精品解析：浙江省温州市第二十二中学2022-2023学年高二暑假返校检测数学试题

温州市第二十二中学2021级高一暑假测试 数 学 试 题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有1个正确答案.） 1. 复数满足 （为虚数单位）， 则的共轭复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知中，角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足与方向相同，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与平行或相交 D. 若，则与一定相交 5. 在一次古典概型随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 6. 牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 7. 已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，在翻折到的过程中，下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥的体积的最大值为 B. 当面平面时，二面角的正切值为 C. 存在某一翻折位置，使得 D. 棱PB中点为N，则CN的长为定值 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题至少有2个选项正确，全部选对得5分，部分对得2分，有选错，不得分.） 9. 甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（       ） A. 甲跑步里程的极差等于110 B. 乙跑步里程的中位数是270 C. 分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D. 分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 10. 在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下正确的是（       ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 12. 数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第16题，第一空2分，第二空3分，请将正确答案写在答题纸相应位置.） 13. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人． 14. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是__. 15. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________. 16. 农历五月初五是中国的传统节日——端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”.同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为___________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为___________. 四、解答题（本题共6小题，第17题，10分，其余每题12分，共70分.要求写出必要的解答步骤，证明过程或文字说明.） 17. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足. （1）求复数； （2）设复数满足：为纯虚数，，求的值. 18. 某单位工会有500位会员，利用“健步行”开展全员参与的“健步走奖励”活动.假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步） 1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.9 1.4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.0 1.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8 0.9 0.8 1.1 0.4 0.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6 1.5 1.6 0.90.7 13 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4 频率分布表： 分组 频数 频率 2 0.04 0.06 5 0.10 11 022 8 0.16 7 0.14 合计 50 1.00 频率分布直方图： （1）写出，，的值； （2）①绘制频率分布直方图； ②假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值； （3）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数.你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少的工会会员当日走步获得奖励吗?说明理由. 19. 已知三个内角所对的边分别为 （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 20. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 21. 已知四棱锥，底面为菱形， ，H为上的点，过的平面分别交于点M，N，且平面． （1）证明：； （2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 22. 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底面相切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，. （1）线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出的长；若不存在请说明理由. （2）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温州市第二十二中学2021级高一暑假测试 数 学 试 题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有1个正确答案.） 1. 复数满足 （为虚数单位）， 则的共轭复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义及复数的几何意义判断即得. 【详解】依题意，在复平面内对应点在第二象限. 故选：B 2. 已知中，角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用正弦定理得出，再计算得出角. 【详解】由正弦定理,可得, 所以，. 故选：A. 3. 已知平面向量满足与方向相同，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量方向相同设的坐标，再根据模长求参即可得出向量坐标. 【详解】因为与方向相同，所以设, 又因为, 所以，所以. 故选：C. 4. 已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与平行或相交 D. 若，则与一定相交 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行的性质可判断ABC；由线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于BC，若，则直线没有公共点，直线与平行或异面，BC错误； 对于D，若，当时，与平行，D错误 故选：A 5. 在一次古典概型的随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ） A. 与C是互斥事件，也是对立事件 B. 与D是互斥事件，也是对立事件 C. 与是互斥事件，但不是对立事件 D. A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查互斥事件及对立事件的概念，依据互斥事件和对立事件的定义判断即可. 【详解】由于A,B,C,D彼此互斥且,则是一个必然事件, 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件； 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件. 所以与C是互斥事件，但不是对立事件； 与D是互斥事件，但不是对立事件； 与是互斥事件，也是对立事件； A与是互斥事件，也是对立事件. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 6. 牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为和,则,解得, 当B在大球的过A的半径上时AB的长最小， ∴AB长度的最小值是, 故选：A 7. 已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可设，由题意求出，根据向量的几何意义找到向量对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到与夹角最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案. 【详解】由题意可设，则 由于对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立，故， 即 ， 所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内 （含边界直线），设 ，，则, 故， 不妨假设向量对应的点在上部分区域内， 则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上， 且当时，最大，此时， 所以 ，即最小值为， 由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时， 可以无限趋近于0，故， 因此的范围是， 当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是， 故选：D 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，在翻折到的过程中，下列说法错误的是（ ） A. 四棱锥的体积的最大值为 B. 当面平面时，二面角的正切值为 C. 存在某一翻折位置，使得 D. 棱PB的中点为N，则CN的长为定值 【答案】C 【解析】 【分析】当平面平面时，四棱锥的高取得最大值，此时体积达到最大值，经计算可知A正确；作出二面角的平面角，经计算可知B正确；利用反证法可知C不正确；取的中点，连，，，可得，经计算可知D正确. 【详解】在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为， 所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积达到最大， 当平面平面时，四棱锥的高取得最大值， 其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为， 所以四棱锥的体积的最大值为，故A正确； 当平面平面时，过作，垂足为，则平面，所以， 过作，垂足为，连接，因为，所以平面， 所以，所以为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 因为， 所以， 在直角三角形中，， 所以， 所以，所以二面角的正切值为，故B正确； 连接，如图： 假设，因为，，所以平面，所以， 所以， 又，二者相矛盾，故假设不成立， 故与不垂直，故C不正确； 取的中点，连，，，如图： 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 在直角三角形中，，所以， 即的长为定值，故D正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：在解决翻折问题时，解题的关键是观察清楚在翻折的过程中，哪些长度和角度没有发生变化，哪些发生了变化. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题至少有2个选项正确，全部选对得5分，部分对得2分，有选错，不得分.） 9. 甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（       ） A. 甲跑步里程的极差等于110 B. 乙跑步里程的中位数是270 C. 分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D. 分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据极差、中位数、平均数、标准差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，甲跑步里程的极差为，A正确； 对于B，乙跑步里程的中位数为，B错误； 对于C，甲跑步里程的平均数， 乙跑步里程的平均数，，C错误； 对于D，根据折线图知，甲的波动大，乙的波动小，，D正确. 故选：AD 10. 在三角形ABC中（A点在BC上方），若，，BC边上的高为h，三角形ABC的解的个数为n，则以下正确的是（       ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出外接圆如图所示，根据题意可求出外接圆的半径为2，然后结图形判断即可. 【详解】作出外接圆，如图，为的中点，则， 由，，得的外接圆半径为， 由，得，， 当时，最大为3，此时是唯一的，B正确，A正确， 当时，由圆的对称性知，在直线两侧各有一个点满足条件，则，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围. 【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动， 又平面，所以平面， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， 同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A正确； 对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动， 三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点， 则，其大小随着的变化而变化，C错误； 对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线， 因为且,所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角是直线与所成角， 在正中，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 12. 数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心，重心，垂心，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义和性质结合平面向量的数量积运算判断A，利用给定定义和性质结合平面向量的线性运算判断B，C，利用三角心的性质结合给定定义判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，即，故A正确， 对于B，由是的重心，设为的中点， 可得， 所以，故B错误， 对于C，过的外心分别作，的垂线， 垂足为，如图，连接， 因为，，且在中， 所以是的中点，同理可得是的中点， 所以 ， ，故C正确， 对于D，因为是的重心，所以， 所以， ，而由欧拉线定理可得， 所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第16题，第一空2分，第二空3分，请将正确答案写在答题纸相应位置.） 13. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人． 【答案】60 【解析】 【分析】先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以 北乡比南乡多抽人. 故答案为 【点睛】本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型. 14. 在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是__. 【答案】 【解析】 【分析】确定基本事件空间为，根据古典概型计算求解，即可. 【详解】满足题意的所有两位数有，共15个. 其中能被4整除的两位数有，共5个. 所以概率 故答案： 15. 为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式计算即得. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，则，在中，， 由余弦定理得：. 故答案为：1000 16. 农历五月初五是中国的传统节日——端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”.同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为___________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的倍，由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案. 【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1， 如图，在棱长为1的正四面体中， 取中点D，连结， 作平面，垂足O在上， 则， 则该六面体的体积为. 当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时， 球心为O，且该球与相切， 过球心O作，则就是球的半径， 因为， 所以球的半径， 所以该球的体积为. 故答案为：， 四、解答题（本题共6小题，第17题，10分，其余每题12分，共70分.要求写出必要的解答步骤，证明过程或文字说明.） 17. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足. （1）求复数； （2）设复数满足：为纯虚数，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】分析：（1）解一元二次方程，得到，根据在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断的取值． （2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得x、y的值，进而求得的值． 详解：（1）因，所以， 又复数对应的点位于第二象限， 所以； （2）因为， 又纯虚数，所以， 又得， 解得，或，； 所以. 点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题． 18. 某单位工会有500位会员，利用“健步行”开展全员参与的“健步走奖励”活动.假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步） 1.1 1.4 1.3 1.6 0.3 1.6 0.9 1.4 1.4 0.9 1.4 1.2 1.5 1.6 0.9 1.2 1.2 0.5 0.8 1.0 1.4 0.6 1.0 1.1 0.6 0.8 0.9 0.8 1.1 0.4 0.8 1.4 1.6 1.2 1.0 0.6 1.5 1.6 0.90.7 1.3 1.1 0.8 1.0 1.2 0.6 0.5 0.2 0.8 1.4 频率分布表： 分组 频数 频率 2 0.04 0.06 5 0.10 11 0.22 8 0.16 7 0.14 合计 50 1.00 频率分布直方图： （1）写出，，的值； （2）①绘制频率分布直方图； ②假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值； （3）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数.你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少的工会会员当日走步获得奖励吗?说明理由. 【答案】（1），，；（2）①答案见解析；②1.088万步；（3）能，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为，由题中条件列出方程求解，即可得出，由样本容量及对应区间的频率，即可得出，； （2）①由题中数据，直接完善频率分布直方图； ②由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数； （3）根据题中条件，可直接得出分位数；进而可得出万时，能满足题意. 【详解】（1）因为， ∴， ∴， 因为样本中共50 人， ∴， ， ∴，，. （2）①频率分布直方图如下图所示 ②设平均值为，则有 ， 则该单位所有会员当日步数的平均值为1.088万步. （3）∵， ∴分位数为第35和36个数的平均数， ∵共有14人，且1.3有2个， ∴ 第35和第36个数均为1.3， ∴分位数为1.3， 设为会员步数，则万时，人数不少于， ∴ 能保证的工会会员获得奖励. 【点睛】本题主要考查完善频率分布表，考查画频率分布直方图，以及由频率分布直方图求平均数，属于基础题型. 19. 已知三个内角所对的边分别为 （1）若，求的面积； （2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可； （2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：因为线段的中点为，，， 所以在中，由，解得（舍）， 所以在中，，即， 因为，所以， 所以由正弦定理得外接圆半径满足， 所以外接圆半径 20. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率分别计算甲、乙比赛胜出的概率比较即可得解； （2）考虑问题的对立面，计算两人都没有赢得比赛的概率，根据对立事件的概率之和为1即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，，， ， 同理 因为， 所以，派甲参赛获胜的概率更大. 【小问2详解】 由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，； 于是“两人中至少有一人赢得比赛”. . 21. 已知四棱锥，底面为菱形， ，H为上的点，过的平面分别交于点M，N，且平面． （1）证明：； （2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质、判定推理即得. （2）连接，连接，利用线面垂直的判定性质确定线面角，可得为等边三角形，再作出二面角的平面角，进而求出其余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面，平面， 平面平面，得，而平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，连接，由菱形，得，且为的中点， 而，则，又且平面，于是平面， 由，且为的中点，得，而平面， 则平面，即与平面所成的角为，， 于是，又，则， ，则为等边三角形，由为的中点，得， 由及平面，得平面，又平面， 则平面平面，交线为，又平面，于是平面， 而平面，则，过作于，连接， 又平面，则平面，又平面， 则，为二面角的平面角，不妨设， 易知为的重心，， ， ，即有， ，， 因此，，， 所以二面角的余弦值为. 22. 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底面相切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，. （1）线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出的长；若不存在请说明理由. （2）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）存在，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合圆柱的结构特征，利用线面垂直的性质判定推理求解. （2）在圆上运动，到达点，设，利用面面垂直性质、线面角的定义求出线面角正弦的函数关系，借助基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，由对称性知，平面， 由线段为圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，则平面，平面， 则，要使平面，只需，则， 在直角梯形中，， 点在线段上，且，则点到直线距离， 点到直线的距离，则， ， 因此，而，所以存在符合条件的点，. 【小问2详解】 以平面参照面，令平面与圆交于，点在圆上， 在圆上运动，到达点，设， 在圆所在平面内过作于，由平面垂直于圆所在平面， 则平面，连，则为直线与平面所成角， 由图知，的正弦值最大时，，， 在直角梯形中，， ， ，设， ， 当且仅当，即时取等号， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $