精品解析：江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2024—-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

丰城中学2024-2025学年上学初三第一次月考试卷数学 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 4. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是 （ ） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰三角形 D. 是等腰直角三角形 6. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 8. 观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 9. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 10. 如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若，，则正方形的面积为_____________ 11. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题 13. （1）计算：． （2）计算：． 14. 已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： （1）如图1，在上作点，使； （2）如图2，在上作点，使； 15. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． 16. 如图，在中，，是的中线，作于，作交于． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 17. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到（A，B，C的对应点分别为D，E，F）．请在方格纸中画出． （2）若是的中线，求的面积． 18. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 19. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 20. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） （1）求“大碗”的口径的长； （2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 21. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 22. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线顶点为D，直线交y轴于E点； ①设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值； ②在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2024-2025学年上学初三第一次月考试卷数学 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 3. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ） A. 五月份空气质量为优的天数是16天 B. 这组数据的众数是15天 C. 这组数据的中位数是15天 D. 这组数据的平均数是15天 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 4. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 5. 在中，，均为锐角，且，则下列对的形状的描述中，最准确的是 （ ） A. 是直角三角形 B. 是等边三角形 C. 是等腰三角形 D. 是等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，特殊角的三角函数值的应用，等边三角形的判定，根据非负数的性质可得，，证明，从而可得答案． 【详解】解：由， 得，． 由，均为锐角，得，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选B． 6. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 8. 观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 9. 将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若，，则正方形的面积为_____________ 【答案】117 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形性质，勾股定理，根据题意求出，证明，求出，则，由勾股定理得到，则可得正方形BFGH的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为117， 故答案为：117． 11. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为 故答案为：． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题 13. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方计算，计算零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算； （2）分别进行化简绝对值，乘方运算，计算零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14. 已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： （1）如图1，在上作点，使； （2）如图2，在上作点，使； 【答案】（1）如图所示，点E即为所求； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 【小问1详解】 解：连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； 【小问2详解】 解：连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 15. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接． （1）点B的坐标为______； （2）求所在直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标； （2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可． 【小问1详解】 解：过点B作轴于D，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）得，代入， 得， ∴， ∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 16. 如图，在中，，是的中线，作于，作交于． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1） 证明：，是的中线， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质求得三角形 的三边，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得的长；再利用相似三角形的判定与性质求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ． 由（1）知：， ， ， ，． ，是的中线， ； ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到（A，B，C的对应点分别为D，E，F）．请在方格纸中画出． （2）若是的中线，求的面积． 【答案】（1） 如图，即所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，三角形中线的性质．解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质进行作图即可； （2）如图，由图利用分割法先求出，根据是的中线，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：． ∵是的中线， 18. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 20. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） （1）求“大碗”的口径的长； （2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）“大碗”的口径的长为； （2）“大碗”的高度的长为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解； （2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 答：“大碗”的口径的长为； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：“大碗”的高度的长为． 21. 如图，在中，，点是边上一动点（不与，重合），，交于点，且． （1）求证： （2）若，求的值 （3）若为直角三角形时，求的值 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） （3）为直角三角形时，为8或． 【解析】 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于， 可得，，，可得，再进一步可得答案； （3）根据可得，又因为，可得，因此，由于为直角三角形，分类讨论：当时，利用得到，即，易得，当，利用得到，然后在中，根据余弦的定义可计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 结合（2）可得， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形时，为8或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质． 22. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线顶点为D，直线交y轴于E点； ①设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值； ②在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①1；②存在， 【解析】 【分析】（1）应用对称轴方程，求，再根据，得点坐标为，代入抛物线解析式，可求； （2）①设出点坐标，用含的代数式表示面积，利用二次函数求最值的方法，求最大值； ②利用，对应边成比例，得，设出点Q坐标，由两点之间距离公式建立方程，再解方程，即可求出点Q坐标． 【小问1详解】 抛物线对称轴为直线， 由对称轴公式得， ， 抛物线解析式为， 点坐标为． ， 点坐标为，代入得， ， 或（舍去）， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 抛物线解析式， 当时，有最小值， 顶点坐标为． 在中，令得，， 解得，， ，， ，， 直线解析式为，． ①轴， 设点坐标为，则， ， 的面积， ， 当时，； ②存在，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设线段上的点Q为则， ， 整理方程得， ∴或（舍去）， ∴点Q坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及相似三角形的相关知识．熟练掌握铅垂法计算三角形的面积，利用相似三角形的比例式，将问题转化，是解此题的关键． 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $