精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025届高三上学期第三次学业诊断（10月）数学试卷

2024-2025学年第一学期高三年级第三次学业诊断 数学试卷 满分：150 命题人：郭云婷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内复数对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的运算法则化简复数z,进而可得复数对应的点所在象限. 【详解】复数z== ==2+i，在复平面内对应的点的坐标(2,1). 复平面内复数z=对应的点在第一象限， 故选:A 2. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先依次求出集合和，再由子集公式结合非空子集定义即可得解. 【详解】因为， 又，所以， 所以的元素个数为3，其非空子集有个. 故选：A. 3. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论. 【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则 ，， ， 故选：B. 5. 已知函数的图像与直线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设函数在处的切线为，求导，进而可得，进而可得的值. 【详解】设函数在处的切线为， 由，可得，所以，所以， 又，所以，解得，所以. 故选：B. 6. 在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式可得n-1时等式，两式相减可得数列通项公式，进而可得为等比数列，即可利用等比求和公式求解. 【详解】由， 得，∴． ∵，∴，∴， ∴是以1为首项，4为公比的等比数列． ∴． 故选：D． 7. 如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为靠近处的四等分点，则，故或其补角即为与所成的角，由余弦定理可求，故可取线线角的余弦值. 【详解】 设为靠近处的四等分点，则， 故或其补角即为与所成的角， 设正四面体的棱长为，则，故， 同理，而，故， 故选：A. 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，结合余弦定理求，再根据，结合面积公式得到 ，进而求出的最小值，再根据数量积定义求. 【详解】因为， 所以，而为三角形内角， 所以，    由，所以， 化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，，而，则或，因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B，命题“，”全称量词命题，其否定是，，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，依题意，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误. 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减， 故在区间上为减函数，B正确； C选项，当时，，故， 所以关于中心对称，C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误. 故选：AB 11. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆有三条公切线 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定点的特征即可求解A，根据两圆的位置关系即可求解B，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解C，根据直线经过圆心即可求解D. 【详解】对于A，由直线的方程，可知直线恒经过定点，故A正确； 对于B，由圆的方程，可得圆心，半径，又由，由于， 所以圆与圆相交，圆与圆有两条公切线，故B错误； 对于C，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线，将圆心代入直线的方程，可得， 所以圆上存在无数对关于直线对称的点，故D正确， 故选:ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理求出，再由椭圆定义求出即可得解. 【详解】由题意知， 所以，即， 又，即， 所以， 故答案为： 14. 已知，则______. 【答案】 【解析】 分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可. 【详解】因，所以， 故，解得，而， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合外接圆的面积可以求出，根据三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 化简得， 因为，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时“”成立， 即面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是． （2） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，解得，可得函数解析式，由导函数大于0和小于0，分别求得原函数的单调区间． （2）构造函数求导得到函数的单调性，即可求解最值求解. 【小问1详解】 由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求， 进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 【小问2详解】 由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 而，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 18. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）；平均数为71；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解； （3）独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 从图中可知组距为，则的频率分别为, 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时, 成绩不高于50分的人数为（人）. 【小问2详解】 由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 因为且， 所以中位数内， 设估计的中位数为，则，得. 【小问3详解】 记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则 三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于 . 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求证：数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． 【小问3详解】 若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高三年级第三次学业诊断 数学试卷 满分：150 命题人：郭云婷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内复数对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则的非空子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 3. 已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图像与直线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，已知对任意正整数n，有，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 11. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆有三条公切线 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为______ 14. 已知，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 19. 已知数列的前n项和．若，且数列满足． （1）求证：数列等差数列； （2）求证：数列前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $