7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 了解弧度的意义， 能正确地进行弧度 与角度的换算 . ２. 熟记特殊角的弧度数 . 要 点 精 析 要点 1 概念的理解 角度制与弧度制的定义 （ １ ） 角度制： 用度作单位来度量角的制 度称为角度制 . 角度制规定 ６０ 分等于 １ 度， ６０ 秒等于 １ 分 . （ ２ ） 弧度制： 长度等于半径长的圆弧所 对的圆心角为 １ 弧度的角， 记作 １ ｒａｄ. 以弧 度为单位来度量角的制度称为弧度制 . 例 １ 下列命题中， 假命题是 （ ） Ａ. “度” 与 “弧度” 是度量角的两种不 同的度量单位 Ｂ. １° 的角是周角的 1 360 ， １ ｒａｄ 的角是 周角的 1 2仔 Ｃ. １ ｒａｄ 的角比 １° 的角要大 Ｄ. 用角度制和弧度制度量角， 都与圆 的半径有关 解析： 根据角度和弧度的定义， 可知无 论是角度制还是弧度制， 角的大小与圆的半 径长短无关， 而是与弧长与半径的比值有 关， 所以 Ｄ 项是假命题， Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 三项均 为真命题 . 故选 Ｄ. 反思感悟 弧度制与角度制的区别与联系 （ １ ） 区别： ① 单位不同， 弧度制以 “弧度” 为度 量单位， 角度制以 “度” 为度量单位； ② 定义不同 . （ ２ ） 联系 ： 不管以 “弧度 ” 还是以 “度” 为单位的角的大小都是一个与圆的半 径大小无关的定值 . 变式训练 1 下列各说法中， 错误的是 （ ） Ａ. 半圆所对的圆心角是 仔 ｒａｄ Ｂ. 周角的大小等于 ２仔 Ｃ. １ 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆 的半径 Ｄ. 长度等于半径的弦所对的圆心角的 大小是 １ 弧度 要点 2 角度制与弧度制的互化 （ １ ） 角度与弧度的互化 （ ２ ） 一些特殊角与弧度数的对应关系 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=２仔 rad ２仔 rad=360° 180°=仔 rad 仔 rad=180° 1°= 仔 180 rad 1 rad= 180 仔 仔 " ° 角度 0° １５° ３0° ４５° ６0° 7５° 90° 弧度 0 仔 １２ 仔 6 仔 4 仔 3 5仔 １２ 仔 ２ 8 第七章 三角函数 学 思考 某同学表示与 ３０° 角终边相同的 角的集合时写成 Ｓ＝ ｛ α｜α＝２ｋπ＋３０° ， ｋ∈Ｚ ｝， 这种表示正确吗？ 为什么？ 例 ２ 将下列角度与弧度进行互化 . （ １ ） ２０° ； （ ２ ） -１５° ； （ ３ ） 7π 12 ； （ ４ ） - 11π 5 . 解： （ １ ） ２０°＝ 20π 180 ＝ π 9 . （ ２ ） -１５°＝- 15π 180 ＝- π 12 . （ ３ ） 7π 12 ＝ 7 12 ×１８０°＝１０５°. （ ４ ） - 11π 5 ＝- 11 5 ×１８０°＝-３９６°. 反思感悟 （ １ ） 进行角度与弧度换算时， 要抓住 关系： π ｒａｄ＝１８０°. （ ２ ） 熟记特殊角的度数与弧度数的对 应值 . 变式训练 2 （ １ ） 把 １１２°３０′ 化成弧度； （ ２ ） 把 - 5π 12 化成度 . 要点 3 弧度制和角度制的简单应用 例 ３ 设角 α １ ＝-５７０° ， α ２ ＝７５０° ， β １ ＝ 3 5 π ， β ２ ＝- 7 3 π. （ １ ） 将 α １ ， α ２ 用弧度制表示出来， 并指 出它们各自所在的象限； （ ２ ） 将 β １ ， β ２ 用角度制表示出来 ， 并 在 -７２０°～０° 之间找出与它们终边相同的所 有角 . 解： （ １ ） 要确定角 α 所在的象限， 只 要把 α 表示为 α＝２ｋπ＋α ０ （ ｋ∈Ｚ ， ０≤α ０ ＜２π ） 的形式， 由 α ０ 所在象限即可判定出 α 所在 的象限 . α １ ＝-５７０°＝- 19 6 π＝-４π＋ 5 6 π ， α ２ ＝７５０°＝ 25 6 π＝４π＋ π 6 . ∴α １ 在第二象限 ， α ２ 在第一 象限 . （ ２ ） β １ ＝ 3π 5 ＝１０８° ， 设 θ＝β １ ＋ｋ · ３６０° （ ｋ∈ Ｚ ）， 由 -７２０°≤θ＜０° ， 得 -７２０°≤１０８°＋ｋ · ３６０° ＜０° ， ∴ｋ＝-２ 或 ｋ＝-１ ， ∴ 在 -７２０°～０° 间与 β １ 有相同终边的角是 -６１２° 和 -２５２°. 同理 β ２ ＝-４２０° 且在 -７２０°～０° 间与 β ２ 有相 同终边的角是 -６０°. 反思感悟 角度制与弧度制的转换中需注意的问题： （ １ ） 在进行角度与弧度的换算时， 抓 住关系式 π ｒａｄ＝１８０° 是关键 . 由它可以得， 度数 × π 180 ＝ 弧度数， 弧度数 × 180 π 仔 $ ° ＝ 度数 . （ ２ ） 特殊角的弧度数与度数对应值今 后常用， 应该熟记 . 弧度 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π 角度 120° １３５° １５0° １80° ２１0° ２２５° ２４0° 弧度 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 角度 ２70° ３00° ３１５° ３３0° ３６0° 续表 9 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 （ ３ ） 在同一个式子中， 角度与弧度不 能混合用， 必须保持单位统一， 如 α＝２ｋπ＋ ３０° ， ｋ∈Ｚ 是不正确的写法 . （ ４ ） 判断角 α 终边所在的象限时， 若 α埸 ［ -２π ， ２π ］ ， 应首先把 α 表示成 α＝ ２ｋπ＋β ， β∈ ［ -２π ， ２π ］ 的形式， 然后利用 角 β 终边所在的象限来确定角 α 终边所在 的象限 . 变式训练 3 用弧度表示顶点在原点， 始边与 ｘ 轴的 正半轴重合， 终边在图中阴影部分 （不包括 边界） 的角的集合 . 要点 4 弧长公式与扇形面积公式的应用 （ １ ） 弧长公式： ｌ＝αｒ ； （ ２ ） 扇形面积公式： Ｓ 扇形 ＝ 1 2 ｌｒ＝ 1 2 αｒ ２ ， 其中 α 为圆心角， ｒ 为半径 . 思考 １ ： 用公式 ｜α｜＝ l r 求圆心角时， 应 注意什么问题？ 思考 ２ ： 在使用弧度制下的弧长公式及 面积公式时， 若已知的角是以 “度” 为单 位， 需注意什么问题？ 例 ４ 求解下列各题 . （ １ ） 若某扇形的圆心角为 ７５° ， 半径为 １５ ｃｍ ， 求扇形面积； （ ２ ） 若一扇形的周长为 ６０ ｃｍ ， 那么当 它的半径和圆心角各为多少时， 扇形的面积 达到最大， 最大值是多少？ 解： （ １ ） 圆心角为 ７５× π 180 ＝ 5π 12 ， 扇形 半径为 １５ ｃｍ. ∴ 扇形面积 Ｓ＝ 1 2 ｜α ｜ｒ ２ ＝ 1 2 × 5π 12 ×１５ ２ ＝ 375 8 π （ ｃｍ ２ ） . （ ２ ） 设扇形半径为 ｒ ， 圆心角为 θ ， 弧 长为 ｌ ， 面积为 Ｓ ， 则 ｌ＋２ｒ＝６０ ， ∴ｌ＝６０-２ｒ. Ｓ＝ 1 2 ｌｒ＝ 1 2 （ ６０-２ｒ ） ｒ＝-ｒ ２ ＋３０ｒ＝２２５- （ ｒ-１５ ） ２ . 当 ｒ＝１５ 时， 面积 Ｓ ｍａｘ ＝２２５ （ ｃｍ ２ ） . 此时 θ＝ l r ＝ 60-2r r ＝ 60-2×15 15 ＝２. ∴ 当半径为 １５ ｃｍ ， 圆心角为 ２ ｒａｄ 时， 扇形面积最大， 最大值为 ２２５ ｃｍ ２ . 反思感悟 （ １ ） 给出扇形周长， 即间接给出弧长 及面积， 列方程组求弧长及半径， 最后求 得圆心角的弧度数 . 在以面积作等式时可以 有弧度制和角度制下的两种方式 . （ ２ ） 求面积最值， 本题可以以 ｒ 为变 量建立面积关于半径 ｒ 的二次函数， 也可 以建立关于 θ 角的函数， 求函数的最值方 法较多， 希望尽力把握 . 图 1 图 2 图 7-1-11 10 第七章 三角函数 学 （ ３ ） 使用弧度数公式 ｜α｜＝ 1 r 时， 应注意 α 是弧度数， 且三个量 ｌ ， ｒ ， α 中知道其中 任意两个可求另外一个； 有些问题还要注 意角 α 的方向和旋转的圈数 . 变式训练 4 （ １ ） 在半径为 １２ ｃｍ 的圆上， 有一条弧 的长是 １８ ｃｍ ， 求该弧所对的圆心角的弧度 数和该扇形的面积； （ ２ ） 已知扇形 ＯＡＢ 的面积为 １ ｃｍ ２ ， 它 的周长是 ４ ｃｍ ， 求该扇形 ＯＡＢ 的圆心角 ＡＯＢ 的弧度数 . 要点 5 弧度制的实际应用 例 ５ 视力正常的人， 能读远处文字的 视角不小于 ５′. 试求： （ １ ） 离人 １０ ｍ 处， 人所能阅读的最小 文字的大小如何？ （ ２ ） 要看清长、 宽均为 ５ ｍ 的大字标 语， 人离标语最远距离为多少米？ 解： （ １ ） 设该文字的长、 宽均为 ｌ ｍ ， 则 ｌ≈１０α ， 其中视角 α＝５′≈０.００１ ４５４ 弧度 . ∴ｌ＝１０×０.００１ ４５４＝０.０１４ ５４ ｍ≈１.４５ ｃｍ. 故视力正常的人， 在 １０ ｍ 远处能阅读最小 为 １.４５ ｃｍ 见方的文字 . （ ２ ） 设人离标语 ｘ ｍ 处， 对 ５ ｍ 见方的 文字所张的视角是 ５′ ， 约为 ０.００１ ４５４ 弧度， 则 ｘ≈ l α ≈ 5 0.001 454 ≈３ ４３９ ｍ. 故视力正常 的人， 最远能在约 ３ ４３９ ｍ 远处看清 ５ ｍ 见 方的文字 . 变式训练 5 如图， 动点 Ｐ ， Ｑ 从点 Ａ （ ４ ， ０ ） 出发， 沿圆周运动， 点 Ｐ 按逆时针方向每秒转 仔 3 弧 度， 点 Ｑ 按顺时针方向每秒转 仔 6 弧度， 求 Ｐ ， Ｑ 第一次相遇时所用的时间， 相遇点的 坐标及 Ｐ ， Ｑ 点各自走过的弧长 . 图 7-1-12 11 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 6 （多选题） 如图， A ， B 是单位圆上的两个质点， 点 B 的 坐 标 为 （ 1 ， 0 ） ， ∠BOA ＝60° ， 质 点 A 以 1 rad/s 的角速度按逆时针方 向在单位圆上运动， 质点 B 以 2 rad/s 的角速 度按顺时针方向在单位圆上运动， 则 （ ） A． 经过 1 s 后， ∠BOA 的弧度数为 仔 3 +3 B． 经过 仔 12 s 后， 扇形 AOB 的弧长为 7仔 12 C． 经过 仔 6 s 后， 扇形 AOB 的面积为 仔 3 D． 经过 5仔 9 s 后， A ， B 在单位圆上第 一次相遇 数 学 文 化 例 圆 Ｏ 的半径为 １ ， Ｐ 为圆周上一点， 现将如图放置的边长为 １ 的 正方形 （正方形的顶点 Ａ 和 点 Ｐ 重合） 沿着圆周逆时针 滚动 . 经过若干次滚动， 点 Ａ 第一次回到点 Ｐ 的位置， 求 点 Ａ 走过的路程 . 解 ： ∵ 圆 Ｏ 的半径 ｒ＝ １ ， 正方形的边长 ａ＝１ ， ∴ 以 正方形的一边为弦时所对应 的圆心角为 仔 3 ， 正方形在 圆周上滚动时， 点的位置如 图所示， 故当点 Ａ 首次回到点 Ｐ 的位置时， 正方形在圆周上滚动了 ３ 圈 . 设第 ｉ （ ｉ∈Ｎ * ） 次滚动点 Ａ 的路程为 Ａｉ ， 则 Ａ １ ＝ 仔 6 ×ＡＢ＝ 仔 6 ， Ａ ２ ＝ 仔 6 ×ＡＣ＝ 2 姨 仔 6 ， Ａ ３ ＝ 仔 6 ×ＤＡ＝ 仔 6 ， Ａ ４ ＝０ ， ∴ 点 Ａ 所走过的路程为 ３ （ Ａ １ ＋Ａ ２ ＋Ａ ３ ＋Ａ ４ ） ＝ 2+ 2 姨 2 仔. 图 7-1-14 图 7-1-15 O A B x y 图 7-1-13 12 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 320° 在第四象限， ∴-1 120° 角也在第四象限 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析 】 终边在第二象限的角的集合可表示为 {α｜90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， 而选项 Ｄ 是从顺时 针方向来看的， 故选 Ｄ. 3. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 与角 γ＋45° 的终边相同， 故 α＝γ＋ 45°＋ｋ · 360° ， 其中 ｋ∈Ｚ ， 同理 β＝γ-45°＋ｋ 1 · 360° ， 其中 ｋ 1 ∈ Ｚ ， 故 α-β＝90°＋ｎ · 360° ， 其中 ｎ∈Ｚ. 当 ｎ＝0 或 ｎ＝1 时， α- β＝90° 或 α-β＝450° ， 故 Ａ 、 Ｃ 正确 . 令 360°＝90°＋ｎ · 360° ， 此 方程无整数解 ｎ ； 令 2 330°＝90°＋ｎ · 360° ， 即 56＝9ｎ ， 此方 程无整数解 ｎ ； 故 Ｂ 、 Ｄ 错误 . 故选 ＡＣ. 4. Ｃ 【解析 】 当 ｋ＝4ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ｎ · 360° ； 当 ｋ＝ 4ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝90°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋2 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝180°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋3 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝270°＋ｎ · 360°. ∴ 集合 Ｍ 中各角的终边都在 ｘ 轴或 ｙ 轴上 . 故选 Ｃ. 5. Ａ 【解析】 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝2ｎ · 180°＋45°＝ｎ · 360°＋45° ， α 为第一象限角 ； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ （ 2ｎ＋1 ）· 180°＋45°＝ｎ · 360°＋225° ， α 为第三象限角， ∴α 为第 一或第三象限角 . 故选 Ａ. 6. ＡＢＣ 【解析】 依题意知 0＜α＜90° ， ∴0°＜2α＜180° ， 故 Ａ 正确； 180°＜180°＋α＜270° ， ∴180°＋α 是第三象限角， 故 Ｂ 正确 ； 0＜ α 2 ＜45° ， ∴ α 2 是锐角， 故 Ｃ 正确 ； 0°＜2α＜180° ， 当 2α＝90° 时 ， 不是第一或第二象限角 ， 故 Ｄ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 7. 1 110° 【解析】 按逆时针方向旋转得到的角是正角， 旋转三周则得 30°＋3×360°＝1 110°. 8. -5 -60 【解析】 将钟表拨快 10 分钟， 则时针按顺 时针方向转了 10× 360° 12×60 ＝5° ， 所转成的角度是 -5° ； 分针按 顺时针方向转了 10× 360° 60 ＝60° ， 所转成的角度是 -60°. 9. 214° -146° 【解析】 ∵2 014°＝5×360°＋214° ， ∴ 与角 α 终边相同的角的集合为 {α｜α＝214°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 最 小正角是 214° ， 最大负角是 -146°. 10. 解： 先写出边界角， 再按逆时针顺序写出区域角 . （ 1 ） {α｜30°＋ｋ · 360°≤α≤150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； （ 2 ） {α｜150°＋ｋ · 360°≤α≤390°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 由题意知 ｋ · 360°＜2α＜180°＋ｋ · 360° （ ｋ∈ Ｚ ）， 故 ｋ · 180°＜α＜90°＋ｋ · 180° （ ｋ∈Ｚ ）， 按照 ｋ 的奇偶性进 行讨论 . 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， ｎ · 360°＜α＜90°＋ｎ · 360° （ ｎ∈ Ｚ ）， ∴α 在第一象限； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， 180°＋ｎ · 360° ＜α＜270°＋ｎ · 360° （ ｎ∈Ｚ ）， ∴α 在第三象限 . 故 α 在第一或 第三象限 . 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 α 的终边和 60° 的终边相同， β 的终边与 120° 的终边相同 ， ∵180°-120°＝60° ， ∴ 角 α 与 β 的终边的 位置关系是关于 ｙ 轴对称 . 故选 Ｄ. 13. 150° ＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ 【解 析】 ∵30° 与 150° 的终边关于 ｙ 轴对 称 ， ∴β 的终边与 150° 角的终边相 同 . ∴β＝150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. 14. {β ｜β＝60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} 【解析 】 如图， 直线 ｙ＝ 3 姨 ｘ 过原 点 ， 倾斜角为 60° ， 在 0°～360° 范围内 ， 终边落在射线 ＯＡ 上的角是 60° ， 终边落在射线 ＯＢ 上的角是 240° ， ∴ 以射线 ＯＡ ， ＯＢ 为终边的角的集合为 Ｓ 1 ＝{β｜β＝60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， Ｓ 2 ＝{β｜β＝240°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 角 β 的集合 Ｓ＝Ｓ 1 ∪Ｓ 2 ＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}∪{β ｜β＝60°＋180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}＝{β ｜β＝ 60°＋2ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ}∪{β｜β＝60°＋ （ 2ｋ＋1 ）· 180° ， ｋ∈Ｚ}＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} . 15. 解： 由题意可知 ： α＋β＝-280°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴0°＜α＋β＜180°. 取 ｋ＝1 ， 得 α＋β＝80° ， ① α-β＝670°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴-90°＜α-β＜90°. 取 ｋ＝-2 ， 得 α-β＝-50° ， ② 由 ①② 得， α＝15° ， β＝65°. 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 学习手册 变式训练 1 Ｄ 【解析】 半圆所对圆心角 α＝ πr r ＝π ， 故 Ａ 正确； 周角 α＝ 2πr r ＝2π ， 故 Ｂ 正确； 由 1 ｒａｄ 角的定义知 Ｃ 选项正确， Ｄ 选项错误， 故选 Ｄ. 变式训练 2 解： （ 1 ） 112°30′＝ 225 2 2 & ° ＝ 225 2 × π 180 ＝ 5π 8 . （ 2 ） - 5π 12 ＝- 5π 12 × 180 π 2 & ° ＝-75°. 变式训练 3 解： 题图 1 中， 以 ＯＢ 为终边的 330° 角与 -30° 角的终 边相同， -30°＝- π 6 ， 而 75°＝75× π 180 ＝ 5π 12 ， 阴影部分 （不 包括边界 ） 位于 - π 6 与 5π 12 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边 在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角 的 集 合 为 α- π 6 ＋2ｋπ π ＜α＜ 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 题图 2 中， 以 ＯＢ 为终边的 225° 角与 -135° 角的终边相 同， -135°＝-135× π 180 ＝- 3π 4 ， 而 135°＝ 3π 4 ， 阴影部分 （不 包括边界） 位于 - 3π 4 与 3π 4 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角的 集合 为 α- 3π 4 ＋2ｋπ π ＜α＜ 3π 4 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 变式训练 4 解 ： （ 1 ） 设该弧所对的圆心角为 α ， 则 α＝ l r ＝ 18 12 ＝ 3 2 ， 该扇形面积为 Ｓ＝ 1 2 lr＝ 1 2 ×18×12＝108 （ ｃｍ 2 ） . （ 2 ） 设该扇形的圆心角为 α ， 半径为 ｒ ， 周长为 Ｐ ， 依 题意知 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ＝1 ， Ｐ＝ｌ＋2ｒ＝4 π ， 解得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 π ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 该扇形 ＯＡＢ 的圆心角 ∠ＡＯＢ 的弧度数为 2 ｒａｄ. 第 14 题答图 22 参 考 答 案 变式训练 5 解： 设 Ｐ ， Ｑ 第一次相遇时所用的时间是 ｔ ， 则 ｔ · π 3 ＋ｔ · - π 6 ＝2π ， ∴ｔ＝4 （ ｓ ）， 即 Ｐ ， Ｑ 第一次相遇所用的时间为 4 ｓ. 设 第一次相遇点为 Ｃ ， 第一次相遇时已运动到终边在 π 3 · 4＝ 4 3 π 的位置 ， 则 ｘ Ｃ ＝-4 · ｃｏｓ π 3 ＝-2 ， ｙ Ｃ ＝-4 · ｓｉｎ π 3 ＝-2 3 姨 ， ∴Ｃ 点的坐标为 （ -2 ， -2 3 姨 ） . 故 Ｐ 点走过的弧长为 4 3 π · 4＝ 16 3 π ； Ｑ 点走过的弧长为 8 3 π. 变式训练 6 ABD 【解析 】 经过 1 s 后， 质点 A 运动 1 rad ， 质点 B 运动 2 rad ， 此时 ∠BOA 的弧度数为 π 3 ＋3 ， 故 A 正确； 经过 π 12 s 后， ∠AOB＝ π 12 ＋ π 3 ＋2× π 12 ＝ 7π 12 ， 故扇形 AOB 的弧长为 7π 12 ×1＝ 7π 12 ， 故 B 正确； 经过 π 6 s 后， ∠AOB＝ π 6 ＋ π 3 ＋2× π 6 ＝ 5π 6 ， 故扇形 AOB 的面积为 S＝ 1 2 × 5π 6 ×1 2 ＝ 5π 12 ， 故 C 不 正确； 设经过 t s 后， A ， B 在单位圆上第一次相遇， 则 t （ 1＋ 2 ） ＋ π 3 ＝2π ， 解得 t＝ 5π 9 （ s ）， 故 D 正确 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. Ｃ 4. Ｂ 5. 1.5 6. 解： 设扇形的半径为 ｒ ， 弧长为 ｌ ， 圆心角为 α ， 则 2ｒ＋ｌ＝4. ① 由扇形的面积公式 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ ， 得 1 2 ｌｒ＝1. ② 由 ①② 得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 扇形的圆心角的弧度数为 2 ｒａｄ. 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析】 60°＝60× π 180 ＝ π 3 ， 故 Ａ 正确； - 10π 3 ＝- 10 3 ×180°＝-600° ， 故 Ｂ 正确 ； -150°＝-150× π 180 ＝- 5 6 π ， 故 Ｃ 错误； π 12 ＝ 1 12 ×180°＝15° ， 故 Ｄ 正确 . 故选 Ｃ. 2. ＡＢＤ 【解析 】 67°30′＝67.5× π 180 ＝ 3π 8 ， 故 Ａ 正确 ； - 5π 3 ＝- 5π 3 × 180 π π $ ° ＝-300° ， 故 Ｂ 正确； -150°＝-150× π 180 ＝- 5π 6 ≠- 7π 6 ， 故 Ｃ 错误； π 12 ＝ π 12 × 180 π π $ ° ＝15° ， 故 Ｄ 正 确 . 故选 ＡＢＤ. 3. Ｄ 【解析】 1 920°＝1 920× π 180 ＝ 32π 3 . 故选 Ｄ. 4. Ａ 【解析】 ∵- 11π 4 ＝-2π- 3π 4 ， ∴- 11π 4 与 - 3π 4 是终 边相同的角， 且此时 - 3π 4 ＝ 3π 4 是最小的 . 故选 Ａ. 5. Ｃ 【解析】 如图， 设圆的半径为 ｒ ， 则圆的内接正三 角形的边长为 3 姨 ｒ ， ∴ 圆弧长度为 3 姨 ｒ 的圆心角的弧度数 α＝ 3 姨 r r ＝ 3 姨 . ∴α＝ l r ＝ 3π 4 ， 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析 】 ∵Ｓ＝ 1 2 ｒl ， 3π 8 ＝ 1 2 ｌ ， ∴ｌ＝ 3π 4 ， ∴α＝ l r ＝ 3π 4 ， 故选 Ｃ. 7. 3 【解析 】 设圆的半径为 ｒ ， 弧长为 ｌ ， 其弧度数为 l r . 将半径变为原来的一半， 弧长变为原来的 3 2 倍， 则弧 度数变为 3 2 l 1 2 r ＝3 · l r ， 即弧度数变为原来的 3 倍 . 8. 32 【解析】 ∵ｒ＝16 ， α＝2 ｒａｄ ， ∴ｌ＝α · ｒ＝16×2＝32. 9. 2π 5 ， 9π 10 ， 7π 5 ， 19π 10 【解析】 由题意， 得 α＝ 8π 5 ＋ 2kπ ， ∴ α 4 ＝ 2π 5 ＋ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 令 ｋ＝0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 得 α 4 ＝ 2π 5 ， 9π 10 ， 7π 5 ， 19π 10 . 10. 【解析 】 取 ＡＢ 的中点 Ｄ ， 连接 ＯＤ ， ∵120°＝ 120 180 π＝ 2 3 π ， ∴ｌ＝ 6× 2 3 π＝4π ， ∴Ａ π Ｂ的长为 4π. ∵Ｓ 扇形 ＯＡＢ ＝ 1 2 ｌｒ＝ 1 2 ×4π×6＝12π ， 如图所示 ， 有 Ｓ △ＯＡＢ ＝ 1 2 ×ＡＢ×ＯＤ＝ 1 2 ×2×6ｃｏｓ30°×3＝9 3 姨 .∴Ｓ 弓形 ＡＣＢ ＝Ｓ 扇形 ＯＡＢ - Ｓ △ＯＡＢ ＝12π-9 3 姨 . ∴ 弓形 ＡＣＢ 的面积为 12π-9 3 姨 . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 ∵α 是第四象限角 . ∴2ｋπ- π 2 ＜α＜2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴-2ｋπ＜-α＜-2ｋπ＋ π 2 . ∴-2ｋπ＋π＜π-α＜-2ｋπ＋ 3π 2 . ∴π-α 是第三象限角 . 故选 Ｃ. 12. Ｂ 【解析 】 如图 ， 在 ｋ≥1 或 ｋ≤-2 时 ， ［ 2ｋπ ， （ 2ｋ＋1 ） π ］ ∩ ［ -4 ， 4 ］ 为空集， 分别取 ｋ＝-1 ， 0 ， 于是 Ｐ∩ Ｑ＝{α｜-4≤α≤-π 或 0≤α≤π} . 故选 Ｂ. 13. 2 sin1 【解析 】 设半径为 ｒ ， 则 ｒｓｉｎ1＝1 ， ∴ｒ＝ 1 sin1 ， ∴ 弧长 ｌ＝ 2 sin1 . 14. - 11π 3 ， - 5π 3 ， π 3 ， 7π 3 【解析】 由题意， α 与 π 3 终边相同， 则 π 3 ＋2π＝ 7 3 π ， π 3 -2π＝- 5 3 π ， π 3 -4π＝- 11 3 π. 15. 解 ： ＡＡ 1 所对的圆半径是 2 ｄｍ ， 圆心角为 π 2 ， 第 5 题答图 第 10 题答图 第 12 题答图 23 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 Ａ 1 Ａ 2 所对圆半径是 1 ｄｍ ， 圆心角是 π 2 ， Ａ 2 Ａ 3 所对的圆半 径是 3 姨 ｄｍ ， 圆心角是 π 3 ， ∴ 走过的路程是 3 段圆弧之 和， 即 2× π 2 ＋1× π 2 ＋ 3 姨 × π 3 ＝ 9＋2 3 姨 6 π （ ｄｍ ）； 3 段圆弧 所对的扇形的总面积是 1 2 ×2×π＋ 1 2 × π 2 ×1＋ 1 2 × 3 姨 × 3 姨 π 3 ＝ 7π 4 （ ｄｍ 2 ） . 阶段性练习卷 （一） 1. Ｂ 【解析】 ∵-30°＝330°-360° ， ∴ 与 -30° 角终边相同 的角的集合是 {α｜α＝ｋ · 360°＋330° ， ｋ∈Ｚ} . 故选 Ｂ. 2. Ａ 【解析】 终边在 ｙ 轴正半轴上的角的集合是 ｘ π 2 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ ， 故选 Ａ. 3. Ｂ 【解析】 2 ｒａｄ≈114°36′ ， 为第二象限角 . 故选 Ｂ. 4. Ｂ 【解析】 210°× π 180° ＝ 7 6 π. 故选 Ｂ. 5. Ｃ 【解析】 小于 90° 的角不一定是锐角， 如负角和零 角均小于 90° ， 但不是锐角， 故 Ａ 错误； 钝角是第二象限 角， 但是反过来不正确， 比如 -225° 是第二象限角但不是钝 角， 故 Ｂ 错误； 始边相同且相等的角的终边一定重合， 故 Ｃ 正确； 始边相同且终边重合的角不一定相等， 可以相差 360° 的整数倍， 故 Ｄ 错误 . 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析】 终边在直线 ｙ＝ｘ 上的角 α 可表示为 α＝ｎ · 180°＋225° ， ｎ∈Ｚ ， 故角 α 的取值集合是 {α ｜α＝ｎ · 180°＋ 225° ， ｎ∈Ｚ} . 故选 Ｃ. 7. ＡＢ 【解析】 终边相同的两个角的差是 2π 的整数倍 . ∵ π 3 - - 5π 3 3 ' ＝2π ， ∴ π 3 与 - 5π 3 的终边相同 ， 故 Ａ 符合题 意； ∵ 13π 3 - - 5π 3 3 3 ＝6π＝3×2π ， ∴ 13π 3 与 - 5π 3 的终边相同， 故 Ｂ 符合题意； ∵ 2π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 7π 3 ＝ 7 6 ×2π ， ∴ 2π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｃ 不符合题意； ∵ 5π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 10π 3 ＝ 5 3 ×2π ， ∴ 5π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｄ 不符合题意， 故选 ＡＢ. 8. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 的终边与 5π 12 角的终边关于 ｘ 轴 对称， ∴α＝- 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 又 ∵α∈ （ -2π ， 2π ）， 当 ｋ＝0 时， α＝- 5π 12 ， 当 ｋ＝1 时， α＝ 19π 12 . 故选 ＡＣ. 9. 35 3 π 【解析】 由题意得 2 100°＝2 100°× π 180° ＝ 35π 3 . 10. 一 【解析】 ∵-1 395°＝-4×360°＋45° ， 而 45° 是第一 象限的角， ∴-1 395° 是第一象限的角 . 11. π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） 【解析】 终边落在第 二象限的角的集合为 π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） . 12. β｜β＝- π 3 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ＋ ∈ Ｚ 【解析 】 ∵ π 3 与 - π 3 关于 ｘ 轴对称， ∴ 与角 β 同终边的所有角构成集合为 β β＝- π 3 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ∈ . 13. 解： 与 530° 终边相同的角为 ｋ · 360°＋530° ， ｋ∈Ｚ. （ 1 ） 由 -360°＜ｋ · 360°＋530°＜0° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-2 ， 故 所求的最大负角为 -190°. （ 2 ） 由 0°＜ｋ · 360°＋530°＜360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-1 ， 故 所求的最小正角为 170°. （ 3 ） 由 -720°≤ｋ · 360°＋530°≤-360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝ -3 ， 故所求的角为 -550°. 14. 解： ∵α∈ 0 ， π 2 2 3 ， ∴ α 2 ∈ 0 ， π 4 3 3 ， ∴ 角 α 2 的终 边在第一象限； ∵α 为第一象限的角， 即 0＋2ｋπ＜α＜ π 2 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴0＋ｋπ＜ α 2 ＜ π 4 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第一象限； 当 ｋ 为奇数 时， 角 α 2 的终边在第三象限 . ∴α 为第一象限的角 ， 则角 α 2 的终边在第一或第三 象限 . 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 学习手册 变式训练 1 Ｂ 【解析】 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ 5 13 × - 3 5 3 3 ＝- 3 13 ， 故选 Ｂ. 变式训练 2 解： 由题意知， ｃｏｓα≠0. 设角 α 的终边上任意一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝10｜ｋ｜. ① 当 ｋ＞0 时， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 cosα ＝10× - 3 10 姨 10 3 3 +3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0. ② 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 是第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝- 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上所述， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵α 是 第 四 象 限 角 ， ∴ｓｉｎα ＜0 ， ｔａｎα ＜0 ， ∴ｓｉｎα · ｔａｎα＞0. （ 2 ） ∵ π 2 ＜3＜π ， π＜4＜ 3π 2 ， ∴ｓｉｎ3＞0 ， ｃｏｓ4＜0. ∵- 23π 4 ＝ 24