7.2.1 三角函数的定义-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 理解并掌握任意角的三角函数的定义 . ２. 能根据任意角的三角函数的定义， 分析 出三角函数在各象限的符号， 并能根据角 α 的 某种三角函数值符号， 判断出 α 所在的象限 . ３. 通过任意角三角函数的定义， 认识到 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 例， 加深对特殊与一般关系的理解 . 要 点 精 析 要点 1 求三角函数值 任意角的三角函数 以角 α 的顶点 Ｏ 为坐 标原点， 以角 α 的始边的方 向作为 ｘ 轴的正方向， 建立 直角坐标系 ｘＯｙ （如图所 示）， 并且使 ∠ｘＯｙ＝９０°. 在角 α 终边上任取一点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ）， 则 ＯＰ 的长度记为 ｒ＝ x 2 +y 2 姨 . （ １ ） 称 y r 为角 α 的正弦， 记作 ｓｉｎα ， 即 ｓｉｎα＝ y r ， 定义域为｛ α｜α∈Ｒ ｝； （ ２ ） 称 x r 为角 α 的余弦 ， 记作 ｃｏｓα ， 即 ｃｏｓα＝ x r ， 定义域为｛ α｜α∈Ｒ ｝； （ ３ ） 称 y x 为角 α 的正切， 记作 ｔａｎα ， 即 ｔａｎα＝ y x ， 定义域为 α｜α≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ % & . 这三个对应法则都是以 α 为自变量的函 数， 分别称为角 α 的正弦函数、 余弦函数和 正切函数 . 例 １ 如图， ∠ＡＯＰ＝ π 3 ， 点 Ｑ 与点 Ｐ 关于 ｙ 轴 对称， Ｐ ， Ｑ 都为角的终边 与单位圆的交点 . 求： （ １ ） 点 Ｐ 的坐标； （ ２ ） ∠ＡＯＱ 的正弦函数值、 余弦函数值 . 解： （ １ ） 设点 Ｐ 的坐标为 （ ｘ ， ｙ ）， 则 ｘ＝ｃｏｓ∠ＡＯＰ＝ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ， ｙ＝ｓｉｎ∠ＡＯＰ＝ｓｉｎ π 3 ＝ 3 姨 2 . 故点 Ｐ 的坐标为 1 2 ， 3 姨 2 2 ( . （ ２ ） ∵ 点 Ｐ 与点 Ｑ 关于 ｙ 轴对称， ∴ 点 Ｑ 的坐标为 - 1 2 ， 3 姨 2 2 2 . 根据正弦函数、 余弦函数的定义可知 ｓｉｎ∠ＡＯＱ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓ∠ＡＯＱ＝- 1 2 . 反思感悟 利用定义求 α 的三角函数值， 其关键 是求出角的终边与单位圆的交点 Ｐ 的坐标 （ ｕ ， ｖ ） ， 由三角函数的定义得 ｓｉｎα ＝ｖ ， ｃｏｓα＝ｕ. 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 图 7-2-2 图 7-2-1 13 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 1 在平面直角坐标系中， 以 ｘ 轴的非负半 轴为角的始边， 如果角 α ， β 的终边分别与 单位圆交于点 12 13 ， 5 13 3 " 和 - 3 5 ， 4 5 3 " ， 那么 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ （ ） Ａ. - 36 65 B. - 3 13 C. 4 13 D. 48 65 例 ２ 已知 θ 终边上一点 Ｐ （ ｘ ， ３ ） （ ｘ≠ ０ ）， 且 ｃｏｓθ＝ １0 姨 １0 ｘ ， 求 ｓｉｎθ 的值 . 解： 由题意知 ｒ＝｜ＯＰ｜＝ ｘ ２ ＋９ 姨 ， 由三角 函数定义得 ｃｏｓθ＝ x r ＝ x x 2 +9 姨 . 又 ∵ｃｏｓθ＝ 10 姨 10 ｘ ， ∴ x x 2 +9 姨 ＝ 10 姨 10 ｘ. ∵ｘ≠０ ， ∴ｘ＝±１. 当 ｘ ＝１ 时 ， Ｐ （ １ ， ３ ） ， 此 时 ｓｉｎθ ＝ 3 1 2 +3 2 姨 ＝ 3 10 姨 10 . 当 ｘ ＝-１ 时 ， Ｐ （ -１ ， ３ ） ， 此 时 ｓｉｎθ ＝ 3 （ -1 ） 2 +3 2 姨 ＝ 3 10 姨 10 . 综上所述， ｓｉｎθ＝ 3 10 姨 10 . 反思感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题 时， 应注意到角的终边为射线， 所以应分 两种情况处理， 取射线上异于原点的任意 一点坐标 （ ａ ， ｂ ）， 则对应角的三角函数值 分别为 ｓｉｎα＝ b a 2 +b 2 姨 ， ｃｏｓα＝ a a 2 +b 2 姨 . 变式训练 2 已知角 α 的终边在直线 ｙ＝-３ｘ 上 ， 求 １０ｓｉｎα＋ 3 cosα 的值 . 要点 2 判断三角函数值的符号 三角函数在各个象限的符号 例 ３ 下列各式： ①ｓｉｎ１ １２５° ； ②ｔａｎ 37 １２ π · ｓｉｎ ３7 １2 π ； ③ sin4 tan4 ； ④ｓｉｎ｜-１｜. 其中为负值的 个数是 （ ） Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ４ 解析 ： 对于 ① ， ∵１ １２５°＝１ ０８０°＋４５° ， ∴１ １２５° 是第一象限角， ∴ｓｉｎ１ １２５°＞０ ； 对于 ② ， 因 ３7 １2 π＝２π＋ 13 １2 π ， 则 ３7 １2 π 是第三象限 角 ， ∴ｔａｎ ３7 １2 π＞０ ， ｓｉｎ ３7 １2 π＜０ ， 故 ｔａｎ ３7 １2 π · ｓｉｎ ３7 １2 π＜０ ； 对于 ③ ， 因 ４ 弧度的角在第三象 限 ， 则 ｓｉｎ４＜０ ， ｔａｎ４＞０ ， 故 sin4 tan4 ＜０ ； 对于 sinα cosα tanα 14 第七章 三角函数 学 ④ ， 因 仔 4 ＜１＜ 仔 2 ， 则 ｓｉｎ｜-１｜＞０. 综上， ②③ 为负数 . 故选 Ｂ. 反思感悟 对于较 “大” 的角先利用终边相同的 角转化为较 “小” 的角， 即 ［ ０ ， ２仔 ） 内的 角， 再根据角所在的象限与三角函数值的 符号进行判断 . 变式训练 3 判断下列各式的符号： （ １ ） α 是第四象限角， ｓｉｎα · ｔａｎα ； （ ２ ） ｓｉｎ３ · ｃｏｓ４ · ｔａｎ - 23 4 4 " 仔 . 要点 3 由三角函数值的符号确定角的 范围 例 ４ 已知： ｃｏｓα＜０ ， ｔａｎα＜０. （ １ ） 求角 α 的集合； （ ２ ） 求角 α 2 的终边所在的象限； （ ３ ） 试判断 ｓｉｎ α 2 ， ｃｏｓ α 2 ， ｔａｎ α 2 的符号 . 解： （ １ ） ∵ｃｏｓα＜０ ， ∴ 角 α 的终边可能 位于第二或第三象限或 ｘ 轴的非正半轴上 . ∵ｔａｎα＜０ ， ∴ 角 α 的终边可能位于第二或第 四象限 . ∴ 角 α 的终边只能位于第二象限 . 故 角 α 的集合为 α 仔 2 ＋２ｋ仔＜α＜仔＋２ｋ仔 ， ｋ∈ $ % Ｚ . （ ２ ） ∵ 仔 2 ＋２ｋ仔＜α＜仔＋２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 仔 4 ＋ｋ仔＜ α 2 ＜ 仔 2 ＋ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） . 当 ｋ＝２ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， 仔 ４ ＋２ｎ仔＜ α 2 ＜ 仔 2 ＋ ２ｎ仔 （ ｎ∈Ｚ ）， ∴ α 2 是第一象限角； 当 ｋ＝２ｎ＋１ （ ｎ∈Ｚ ） 时， ５仔 ４ ＋２ｎ仔＜ α 2 ＜ ３仔 2 ＋２ｎ仔 （ ｎ∈Ｚ ）， ∴ α 2 是第三象限角 . （ ３ ） 由 （ ２ ） 可知， 当 α 2 是第一象限角 时， ｓｉｎ α 2 ＞０ ， ｃｏｓ α 2 ＞０ ， ｔａｎ α 2 ＞０ ； 当 α 2 是第三象限角时， ｓｉｎ α 2 ＜０ ， ｃｏｓ α 2 ＜０ ， ｔａｎ α 2 ＞０. 反思感悟 设单位圆与角 α 的终边交于点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ）， 则由三角函数定义知 x r ＝ｃｏｓα＜０ ， y x ＝ ｔａｎα＜０ ， 所以 ｘ＜０ ， ｙ＞０ ， 所以点 Ｐ 在第二 象限， 即角 α 为第二象限角， 从而 α 2 为第 一或第三象限角 . 再由符号法则可知 （ ３ ） 中各值的符号 . 变式训练 4 若 ｓｉｎ２θ＞０ ， 且 ｃｏｓθ＜０ ， 试确定角 θ 所 在的象限 . 15 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 4 三角函数式的化简求值与证明 例 ５ 化 简 ： sinx ｜sinx｜ + ｜cosx｜ cosx + tanx ｜tanx｜ 其中 ｘ≠ k仔 2 ， ｋ∈ # $ Ｚ . 解： ∵ｘ≠ k仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 故 当 ｘ 是第一象限角时， ｓｉｎｘ＞０ ， ｃｏｓｘ＞０ ， ｔａｎｘ＞０ ， 原式 ＝ sinx sinx ＋ cosx cosx ＋ tanx tanx ＝３ ； 当 ｘ 是第二象限角时， ｓｉｎｘ＞０ ， ｃｏｓｘ＜０ ， ｔａｎｘ＜０ ， 原式 ＝ sinx sinx + -cosx cosx + tanx -tanx =-１ ； 当 ｘ 是第三象限角时， ｓｉｎｘ＜０ ， ｃｏｓｘ＜０ ， ｔａｎｘ＞０ ， 原式 ＝ sinx -sinx + -cosx cosx + tanx tanx ＝-１ ； 当 ｘ 是第四象限角时， ｓｉｎｘ＜０ ， ｃｏｓｘ＞０ ， ｔａｎｘ＜０ ， 原式 ＝ sinx -sinx + cosx cosx + tanx -tanx ＝-１. 综上可知， sinx ｜sinx｜ + ｜cosx｜ cosx + tanx ｜tanx｜ 的值为 ３ 或 -１. 反思感悟 求含绝对值的代数式的值时， 要根据 绝对值的意义先去绝对值符号， 为此常采 用分类讨论的思想 . 本题结合自身的特点按 角 ｘ 所在的象限进行讨论 . 变式训练 5 已知角 α 的终边上的点 Ｐ 与点 Ａ （ ｍ ， ２ｍ ） （ ｍ≠０ ） 关于 ｘ 轴对称， 角 β 终边上的 点 Ｑ 与点 Ａ 关于 ｙ 轴对称 ， 求 ｓｉｎαｃｏｓα＋ ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｔａｎαｔａｎβ 的值 . 数 学 文 化 例 某校高一年级 研究性学习小组利用激 光多普勒测速仪实地测 量复兴号高铁在某时刻 的速度 ， 其工作原理 是： 激光器发出的光平 均分成两束后射出， 并 在被测物体表面汇聚， 探测器接收反射光 . 当被测物体横向速度为零时， 反射光与探测 光频率相同； 当横向速度不为零时， 反射光 相对探测光会发生频移 ｆ Ｐ ＝ 2vsin渍 姿 ， 其中 ｖ 为测速仪测得被测物体的横向速度， 姿 为激 光波长， 渍 为两束探测光线夹角的一半 . 如 图， 若激光测速仪安装在距离高铁 １ ｍ 处， 发出的激光波长为 １ ５５０ ｎｍ （ １ ｎｍ＝１０ -９ ｍ ）， 测得某时刻频移为 ９.０３０×１０ ９ （ １/ｈ ）， 则该时 刻高铁的速度约等于 （ ） Ａ. ３２０ ｋｍ/ｈ Ｂ. ３３０ ｋｍ/ｈ Ｃ. ３４０ ｋｍ/ｈ Ｄ. ３５０ ｋｍ/ｈ 解析： 由图可知， ｓｉｎ渍≈ｔａｎ渍＝ 0.02 m 1 m ＝ ０.０２ ， ∴ｖ ＝ f P · 姿 2sin渍 ＝ ９.０３×１０ ９ ×１ ５５０×１０ -９ ２×０.０２ ≈ ３.５×１０ ５ （ ｍ/ｈ ） ＝３５０ （ ｋｍ/ｈ ） . 图 7-2-3 mm m 16 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 Ａ 1 Ａ 2 所对圆半径是 1 ｄｍ ， 圆心角是 π 2 ， Ａ 2 Ａ 3 所对的圆半 径是 3 姨 ｄｍ ， 圆心角是 π 3 ， ∴ 走过的路程是 3 段圆弧之 和， 即 2× π 2 ＋1× π 2 ＋ 3 姨 × π 3 ＝ 9＋2 3 姨 6 π （ ｄｍ ）； 3 段圆弧 所对的扇形的总面积是 1 2 ×2×π＋ 1 2 × π 2 ×1＋ 1 2 × 3 姨 × 3 姨 π 3 ＝ 7π 4 （ ｄｍ 2 ） . 阶段性练习卷 （一） 1. Ｂ 【解析】 ∵-30°＝330°-360° ， ∴ 与 -30° 角终边相同 的角的集合是 {α｜α＝ｋ · 360°＋330° ， ｋ∈Ｚ} . 故选 Ｂ. 2. Ａ 【解析】 终边在 ｙ 轴正半轴上的角的集合是 ｘ π 2 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ ， 故选 Ａ. 3. Ｂ 【解析】 2 ｒａｄ≈114°36′ ， 为第二象限角 . 故选 Ｂ. 4. Ｂ 【解析】 210°× π 180° ＝ 7 6 π. 故选 Ｂ. 5. Ｃ 【解析】 小于 90° 的角不一定是锐角， 如负角和零 角均小于 90° ， 但不是锐角， 故 Ａ 错误； 钝角是第二象限 角， 但是反过来不正确， 比如 -225° 是第二象限角但不是钝 角， 故 Ｂ 错误； 始边相同且相等的角的终边一定重合， 故 Ｃ 正确； 始边相同且终边重合的角不一定相等， 可以相差 360° 的整数倍， 故 Ｄ 错误 . 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析】 终边在直线 ｙ＝ｘ 上的角 α 可表示为 α＝ｎ · 180°＋225° ， ｎ∈Ｚ ， 故角 α 的取值集合是 {α ｜α＝ｎ · 180°＋ 225° ， ｎ∈Ｚ} . 故选 Ｃ. 7. ＡＢ 【解析】 终边相同的两个角的差是 2π 的整数倍 . ∵ π 3 - - 5π 3 3 ' ＝2π ， ∴ π 3 与 - 5π 3 的终边相同 ， 故 Ａ 符合题 意； ∵ 13π 3 - - 5π 3 3 3 ＝6π＝3×2π ， ∴ 13π 3 与 - 5π 3 的终边相同， 故 Ｂ 符合题意； ∵ 2π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 7π 3 ＝ 7 6 ×2π ， ∴ 2π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｃ 不符合题意； ∵ 5π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 10π 3 ＝ 5 3 ×2π ， ∴ 5π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｄ 不符合题意， 故选 ＡＢ. 8. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 的终边与 5π 12 角的终边关于 ｘ 轴 对称， ∴α＝- 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 又 ∵α∈ （ -2π ， 2π ）， 当 ｋ＝0 时， α＝- 5π 12 ， 当 ｋ＝1 时， α＝ 19π 12 . 故选 ＡＣ. 9. 35 3 π 【解析】 由题意得 2 100°＝2 100°× π 180° ＝ 35π 3 . 10. 一 【解析】 ∵-1 395°＝-4×360°＋45° ， 而 45° 是第一 象限的角， ∴-1 395° 是第一象限的角 . 11. π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） 【解析】 终边落在第 二象限的角的集合为 π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） . 12. β｜β＝- π 3 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ＋ ∈ Ｚ 【解析 】 ∵ π 3 与 - π 3 关于 ｘ 轴对称， ∴ 与角 β 同终边的所有角构成集合为 β β＝- π 3 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ∈ . 13. 解： 与 530° 终边相同的角为 ｋ · 360°＋530° ， ｋ∈Ｚ. （ 1 ） 由 -360°＜ｋ · 360°＋530°＜0° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-2 ， 故 所求的最大负角为 -190°. （ 2 ） 由 0°＜ｋ · 360°＋530°＜360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-1 ， 故 所求的最小正角为 170°. （ 3 ） 由 -720°≤ｋ · 360°＋530°≤-360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝ -3 ， 故所求的角为 -550°. 14. 解： ∵α∈ 0 ， π 2 2 3 ， ∴ α 2 ∈ 0 ， π 4 3 3 ， ∴ 角 α 2 的终 边在第一象限； ∵α 为第一象限的角， 即 0＋2ｋπ＜α＜ π 2 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴0＋ｋπ＜ α 2 ＜ π 4 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第一象限； 当 ｋ 为奇数 时， 角 α 2 的终边在第三象限 . ∴α 为第一象限的角 ， 则角 α 2 的终边在第一或第三 象限 . 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 学习手册 变式训练 1 Ｂ 【解析】 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ 5 13 × - 3 5 3 3 ＝- 3 13 ， 故选 Ｂ. 变式训练 2 解： 由题意知， ｃｏｓα≠0. 设角 α 的终边上任意一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝10｜ｋ｜. ① 当 ｋ＞0 时， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 cosα ＝10× - 3 10 姨 10 3 3 +3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0. ② 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 是第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝- 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上所述， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵α 是 第 四 象 限 角 ， ∴ｓｉｎα ＜0 ， ｔａｎα ＜0 ， ∴ｓｉｎα · ｔａｎα＞0. （ 2 ） ∵ π 2 ＜3＜π ， π＜4＜ 3π 2 ， ∴ｓｉｎ3＞0 ， ｃｏｓ4＜0. ∵- 23π 4 ＝ 24 参 考 答 案 -6π＋ π 4 ， ∴ｔａｎ - 23π 4 ! " ＝ｔａｎ π 4 ＞0 ， ∴ｓｉｎ3 · ｃｏｓ4 · ｔａｎ - 23π 4 ! " ＜0. 变式训练 4 解： ∵ｓｉｎ2θ＞0 ， ∴2ｋπ＜2θ＜2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｋπ＜θ＜ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ＝2ｍ ， ｍ∈Ｚ 时， 有 2ｍπ＜θ＜2ｍπ＋ π 2 ， ｍ∈ Ｚ ； 当 ｋ＝2ｍ＋1 ， ｍ∈Ｚ 时， 有 2ｍπ＋π＜θ＜2ｍπ＋ 3π 2 ， ｍ∈Ｚ. 故 θ 为第一或第三象限角 . 由 ｃｏｓθ＜0 可知， 角 θ 在第二或第三象限或其终边位于 ｘ 轴负半轴上 . 综上所述， 角 θ 在第三象限 . 变式训练 5 解 ： 由题意知 Ｐ ， Ｑ 两点的坐标分别为 （ ｍ ， -2ｍ ）， （ -ｍ ， 2ｍ ） ， 且 ｜ＯＰ ｜＝｜ＯＱ ｜＝｜ＯＡ ｜＝ 5 姨 ｜ｍ ｜ ， ∴ｓｉｎαｃｏｓα ＋ ｓｉｎβcosβ＋ｔａｎαｔａｎβ＝ -2m 5 姨 ｜m｜ · m 5 姨 ｜m｜ ＋ 2m 5 姨 ｜m｜ · -m 5 姨 ｜m｜ ＋ -2m m · 2m -m ＝- 2 5 - 2 5 ＋4＝ 16 5 . 随堂练习 1. Ｃ 2. Ａ 3. Ｃ 4. Ａ 5. 2 6. 解： 由三角函数的定义 ， ｔａｎα＝ a 5 ＝- 12 5 ， ∴ａ＝-12 ， ∴Ｐ （ 5 ， -12 ）， ｒ＝13 ， ∴ｓｉｎα＝- 12 13 ， ｃｏｓα＝ 5 13 ， 从而 ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＝- 7 13 . 练习手册 效果评价 1. Ｂ 【解析】 ∵-1 000°＝-3×360°＋80° ， ∴-1 000° 是第一 象限角， 则 ｓｉｎ （ -1 000° ） ＞0 ； ∵- π 4 是第四象限角， ∴ｃｏｓ - π 4 ! " ＞0 ； ∵2 ｒａｄ＝2×57°18′＝114°36′ 是第二象限角 ， ∴ｔａｎ2＜0. 故 选 Ｂ. 2. Ｄ 【解析 】 已知 α∈ π 2 ， 3π 2 ! " 且 ｓｉｎα＞0 ， 则 α∈ π 2 ， ! " π ， ∴ｃｏｓα＜0 ， ｔａｎα＜0 ， ∴ｃｏｓα · ｔａｎα＞0 ， 故选项 Ａ 错 误 ； ｓｉｎα · ｔａｎα＜0 ， 故选项 Ｂ 错误 ； ｃｏｓα-ｔａｎα 不能确定符 号， 故选项 Ｃ 错误； ｓｉｎα-ｔａｎα＞0 ， 故选项 Ｄ 正确 . 故选 Ｄ. 3. ＡＢ 【解析 】 由题意知 ｓｉｎα＜0 ， ｃｏｓα＞0 ， ｔａｎα＜0 ， ∴ ｓｉｎα ｔａｎα ＞0 ， 故 Ａ 符合题意 ； ｃｏｓα-ｓｉｎα＞0 ， 故 Ｂ 符合题意 ； ｓｉｎαｃｏｓα＜0 ， 故 Ｃ 不符合题意； ｓｉｎα＋ｃｏｓα 符号不确定， 故 Ｄ 不符合题意 . 故选 ＡＢ. 4. ＡＣＤ 【解析 】 由题意可得 Ｐ 3 姨 2 ， - 3 姨 ! " ， 则 ｃｏｓα ＝ 3 姨 2 3 姨 2 ! " 2 + （ - 3 姨 ） 2 姨 = 5 姨 5 ， ｓｉｎα ＝ - 3 姨 3 姨 2 ! " 2 + （ - 3 姨 ） 2 姨 =- 2 5 姨 5 ， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝-2 ， ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＝- 5 姨 5 . 故选 ＡＣＤ. 5. ＡＣＤ 【解 析 】 ∵θ∈ （ 0 ， π ） ， ∴ｓｉｎθ ＞0. 又 ∵ｓｉｎθ ＋ ｃｏｓθ＝- 1 5 ＜0 ， ∴ｃｏｓθ＜0 ， ∴ 可得 θ∈ π 2 ， ! " π ， 故 Ａ 符合题 意； 又 ∵ （ ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ ） 2 ＝1＋2ｓｉｎθｃｏｓθ＝ 1 25 ， 可得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝- 12 25 ， 则可得 （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ） 2 ＝1-2ｓｉｎθｃｏｓθ＝ 49 25 ， ∴ｓｉｎθ-ｃｏｓθ＝ 7 5 ， Ｄ 符合题意 ； 由加减法联立解得 ， ｓｉｎθ＝ 3 5 ， ｃｏｓθ＝- 4 5 ， ∴ｔａｎθ＝- 3 4 ， Ｃ 符合题意 . 故选 ＡＣＤ. 6. Ｄ 【解析】 ∵0＜Ａ＜π ， ∴0＜ A 2 ＜ π 2 ， ∴ｔａｎ A 2 ＞0. 又 ∵0＜ Ｃ＜π ， ∴ｓｉｎＣ＞0. 故选 Ｄ. 7. ｘ 2ｋπ- π 2 ≤ｘ≤2ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ Ｚ ' 【解析 】 ∵ｃｏｓｘ＝ ｜ｃｏｓｘ ｜ ， ∴ｃｏｓｘ≥0 ， ∴ 角 ｘ 的 终 边 落 在 ｙ 轴 或 其 右 侧 ， ∴2ｋπ- π 2 ≤ｘ≤2ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 8. ② 【解析 】 ∵π＜4＜ 3π 2 ， ∴ｓｉｎ4＜0 ； ∵ 3π 2 ＜5＜2π ， ∴ｃｏｓ5＞0 ； ∵ 5π 2 ＜8＜3π ， ∴ｔａｎ8＜0. 9. 2 姨 【解析】 角 α 的终边上一点 Ｐ （ 1 ， ｍ ）， ∴ｒ＝｜ＯＰ｜＝ 1+m 2 姨 ， ∴ｓｉｎα＝ m 1+m 2 姨 ＝ 6 姨 3 ， ∴ｍ＞0 ， 解得 ｍ＝ 2 姨 . 10. 解： 当角 α 的终边在第一象限时， 在角 α 的终边 上取点 Ｐ （ 1 ， 2 ）， 由 ｒ＝｜ＯＰ｜＝ 1 2 +2 2 姨 ＝ 5 姨 ， 得 ｓｉｎα＝ 2 5 姨 ＝ 2 5 姨 5 ， ｃｏｓα＝ 1 5 姨 ＝ 5 姨 5 ， ｔａｎα＝2. 当角 α 的终边在第三象限时 ， 在角 α 的终边上取 点 Ｑ （ -1 ， -2 ）， 由 ｒ＝｜ＯＱ｜＝ （ -1 ） 2 ＋ （ -2 ） 2 姨 ＝ 5 姨 ， 得 ｓｉｎα＝ -2 5 姨 ＝- 2 5 姨 5 ， ｃｏｓα＝ -1 5 姨 ＝- 5 姨 5 ， ｔａｎα＝2. 提升练习 11. Ａ 【解析 】 ∵ｔａｎｘ＞0 ， ∴ｘ 是第一或第三象限角 . 又 ∵ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＞0 ， ∴ｘ 是第一象限角 . 故选 Ａ. 12. Ａ 【解析】 由 α 是第四象限角知， α 2 是第二或第四 象限角 . 当 α 2 是第二象限角时 ， ｔ＝ ｓｉｎ α 2 ｓｉｎ α 2 + cos α 2 cos α 2 ＝ ｓｉｎ α 2 ｓｉｎ α 2 + -cos α 2 cos α 2 =1-1=0 ； 当 α 2 是第四象限角时， ｔ＝ ｓｉｎ α 2 ｓｉｎ α 2 + cos α 2 cos α 2 ＝ -ｓｉｎ α 2 ｓｉｎ α 2 + cos α 2 cos α 2 ＝-1＋1＝0. 综上可知， ｔ＝0. 故选 Ａ. 13. ＡＢ 【解析 】 当 ａ＞0 时， ｜ＯＰ｜＝ 2 姨 ａ ， 由三角函数 25 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 的定义得 ｓｉｎα＝ a 2 姨 a ＝ 2 姨 2 ； 当 ａ＜0 时 ， ｜ＯＰ｜＝- 2 姨 ａ ， 由三角函数的定义得 ｓｉｎα＝ a - 2 姨 a ＝- 2 姨 2 ， 故 Ａ 、 Ｂ 正 确 . 故选 ＡＢ. 14. -2＜ａ≤3 【解析】 ∵ｓｉｎα＞0 ， ｃｏｓα≤0 ， ∴α 位于第二 象限或 ｙ 轴正半轴上， ∴3ａ-9≤0 ， ａ＋2＞0 ， ∴-2＜ａ≤3. 15. 2 【解析】 ∵ｙ＝3ｘ ， ｓｉｎα＜0 ， ∴ 点 Ｐ （ ｍ ， ｎ ） 位于 ｙ＝ 3ｘ 在第三象限的图象上 ， 且 ｍ＜0 ， ｎ＜0 ， ｎ＝3ｍ. ∴ ｜ＯＰ ｜＝ ｍ 2 ＋ｎ 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｍ｜＝- 10 姨 ｍ＝ 10 姨 . ∴ｍ＝-1 ， ｎ＝-3 ， ∴ｍ-ｎ＝2. 16. 解 ： （ 1 ） 由 1 ｜ｓｉｎα ｜ ＝- 1 ｓｉｎα ， 可 知 ｓｉｎα ＜0 ， 由 ｌｇ （ ｃｏｓα ） 有意义可知 ｃｏｓα＞0 ， ∴α 是第三或第四象限角或终 边在 ｘ 轴的非负轴上的角， ∴ 角 α 是第四象限角 . （ 2 ） ∵｜ＯＭ｜＝1 ， ∴ 3 5 5 $ 2 ＋ｍ 2 ＝1 ， 解得 ｍ＝± 4 5 . 又 α 是第 四象限角， 故 ｍ＜0 ， 从而 ｍ＝- 4 5 . 由正弦函数的定义可知 ｓｉｎα＝ y r ＝ m ｜OM｜ ＝ - 4 5 1 ＝- 4 5 . 17. 解： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＜0 ， 且 ｔａｎα＞0 ， ∴ 角 α 是第三象限 角， 即 α π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） ∵π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ π 2 ＋ｋπ＜ α 2 ＜ 3π 4 ＋ ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第二象限； 当 ｋ 为奇数时， 角 α 2 的终边在第四象限 . ∴ 角 α 2 的终边在第 二或第四象限 . （ 3 ） 当角 α 2 的终边在第二象限时， ｓｉｎ α 2 ＞0 ， ｃｏｓ α 2 ＜0 ； 当角 α 2 的终边在第四象限时， ｓｉｎ α 2 ＜0 ， ｃｏｓ α 2 ＞0. 18. 解： 设角 α 的终边上任一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｋ｜. 当 ｋ＞0 时 ， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× - 3 10 姨 10 5 0 ＋3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0 ； 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 为第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ - 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 7.2.2 单位圆与三角函数线 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ π 4 ＜1＜ π 2 ， 如图所 示 ， 由三角函数线可得 ｓｉｎ1＞ 2 姨 2 ＞ｃｏｓ1 ， 故 ｓｉｎ1-ｃｏｓ1＞0. 变式训练 2 -1 ， 1 2 02 【解析 】 角 α 的 终边对应区域如图中阴影部分， 角 α 终边在从 ＯＡ 转向 ＯＢ 过程 中， 其余弦线 ＯＭ 越来越短， 然 后变成负值 ， 在 α＝π 时取最小 值 -1 ， 然后又增大 ， ∵ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ， ∴-1≤ｃｏｓα＜ 1 2 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） 作直线 ｙ＝ 3 姨 2 交单位圆于 Ａ ， Ｂ 两点 ， 连接 ＯＡ ， ＯＢ ， 则 ＯＡ 与 ＯＢ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 的终边的范围， 如图 1. 故满足条件的角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ π 3 ≤α≤2ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） 作直线 ｘ＝- 1 2 交单位圆于 Ｃ ， Ｄ 两点， 连接 ＯＣ 与 ＯＤ ， 则 ＯＣ 与 ＯＤ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 终边 的范围， 如图 2. 故满 足 条件 的 角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ 2π 3 ≤ & α≤2ｋπ＋ 4π 3 ， ｋ∈ ' Ｚ . 变式训练 4 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 【解 析 】 由图可知 ｃｏｓ 6π 5 ＜0 ， ｔａｎ 2π 5 ＞0 ， ｓｉｎ 2π 5 ＞0 ， ∵｜N +, M ｜＜｜Ａ +, T ｜ ， 故 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 . 变式训练 5 证明： 当角 α 的终边在 ｘ （ ｙ ） 变式训练 2 答图 变式训练 1 答图 图 2 图 1 变式训练 3 答图 变式训练 4 答图 A y x B O M 26