4.3 指数函数与对数函数的关系（学案） - 【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

B版数学 必修第二册XINKECHENG XUEAN 4.3指数函数与对数函数的关系 明学习目标 知结构体系 1.理解反函数的概念，掌握指数函数与对数函数互为反函数的关系。 课标 2.掌握原函数与反函数的图象之间的关系. 定义 要求 指数函数 3.会利用互为反函数的两个函数的定义域、值域之间的关系解决相关问题 与对数函 性质 数的关系 重点重点：指数函数与对数函数的关系 求反函数的步骤 难点难点：反函数的概念。 [四层]学内容 落实必备知识 1.反函数的概念 续表 一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中 名称 指数函数 对数函数 一个y的值，只有 的x与之对应， (1)当a>1时，若x(1)当a>1时，若x> 那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反 >0,则y>1;若x1,则y>0;若0<x< 函数.此时，称y=f(x)存在反函数.而且，如果函 函数值的<0，则0<y<1. 1,则y0. 变化情况(2)当0<a<1时，(2)当0<a<1时，若 数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函 若x>0,则0<y<x>1,则y<0;若0 数y=f(x)的反函数的表达式，可通过对调y 1;若x<0,则y>1x<1,则y>0 f(x)中的x与y,然后从 中求出y的值. 对数函数y=logx(a>0且a≠1)与指数 般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f1(x). 函数y=a(a>0且a≠1)互为反函数. 2.反函数的有关性质 微点注解彩你洁 (1)y=f(x)的 与y=f厂1（x)的值 (1)并非任意一个函数y=f(x)都有反函数，只有定 域相同，y=f(x)的 与y=f1(x)的定义 义域和值域都满足“一一对应”的函数才有反函数，互为 域相同. 反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示， (2)y=f(x)与y=f1(x)的图象关于直线 函数y=f(x) 反函数y=f1(x) 对称. 定义域 A C (3)如果y=f(x)是 函数，那么它的 值域 C A 反函数y=f1(x)一定存在，且它们有 的 (2)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是 单调性 奇函数 3.指数函数与对数函数的关系 即时小练/你学通 当a>0且a≠1时，有y=a'台.x=logy.列 1.判断正误 表如下 (1)函数y=log2x与y=x2互为反函数. 名称 指数函数 对数函数 (2)y=4“与y=log1x的图象关于y=x对称.() 般形式 y=a'(a>0且a≠1) y=logx(a>0且a≠1) 2.若函数y=fx)是函数y=3的反函数，则f(2)的 定义域 值为 () 值域 A.-log23 B.-log,2 C.g D.√3 定点 (0,1) (1,0) 3.已知y=(4)广 的反函数为y=f(x),若(x)= a>1时，为增函数； 单调性 a>1时，为增函数； 0<a<1时，为减函数0<a<1时，为减函数 2,则x。= 28铺 XINKECHENG XUEAN 第四章指数函数、对数函数与幂函数 [四层]学可内容 强化关键能力 [题点一] -[方法技巧] 反函数的求法 求函数y=f(x)的反函数的步骤 (1)对调y=f(x)中的x与y; [典例] 求下列函数的反函数. (2)从x=f(y)中求出y,即得函数y=f(x)的反 (1)f)=(号)； 函数的表达式y=f(x); (3)求出反函数的定义域（即原函数的值域），并标 (2)g(.x)= x+4(x>3): 一赢在做 在解析式后. x-3 不客翠略 及函数传的定 前两步也可以变为： (3)h(x)=x(x≤0)： 文球 (1)把y作为已知解出x: (4)o(x)=log(x-1) (2)交换x,y得y=f(x). [听课记录] [对点训练] 1.函数y=1一√x-1(x≥2)的反函数为( A.y=(x-1)2+1(x≥1) -「篇在微“点”-- 求及冰数时、若球款 B.y=(x-1)2-1(x≥0) =(>的宠义威窄很. 制件，草反的数y= ! C.y=(x-1)2+1(x≤1) 十1（南的定义或可以 1=f()的值减 D.y=(x-1)2+1(x≤0) 2.函数y=πr的反函数为 [题点二 反函数的图象与性质 [典例](1)设函数f(x)=log.x(a>0且 a≠1)满足f(27)=3,则f1(log2)的值是 (2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称， 且存在反函数f1(x),f(4)=0,则f1(4)= :[方法技巧] 互为反函数的两函数图象的对称性的应用 (1)函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称 :台f1(x)=f(x). (2)点A(m,n)在函数y=f(x)的反函数y f(x)的图象上台A(m,n)关于直线y=x的对称点 B(n,m)在函数y=f(