7.1.2 弧度制及其与角度制的换算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

n∈Z,则25°+n:360°<号<270°+n·360°，此时，号为第 -75 三象限角“号为第一或第三象限角 9-（号×9=110 例4：(1)①1a-30°+k·360°≤a≤k·360°，keZU{a1150 对点训练1：(1)20°=20×高=号 +k·360°≤a≤180°+k·360°，k∈Z=a1-30°+k: 40 180°≤a≤k·180°，k∈Z: (2)-800°=-800×10=-9m 21al-30°+k·360°<a<60°+k·360°，k∈Z (2)因为axlk·180°-90°≤a≤k· （68-侣×g=10s 450 180°+45，k后Z1=1x1k·360°- (4)--× 4.180 -=-144° 90°≤a≤k·360°+45°，keZU alk·360°+90°≤a≤k·360°+ 例2：(1)因为a=-920°=-3×360°+160° 225°，k∈Z}. 所以集合a1k·180°-90°≤a≤ 2259 160°-8g,所以a=-920°=(-3)×2m+8号 k·180°+45°，k∈Z表示的范围如 含边界 因为角。与终边相同，所以角。是第二象限角， 图所示： 对点训练3：(I)axlk·360°+30≤≤k·360°+90°，keZ引Uak (2)因为角y与a的终边相同，所以设y=2km+8西(keZ). ·360°+210°≤a≤k·360°+270°，keZ或写成xlk·180°+30 ≤≤k·I80°+90°.keZ. 因为ye(-4,-3m).由-4标<2m+g<-3,可得-号 9 (2)a1k·360°-45≤a≤k·360+45°.k∈Z. 课堂检测固双基 <c0 1.A与60°角终边相同的角《=k·360°+60°，EZ,令k= 又因为k∈Z,所以k=-2. -1,则a=-300°. 2.C令k=1,2,3,4,终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴 所以y4m+=2g 9 上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又因为keZ,故选C 3.D-1485°=315°-5×360°. 对点调练2：-1125°=1125×高=-=-8m+号 4.B令=-120°是第三象限角，则-a=120°是第二象限角. (山)由受<<2，得是第四象限角，所以-1125”是第四 4 5.￥al-30°+k·360°≤a≤135°+k·360°，keZ 象限角。 终边落在OM位置上的角的集合为y1y=90°+45°+k· 360°，keZ=yy=135°+k·360°，k∈Z,终边落在0B位 (2)依题意与a终边相同的角为牙+2km,ke乙。 置上的角的集合为B1B=-30°+k·360°，k∈Z1.由题图可 由-4a≤7四+2hm≤4m,keZ.知k=-2,-1.0,1, 知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为x」-30°+k· 4 360°≤a≤135°+k·360°，keZ. 所以所求角的集合为{-票-子，，} 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 例3：(1)如图①，以01为终边的角为石+2云(keZ):以0B 必备知识探新知 知识点1：1.(1)度(2)360606060”2.(1)弧度 为终边的角为-2要+2m(kEZ。 3 (2)半径长(3) “阴影部分内的角的集合为{α 2红+2km<a<夏+ -3 6 对应练习 1.D根据一弧度角的定义可知选D. 2km.keZ 知识点2：2π360°T180 对应练习 (2)如图2，以01为终边的角为于+2km(keZ):以0B 2.C,1al=57.30° ∴-2md=-114.60°.故a的终边在第三象限， 为终边的角为+2kπ（长后Z):不妨设右边阴影部分所表 知识点3：1)m(2)宁方 示的集合为M,左边阴影部分所表示的集合为M2,则M 对应练习 ={a2hm≤a≤号+2mkeZ} 36m5am2:×号x62=6m 4={a停+2k=≤a≤m+26m,kez 关键能力攻重难 ∴阴影部分所表示的集合为： 例1：(1)①1°=0md,1230=10×112.5ad= M,UM={a2km≤a≤号+2ka或号+2m≤≤m+ rad. 2km.keZ ②-35=-35×7高=-7界 对点训练3：1)30和60°的终边分别对应-石和号，所表示的区 (2)心：1d=(9}4-受d=-(侣×19=域位于-君与号之间且跨越：轴的正半轴，所以终边落在阴影 -142 部分的角的集合为02m-石<0<2m+于keZ 示的角终边位置相同，位于第一象限：当k为奇数时，集合 （2210°和135°的终边分别对应-云和3红，所表示的区域位 {ak如+浮<a<km+号keZ与{a好≤a≤}所表示的 6 于西与严之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部 角终边位置相同，位于第三象限所以集合{a标+牙≤a≤ka 分的角的集合为{02km-爱<0<2m+平eZ +受eZ}中角a的终边所在的范围如选项C所示故选C (3)30°=。，210°=石，所表示的区域由两部分组成，即终边 .-10m+7要 由-1485°=-5×360°+315. 落在阴影部分的角的集合为{02km<0<2m+石，ke乙 -1485可以表示为-10x+ 7.2 U{ol2m+m<0<2m+gkez}-{02m<0<2m+ 任意角的三角函数 君kezu{0(2k+1)m<0<(2k+1)m+.keZ} 7.2.1三角函数的定义 必备知识 探新知 {am<0<m+若ez} 知识点1：片十年兰子 :三角函数 例4：1)由已知得=30°=石，则弧长1=m=g×8= :对应练习 6 3 rC=2r+1=16. 1.-25 5 2x=-1,y=-2,r=x+y=5, (2)由已知得解得 ==16.解 5 25 .sin a=Y=- 令，os=x=-2,un0x==2. 则a= ,=4=2故扇形的半径为4，圆心角为2 18 知识点2：全正正弦正切余弦 对点训练4：(1)设扇形的半径为rcm,弧长为/cm,圆心角为8， 对应练习 则1+2r=201=20-2,2=9,得2(20-2r)r=9, 2.Ba<0ta a<0.cos a20. 2-10r+9=0..(r-1)(r-9)=0,r=1或r=9 点(tana,c0sa)位于第二象限. 当r=1时.1=18，则0=上=18=18>2m(舍) 3.B设角8终边上一点P的坐标为(x,y),点P到坐标原点0 的距离10P1=r,in0=子>0∴y>0,ms0=手<0. 当1=9时，1=2，则0==弓，即扇形圆心角的派度数 .x<0,故角8为第二象限角。 关键能力攻重难 例1：(1)A(2)见解析 (2)设扇形的半径为rcm,则弧长为1=(20-2)cm 【解析】(1)由in&,cosa的定义知x=-4,y=3,r=5 时，满足题意，故选A 由0<1<2m,得0<20-2r<2mr10 +1<r<I0 (2)直线3x+y=0,即y=-3x,经过第二，四象限 于是期形的面积为S=分(20-2)r=-,-5》+ 在第二象限取直线上的点(-1,3).则r=√(-1+(3) =2, 2s9<r<0 所以sina= 2,ca=-2,a=-月 当r=5时，1=10，a=2,S取到最大值，此时最大值为25cm2. 故当扇形的圆心角a等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最 在第四限取直线上的点(1，-③)，则r=√P+(-3)=2. 大面积是25cm2. 所以sina= 课堂检测 固双基 2,8a=2,ma=-E 1.B1ad=(180) 对点1+(-。 9-(9-m 4 .'sin a = 5 560sa= 5 5.lan a=- 2.C设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为3R,孤长 1 4 等于3R的圆心角的弧度数为a-=3,故选C 例2：(1)三(2)见解析 R 3.D与-号终边相同的角a=2km-号，keZ.赦a=(2 【解析】(1)因为a是第二象限的角，所以2m+受<a<T +2km,k∈Z -6)m+6m-号=(2k-6)m+于(keZ,放选D 所以km+晋<受<受+e乙.所以受是第-象限或第 4.C由集合{am+平≤a≤km+于，keZ},当为偶数时，集 三象限的角， 合{akm+日sa≤m+受kez}与{a平≤a≤受}所表 又因为m受-加受，所以号是第三象限角 (2)由sin an0>0,知sin0与tan0同号，故0是第一或第 -143７． １． ２　 弧度制及其与角度制的换算 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的 换算． ２．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 培养数学抽象与数学运算素养． )*+,%-.+ 对应学生用书学案Ｐ００１ 知识点１　 角度制与弧度制 　 　 １．角度制 （１）定义：用度　 作单位来度量角的制度． （２）１度的角：把圆周等分成３６０　 份，其中每一份所对应的圆心角为１度． １度等于６０　 分，１分等于６０　 秒． 即１° ＝ ６０′，１′ ＝ ６０″　 ． 　 　 提醒：对角度与弧度的再认识 （１） 19@Ž:X23"%QRA ， F9@GÇF ｒａｄ G·Å“;~ 3 ， Ú3<"šB%9@*Ý· ， ‰"‹ ＝ － ３． ５ ｒａｄ ·3t‹ ＝ － ３． ５． -1"@Ž:X23"%QRA ， F@GÇF‚G~·Å’“ ． （２） ~=(Å9@Æ(Å"@Ž:X%"%QR ， >(m…%?% QR¼Í%]Ÿ ． ２．弧度制 （１）定义：以弧度　 为单位来度量角的制度． （２）１弧度的角：长度等于半径长　 的圆弧所对的圆心角． （３）弧度数的计算公式：在半径为ｒ的圆中，弧长为ｌ的弧所对的圆心 角为α ｒａｄ，则α ＝ 　 　 　 　 ． ［思考１］ ●/012 １．下列表述中正确的是 （Ｄ ） Ａ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 Ｂ．一弧度是长度为半径的弧 Ｃ．一弧度是一度的弧与一度的角之和 Ｄ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种 度量单位 思考１：比值ｌｒ与所取 的圆的半径大小是否 有关？ 提示： m]QR%@A " ‹ dšB%9B… %?%,Ÿ(CmM] %ą%?QR¼Í ． $$) 知识点２　 弧度制与角度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 ３６０° ＝ ２π　 ｒａｄ ２π ｒａｄ ＝ ３６０°　 １８０° ＝ π　 ｒａｄ π ｒａｄ ＝ １８０°　 １° ＝ π１８０ｒａｄ≈０． ０１７ ４５ ｒａｄ １ ｒａｄ ＝ １８０( )π °≈５７． ３０° 角度数× π１８０ ＝弧度数 弧度数× １８０( )π ° ＝角度数 　 　 提醒：角度制与弧度制的转换中的注意点 （１） =£mêDa ， "@…9@~‘Eˆ1 ， FGHI:XJm ， ‰ α ＝ ２ｋπ ＋ ３０°，ｋ∈Ｚ(~!M%3Õ． （２） >?" ᆄd=%€A，K α［－ ２π，２π］，BLùè α23 t α ＝ ２ｋπ ＋ β（ｋ∈Ｚ），β∈［－ ２π，２π］%vê，M{ä1" β †„d=% €.M]" ᆄd=%€． ●/012 ２． α ＝ － ２ ｒａｄ，则α的终边在 （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 知识点３　 弧度制下的弧长与扇形面积公式 　 　 设扇形的半径为ｒ，弧长为ｌ，α（０ ＜ α ＜ ２π）为其圆心角，则 （１）弧长公式：ｌ ＝ 　 　 　 　 ． （２）扇形面积公式：Ｓ ＝ 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 ． ［思考２］ ●/012 ３．圆心角为π３弧度，半径为６的扇形面积为　 　 　 　 ． 思考２：扇形的面积公式 与哪个平面图形的面积 公式类似？对应的图形 是否也类似？ 提示： Nv%OPQê… ”"v%OPQê+R ． fghÄNv·ªS( m T „ ” " vÄ 9 ( UÄ%?(Uh%` ． 3456%789 对应学生用书学案Ｐ００１ ●:;<%?^_`a^_@bc １．（１）将下列各角化为弧度：①１１２°３０′；② － ３１５°； （２）将下列各角化为角度：① － ５π１２ ｒａｄ；② １９π ３ ． 【分析】　 角度制 １° ＝ π１８０ ｒａｄ １ ｒａｄ ＝ １８０( )π 幑 幐帯帯帯帯帯 ° 弧度制 ［归纳提升］ 归纳提升：角度制与弧 度制互化的关键与方法 （１） ÍÎVDEWéQ ê π ｒａｄ ＝ １８０°(ÍÎ． （２） NÕV@* × π１８０ ＝ 9@*É9@* × １８０( )π ° ＝@*． （３） "@é9@AÄB ùXÿ#Yét@Ä ét9@ ． （４） "@éŽ9@AÄ øZ Š 3 t π % v êIJ—˜Kñ~Fé tR* ． $$! 〉 /KL1 １．将下列角度与弧度进行互化： （１）２０°；（２）－ ８００°；（３）７π１２；（４）－ ４π ５ ． ●:;C%dea^UVf3@? ２．已知角α ＝ － ９２０°． （１）把角α写成２ｋπ ＋ β（０≤β ＜ ２π，ｋ∈Ｚ）的形式，并确定角α所 在的象限； （２）若角γ与α的终边相同，且γ∈（－ ４π，－ ３π），求角γ． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ２．将－ １ １２５°写成α ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）的形式，其中０≤α ＜ ２π． （１）判断它是第几象限角． （２）在［－ ４π，４π］内找出与α终边相同的角的集合． 归纳提升：１．弧度制下 与角α终边相同的角 的表示 =9@[\ ， …" α % †„6£%"·Å23 Ž ｛β ｜ β ＝ ２ｋπ ＋ α，ｋ∈ Ｚ｝， ݅" α †„6£ %"·Å23t α 6 h ２ ]%ž*¾ ． ２．用弧度表示角的注 意点 （１） [8"@…9@~ ‘E1 ． （２）̂ †„6£%"Ö 6 ２ｋ ] ，ｋ  Ｚ． （３） ñq"%8ˆ% _8A ， [8B1*# ÏëM] ， ·š ｋ `a òº%œŸ ． $$* ●:;M%ea^_UVST? ３．用弧度表示顶点在原点，始边重合于ｘ轴的非负半轴，终边落在阴 影部分内的角的集合（不包括边界，如图）． 【分析】　 １．观察阴影部分图形． ２．确定角的始边和终边． ３．写出角的集合． ［归纳提升］ 〉 /KL1 ３．用弧度制表示顶点在原点，始边与ｘ轴的非负半轴重合，终边落在阴影 部分的角的集合（不包括边界），如图所示． ●:;R%`gh@aij klf3@mn ４．（２０２４·浙江宁波高一月考）已知一扇形的圆心角为α（α ＞ ０°），周 长为Ｃ，面积为Ｓ，弧长为ｌ，所在圆的半径为ｒ． （１）若α ＝ ３０°，ｒ ＝ ８，求扇形的弧长； （２）若Ｃ ＝ １６，Ｓ ＝ １６，求扇形的半径和圆心角． ［归纳提升］ 归纳提升：（１） bcö÷ uv3o-."%8ˆ %deV Jfgëìuv ． P3o-.„1SŽ† „A"%23 ． S1~»ê23-.| }%" ． （２） [8hiV1~» ê23-."%|} AÄK[8"%8ˆv ê(j‘kˆlÄ<m nmnoØ ． 归纳提升：弧长公式及 扇形面积公式的应用类 问题的解决方法 LùÄX"@;éŽ9 @23Ä9@[%&' o6Í%9BQê#N vOPQêp7+q5 éÄdŹr<+sã AtÊu19@[ ． m ¢þÄ=¨©uvav w%"Äø|}( （０ Ä ２ ] ） ÄøxÄä1 α，ｌ， Ｒ，Ｓ )<F÷Hñ HGy'Qê ． =ñ¹ %z{aK[8V （１） ª|"%@<[Ä }16B%Qê ． （２） Nv%ÑB»9 B6q%?B́ NvÑBÇOP%4Ÿ sãÄtÊ;éŽó ~*%4Ÿsã ． $$+ 〉 /KL1 ４．（１）已知扇形的周长为２０ ｃｍ，面积为９ ｃｍ２，求扇形圆心角的弧度数； （２）一个扇形的周长为２０ ｃｍ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形的最大面积． WXYZ%[\] 对应学生用书学案Ｐ００３ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． － １０π３ 转化为角度是 （Ｂ ） Ａ． － ３００° Ｂ． － ６００° Ｃ． － ９００° Ｄ． － １ ２００° ２．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的 边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为（Ｃ ） Ａ． π３ Ｂ． ２π ３ Ｃ．槡３ Ｄ． ２ ３．与－ １３π３ 终边相同的角的集合是 （Ｄ ） Ａ． － π{ }３ Ｂ． ５π{ }３ Ｃ． α α ＝ ２ｋπ ＋ π３，ｋ∈{ }Ｚ Ｄ． α α ＝ ２ｋπ ＋ ５π３ ，ｋ∈{ }Ｚ ４．集合α ｋπ ＋ π４≤α≤ｋπ ＋ π ２，ｋ∈{ }Ｚ 中角α的 终边所在的范围（阴影部分）是 （　 　 ） ５．将－ １ ４８５°化成２ｋπ ＋ α（０≤α ＜ ２π，ｋ∈Ｚ）的 形式为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２                        ］ !"% 任意角的三角函数 ７． ２． １　 三角函数的定义 !"#$%&'( 对应学生用书学案Ｐ００１ 学习目标 核心素养 １．理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数 是以实数为自变量的函数． ２．会求角的正弦、余弦、正切值． ３．掌握三角函数在各象限内的符号． 培养数学抽象、逻辑推理、数学运算 素养． $#$