22.2.1一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法 教案2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

22.2　一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第1课时　直接开平方法 　　　　　 　　　　 　　　　 1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程. 2.了解用直接开平方法解一元二次方程的解题步骤. 3.经历直接开平方法的探究过程,提高思维能力. 重点:直接开平方法解方程. 难点:解一元二次方程过程中形成降次的解题思想. 1.如果一个数的平方是64,则这个数是　±8　.  2.如果x2=a(a≥0),则x叫做a的　平方根　.  3.任何数都可以作为被开方数吗? 答案:负数不能. 问题:有谁能求出这几个方程的解吗? (1)x2=25;(2)x2-9=0. (1)方程x2=25,意味着x是25的平方根, 所以x=±5. 这里得到了方程的两个根, 通常也表示成x1=5,x2=-5. (2)方程x2-9=0,可移项, 变形为x2=9,意味着x是9的平方根, 所以x=±3. 这里得到了方程的两个根, 通常也表示成x1=3,x2=-3. [归纳] (1)像这种根据平方根的定义,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. (2)一般地,对于方程x2=p. ①当p>0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个不等的实数根x1=,x2=-; ②当p=0时,方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0; ③当p<0时,因为对任何实数x,都有x2≥0,所以方程x2=p无实数根. (3)能化为形如(ax+b)2=c(a≠0,c≥0)的一元二次方程,即它的一边含有未知数的一次式的完全平方,另一边是非负数,就可以用直接开平方法求解. 范例应用 例1　 解方程: (1)x2=121; (2)(x+3)2=5. 解:(1)因为x2=121, 所以x=±11. 所以x1=11,x2=-11. (2)因为(x+3)2=5, 所以x+3=±. 所以x1=-3,x2=--3. [方法归纳] 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” (1)变形　将方程化为(ax+b)2=c(a≠0,c≥0)的形式; (2)开方　利用平方根的定义,将方程转化为两个一元一次方程; (3)求解　解一元一次方程,得出方程的根. 例2　解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0. 解:(1)原方程可以变形为(x+1)2=4. 直接开平方,得x+1=±2. 所以x1=1,x2=-3. (2)原方程可以变形为(2-x)2=. 直接开平方,得2-x=±. 所以x1=2+,x2=2-. 例3　若(a2+b2-3)2=25,求a2+b2的值. 解:因为(a2+b2-3)2=25, 所以a2+b2-3=±5. 所以a2+b2=8,或a2+b2=-2. 因为a2+b2≥0, 所以a2+b2=8. [方法归纳] 注意整体思想的运用. 例4　若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与m-1,求的值. 解:因为m+1与m-1分别是一元二次方程ax2=b 的两个根, 所以m+1+m-1=0. 所以m=0,即方程的两根分别为1和-1. 把x=1或x=-1代入ax2=b中,得a=b, 所以=1. [方法归纳] 形如x2=p这样的方程的两个根互为相反数. 1.一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D) A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-4 2.下列解方程的结果,正确的是(D) A.解方程x2=-2,得x=± B.解方程(x-2)2=4,得x=4 C.解方程4(x-1)2=9,得x1=,x2= D.解方程(2x+3)2=25,得x1=1,x2=-4 3.若方程(x-4)2=a有实数解,则a的取值范围是(B) A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.无法确定 4.已知一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为(A) A.10 B.10或8 C.9 D.8 5.用直接开平方法解下列方程: (1)(x-4)2=; (2)(3x+1)2-1=0; (3)x2-4x+4=9. 解:(1)两边直接开平方,得x-4=±, 所以x1=4,x2=3. (2)原方程变形,得(3x+1)2=1. 两边直接开平方,得3x+1=±1, 所以x1=0,x2=-. (3)整理,得(x-2)2=9, 即x-2=3或x-2=-3, 所以方程的两个根为x1=5,x2=-1. 直接开平方法 1.概念:利用平方根的定义求方程的根的方法. 2.步骤:变形、开方、求解. 3.基本思路:降次,转化为两个一元一次方程. 22.2　一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第1课时　直接开平方法 1.直接开平方法的概念. 2.直接开平方法的步骤. 3.直接开平方法的基本思路. 本节课在复习平方根的基础上,引导学生探究如何用直接开平方法解一元二次方程,有利于学生理解掌握;同时通过不同类型题目归纳,探究出能用直接开平方法的一般步骤,进一步培养了学生思维能力. 第2课时　因式分解法 1.学会用因式分解法解简单的一元二次方程. 2.了解用因式分解法解一元二次方程的解题步骤. 重点:因式分解法解一元二次方程. 难点:灵活运用因式分解法. 把下列各式因式分解: (1)x2-25; (2)x2-2x; (3)x2-6x+9; (4)4x(x+3)+3(x+3). 解:(1)x2-25=(x+5)(x-5). (2)x2-2x=x(x-2). (3)x2-6x+9=(x-3)2. (4)4x(x+3)+3(x+3)=(4x+3)(x+3). 知识点　因式分解法解一元二次方程 因式分解: (1)x2-x=0; (2)(x+1)(x-1)=2(x+1). 解:(1)方程x2-x=0可变形为x(x-1)=0, 所以x=0或x=1. 所以x2-x=0的根是x=0或x=1. (2)解方程(x+1)(x-1)=2(x+1), 移项,得(x+1)(x-1)-2(x+1)=0. 将左边分解因式,得(x+1)(x-3)=0. 所以x+1=0或x-3=0, 即x=-1或x=3. 所以(x+1)(x-1)=2(x+1)的解是x=-1或x=3. [归纳] (1)这种通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. (2)因式分解法的基本步骤 一移——方程的右边化为0; 二分——方程的左边因式分解; 三化——方程化为两个一元一次方程; 四解——写出方程的两个解. 范例应用 例1　用因式分解法解方程: (1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2); (3)x2+6x-7=0. 解:(1)5x2-4x=0, x(5x-4)=0. 所以x=0或5x-4=0. 所以x1=0,x2=. (2)x-2-x(x-2)=0, (x-2)(1-x)=0. 所以x-2=0或1-x=0. 所以x1=2,x2=1. (3)(x-1)(x+7)=0, x-1=0或x+7=0, x1=1,x2=-7. 例2　下面的解法正确吗?如果不正确,错在哪里?并请改正过来. 方程(x-5)(x+2)=18. 解:因为(x-5)(x+2)=18, 所以由x-5=3,得x=8. 由x+2=6,得x=4. 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解:该解法错误. 错在由x-5=3,得x=8,由x+2=6,得x=4,这样的赋值是没有任何依据的,切记! 正确解法: 原方程化为x2-3x-28=0, 则(x-7)(x+4)=0, 所以x1=7,x2=-4. [点拨] 用因式分解法解方程时等号右边一定化为0. 例3　用适当的方法解方程:(x-3)2-25=0. 解:法一　(x-3)2-25=0. 左边分解因式,得(x-3+5)(x-3-5)=0. 整理,得(x+2)(x-8)=0. 所以x+2=0或x-8=0, 解得x1=-2,x2=8. 法二　(x-3)2-25=0. 移项,得(x-3)2=25. 直接开平方,得x-3=±5, 即x-3=5或x-3=-5, 解得x1=8,x2=-2. 例4　甲、乙两位同学同时解方程3x(x+5)=5(x+5);甲:将方程两边同时除以x+5,得3x=5,解得x=.故原方程的解是x=. 乙:移项,得3x(x+5)-5(x+5)=0, 方程左边分解因式,得(3x-5)(x+5)=0, 所以3x-5=0或x+5=0, 解得x1=,x2=-5. 请问,哪位同学的解法正确?并指出另一位同学错误的原因. 解:乙解法正确.甲是错误的,当x+5=0时,根据等式的基本性质,方程两边不能同时除以x+5,这样就会丢根. 1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到一元一次方程3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是(A) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.整体思想 2.用因式分解法解方程,下列过程正确的是(D) A.x(x+2)=0,化为x+2=0 B.(x+3)(x-1)=1,化为x+3=1或x-1=1 C.(x-2)(x-3)=2×3,化为x-2=2或x-3=3 D.(2x-3)(3x-4)=0,化为2x-3=0或3x-4=0 3.方程(x-2)(x+3)=0的解是(D) A.x=2 B.x=-3 C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3 4.解方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是(C) A.直接开平方得3(x+1)=2(x-1) B.化为一般形式为13x2+5=0 C.分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0 D.直接得x+1=0或x-1=0 5.一元二次方程x(x-2)=x-2的根是　x1=2,x2=1　.  6.对于实数a,b,定义运算:a*b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)*(m-3)=24,则m=　-3或4　.  7.解方程: (1)2(x-3)=3x(x-3); (2)(t-2)2=(2t+3)2. 解:(1)移项,得2(x-3)-3x(x-3)=0. 整理,得(x-3)(2-3x)=0. 所以x-3=0或2-3x=0. 解得x1=3,x2=. (2)移项,得(t-2)2-(2t+3)2=0. 所以(t-2+2t+3)(t-2-2t-3)=0. 所以(3t+1)(-t-5)=0. t1=-,t2=-5. 因式分解法 1.因式分解法:通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法解一元二次方程的步骤:右化零,左分解,两因式,各求解. 第2课时　因式分解法 1.因式分解法. 2.因式分解法解一元二次方程. 　　本节运用类比的数学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受因式分解法时,由多项式因式分解到用因式分解法解方程利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然、容易理解. 学科网（北京）股份有限公司 $$