22.2.2 配方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

该教案聚焦“配方法解一元二次方程”核心知识点，通过复习直接开平方法（如x²=4、(x+1)²=5），结合梯子滑动情境列出x²+12x-15=0，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探索转化方程的新方法。 此资料以情境问题培养数学眼光（模型意识），通过填空探究、例题归纳培养推理意识与运算能力，覆盖不同系数类型及实际应用（血压问题）体现应用意识。助力学生掌握步骤发展转化思想，为教师提供清晰路径，提升教学效率。

22.2.2 配方法 课题 22.2.2 配方法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P25-27 教学目标 1.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 2.掌握用配方法解一元二次方程的步骤。 3.通过配方法将一元二次方程变形，体会转化的数学思想方法，并增强学生的数学应用意识和能力。 教学重难点 重点：用配方法解一元二次方程。 难点：理解配方法的基本思路。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习回顾 教师活动：通过上一节课的学习，你都会解哪些简单的一元二次方程？ 预设：例如，x2=4；3x2=5；（x+1）2=5等。 教师活动：这些方程有什么特点，你是如何解方程的。 预设：方程都能写成的形式，用直接开平方法就可以得到方程的解。 创设情境 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 教师活动：教师引导学生列出方程。 预设：由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6 m，设底端滑动x m，那么滑动后底端距墙（x+6）m，根据题意，可得方程：（8-1）2+（x+6）2=102。 整理，得x2+12x-15=0。 教师活动：同学们能求出这个方程的解吗，这节课我们就来学习用配方法求解一元二次方程。（教师板书课题： 22.2.2 配方法） 先复习前面学习过的简单方程，回顾直接开平方法解方程的步骤，再给出一个简单的问题，引导学生转化方程，引出本节内容配方法。 2.实践探究，学习新知 【探究】 情境1：你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个过程转化成的形式吗？与同伴进行交流。 师生活动：教师引导学生将上述方程进行迁移，思考从方程x2+12x-15=0到方程（x+6）2=51的具体转化过程，然后再与教材中给出的过程进行比较，并从中体会用配方法解一元二次方程的本质：将方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式。引导学生思考、尝试、交流之后，教师对配方法的基本思路进行总结，展示一元二次方程的解的表示形式。 【归纳总结】 对于方程（x+m）2=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±，所以x1=-m，x2=--m。 情境2：填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+_____=（x+6）2； x2-4x+____=（x-___）2； x2+8x+_______=（x+_______）2。 在上面的等式的组边，常数项和一次项系数有什么关系？ 师生活动：教师可先让学生回顾以前学过的完全平方式，据此自主填空完成以上题目，之后教师组织学生通过小组的合作交流，发现等式左边常数项与一次项系数的关系，用自己的语言归纳总结出把形如x2+ax的式子配成完全平方式的方法规律。 【教材例题】 例1 解方程：x2+2x=5。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：原方程两边都加上1，得x2+2x+1=6。 即（x+1）2=6。 直接开平方，得x+1=。 所以x=。 所以x1=，x2=。 师生活动：教师在教学时要引导学生在解题后自己尝试归纳用配方法解一元二次方程的一般步骤，并用自己的语言进行表述。教师要提醒学生在自己熟练掌握配方法之后，可以根据题目的条件灵活操作，不必按照例题中的格式和过程解题。 【归纳总结】 配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 【教材例题】 例2 用配方法解方程： （1）x2-4x+1=0；（2）4x2-12x-1=0。 解：（1）移项，得x2-4x=1。 配方（两边同时加上4），得。 即。 直接开平方，得x-2=。 所以x1=，x2=。 （2）移项，得4x2-12x=1。 两边同除以4，得。 配方，得。 即。 直接开平方，得。 所以x1=，x2=。 归纳总结】 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）化——化二次项系数为1； （2）配——配方，使原方程变为（x+m）2-n=0的形式； （1）移——移项，使方程变为（x+m）2=n的形式； （3）开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±； （4）解——方程的解为x=-m±。另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理。 教师适当引导学生通过前面简单的方程，尝试用总结用配方法解一元二次方程的思路。 通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，让学生根据得到的规律去学习配方法解方程，体会解方程的步骤，增加了学习效率。 本例给出了配方的一种参考过程：先把常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边为完全平方式。 3.学以致用，应用新知 考点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例1 用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应边形为（ ） A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9 答案：D 变式训练 将一元二次方程x2-8x-5=0化成（x+a）2=b（a，b为常数）的形式，则ab=_______。 答案：-84 考点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例2 一元二次方程2x2-3x+1=0配方后可化为（ ） A. =1 B. = C. = D. = 答案：D 变式训练 将方程3x2-2x-2=0配方成（x+m）2=n的形式，则m+n=______。 答案： 考点3 配方法的应用 例3 新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x-m）2+n=0与a2（x-m）2+n=0，称为“同族二次方程”。如2（x-3）2 +4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”。现有关于x的一元二次方程：2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”。那么代数式ax2+bx+2 022能取得的最小值是（ ）。 A. 2 015 B. 2 017 C. 2 022 D. 2 027 答案：B 变式训练 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107。如果一个女性的收缩压为117.5毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？ 解：根据题意，得0.01x2+0.05x+107=117.5。 方程两边都除以0.01，得x2+5x+10 700=11 750。 移项，得x2+5x=1 050 配方，得x2+5x+=1 050+， 即=， 两边开平方，得x+=±， 所以x1=30，t2=-35。 所以，她的年龄大概是30岁。 通过例题讲解，巩固用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 4.随堂训练，巩固新知 1. 一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为（ ）。 A. （x-3）2=15 B. （x-3）2=3 C. （x+3）2=15 D. （x+3）2=3 答案：D 2. 将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（ ）。 A. -30 B. -20 C. -5 D. 0 答案：B 3. 一名同学将方程x2-4x-3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m，n的值应为（ ）。 A. m=-2，n=7 B. m=2，n=7 C. m=-2，n=1 D. m=2，n=-7 答案：B 4. 把一元二次方程2x2-8x-7=0化成（x+m）2=n的形式是_______。 答案：（x-2）2= 5. 用配方法解下列方程： （1）-3x2+4x+1=0； 解：二次项系数化为1，得x2-x-=0。 移项并配方，得x2-x+=+， 即=。 ∴x-=±。 ∴x=±。 ∴x1=，x2=。 （2）3y2-6y+2=0。 解：二次项系数化为1，得y2-2y+=0. 移项并配方，得y2-2y+=-+， 即（y-1）2=。 ∴y-1=±。 ∴y=1±。 ∴y1=1+，y2=1-。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 移、配、开、解。 3．本节课学习的数学方法有： ①转化思想，②根据实际问题建立数学模型。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P27练习 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 22.2.2 配方法 情境1，例1 1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 投影区 情境2，例2 2.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本节课最重要的就是让学生掌握用配方法求解一元二次方程，主要运用由简单到复杂，由特殊到一般的原则，重点展示了用配方法解一元二次方程的基本步骤。在教学过程中，学生也会出现个别错误，表现在：①二次项系数没有化为1就盲目配方；②不能给方程“两边”同时配方。在后续的学习过程中还要加强训练。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $