4.3 指数函数与对数函数的关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1． 记函数 y=1+2 -x 的反函数为 y=g （ x ）， 则 g （ 5 ） = （ ） A. 2 B. -2 C. -4 D. 4 2. 若 f （ x ） =2 x 的反函数为 f -1 （ x ）， 且 f -1 （ a ） +f -1 （ b ） =4 ， 则 1 a + 1 b 的最小值是 （ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 3. 函数 y=lg （ x+1 ） 的反函数的图象为 （ ） 4.3 指数函数与对数函数的关系 x y O 1 1 -1 x y O 1 A B -1 x y O 1 C D x y O 1 2 15 4. 已知函数 f （ x ） =2+log a （ x+1 ） （ a>0 且 a≠1 ） . 若 y=f （ x ）的反 函数的图象经过点 （ 1 ， 2 ）， 则 a= . 5. 已知函数 f （ x ） =log 2 x+1 ， f （ x ） 的反函数为 f -1 （ x ）， 则 f -1 （ 1 ） = . 16 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 12. ACD 【解析】 f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ （ x≠0 ， x∈R ） 的定 义域为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， +∞ ）， 关于原点对称， 且满足 f （ -x ） =f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴对称， 故 A 是真命题； 当 x>0 时， f （ x ） =lg x 2 +1 ｜x｜ =lg x+ 1 x % ， 令 t （ x ） =x+ 1 x ， 则 f （ t ） =lgt ， 由对勾函数的性质可知 t （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是 减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 又 ∵f （ t ） =lgt 在定义 域上是增函数 ， ∴ 由复合函数的单调性可知 ， f （ x ）在 （ 0 ， 1 ］ 上是减函数， 在 ［ 1 ， +∞ ） 上是增函数， 故 B 是 假命题； 当 x>0 时， x+ 1 x ≥2 （当且仅当 x=1 时取等号）， 又 f （ x ）是偶函数， ∴ 函数 f （ x ）的最小值是 lg2 ， 故 C 是真命题； 当 x∈ （ 0 ， 1 ） 时， f （ x ）是减函数， 当 x∈ （ 1 ， +∞ ） 时， f （ x ）是增函数， 又 ∵f （ x ）是偶函数， 其图象关于 y 轴 对称， ∴ 当 -1<x<0 或 x>1 时， f （ x ）是增函数， 故 D 是真 命题 ． 故选 ACD． * 13. AC 【解析】 由题意知 mx 2 +4x+8>0 对 x∈R 恒成立 . 当 m=0 时， 不等式 4x+8>0 不恒成立， ∴m≠0 ； 当 m≠0 时， 由 m>0 ， Δ=16-32m<0 0 ， 解得 m> 1 2 ， ∴A 正确； 若函数 f （ x ）的值域为 ［ 2 ， +∞ ）， 则 f （ x ） min =2 ， 显然 m 不为 0 ， 则函数 y=mx 2 +4x+8 的最小值为 4 ， ∴m>0 且当 x=- 2 m 时， y min =m - 2 m x % 2 +4× - 2 m x % +8=4 ， 解得 m=1 ， ∴B 错误； 若函数 f （ x ）在区间 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 则 y= mx 2 +4x+8 在 ［ -3 ， +∞ ） 上为增函数， 且在 ［ -3 ， +∞ ） 内 的函数值为正， ∴ m>0 ， - 2 m ≤-3 ， m× （ -3 ） 2 +4× （ -3 ） +8>0 0 + + + + + * + + + + + , ， 解得 4 9 <m≤ 2 3 ， ∴C 正确； 若 m=0 ， 则不等式 f （ x ） <15 等价于 log 2 （ 4x+8 ） <15 ， 则 0<4x+8<2 15 ， 解得 -2<x<2 13 -2 ， ∴D 错误 . 故选 AC. 14. ［ a 姨 ， 1 ］ 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴y=log a x 在 （ 0 ， +∞ ） 上是减函数， 则根据函数 f （ x ）的图象可得， 当 0≤log a x≤ 1 2 时 ， g （ x ） =f （ log a x ）为减函数 ， 即 a 姨 ≤x≤1 ， 即 g （ x ） =f （ log a x ） （ 0<a<1 ） 的单调递减区 间为 ［ a 姨 ， 1 ］ . * 15. 1 3 ， 2 3 x % 【解析】 ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区 间 1 3 ， 2 3 3 / 上有意义， ∴2× 1 3 -a>0 ， 同时 a>0 且 a≠1 ， 解得 0<a< 2 3 ， ∴ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上单调递减 . ∵ 函数 f （ x ） =log a （ 2x-a ）在区间 1 3 ， 2 3 3 3 上恒有 f （ x ） > 0 ， ∴log a 2× 2 3 -a x % >0 ， ∴0< 4 3 -a<1 ， 得 1 3 <a< 4 3 . 又 ∵0<a< 2 3 ， ∴ 1 3 <a< 2 3 . 4.3 指数函数与对数函数的关系 学习手册 变式训练 1 y=2- x+4 姨 （ x≥5 ） 【解析】 由 f （ x ） =y=x 2 -4x= （ x-2 ） 2 - 4 ， 可得（ x-2 ） 2 =y+4. ∵x≤-1 ， ∴x-2=- y +4 姨 ， 即 x=2- y +4 姨 ， 交换 x ， y 可得 y=2- x +4 姨 . ∵f （ x ） =x 2 -4x 的对称轴为 x=2 ， 开口向上， ∴ f （ x ） =x 2 - 4x 在 （ -∞ ， -1 ］ 上单调递减， ∴ f （ x ） ≥f （ -1 ） =1+4=5 ， ∴ 反函数的定义域为 ［ 5 ， +∞ ）， ∴ 函数 f （ x ） =x 2 -4x （ x≤-1 ） 的反函数为 y=2- x +4 姨 （ x≥5 ） . 变式训练 2 （ 5 ， 2 ） 【解析】 由题意可得 f （ 2 ） =3 ， 则 f -1 （ 3 ） =2 ， 即 f -1 （ 5-2 ） =2 ， 故函数 f -1 （ x-2 ）的图象必过点 （ 5 ， 2 ） . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由题意知， 反函数过点 A（-2k ， 2 ）， 则原 函数过点 （ 2 ， -2k ）， f（2 ） =3 2 +k=-2k圯k=-3 ， 则 f （ x ） = 3 x -3 ， 由 y=3 x -3圯3 x =y+3圯 x=log 3 （y+3 ） ， 即 f -1 （x）= log 3 （x+3 ）（x>-3 ） . （ 2 ） f -1 （x）=log 3 （x+3 ）向右平移 3 个单位长度 ， 得 g （ x ） =log 3 x （ x>0 ）， 则 2f -1 （x+ m 姨 -3 ） -g （ x ） ≥1 恒成立 圳 2log 3 （x+ m 姨 ） -log 3 x≥1 （x>0 ） 恒成立， ∴x+ m x +2 m 姨 ≥3 在 x>0 时恒成立， 只需 x+ m x +2 m 姨 % min ≥3. 又 ∵x+ m x ≥2 m 姨 （当且仅当 x= m x ， 即 x= m 姨 时等号成立）， ∴ x+ m x +2 m 姨 % min =4 m 姨 ， 即 4 m 姨 ≥3 ， ∴m≥ 9 16 . 随堂练习 1. B 【解析 】 由 y=1+2 -x 可得 1 2 x % x =y-1 ， 可得 x= log 1 2 （ y-1 ）， 则 g （ x ） =log 1 2 （ x-1 ）， 因此 g （ 5 ） =log 1 2 4=-2. 故选 B. 40 参 考 答 案 2. B 【解析】 ∵y=a x ， y=log a x （ a>0 ， a≠1 ） 互为反函 数， ∴ f -1 （ x ） =log 2 x. 又 ∵f -1 （ a ） +f -1 （ b ） =4 ， ∴log 2 a+log 2 b=log 2 （ ab ） =4 ， ∴ab= 16 且 a>0 ， b>0. 又 ∵ 1 a + 1 b = a+b ab = a+b 16 ≥ 2 ab 姨 16 = 1 2 ， 当且仅当 a= b=4 时取等号， ∴ 1 a + 1 b 的最小值为 1 2 . 故选 B. 3. D 【解析】 由 y=lg （ x+1 ）得 x+1=10 y ， 可得 x=10 y - 1 ， 故函数 y=lg （ x+1 ）的反函数的解析式为 y=10 x -1 ， 而 函数 y=10 x -1 的图象可由函数 y=10 x 的图象向下平移 1 个单位长度得到 . 故选 D. 4. 1 3 【解析】 ∵f （ x ）与其反函数图象关于直线 y=x 对称， y=f （ x ）的反函数的图象经过点 （ １ ， ２ ）， 则 f （ x ） = 2+log a （ x+1 ）的图象经过点 （ 2 ， 1 ）， ∴1=2+log a （ 2+1 ）， 即 log a 3=-1 ， 解得 a= 1 3 . 5. 1 【解析 】 f （ x ） =1圯 log 2 x+1=1圯 log 2 x=0圯 x=1 ， ∴ f -1 （ 1 ） =1. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 y=a x 的反函数为 f （ x ） =log a x ， 又 ∵f （ 2 ） = 1 ， ∴1=log a 2 ， ∴a=2 ， ∴ f （ x ） =log 2 x. 故选 A. 2. C 【解析】 原函数的图象与它的反函数的图象关 于直线 y=x 对称， ∵y=f （ x ）的反函数的图象过点（ 1 ， 5 ）， 而点 （ 1 ， 5 ）关于直线 y=x 的对称点为 （ 5 ， 1 ）， ∴ 函数 y=f （ x ）的图象必过点（ 5 ， 1 ） . 故选 C. 3. A 【解析】 由原函数与反函数的关系知， 反函数 的值域为原函数的定义域 . 故选 A. 4. ACD 【解析 】 由题意得 2=log a 4 ， 解得 a=2 ， 故 f （ x ） =log 2 x ， 则 f （ x ）为增函数且为非奇非偶函数， 故 A 正确， B 错 误 ； 当 x >1 时 ， f （ x ） =log 2 x >log 2 1 =0 成 立 ， 故 C 正确； f （ x ） =log 2 x 的反函数为 g （ x ） =2 x ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 5. D 【解析】 将函数 y=2 x 的图象向下平移一个单位 长度得到 y=2 x -1 的图象， 再作关于直线 y=x 对称的图 象， 即可得到函数 y=log 2 （ x+1 ）的图象 . 故选 D. 6. 1 【解 析 】 由 f -1 （ x ） 的 图 象 过 点 Q （ 5 ， 2 ） ， 得 f （ x ）的图象过点（ 2 ， 5 ）， 即 2 2 +b=5 ， 解得 b=1. 7. 2 ， 2 姨 2 & y= （ 2 姨 ） x 【解析】 ∵ 对数函数 y= log a x 过定点（ 1 ， 0 ）， ∴ 函数 y=log a （ 2x-3 ） + 2 姨 2 过定点 2 ， 2 姨 2 & . 函数 y=log 2 姨 x 的反函数是 y= （ 2 姨 ） x . 8. 2 姨 【解析】 ∵f （ 27 ） =3 ， ∴log a 27=3 ， 解得 a=3. ∴ f （ x ） =log 3 x ， ∴ f -1 （ x ） =3 x ， ∴ f -1 （ log 9 2 ） =3 log 9 2 =3 log 3 2 姨 = 2 姨 . 9. 解： （ 1 ） 要使函数 f （ x ）有意义， 必须满足 a x -1>0 ， 当 a>1 时， x>0 ； 当 0<a<1 时， x<0. ∴ 当 a>1 时， f （ x ）的定义域为（ 0 ， +∞ ）； 当 0<a<1 时， f （ x ）的定义域为（ -∞ ， 0 ） . （ 2 ） 当 a>1 时 ， 任取 x 1 ， x 2 ， 且 0<x 1 <x 2 ， 则 1<a x 1 <a x 2 ， 故 0<a x 1 -1<a x 2 -1 ， ∴log a （ a x 1 -1 ） <log a （ a x 2 -1 ）， ∴ f （ x 1 ） <f （ x 2 ） . 故当 a>1 时， f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上单调递增； 类似地， 当 0<a<1 时， f （ x ）在（ -∞ ， 0 ）上单调递增 . （ 3 ） 令 y=log a （ a x -1 ）， 则 a y =a x -1 ， ∴x=log a （ a y +1 ）， ∴ f -1 （ x ） =log a （ a x +1 ） . 由 f （ 2x ） =f -1 （ x ） ， 得 log a （ a 2x -1 ） =log a （ a x +1 ） ， ∴a 2x -1=a x +1 ， 解得 a x =2 或 a x =-1 （舍去）， ∴x=log a 2. 10. 解： 由 x+lnx=8 ， 得 lnx=8-x ， 由 y+e y =8 ， 可得 e y =8-y ， 在同一平面直角坐标系中作出直线 y=8-x 及函 数 y=lnx ， y=e x 的图象， 如图所示， 联立 y=8-x 与 y=x ， 解得 x=y=4 ， ∴ 点 C 的坐标为（ 4 ， 4 ） . 方程 x+lnx=8 的根可视为直线 y=8-x 与函数 y=lnx 图象的交点 B 的横坐标 . 方程 y+e y =8 的根可视为直线 y=8-x 与函数 y=e x 图象 的交点 A 的横坐标 . 由图象可知 ， 点 A ， B 关于直线 y=x 对称 ， 因此 ， x+y=8. 提升练习 11. D 【解析】 ∵x 1 ， x 2 分别是函数 f （ x ） =x-a -x 和 g （ x ） =xlog a x-1 的零点， 则 x 1 ， x 2 分别是 a x = 1 x 和 log a x= 1 x 的 解， ∴x 1 ， x 2 分别是函数 y= 1 x 与函数 y=a x 和函数 y=log a x 交点的横坐标， ∴ 交点分别为 A x 1 ， 1 x 1 2 & ， B x 2 ， 1 x 2 2 & . ∵a>1 ， ∴0<x 1 <1 ， x 2 >1. 由于函数 y=a x 与函数 y=log a x 的图象关于 y=x 对称， 函数 y= 1 x 的图象也关于 y=x 对 称， ∴ 点 A 与点 B 关于 y=x 对称 . x y O A B C y=e x y=ln x y=8-x 第 10 题答图 41 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∵A x 1 ， 1 x 1 1 " 关于 y=x 对称的点的坐标为 1 x 1 ， x 1 1 " ， ∴x 1 = 1 x 2 ， 即 x 1 · x 2 =1 且 x 1 ≠x 2 ， ∴x 1 +9x 2 =x 1 +x 2 +8x 2 ≥ 2 x 1 · x 2 姨 +8x 2 >2+8x 2 . ∵x 1 ≠x 2 ， ∴ 不能取等号 . ∵x 2 >1 ， ∴2+8x 2 >2+8=10 ， 即 x 1 +9x 2 ∈ （ 10 ， +∞ ） . 故选 D. 12. AB 【解析】 由反函数的性质可知， f -1 （ -1 ） =1 ， 且 f -1 （ x ）在定义域内单调递增 ． 故选 AB. 13. AC 【解析】 ∵f -1 （ ４ ） ＝a ， ∴ f （ a ） =4 ， 即 2 a =4 ， 解 得 a=2 ， 故 A 正确； ∵ 当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， g （ x ） =f （ 3-x-x 2 ） -a=2 3-x-x 2 -2 ， 则当 x∈ （ -∞ ， 0 ） 时， -x∈ （ 0 ， +∞ ）， g （ -x ） =2 3+x-x 2 -2. ∵g （ x ）是奇函数， ∴g （ x ） =-g （ -x ） =2-2 3+x-x 2 ， 故 B 错误； 若 xg （ x ） <0 ， 则当 x>0 时 ， g （ x ） <0 ， 即 2 3-x-x 2 -2<0 ， 解得 x<-2 或 x>1 ， ∴x>1 ， 当 x<0 时， g （ x ） >0 ， 即 2-2 3+x-x 2 >0 ， 解得 x<-1 或 x>2 ， ∴x<-1 ， ∴ 若 xg （ x ） <0 ， 则 x∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故 C 正确； 当 x∈ （ -∞ ， 0 ） 时 ， g （ x ） =2-2 3+x-x 2 . ∵y=3+x-x 2 在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递增， 则 y=2 3+x-x 2 在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递 增， y=-2 3+x-x 2 在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递减， ∴g （ x ）在 （ -∞ ， 0 ） 上单调递减， 故 D 错误 . 故选 AC. * 14. 3 【解析】 ∵y=f （ x ） =2 x +x 在 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 上单调递 增， ∴ f （ x ） min =f （ 0 ） ＝2 0 +0=1 ， f （ x ） max =f （ ２ ） =2 2 +2=6 ， ∴y=f （ x ） = 2 x +x 的值域为 ［ 1 ， 6 ］， ∴y=f -1 （ x ）的定义域为 ［ 1 ， 6 ］ . ∵y=f （ x ） =2 x +x 在 x∈ ［ 0 ， 2 ］ 上单调递增， ∴y=f -1 （ x ） 在 ［ 1 ， 6 ］ 上单调递增 ， ∴y=f （ x ） +f -1 （ x ）在定义域 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 上单调递增 . ∵f （ 0 ） ＝１ ， ∴ f -1 （ １ ） ＝0 ， ∴y min =f （ 1 ） +f -1 （ 1 ） =2 1 +1+0=3. * 15. （ -∞ ， -3 ］ ∪ （ 0 ， 4 ］ 【解析 】 由题意 f -1 （ x ） = x-b k ， g -1 （ x ） = a x ， 它们交于点 A′ （ -3 ， x 1 ）， B′ （ 4 ， x 2 ）， 由图象知不等式 f -1 （ x ） ≤g -1 （ x ）的解集为 （ -∞ ， -3 ］ ∪ （ 0 ， 4 ］ . 阶段性练习卷 （一） 1. B 【解析】 ∵a=log 16 64= log 2 2 6 log 2 2 4 = 6 4 = 3 2 ， b=lg0.2<0 ， c=2 1.2 >2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 b<a<c． 故选 B． 2. B 【解析 】 已 知 f （ x ） =log 3 （ x+ x 2 +1 姨 ） + 2e x e x +1 ， f （ -x ） =log 3 （ -x+ x 2 +1 姨 ） + 2e -x e -x +1 ， 则 f （ x ） +f （ -x ） =2 ， 函数 f （ x ）在定义域内为非奇非偶函数 . 令 g （ x ） =f （ x ） -1 ， 则 g （ x ） +g （ -x ） =f （ x ） -1+f （ -x ） -1=0 ， 则 g （ x ）在定义域内为奇函数 . 设 g （ x ）的最大值为 t ， 则最小值为 -t ， 则 f （ x ）的最 大值为 M=t+1 ， 最小值为 m=-t+1 ， 则 M+m=2. 3. B 【解析】 ∵a=log 0.2 0.3 ， b=log 2 0.3 ， ∴ 1 a =log 0.3 0.2 ， 1 b =log 0.3 2 ， ∴ 1 a + 1 b =log 0.3 0.4 ， ∴0< 1 a + 1 b <1 ， 即 0< a+b ab <1. 又 ∵a>0 ， b<0 ， ∴ab<0 ， 即 ab<a+b<0. 故选 B. 4. B 【解析】 设 y=f （ x ） = 2x 3 2 x +2 -x ， 则 f （ -x ） = 2 （ -x ） 3 2 -x +2 x = - 2x 3 2 x +2 -x =-f （ x ）， ∴ f （ x ）是奇函数， 图象关于原点成中心 对称， 排除 C． 又 ∵f （ 4 ） = 2×4 3 2 4 +2 -4 >0 ， 排除 D ； f（6 ） = 2×6 3 2 6 +2 -6 ≈7 ， 排除 A. 故选 B． 5. C 【解析】 ∵f （ x ） =ln ［ x （ 2-x ）］ （ 0<x<2 ）， 由复合函 数的单调性可知 f （ x ）在 （ 0 ， 1 ） 上单调递增， 在 （ 1 ， 2 ） 上单调递减， ∴A ， B 错误； 由题意知 f （ 2-x ） =ln （ 2-x ） + lnx=f （ x ）， ∴ f （ x ）的图象关于直线 x=1 对称， 故 C 正确， D 错误 . 故选 C． 6. C 【解析】 ∵f （ x ）是定义在 R 上的偶函数， 且在区 间 （ -∞ ， 0 ） 上单调递增， ∴ f （ x ）在区间 （ 0 ， +∞ ） 上单 调递减 . ∵2 ｜a-1 ｜ >0 ， f （ - 2 姨 ） =f （ 2 姨 ） ， ∴2 ｜a-1 ｜ < 2 姨 =2 1 2 ， ∴｜a-1｜< 1 2 ， 解得 1 2 <a< 3 2 ， ∴a 的取值范围是 1 2 ， 3 2 1 " ， 故选 C. 7. AB 【解析】 1 2 1 " -1 +8 2 3 +2 020 0 =2+4+1=7 ， A 正确； 2lg5+lg4-5 log 5 2 =lg25+lg4-2=lg100-2=2-2=0 ， B 正确； log 2 （ log 0.5 0.5 ） =log 2 1=0 ， C 错误； （ a-1 姨 ） 2 + （ 1-a ） 2 姨 =a-1+a-1=2a-2 ， D 错误 . 故选 AB. 8. BC 【解析】 f （ x ） =a 2x +a x -1= a x + 1 2 1 " 2 - 5 4 ， 若 a>1 ， 则当 x=1 时 a x 最大， 此时 f （ x ）取得最大值， 即 f （ 1 ） =19 ， a 2 +a-1=19 ， 解得 a=4 或 a=-5 （舍去）， 故 a=4 ； 若 0<a<1 ， 则当 x=-2 时 a x 最大， 此时 f （ x ）取得最 大值， 即 f （ -2 ） =19 ， a -4 +a -2 -1=19 ， 解得 a -2 =4 或 a -2 =-5 （舍去）， 故 a= 1 2 ， 故选 BC. 9. 1 3 【解析】 ∵log 3 4 · log 4 8 · log 8 m=ln 1 e ， 由换底公 x y O -3 4 A′ B′ g -1 （ x ） f -1 （ x ） 第 15 题答图 42