4.6 函数的应用（二）&4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 4.6 函数的应用 （二） & 4.7 数学建模活动： 生长规律的描述 效 果 评 价 1． 某公司为适应市场需求， 对产品结构 进行了重大调整， 调整后初期利润增长迅 速， 后期增长越来越慢 ． 若要建立恰当的函 数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系， 可选用 （ ） A． 一次函数 B． 二次函数 C． 指数型函数 D． 对数型函数 2． 已知函数 t＝－144lg 1- N 100 0 " 的图象可 表示打字任务的 “学习曲线”， 其中 t 表示 达到打字水平 N （字 /min ） 所需的学习时间， N 表示打字速度 （字 /min ） ． 则按此曲线要 达到 90 字 /min 的水平， 所需的学习时间是 （ ） A． 144 min B． 90 min C． 60 min D． 40 min 3． 某种产品今年的产量是 a ， 如果保持 5% 的年增长率， 那么经过 x 年 （ x∈N * ）， 该 产品的产量 y 满足 （ ） A． y＝a （ 1＋5%x ） B． y＝a＋5%x C． y＝a （ 1＋5% ） x－1 D． y＝a （ 1＋5% ） x 4． （多选题 ） 如图 所示是某受污染的湖泊 在自然净化过程中某种 有害物质的残留量 y 与 净化时间 t （月 ） 的近 似函数关系 y＝a t （ t≥0 ， a>0 且 a≠1 ） 的图 象， 则 （ ） A． 第 3 个月有害物质的残留量是 2 27 B． 第 4 个月时， 残留量就会低于 1 5 C． 每月减少的有害物质质量都相等 D． 当残留量为 1 2 ， 1 4 ， 1 8 时， 所经过 的时间分别是 t 1 ， t 2 ， t 3 ， 则 t 1 ＋t 2 ＝t 3 5． （多选题） 江苏省高邮市素有 “鱼米 之乡” 之称， 高邮城西有风光秀丽的高邮 湖， 湖内盛产花鲢鱼， 记花鲢鱼在湖中的游 速为 v m/s ， 花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位 数为 x ， 经研究发现 ， 花鲢鱼的游速 v 与 log 2 x 100 （ x≥100 ） 成正比 . 经测定， 当花鲢 鱼的耗氧量为 200 单位时， 其游速为 1 2 m/s. 则下列说法正确的有 （ ） A． v＝ 1 2 log 2 x 100 （ x≥100 ） B． 当花鲢鱼静止时， 耗氧量为 100 单位 C． 当花鲢鱼的耗氧量为 400 单位时， 其 游速为 2 m/s D． 若某条花鲢鱼的游速提高了 1 m/s ， 则它的耗氧量的单位数是原来的 2 倍 6． 在一次数学试验中， 应用图形计算器 采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 t/ 月 1 2 3 4 1 O y 第 4 题图 2 ， 4 9 0 " 24 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 练 给出下列几个函数： ①y＝a＋bx ； ②y＝a＋b x ； ③y＝ax 2 ＋b ； ④y＝ a＋ b x . 其中可以近似表示这些数据满足的规律 的是 . 7． 某品牌笔记本电脑的成本不断降低， 若每隔 4 年价格就降低 1 3 ， 则现在价格为 8 100 元的笔记本电脑， 12 年后的价格将降 为 元 ． 8． 有关数据显示， 中国某行业产生的包 装垃圾在 2015 年约为 400 万吨， 2016 年的 年增长率为 50%. 有专家预测， 如果不采取 措施， 未来包装垃圾还将以此增长率增长 . 从 年开始， 该行业产生的包装垃圾 将超过 4 000 万吨 ． （参考数据： lg2≈0.301 0 ， lg3≈0.477 1 ） 9． 物体在常温下的温度变化可以用牛顿 冷却规律来描述： 设物体的初始温度是 T 0 ， 经过一段时间 t （ min ） 后的温度是 T ， 则有 T-T α = （ T 0 -T α ） 1 2 2 # t h ， 其中 T α 表示环境温 度， h 称为半衰期且 h=10． 现有一杯用 89 ℃ 热水冲的速溶咖啡， 放置在 25 ℃ 的房间中 20 min ， 求此时咖啡的温度是多少摄氏度 . 如果要降温到 35 ℃ ， 共需要多长时间 ？ （参考数据： lg2≈0.301 ， 结果精确到 0.1 ） 10． 某公司对营销人员有如下规定 ： ① 年销售额 x （万元） 在 8 万元以下， 没有 奖金； ② 年销售额 x （万元）， x∈ ［ 8 ， 64 ］ 时， 奖金为 y 万元， 且 y＝log a x ， y∈ ［ 3 ， 6 ］， 且年销售额越大， 奖金越多； ③ 年销售额 x （万元） 超过 64 万元， 按年销售额的 10% 发 奖金 ． （ 1 ） 求奖金 y 关于 x 的函数解析式； （ 2 ） 某营销人员争取奖金 y∈ ［ 4 ， 10 ］ （万元）， 求年销售额 x 在什么范围内 ． 提 升 练 习 11 ． 核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法， 通过化学物质的荧光信号， 对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA 实时 监测 . 在 PCR 扩增的指数时期， 荧光信号强 度达到阈值时， DNA 的数量 X n 与扩增次数 n 满足 lgX n =nlg （ 1+p ） +lgX 0 ， 其中 p 为扩增效 率， X 0 为 DNA 的初始数量 . 已知某被测标 本 DNA 扩增 10 次后， 数量变为原来的 100 倍， 那么该样本的扩增效率 p 约为 （ ） （参考数据： 10 0.2 ≈1.585 ， 10 -0.2 ≈0.631 ） A． 0.369 B． 0.415 C． 0.585 D． 0.631 12． 2020 年 12 月 17 日凌晨， 嫦娥五号 返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定 区域安全着陆 ． 嫦娥五号返回舱之所以能达 25 练 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 到如此高的再入精度， 主要是因为它采用弹 跳式返回弹道， 实现了减速和再入阶段弹道 调整， 这与 “打水漂” 原理类似 （如图所 示） ． 现将石片扔向水面， 假设石片第一次 接触水面的速率为 100 m/s ， 这是第一次 “打 水漂”， 然后石片在水面上多次 “打水漂”， 每次 “打水漂” 的速率为上一次的 90% ， 若 要使石片的速率低于 60 m/s ， 则至少需要 “打水漂” 的次数为 （参考数据： 取 ln0.6≈ －0.511 ， ln0.9≈－0.105 ） （ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 13． （多选题） 在某种金属材料的耐高 温试验中， 温度 y 随着时间 t 变化的情况由 计算机记录后显示的图象如图所示 . 给出下 列说法， 其中正确的有 （ ） A． 前 5 min 温度增加的速度越来越快 B． 前 5 min 温度增加的速度越来越慢 C． 5 min 以后温度保持匀速增加 D． 5 min 以后温度保持不变 * 14． 下表表示的是某款车的车速与刹车 距离的关系， 试分别就 y=a · e kx ， y=ax n ， y= ax 2 +bx+c 三种函数关系建立数学模型， 并探讨 最佳模拟， 根据最佳模拟求车速为 120 km/h 时的刹车距离 ． 第 12 题图 t/min y/℃ O 5 第 1３ 题图 车速 / （ km/h ） 10 15 30 40 50 刹车距离 /m 4 7 12 18 25 车速 / （ km/h ） 60 70 80 90 100 刹车距离 /m 34 43 54 66 80 26 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 着 1+ 1 a 的减小而减小， ∴ Δf Δx 随着 a 的增大而减小， ∴③ 错误， ④ 正确 . 4.6 函数的应用 （二） & 4.7 数学建模活动： 生长规律的描述 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 依题意可知， 经过 x 天沙漠蝗虫的数量 为 N 0 （ 1+5% ） x （ x∈N * ）， 由 N 0 （ 1+5% ） x =1 600N 0 ， 得 1.05 x =1 600 ， 两边取自然对数得 xln1.05=ln1 600 ， 得 x= ln1 600 ln1.05 ≈ 7.377 8 0.048 8 ≈151.18 ， ∴ 经过 152 天能达到最初的 1 600 倍 . 故选 A. 变式训练 2 C 【解析】 当 S N =1 000 时， C 1 =Wlog 2 1 000 ， 当 S N =8 000 时， C 2 =Wlog 2 8 000 ， ∴ C 2 C 1 = Wlog 2 8 000 Wlog 2 1 000 = lg8 000 lg1 000 = 3+3lg2 3 ≈1.3 ， ∴ 约增 加了 30%. 故选 C. 变式训练 3 解 ： 设平均每年的增长率为 x ， 则 由 题 意 ， 得 8 000 （ 1+x ） 5 =14 000 ， 即（ 1+x ） 5 = 14 8 =1.75 ， 两边同取常用 对数 ， 得 5lg （ 1+x ） =lg1.75 ， ∴lg （ 1+x ） = 1 5 lg1.75≈ 1 5 × 0.243 0≈0.048 6 ， ∴1+x≈1.118 ， 即 x≈0.118=11.8%. 随堂练习 1. B 【解析】 将 1 000 元钱按复利计算 ， 则存满 5 年后的本息和为 1 000×1.017 5 5 =1 091 ， 故可以获得利息 1 091-1 000=91 （元） . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知 2019 年为 y=800 （ 1+x% ）（ x> 0 ） ， 2020 年为 y=800 （ 1 +x% ） 2 （ x>0 ） ， 2021 年 为 y= 800 （ 1+x% ） 3 （ x>0 ） . 故选 B. 3. D 【解析 】 设山区第一年绿色植被的面积为 a ， 则 y=f （ x ） = a× （ 1+10.4% ） x a = （ 1+10.4% ） x ， 易知其定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， 值域为 ［ 1 ， +∞ ）， 且随 x 的增大， y 增长的 速度越来越快 ． 故选 D． 4. D 【解析】 由题目信息可得， 初期增长迅速， 后 来增长越来越慢， 故可用对数型函数模型来反映 y 与 x 的关系 . 故选 D. 5. 解： （ 1 ） 根据表中的数据描点画出图象， 观察 这个图象， 发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线， 因 此， 可以判断它不能用函数 y=ax+b 来近似反映 . 根据这 些点的走向趋势， 我们可以考虑用函数 y=a · b x 来近似拟合 . 选择表中两点 ， 如点 （ 70 ， 7.90 ）， （ 170 ， 58.05 ） 的坐标代入 y=a · b x ， 可得 a≈2 ， b≈1.02. ∴ 该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可 以选为 y=2×1.02 x . （ 2 ） 将 x=175 代入 y=2×1.02 x ， 得 y=2×1.02 175 ， 计算得 y≈63.98. 由于 78 63.98 ≈1.22>1.2 ， ∴ 这个男生体重偏胖 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由题意分析， 符合对数型函数的特点 . 故选 D. 2. A 【解析】 由题意把 N＝90 代入 t＝-144lg 1- N 100 0 $ 中， 得 t＝-144lg 1- 90 100 0 & ＝-144lg 10 100 ＝144. 故选 A. 3. D 【解析 】 经过 1 年， y＝a （ 1＋5% ）， 经过 2 年， y＝a （ 1＋5% ） 2 ， …， 经过 x 年， y＝a （ 1＋5% ） x . 故选 D. 4. BD 【解析】 由于函数的图象经过点 2 ， 4 9 0 & ， 故 函数的关系式为 y＝ 2 3 0 & t . 当 t＝3 时， y＝ 2 3 0 & 3 ＝ 8 27 ， 故 A 错误； 当 t＝4 时， y＝ 16 81 < 1 5 ， 故 B 正确； 当 t＝1 时， y＝ 2 3 ， 减少 1 3 ， 当 t＝2 时， y＝ 4 9 ， 减少 2 9 ， 故每月减少 的有害物质质量不相等， 故 C 错误； 分别令 y＝ 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 解得 t 1 ＝log 2 3 1 2 ， t 2 ＝log 2 3 1 4 ， t 3 ＝log 2 3 1 8 ， ∴t 1 ＋t 2 ＝t 3 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 5. AB 【解析 】 ∵ 花鲢鱼的游速 v 与 log 2 x 100 （ x ≥100 ） 成正比， ∴ 设 v＝klog 2 x 100 . 又 ∵ 当 x＝200 时， v＝ x y O 70 60 50 40 30 20 10 60 80 100 120 140 160 180 第 5 题答图 48 参 考 答 案 1 2 ， ∴ 1 2 ＝k · log 2 200 100 ， 解得 k＝ 1 2 ， ∴v＝ 1 2 log 2 x 100 （ x≥ 100 ）， 故 A 正确； 当花鲢鱼静止时， 即 v＝0 ， 得 1 2 log 2 x 100 ＝0 ， 解得 x＝100 ， 故 B 正确； 当花鲢鱼的耗氧量为 400 单位时， 即 x＝400 ， 得 v＝ 1 2 log 2 400 100 ＝ 1 2 log 2 4＝1 m/s ， 故 C 错误； 设花鲢鱼开始的游速为 v 0 ， 耗氧量的单位数为 x 0 ， 则后来的速度为 v 1 ， 设提速后的耗氧量的单位数为 x 1 ， ∵v 1 ＝v 0 ＋1＝ 1 2 log 2 x 0 100 ＋1＝ 1 2 log 2 x 0 100 + " # 2 ＝ 1 2 log 2 4x 0 100 ， 又 ∵v 1 ＝ 1 2 log 2 x 1 100 ， 即 1 2 log 2 4x 0 100 ＝ 1 2 log 2 x 1 100 ， ∴x 1 ＝4x 0 ， 即耗氧量的单位数是原来的 4 倍， 故 D 错误 . 故选 AB. 6. ② 【解析 】 由题中表格数据画出函数的大致图 象， 可知这些数据满足的规律近似于指数函数 . 故答案 是 ②. 7. 2 400 【解析】 12 年后的价格可降为 8 100× 1- 1 3 " $ 3 = 2 400 （元） . 8. 2021 【解析 】 设该行业生产的包装垃圾为 y 万 吨， n 表示从 2015 年开始增加的年份的数量， 由题意可得 y＝400× （ 1＋50% ） n ＝400× 3 2 2 $ n ， 当 y>4 000 时， 有 3 2 " $ n >10 ， 两边取对数可得 n （ lg3-lg2 ） >1 ， ∴n （ 0.477 1-0.301 0 ） >1 ， 解得 n>5.7. ∵n∈N * ， ∴n=6 ， ∴ 从 2021 年开始， 该行业产生的包装垃圾将超过 4 000 万吨 . 9. 解： 由条件知， T 0 =89 ， T 琢 =25 ， t=20. 代入 T-T 琢 = （ T 0 -T 琢 ）· 1 2 2 $ t h ， 得 T-25= （ 89-25 ） × 1 2 2 $ 20 10 ， 解得 T=41 ℃ ； 如果要降温到 35 ℃ ， 则 35-25= （ 89-25 ） × 1 2 2 $ t 10 . 解得 t≈26.8. 答： 此时咖啡的温度为 41 ℃ ， 要降温到 35 ℃ ， 共 需要约 26.8 min. 10. 解： （ 1 ） 依题意知 y＝log a x 在 x∈ ［ 8 ， 64 ］ 上为增 函数， 由题意得 log a 8＝3 ， log a 64＝6 6 ， ∴a＝2 ， ∴y＝ 0 ， 0≤x<8 ， log 2 x ， 8≤x≤64 ， 1 10 x ， x>64 4 , , , , , + , , , , , - . （ 2 ） 易知 x≥8. 当 8≤x≤64 时 ， 要 使 y∈ ［ 4 ， 10 ］ ， 则 4≤log 2 x ≤10 ， ∴16≤x≤1 024 ， ∴16≤x≤64. 当 x>64 时， 要使 y∈ ［ 4 ， 10 ］， 则 1 10 x∈ ［ 4 ， 10 ］， 即 40≤x≤100 ， ∴64<x≤100. 综上， 当年销售额 x 在［ 16 ， 100 ］ （万元） 内时， 奖 金 y∈ ［ 4 ， 10 ］ （万元） . 提升练习 11. C 【解析 】 由题意知 ， lg （ 100X 0 ） =10lg （ 1+p ） + lgX 0 ， 即 2+lgX 0 =10lg （ 1+p ） +lgX 0 ， ∴1+p=10 0.2 ≈1.585 ， 解 得 p≈0.585. 故选 C. 12. C 【解析】 设石片第 n 次 “打水漂” 时的速率为 v n ， 则 v n ＝100×0.90 n－1 . 由 100×0.90 n－1 <60 ， 得 0.90 n－1 <0.6 ， 则（ n－1 ） ln0.90<ln0.6 ， 即 n－1> ln0.6 ln0.9 ≈ -0.511 -0.105 ≈4.87 ， 则 n>5.87 ， 故至少需 要 “打水漂” 的次数为 6. 故选 C. 13. BC 【解析】 温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后 平， 即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量 Δt ， 则 y 相应的 增量 Δy 越来越小， 而 5 min 后 y 关于 t 的图象是直线， 即温度匀速增加， 则 B ， C 正确 . 故选 BC. * 14. 解： 若以 y=a · e kx 为模拟函数， 当 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ） 代入函数关系式， 得 a · e 10k =4 ， a · e 40k =18 6 ， 解得 k≈0.050 136 ， a≈2.422 8 6 ， ∴y=2.422 8e 0.050 136x ， 以此函数关系式计算车速为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 220.8 m ， 364.5 m ， 与实际 数据相比， 误差较大 ． 若以 y=ax n 为模拟函数， 将 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ） 代 入函数关系式 ， 得 a · 10 n =4 ， a · 40 n =18 6 ， 解得 n≈1.085 ， a≈0.328 9 6 ， ∴y= 0.328 9x 1.085 ， 以 此 函 数 关 系 式 计 算 车 速 为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 43.39 m ， 48.65 m ， 与实际 情况误差也较大 ． 若以 y=ax 2 +bx+c 为模拟函数， 将 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ）， （ 60 ， 34 ） 代入函数关系式， 得 a · 10 2 +b · 10+c=4 ， a · 40 2 +b · 40+c=18 ， a · 60 2 +b · 60+c=34 4 , , , + , , , , - ， 解得 a= 1 150 ， b= 2 15 ， c=2 4 , , , , , , + , , , , , , - ， ∴y= 1 150 x 2 + 2 15 x+2 ， 以此函数关系式计算车速 为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 68 m ， 82 m ， 与前两个函数相比， 此函数更符合实际情况 ． 当 x=120 时， y=114 ， 即当车速为 120 km/h 时， 刹车 距离为 114 m． 49