 2 +ｓｉｎ 2 C 2 ＝1. 故选 Ｃ. 12. Ｃ 【解析】 由已知得 3ｓｉｎβ-2ｔａｎα＋5＝0 ， ｔａｎα-6ｓｉｎβ-1＝0 0 ， 消去 ｓｉｎβ ， 得 ｔａｎα ＝3 ， ∴ｓｉｎα ＝3ｃｏｓα ， 代 入 ｓｉｎ 2 α ＋ｃｏｓ 2 α ＝1 ， 化 简 得 ｓｉｎ 2 α＝ 9 10 ， 则 ｓｉｎα＝ 3 10 姨 10 （ α 为锐角） . 故选 Ｃ. 13. ＢＤ 【解析】 当 ｋ 为偶数时， Ａ＝ ｓｉｎα ｓｉｎα ＋ ｃｏｓα ｃｏｓα ＝2 ； 当 ｋ 为奇数时， Ａ＝ -ｓｉｎα ｓｉｎα - ｃｏｓα ｃｏｓα ＝-2. 故选 ＢＤ. 14. 3 5 4 5 【解析】 ｓｉｎ - π 2 - # α cos - 7π 2 + # α ＝-ｃｏｓα · （ -ｓｉｎα ） ＝ｓｉｎαｃｏｓα＝ 12 25 . ∵0＜α＜ π 4 ， ∴0＜ｓｉｎα＜ｃｏｓα. 又 ∵ｓｉｎ 2 α＋ ｃｏｓ 2 α＝1 ， ∴ｓｉｎα＝ 3 5 ， ｃｏｓα＝ 4 5 . 15. 解： ∵ｓｉｎα＝ 2 5 姨 5 ＞0 ， ∴α 为第一或第二象限角 . tan （ α+π ） + ｓｉｎ 5π 2 + - # α cos 5π 2 - - # α ＝ ｔａｎα＋ ｃｏｓα ｓｉｎα ＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＋ ｃｏｓα ｓｉｎα ＝ 1 ｓｉｎαｃｏｓα . ① 当 α 为第一象限角时， ｃｏｓα＝ 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝ 5 姨 5 ， 原 式 ＝ 1 ｓｉｎαｃｏｓα = 5 2 . ② 当 α 为第二象限角时 ， ｃｏｓα＝- 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝- 5 姨 5 ， 原式 ＝ 1 ｓｉｎαｃｏｓα =- 5 2 . 综合 ①② 知， 原式 ＝ 5 2 或 - 5 2 . 阶段性练习卷 （二） 1. Ｄ 【解析】 ｃｏｓ60°＝ 1 2 ＞0 ， ｃｏｓ90°＝0 ， ｃｏｓ120°＝- 1 2 ＜ 0 ， 故选 Ｄ. 2. Ａ 【解析】 ∵ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， ∴ｓｉｎ 2 α＝1-ｃｏｓ 2 α ， 1-ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α 姨 ＝ ｓｉｎ 2 α sin 2 α 姨 ＝ 1 姨 ＝1 ， 故选 Ａ. 3. Ｄ 【解析】 ∵ｃｏｓα＝ 3 5 ， 且 α 在第四象限 ， ∴ｓｉｎα＝ - 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 4 5 ， ∴ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝- 4 3 . 故选 Ｄ. 4. Ａ 【解析】 ∵ 角 α 的顶点在原点， 始边与 ｘ 轴非负 半轴重合， 点 Ｐ （ -4ｍ ， 3ｍ ） （ ｍ＞0 ） 是角 α 终边上的一点， ∴ｒ＝ （ -4ｍ ） 2 ＋ （ 3ｍ ） 2 姨 ＝5ｍ ， ∴ｓｉｎα＋2ｃｏｓα＝ 3ｍ 5ｍ ＋2× -4ｍ 5ｍ ＝-1. 故选 Ａ. 5. Ａ 【解析 】 ∵ｃｏｓα＝ 2 5 姨 5 ， ∴ｃｏｓ 4 α-ｓｉｎ 4 α＝ （ ｃｏｓ 2 α＋ ｓｉｎ 2 α ）（ ｃｏｓ 2 α-ｓｉｎ 2 α ） ＝ｃｏｓ 2 α-ｓｉｎ 2 α＝2ｃｏｓ 2 α-1＝2× 2 5 姨 5 - # 2 -1＝ 3 5 . 故选 Ａ. 6. Ｂ 【解析】 ∵ｓｉｎ 5π 6 ＞0 ， ｃｏｓ 5π 6 ＜0 ， ∴ 角 ｘ 的终边在 第四象限， 根据三角函数的定义， 可知 ｓｉｎｘ＝ｃｏｓ 5π 6 ＝- 3 姨 2 ， 故角 ｘ 的最小正值为 ｘ＝2π- π 3 ＝ 5π 3 . 故选 Ｂ. 7. ＢＣ 【解析 】 当 ｍ＞0 ， ｓｉｎα＝ 3ｍ 16ｍ 2 ＋9ｍ 2 姨 ＝ 3ｍ 5ｍ ＝ 3 5 ， ｃｏｓα＝ -4ｍ 16ｍ 2 ＋9ｍ 2 姨 ＝ -4ｍ 5ｍ ＝- 4 5 ， 则 2ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 6 5 - 4 5 ＝ 2 5 ； 当 ｍ＜0 ， ｓｉｎα＝ 3ｍ 16ｍ 2 ＋9ｍ 2 姨 ＝ 3ｍ -5ｍ ＝- 3 5 ， ｃｏｓα＝ -4ｍ 16ｍ 2 ＋9ｍ 2 姨 ＝ -4ｍ -5ｍ ＝ 4 5 ， 则 2ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ -6 5 + 4 5 ＝- 2 5 ， 故选 ＢＣ. 8. ＡＢ 【解 析 】 ∵ｓｉｎα ＝ 4 5 ， 且 α 为 锐 角 ， ∴ｃｏｓα ＝ 1-ｓｉｎ 2 α 姨 ＝ 1- 4 5 - # 2 姨 ＝ 3 5 ， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 4 3 ， 故 Ａ 、 Ｂ 正 确； ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 3 5 ＋ 4 5 ＝ 7 5 ， ｓｉｎα-ｃｏｓα＝ 4 5 - 3 5 ＝ 1 5 ， 故 Ｃ 、 Ｄ 错误， 故选 ＡＢ. 9. 唯一确定 唯一确定 唯一确定 正弦 ｙ＝ｓｉｎｘ 【解 析】 根据实数与角的对应关系及函数的定义， 可得对任意 一个实数 ｘ 都对应着唯一确定的角， 而这个角又对应着唯 一确定的正弦值 ｓｉｎｘ ； 这样， 对任意一个实数 ｘ 都有唯一 确定的值 ｓｉｎｘ 与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数 称为正弦函数， 表示为 ｙ＝ｓｉｎｘ. 10. 3 5 【解析】 ∵Ｐ （ -3ｔ ， 4ｔ ） （ ｔ＜0 ） 是角 θ 终边上的一 点， ∴ｃｏｓθ＝ -3ｔ （ -3ｔ ） 2 ＋ （ 4ｔ ） 2 姨 ＝ -3ｔ 25ｔ 2 姨 ＝ -3ｔ -5ｔ ＝ 3 5 . 11. - 6 姨 3 【解析】 由题意， 角 θ 终边经过点 Ｐ （ 2 姨 ， ａ ）， 可得 ｜ＯＰ｜＝ 2＋ａ 2 姨 ， 又由 θ＝- π 6 ， 根据三角函数的定 义， 可得 ｃｏｓ - π 6 # ＝ 2 姨 2+a 2 姨 ＝ 3 姨 2 且 ａ＜0 ， 解得 ａ＝- 6 姨 3 . 12. ②③ 【解析】 由 ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ m n ， 故 ① 错误； 对任 意角 α ， 都有 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， 故 ②③ 正确； 不存在一个角 α ， 使得 ｓｉｎα＝ｃｏｓα＝ 1 2 成立， 故 ④ 错误 . 13. 解： （ 1 ） 由 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝- 1 5 ， 可得 （ ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ） 2 ＝ 32 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 借助单位圆的直观性探索正弦、 余弦 和正切的诱导公式 . ２. 掌握正弦、 余弦和正切的诱导公式的 应用 . ３. 通过对公式的运用， 提高三角恒等变 形的能力和渗透化归数学思想， 提高分析问 题、 解决问题的能力 . 要 点 精 析 要点 1 利用诱导公式求值 １. 诱导公式 ① ｓｉｎ （ α＋ｋ · ２π ） ＝ｓｉｎα ； ｃｏｓ （ α＋ｋ · ２π ） ＝ｃｏｓα ； ｔａｎ （ α＋ｋ · ２π ） ＝ｔａｎα. ２. 诱导公式 ② ｓｉｎ （ -α ） ＝-ｓｉｎα ； ｃｏｓ （ -α ） ＝ｃｏｓα ； ｔａｎ （ -α ） ＝-ｔａｎα. ３. 诱导公式 ③ ｓｉｎ （ π-α ） ＝ ｓｉｎα ； ｃｏｓ （ π-α ） ＝- ｃｏｓα ； ｔａｎ （ π-α ） ＝-ｔａｎα. ４. 诱导公式 ④ ｓｉｎ （ π＋α ） ＝-ｓｉｎα ； ｃｏｓ （ π＋α ） ＝-ｃｏｓα ； ｔａｎ （ π＋α ） ＝ｔａｎα. ５. 公式 ①②③④ 记忆方法： “函数名不 变， 符号看象限” . 例 １ 求下列各三角函数值 . （ １ ） ｓｉｎ - 31π 6 ! " ； （ ２ ） ｃｏｓ （ -９４５° ）； （ ３ ） ｔａｎ （ -８５５° ）； （ ４ ） ｓｉｎ （ -１ ２００° ）· ｃｏｓ１ ２９０°＋ｃｏｓ （ -１ ０２０° ）· ｓｉｎ （ -１ ０５０° ） ＋tan９４５°. 解： （ １ ） ｓｉｎ - 31π 6 ! " ＝ - ｓｉｎ 31π 6 ! " ＝ -ｓｉｎ 4π+ 7π 6 ! " ＝-ｓｉｎ 7π 6 ＝ｓｉｎ π 6 ＝ 1 2 . （ ２ ） ｃｏｓ （ -９４５° ） ＝ｃｏｓ９４５°＝ｃｏｓ （ ２×３６０°＋ ２２５° ） ＝ｃｏｓ２２５° ＝ｃｏｓ （ １８０° ＋４５° ） ＝-ｃｏｓ４５° ＝ - 2 姨 2 . （ ３ ） ｔａｎ （ -８５５° ） ＝-ｔａｎ８５５°＝-ｔａｎ （ ２×３６０°＋ １３５° ） ＝-ｔａｎ （ １８０°-４５° ） ＝ｔａｎ４５°＝１. （ ４ ） ｓｉｎ （ -１ ２００° ）· ｃｏｓ１ ２９０°＋ｃｏｓ （ -１ ０２０° ）· ｓｉｎ （ -１ ０５０° ） ＋ｔａｎ９４５°＝-ｓｉｎ （ ３×３６０°＋１２０° ）· ｃｏｓ （ ３×３６０°＋２１０° ） -ｃｏｓ （ ２×３６０°＋３００° ）· ｓｉｎ （ ２× ３６０°＋３３０° ） ＋ｔａｎ （ ２×３６０°＋２２５° ） ＝-ｓｉｎ （ １８０°- ６０° ）· ｃｏｓ （ １８０°＋３０° ） -ｃｏｓ （ ３６０°-６０° ）· ｓｉｎ （ ３６０° -３０° ） ＋ｔａｎ （ １８０°＋４５° ） ＝ｓｉｎ６０° · ｃｏｓ３０°＋ｃｏｓ６０° · ｓｉｎ３０°＋ｔａｎ４５°＝ 3 姨 2 × 3 姨 2 + 1 2 × 1 2 +1=2. 反思感悟 运用诱导公式求任意角的三角函数值 时， 一般步骤是： 负化正 → 正化主 → 主化 锐 → 求值 . 即先把负号化去 （诱导公式 ② ）， 再把任意正角写成 ２ｋπ＋α ， ０≤α＜２π （或 ｋ · ３６０°＋α ， ０°≤α＜３６０° ） 的形式转化为 α 的三角函数， ［ ０ ， ２π ） 称为主区间， 再用 7.2.4 诱导公式 第 1课时 诱导公式 （一） 26 第七章 三角函数 学 π±α （或 １８０°±α ） 化为锐角的三角函数 ， 最后求值 . 变式训练 1 计算： （ １ ） ｓｉｎ４０５° · ｃｏｓ （ -７６５° ）； （ ２ ） 3 姨 ｓｉｎ - 37 6 " # π · ｔａｎ 13 6 π-ｃｏｓ 7 3 π · ｔａｎ - 41 4 " 4 π . 要点 2 条件求值 例 ２ 已 知 ｃｏｓ π 6 - - 4 α ＝ 3 姨 3 ， 求 ｃｏｓ 5 6 π+ " 4 α -ｓｉｎ 2 α- π 6 " 4 的值 . 解 ： ∵ｃｏｓ 5 6 π+ " 4 α ＝ｃｏｓ π- π 6 - " 4 α 琢 ' = -cos π 6 - - # α =- 3 姨 3 ， sin 2 α- π 6 - # =sin 2 - π 6 - - # α 琢 琢 =1-cos 2 π 6 - - # α = 1- 3 姨 3 - # 2 = 2 3 . ∴cos 5 6 π+ - # α -sin 2 α- π 6 - # =- 3 姨 3 - 2 3 = - 2+ 3 姨 3 . 反思感悟 （ １ ） 解决条件求值问题， 首先要仔细 观察条件与所求式之间的角、 函数名及有 关运算之间的差异及联系 . （ ２ ） 可以将已知式进行变形向所求式 转化， 或将所求式进行变形向已知式转化 . 变式训练 2 已知 ｃｏｓ （ α-７５° ） ＝- 1 3 ， 且 α 为第四象 限角， 求 ｓｉｎ （ １０５°＋α ）的值 . 要点 3 三角函数式的化简 例 ３ 化简 １＋２ｓｉｎ２９０°ｃｏｓ４３０° 姨 ｓｉｎ （ -７０° ） ＋ｃｏｓ７９０° . 解： 原式 ＝ １＋２ｓｉｎ （ ３６０°-７０° ） ｃｏｓ （ ３６０°＋７０° ） 姨 -ｓｉｎ７０°＋ｃｏｓ （ ７２０°＋７０° ） = １-２ｓｉｎ７０°ｃｏｓ７０° 姨 -ｓｉｎ７０°＋ｃｏｓ７０° = ｜ｃｏｓ７０°-ｓｉｎ７０°｜ ｃｏｓ７０°-ｓｉｎ７０° = ｓｉｎ７０°-ｃｏｓ７０° ｃｏｓ７０°-ｓｉｎ７０° =-1. 反思感悟 （ １ ） 三角函数式的化简常用诱导公式 将任意角的三角函数转化为锐角的三角 函数 . （ ２ ） 化简时要特别注意 “ １ ” 的变式 应用 . 27 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 3 化简： ｓｉｎ （ ２ｎπ＋α ）· ｃｏｓ （ -α ） ｓｉｎ （ -８π-α ） - ｃｏｓ （ ４ｎπ-α ） ｓｉｎ （ -α ） ｔａｎ （ -α ） （ ｎ∈Ｚ ） . 要点 4 三角函数式的证明 例 ４ 求证： ｔａｎ （ ２π-θ ） ｓｉｎ （ -２π-θ ） ｃｏｓ （ ６π-θ ） -ｃｏｓ （ θ-２π ） ｓｉｎ （ ８π-θ ） ＝ｔａｎθ. 证明 ： 左边 ＝ ｔａｎ （ -θ ） ｓｉｎ （ -θ ） ｃｏｓ （ -θ ） -ｃｏｓθｓｉｎ （ -θ ） = ｔａｎθｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎθｃｏｓθ ＝ｔａｎθ＝ 右边 . ∴ 原等式成立 . 反思感悟 （ １ ） 用从等式的一边开始化为等式的 另一边的方法证明恒等式问题， 实质上就 是三角函数式的化简问题 . （ ２ ） 证明三角恒等式的一般思路是 ： 先分析角的特点及角之间的关系， 再将角 变形， 然后利用诱导公式及同角三角函数 的基本关系式来完成证明 . 变式训练 4 设 ｔａｎα α+ 8 7 " # π ＝ａ. 求证： ｓｉｎ 15 7 π+ " + α +3cos α- 13 7 7 + π sin 20 7 π- " + α -cos α+ 22 7 " + π = a+3 a+1 . 数 学 文 化 例 在平面直角坐标系中， 以 ｘ 轴的非 负半轴的始边， 如果角 α ， β 的终边分别与 单位圆交于点 12 13 ， ５ １３ " + 和 - ３ ５ ， ４ ５ " + ， 那么 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ （ ） Ａ. - ３６ ６５ Ｂ. - ３ １３ Ｃ. ４ １３ Ｄ. ４8 ６５ 解析 ： 由三角函数的定义 ｓｉｎα＝ ５ １３ ， ｃｏｓβ＝- ３ ５ ， ∴ｓｉｎαｃｏｓβ＝ ５ １３ × - ３ ５ " + ＝- ３ １３ . 故 选 Ｂ. 28 第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 掌握诱导公式， 能正确运用这些公式 求任意角的三角函数值 . ２. 能运用诱导公式进行简单的三角函数 的化简与恒等式的证明 . 要 点 精 析 要点 1 给角求值 １. 诱导公式 ⑤ ｓｉｎ 仔 2 - ! " 琢 ＝ｃｏｓ琢 ； ｃｏｓ 仔 2 - ! " 琢 ＝ｓｉｎ琢. ２. 诱导公式 ⑥ ｓｉｎ 琢+ 仔 2 ! " ＝ｃｏｓ琢 ； ｃｏｓ 琢+ 仔 2 ! " ＝-ｓｉｎ琢. ３. 诱导公式 ⑦ ｓｉｎ 3仔 2 + ! " 琢 ＝-ｃｏｓ琢 ； ｃｏｓ 3仔 2 + ! " 琢 ＝ｓｉｎ琢. ４. 诱导公式 ⑧ ｓｉｎ 3仔 2 - ! " 琢 ＝-ｃｏｓ琢 ； ｃｏｓ 3仔 2 - ! " 琢 ＝-ｓｉｎ琢. ５. “奇变偶不变， 符号看象限” 意义： 诱导公式可以归纳为 ｋ · 仔 2 ＋琢 （ ｋ∈Ｚ ） 的三角函数值 . 当 ｋ 为偶数时， 得 琢 的同名 三角函数值； 当 ｋ 为奇数时， 得 琢 的异名三 角函数值 . 然后， 在前面加上一个把 琢 看成 锐角时原函数值的符号， 概括为 “奇变偶不 变， 符号看象限” . 值得注意的是， 这里的 奇和偶分别指的是 仔 2 的奇数倍或偶数倍； 符 号看象限指的是等式右边的正负号恰为把 琢 看成锐角时， 原函数值的符号 . 例 １ 求下列各三角函数值 . （ １ ） ｓｉｎ （ -１ ９２０° ）； （ ２ ） ｃｏｓ （ -１ ５６０° ）； （ ３ ） ｔａｎ - 15仔 4 ! " . 解： （ １ ） 原式 ＝-ｓｉｎ１ ９２０°＝-ｓｉｎ （ ３６０°× ５＋１２０° ） ＝-ｓｉｎ （ ９０°＋３０° ） ＝-ｃｏｓ３０°＝- 3 姨 2 . （ ２ ） 原式 ＝ｃｏｓ１ ５６０°＝ｃｏｓ （ ３６０°×４＋１２０° ） ＝ ｃｏｓ１２０°＝ｃｏｓ （ ９０°＋３０° ） ＝-ｓｉｎ３０°＝- 1 2 . （ ３ ） 原式 ＝ｔａｎ - 15仔 4 +4 ! " 仔 ＝ｔａｎ 仔 4 ＝１. 反思感悟 这是一个利用互余、 互补关系解题的 问题， 对于这类问题， 关键是要能发现它 们的互余 、 互补关系 ： 如 仔 3 -α 与 仔 6 ＋琢 ， 仔 3 ＋琢 与 仔 6 -琢 ， 仔 4 -琢 与 仔 4 ＋琢 等互余， 仔 3 ＋ θ 与 2仔 3 -θ ， 仔 4 ＋θ 与 3仔 4 -θ 等互补， 遇到此 类问题， 不妨考虑两个角的和， 要善于利 用角的变换来解决问题 . 变式训练 1 求下列各三角函数值： （ １ ） ｓｉｎ - 10仔 3 ! " ； （ ２ ） ｃｏｓ 29 6 仔 ； （ ３ ） ｓｉｎ 17 6 仔. 第 2课时 诱导公式 （二） 29 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 给值求值 例 ２ 已知 ｓｉｎ 仔 3 - ! " 琢 ＝ 1 2 ， 求 ｃｏｓ 仔 6 + ! " 琢 的值 . 解 ： ∵ｓｉｎ 仔 3 - ! " 琢 ＝ 1 2 ， 且 仔 3 - ! " 琢 + 仔 6 - ! " 琢 ＝ 仔 2 ， ∴ｃｏｓ 仔 ６ + ! " 琢 ＝cos 仔 2 - 仔 3 - ! " 琢 琢 $ ＝sin 仔 3 - ! " 琢 ＝ 1 2 . 反思感悟 必须把已知角看成一个整体， 找出所 求角与已知角之间关系 . 变式训练 2 （ １ ） 已知 ｃｏｓ （ 仔＋琢 ） ＝- 1 2 ， 琢 为第一象 限角， 求 ｃｏｓ 仔 2 + ! " 琢 的值； （ ２ ） 已知 ｃｏｓ 仔 6 - ! " 琢 ＝ 1 3 ， 求 ｃｏｓ 5仔 6 + ! " 琢 · ｓｉｎ 2仔 3 - ! " 琢 的值 . 要点 3 三角函数式的化简 例 ３ 化简： cos k仔+ 仔 2 - ! " 琢 sin k仔- 仔 2 - ! " 琢 ｓｉｎ ［（ ｋ＋１ ） 仔＋琢 ］ ｃｏｓ （ ｋ仔＋琢 ） ， 其中 ｋ∈Ｚ. 解： ｋ 为偶数时， 设 ｋ＝２ｍ （ ｍ∈Ｚ ）， 则 原式 ＝ cos ２m仔+ 仔 2 - ! " 琢 sin 2m仔- 仔 2 - ! " 琢 ｓｉｎ ［（ 2m＋１ ） 仔＋琢 ］ ｃｏｓ （ 2m仔＋琢 ） ＝ cos 仔 2 - ! " 琢 sin - 仔 2 - ! " 琢 ｓｉｎ （ 仔＋琢 ） ｃｏｓ琢 = -sin琢cos琢 -sin琢cos琢 =1. ｋ 为奇数时， 设 ｋ＝２ｍ＋１ （ ｍ∈Ｚ ） . 同理， 原式 ＝１. 故原式 ＝１. 反思感悟 用诱导公式进行化简时， 若遇到 ｋ仔±琢 的形式， 需对 ｋ 进行分类讨论， 然后再运 用诱导公式进行化简 . 变式训练 3 化简： ｓｉｎ （ -２仔-琢 ） ｃｏｓ （ ６仔-琢 ） ｓｉｎ 琢+ 3 2 ! " 仔 ｃｏｓ 琢+ 3 2 ! " 仔 . 30 第七章 三角函数 学 要点 4 三角函数式的证明 例 ４ 已知 ｓｉｎ （ α＋β ） ＝１ ， 求证： ｔａｎ （ ２α＋ β ） ＋ｔａｎβ＝０. 证明 ： ∵ｓｉｎ （ α＋β ） ＝１ ， ∴α＋β＝２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， ∴α＝２ｋπ＋ π 2 -β ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｔａｎ （ ２α＋β ） ＋ｔａｎβ＝ｔａｎ 2 2kπ+ π 2 - - # β + + % β ＋ｔａｎβ＝ｔａｎ （ ４ｋπ＋π-２β＋β ） ＋ｔａｎβ＝ｔａｎ （ π-β ） ＋ｔａｎβ＝ -ｔａｎβ＋ｔａｎβ＝０. ∴ 等式成立 . 变式训练 4 证 明 ： 2sin 兹+ 3 2 2 # π cos 兹- π 2 2 # -1 1-2sin 2 兹 = tan （ 9π+兹 ） +1 tan兹-1 . 数 学 文 化 例 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 终边的范围， 并由此写出角 α 的集合 . （ １ ） ｓｉｎα≥ 3 姨 2 ； （ ２ ） ｃｏｓα≤- 1 2 . 解： （ １ ） 如图 １ ， 作直线 ｙ＝ 3 姨 2 ， 交 单位圆于 Ａ ， Ｂ 两点， 连接 ＯＡ ， ＯＢ ， 则 ＯＡ 与 ＯＢ 围成的区域即为角 α 的终边的范围 . 故满足条件的角 α 的集合为 琢 ２ｋπ＋ π 3 ≤α 琢 ≤２ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . （ ２ ） 如图 ２ ， 作直线 ｘ＝- 1 2 ， 交单位圆 于 Ｃ ， Ｄ 两点 ， 连接 ＯＣ 与 ＯＤ ， 则 ＯＣ 与 ＯＤ 围成的区域即为角 α 的终边的范围 . 故满足条件的角 α 的集合为 琢 ２ｋπ＋ 2π 3 琢 ≤α≤２ｋπ＋ 4π 3 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 图 2图 1 图 7-2-12 31