第4章 指数函数、对数函数与幂函数 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 下列函数中， 在区间（ 0 ， 1 ）上为增函数 的是 （ ） A. y＝2x 2 -x＋3 B. y＝ 1 3 3 " x C. y＝x 2 3 D. y＝log 1 2 x 2. 函数 y＝ lgx 姨 ＋lg （ 5-3x ）的定义域是 （ ） A. 0 ， 5 3 "3 B. 0 ， 5 3 3 3 C. 1 ， 5 3 "3 D. 1 ， 5 3 3 3 3. 函数 y＝ 1 3 3 " x-1 姨 的值域是 （ ） A. （ -∞ ， 0 ） B. （ 0 ， 1 ］ C. ［ 1 ， ＋∞ ） D. （ -∞ ， 1 ］ 4. 据统计， 某地区 1 月、 2 月、 3 月的用工 人数分别为 0.2 万、 0.4 万和 0.76 万， 则 该地区这三个月的用工人数 y （万人） 关 于月数 x 的函数关系近似是 （ ） A. y＝0.2x B. y＝ 1 10 （ x 2 ＋2x ） C. y＝ 2 x 10 D. y＝0.2＋log 16 x 5. 已知 log 3 2＝a ， 3 b ＝5 ， 则 log 3 30 姨 用 a ， b 表示为 （ ） A. 1 2 （ a＋b＋1 ） B. 1 2 （ a＋b ） ＋1 C. 1 3 （ a＋b＋1 ） D. 1 2 a＋b＋1 6. 已知函数 f （ x ） ＝a x ， g （ x ） ＝x a ， h （ x ） ＝log a x ， 其中 a>0 且 a≠1 ， 则在同一平面直角坐 标系中画出其中两个函数在第一象限内的 图象， 正确的是 （ ） 7. 设 a＝log 1 2 3 ， b＝ 1 3 3 " 0.2 ， c＝2 1 3 ， 则 （ ） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c 8. 若关于 x 的方程 |a x -1|＝2a （ a>0 且 a≠1 ）有 两个不等实根， 则 a 的取值范围是 （ ） A. （ 0 ， 1 ） ∪ （ 1 ， ＋∞ ） B. （ 0 ， 1 ） C. （ 1 ， ＋∞ ） D. 0 ， 1 2 3 " 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的 第四章章末测试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 x y O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 A B 第四章章末测试卷 C D 1 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 得 0 分 . 9. 下列关于幂函数 y＝x α 的性质， 描述正确 的有 （ ） A. 当 α＝-1 时函数在其定义域上是减函数 B. 当 α＝0 时函数图象是一条直线 C. 当 α＝2 时函数是偶函数 D. 当 α＝3 时函数有一个零点 0 10. 对于 0<a<1 ， 下列四个不等式中成立的 有 （ ） A. log a （ 1＋a ） <log a 1+ 1 a a " B. log a （ 1＋a ） >log a 1+ 1 a a " C. a 1＋a <a 1+ 1 a D. a 1＋a >a 1+ 1 a 11. 设函数 f （ x ） ＝2 x ， 对于任意的 x 1 ， x 2 （ x 1 ≠ x 2 ）， 下列命题中正确的有 （ ） A. f （ x 1 ＋x 2 ） ＝f （ x 1 ） f （ x 2 ） B. f （ x 1 · x 2 ） ＝f （ x 1 ） ＋f （ x 2 ） C. f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 D. f x 1 +x 2 2 a " < f （ x 1 ） +f （ x 2 ） 2 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. lg 5 2 ＋2lg2- 1 2 a " -1 ＝ . 13. 设函数 f （ x ） ＝ x-a 姨 （其中 a 为常数） 的 反函数为 f -1 （ x ）， 若函数 f -1 （ x ）的图象经 过点 （ 0 ， 1 ）， 则方程 f -1 （ x ） ＝2 的解为 . 14. 若偶函数 f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ）内单调递减 ， 则不等式 f （ -1 ） <f （ lgx ）的解集是 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知幂函数 f （ x ） = （ m-1 ） 2 x m 2 -4m+2 在（ 0 ， ＋∞ ）上单调递增， 函数 g （ x ） ＝2 x -k. （ 1 ） 求 m 的值； （ 2 ） 当 x∈ ［ 1 ， 2 ］ 时， 记 f （ x ）， g （ x ）的 值域分别为集合 A ， B ， 若 A∪B＝ A ， 求实数 k 的取值范围 . 2 16. （ 15 分） 已知函数 f （ x ） ＝log 3 （ a x -1 ）， a>0 且 a≠1. （ 1 ） 求该函数的定义域； （ 2 ） 若该函数的图象经过点 M （ 2 ， 1 ）， 讨论 f （ x ）的单调性并证明 . 17. （ 15 分） 已知 f （ x ） ＝log 2 （ 1＋x ） ＋log 2 （ 1-x ） . （ 1 ） 求函数 f （ x ）的定义域； （ 2 ） 判断函数 f （ x ）的奇偶性， 并加以说明； （ 3 ） 求 f 2 姨 2 2 $ 的值 . 第四章章末测试卷 3 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 已知函数 g （ x ）是 f （ x ） ＝a x （ a>0 且 a≠1 ）的反函数 ， 且 g （ x ）的图象过 点 2 2 姨 ， 3 2 2 $ . （ 1 ） 求 f （ x ）与 g （ x ）的解析式； （ 2 ） 比较 f （ 0.3 ） ， g （ 0.2 ）与 g （ 1.5 ）的 大小 . 19. （ 17 分） 某工厂因排污比较严重， 决定 着手整治， 一个月时污染度为 60 ， 整治 后前四个月的污染度如下表： 污染度为 0 后， 该工厂即停止整治， 污 染度又开始上升， 现用下列三个函数模 拟从整治后第一个月开始工厂的污染 模式： f （ x ） ＝20|x-4| （ x≥1 ）， g （ x ） ＝ 20 3 （ x-4 ） 2 （ x≥ 1 ）， h （ x ） ＝30|log 2 x-2| （ x≥1 ）， 其中 x 表示 月数， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ） 分别表示污 染度 . （ 1 ） 选用哪个函数模拟比较合理？ 请说 明理由 . （ 2 ） 若以比较合理的模拟函数预测， 整 治后有多少个月的污染度不超过 60 ？ 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 4 参 考 答 案 N !" C = 2 3 A !" C - 1 2 A !" B # $ = 2 3 A !" C - 1 3 A !" B ， ∴N !" A + N !" B + N !" C =0. 14. 证明： 如图， 设A !" B =m ， A !" D =n ， B !" D =xa+yb= x 1 2 n- - & m +y n- 1 2 - & m = 1 2 x+ - & y n- x+ 1 2 - & y m. 又 ∵ B !" D =n-m ， ∴ 1 2 x+y=1 ， x+ 1 2 y=1 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 解得 x= 2 3 ， y= 2 3 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 即B !" D = 2 3 a+ 2 3 b. 15. （ 1 ） 解： 由题意可得 A ， P 5 ， B 三点共线， 则 x+ y=1. （ 2 ） 证明： 由题意可知OP 1 !" =a+ 1 n （ b-a ）， OP 2 !" =a+ 2 n （ b-a ）， …， OP n-1 !" =a+ n-1 n （ b-a ）， ∴ OP 1 !" + OP 2 !" + … + OP n-1 !" = （ n-1 ） a+ 1+2+ … + （ n-1 ） n （ b-a ）， = （ n-1 ） a+ n-1 2 （ b-a ）， = n-1 2 （ a+b ） . 第四章章末测试卷 1. C 【解析】 对 y＝x α ， 当 α>0 时， y＝x α 在 （ 0 ， ＋∞ ） 上为增函数 . 故选 C. 2. C 【解析】 由题意得 lgx≥0 ， x>0 ， 5-3x>0 0 ， 即 x≥1 ， x>0 ， x< 5 3 1 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴1≤x< 5 3 . 故选 C. 3. B 【解析】 令 t＝ x-1 姨 ， 则 t≥0 ， y＝ 1 3 - & t 是减函 数， ∴0<y＝ 1 3 - & x-1 姨 ≤ 1 3 - & 0 ＝1. 故选 B. 4. C 【解析】 将自变量的每一个取值分别代入求值 比较， 即可得到 C 符合题意 . 故选 C. 5. A 【解析】 ∵3 b ＝5 ， ∴b＝log 3 5 ， ∴log 3 30 姨 ＝ 1 2 log 3 30 ＝ 1 2 （ log 3 3＋log 3 2＋log 3 5 ） ＝ 1 2 （ 1＋a＋b ） . 故选 A. 6. B 【解析】 分 a>1 和 0<a<1 两种情况， 分别画出 幂函数、 指数函数、 对数函数的图象 （图略）， 对比可 得 B 正确 . 故选 B. 7. A 【解析 】 ∵a＝log 1 2 3＜log 1 2 1＝0 ， 0＜b＝ 1 3 - & 0.2 ＜ 1 3 - & 0 ＝1 ， c＝2 1 3 ＞2 0 ＝1 ， ∴a<b<c. 故选 A. 8. D 【解析】 方程 |a x -1|＝2a （ a>0 且 a≠1 ） 有两个不 等实根， 转化为函数 y＝|a x -1| 与 y＝2a 的图象有两个交点 . ① 当 0<a<1 时， 如图 1 ， ∴0<2a<1 ， 即 0<a< 1 2 . ② 当 a>1 时， 如图 2 ， 而 y＝2a>1 不符合要求 . 综上， a 的取值范围为 0<a< 1 2 . 故选 D. 9. CD 【解析】 α＝-1 时幂函数 y＝x -1 在 （ -∞ ， 0 ）和 （ 0 ， ＋∞ ） 上是减函数， 在其定义域上不是减函数， 故 A 错误； α＝0 时幂函数 y＝x 0 ＝1 （ x≠0 ）， 其图象是一条直 线， 去掉点 （ 0 ， 1 ）， 故 B 错误； α＝2 时幂函数 y＝x 2 在定 义域 R 上是偶函数， 故 C 正确； α＝3 时幂函数 y＝x 3 在 R 上是奇函数， 且是增函数， 有唯一零点是 0 ， 故 D 正确 . 故选 CD. 10. BD 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴a< 1 a ， 从而 1＋a<1＋ 1 a . ∴log a （ 1＋a ） >log a 1+ 1 a - & . 又 ∵0<a<1 ， ∴a 1＋a >a 1+ 1 a . 故选 BD. 11. ACD 【解析】 2 x 1 · 2 x 2 ＝2 x 1 +x 2 ， ∴A 成立； 2 x 1 · x 2 ≠2 x 1 +2 x 2 ， ∴B 不成立； 函数 f （ x ） ＝2 x ， 在 R 上是单调递增函 数， 若 x 1 >x 2 ， 则 f （ x 1 ） >f （ x 2 ）， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 ， 若 x 1 < x 2 ， 则 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 >0 ， 故 C 正确； f x 1 +x 2 2 - & x y O 1 y=2a x y O 1 图 1 图 2 第 8 题答图 第 14 题答图 A B C D M N a b 91 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 < f （ x 1 ） +f （ x 2 ） 2 说明函数是凹函数， 而函数 f （ x ） ＝2 x 是凹函 数， 故 D 正确 . 故选 ACD. 12. -1 【解析】 lg 5 2 ＋2lg2- 1 2 2 " -1 ＝lg5-lg2＋2lg2-2＝ （ lg5＋lg2 ） -2＝1-2＝-1. 13. x=1 【解析】 由 y＝f （ x ） ＝ x-a 姨 ， 得 x-a＝y 2 （ y≥0 ）， ∴ 函数 f （ x ）的反函数 f -1 （ x ） ＝x 2 ＋a （ x≥0 ） . 把点（ 0 ， 1 ）代入， 可得 a＝1. ∴ f -1 （ x ） ＝x 2 ＋1 （ x≥0 ） . 由 f -1 （ x ） ＝2 ， 得 x 2 ＋1＝2 ， 即 x＝1. 14. 0 ， 1 10 2 " ∪ （ 10 ， ＋∞ ） 【解析】 ∵f （ x ）为偶函数 ， ∴f （ x ） ＝f （ |x | ） . ∵f （ x ）在 （ -∞ ， 0 ）上单调递减 ， ∴ f （ x ） 在（ 0 ， ＋∞ ）上单调递增， 故 |lgx|>1 ， 即 lgx>1 或 lgx<-1 ， 解得 x>10 或 0<x< 1 10 . 15. 解： （ 1 ） ∵f （ x ）为幂函数， ∴ （ m-1 ） 2 ＝1 ， ∴m＝0 或 2. ① 当 m＝0 时， f （ x ） ＝x 2 在（ 0 ， ＋∞ ）上单调递增， 满足 题意； ② 当 m＝2 时， f （ x ） ＝x -2 在（ 0 ， ＋∞ ）上单调递减， 不 满足题意， 舍去 . ∴m＝0. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， f （ x ） ＝x 2 . ∵f （ x ）， g （ x ）在 ［ 1 ， 2 ］ 上单调递增， ∴A∈ ［ 1 ， 4 ］， B∈ ［ 2-k ， 4-k ］ . ∵A∪B＝A ， ∴B哿A ， ∴ 2-k≥1 ， 4-k≤4 4 ， 解得 0≤k≤1. 故实数 k 的取值范围为［ 0 ， 1 ］ . 16. 解： （ 1 ） 要使函数 f （ x ）有意义， 需 a x -1>0 ， 即 a x >1. ① 当 a>1 时， 可得 x>0 ， ∴a>1 时， 函数的定义域为 （ 0 ， ＋∞ ）； ② 当 0<a<1 时， 可得 x<0 ， ∴0<a<1 时， 函数的定义 域为（ -∞ ， 0 ） . （ 2 ） ∵ 函数的图象经过点 M （ 2 ， 1 ）， ∴1＝log 3 （ a 2 -1 ）， ∴a 2 -1＝3 ， 即 a 2 ＝4. 又 ∵a>0 ， ∴a＝2 ， ∴ f （ x ） ＝log 3 （ 2 x -1 ） . 显然 x>0 ， f （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上是增函数 . 证明如下： 任取 x 2 >x 1 >0 ， 则 2 x 2 >2 x 1 >1 ， ∴2 x 2 -1>2 x 1 -1>0. 又 ∵y＝log 3 x 在（ 0 ， ＋∞ ）上单调递增， ∴log 3 （ 2 x 2 -1 ） >log 3 （ 2 x 1 -1 ）， 即 f （ x 2 ） >f （ x 1 ）， ∴ f （ x ）在（ 0 ， ＋∞ ）上是增函数 . 17. 解： （ 1 ） 由 1＋x>0 ， 1-x>0 4 ， 得 x>-1 ， x<1 4 ， 即 -1<x<1. ∴ 函数 f （ x ）的定义域为 {x|-1<x<1} . （ 2 ） 函数 f （ x ）为偶函数 . 证明如下： ∵ 函数 f （ x ）的定义域为 {x|-1<x<1} ， 又 ∵f （ -x ） ＝log 2 ［ 1＋ （ -x ）］ ＋log 2 ［ 1- （ -x ）］ ＝log 2 （ 1-x ） ＋log 2 （ 1＋x ） ＝f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ） ＝log 2 （ 1＋x ） ＋log 2 （ 1-x ）为偶函数 . （ 3 ） f 2 姨 2 2 " ＝log 2 1+ 2 姨 2 2 " ＋log 2 1- 2 姨 2 2 " ＝log 2 1+ 2 姨 2 2 " 1- 2 姨 2 2 "2 + ＝log 2 1- 1 2 2 " ＝log 2 1 2 ＝-1. 18. 解： （ 1 ） ∵ 函数 g （ x ）是 f （ x ） ＝a x （ a>0 且 a≠1 ） 的反函数， ∴g （ x ） ＝log a x （ a>0 且 a≠1 ） . ∵g （ x ）的图象过点 2 2 姨 ， 3 2 " ， ∴log a 2 2 姨 ＝ 3 2 ， ∴a 3 2 ＝2 2 姨 ， 解得 a＝2. ∴f （ x ） ＝2 x ， g （ x ） ＝log 2 x. （ 2 ） ∵f （ 0.3 ） ＝2 0.3 >2 0 ＝1 ， g （ 0.2 ） ＝log 2 0.2<0 ， 又 ∵g （ 1.5 ） ＝log 2 1.5<log 2 2＝1 ， 且 g （ 1.5 ） ＝log 2 1.5>log 2 1 ＝0 ， ∴0<g （ 1.5 ） <1 ， ∴ f （ 0.3 ） >g （ 1.5 ） >g （ 0.2 ） . 19. 解： （ 1 ） 用 h （ x ）模拟比较合理， 理由如下： ∵f （ 2 ） ＝40 ， g （ 2 ） ≈26.7 ， h （ 2 ） ＝30 ， f （ 3 ） ＝20 ， g （ 3 ） ≈6.7 ， h （ 3 ） ≈12.5 ， 由此可得 h （ x ）更接近实际值， ∴ 用 h （ x ）模拟比较 合理 . （ 2 ） ∵h （ x ） ＝30|log 2 x-2| 在 x≥4 时是增函数， 又 ∵h （ 16 ） ＝60 ， 故整治后有 16 个月的污染度不超 过 60. 第五章章末测试卷 1. A 【解析】 由随机数表， 抽样编号依次为 43 ， 36 ， 47 ， 36 （前面出现过去掉 ）， 46 ， 24 ， 第 5 个是 24. 故 选 A. 2. C 【解析】 ∵ 该地区经过一年的新农村建设， 农 村的经济收入增加了一倍， 不妨设建设前的经济收入为 m ， 则建设后的经济收入为 2m. 从扇形统计图可以看到， 新农村建设后 ， 种植收入比建设前增加 2m×37%-m× 60%=m×14% ， 故 A 正确； 新农村建设后， 其他收入比 建设前增加 2m×5%-m×4%=m×6%>m×4% ， 即增加了一 倍以上， 故 B 正确； 养殖收入的比重在新农村建设前与 建设后相同， 但建设后总收入为之前的 2 倍， ∴ 建设后 92