专题04 代数式30道压轴题型专训（5大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题04 代数式30道压轴题型专训（5大题型） 【题型目录】 题型一 代数式的相关求值压轴题型 题型二 图形类规律探索压轴题型 题型三 整式的加减运算压轴题型 题型四 整式加减的应用压轴题型 题型五 整式计算的新定义问题 【经典例题一 代数式的相关求值压轴题型】 1．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 2．当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 3．若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 4．【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，其中100个单价仍是20元/个，超出部分打九折 (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付____________元，选乙供应商需要支付____________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 5．若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 6．阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 【经典例题二 图形类规律探索压轴题型】 1．如图中每个图形都是由口、O、△中的两个（可以相同）构成．观察各图形与它下面的数之间的关系，可知最右面图形下面的“？”表示（　　） A．23 B．32 C．13 D．31 2．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，依此类推，当摆放2024个时，实线部分长为 ． 3．请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形： 4．如图，观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在⑤后面的横线上写出相应的等式； (2)根据规律，计算． (3)根据规律，计算． 5．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 6．操作与探索：将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．    (1)请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题： 操作次数 1 2 3 4 … 正方形个数 4 7 ________ ________ … (2)如果剪100次，共能得到________个正方形； (3)如果剪次共能得到个正方形，则________；（用含的式子表示） (4)若原正方形的边长为1，设表示第次所剪的正方形的边长，则________；（用含的式子表示） (5)在（4）的条件下，试猜想与原正方形边长的数量关系．请你猜想的结论是：________．（用含的式子表示） 【经典例题三 整式的加减运算压轴题型】 1．对于有理数，，定义，则化简后得(　　) A． B． C． D． 2．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 3．化简： (1)； (2)． 4．已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 5．化简或求值 (1)化简：． (2)化简：． (3)先化简再求值：，其中，． 6．（1）学习和体会：若一个两位数的十位数字是3，个位数字是5，那么通过计算得到这个两位数；若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数______； （2）尝试与发现：请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数，尝试下列计算：把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作；调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数，把新两位数与原两位数相加结果记作．你发现与的大小关系为______； （3）提出问题：在（2）的条件下，假设十位上的数字为a，个位上的数字为b，请通过计算比较和的大小； （4）灵活应用：在（2）的条件下，假设十位上的数字为“”，个位上的数字为“”，求的值． 【经典例题四 整式加减的应用压轴题型】 1．定义，如果（为常数），（为常数），满足，则和互为“兄弟式”，下列结论正确的有（    ）个． ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于的代数式与互为“兄弟式”，则 ③当，若，则； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．若一个四位数，满足百位与十位的数字之和等于千位与个位的数字之差，并且各数位上的数字均不相等也不为0，则称这个数为“和差数”，对于“和差数”（是整数，），将千位上的数字与个位上的数字交换，百位上的数字与十位上的数字交换，得到的数记为，记．如：满足，则是一个“和差数”，．已知某“和差数”，记．则 ．若能被8整除，则的最大值是 ． 3．如图，将边长为2的小正方形和边长为的大正方形放在一起． (1)用表示阴影部分的面积； (2)计算当时，阴影部分的面积． 4．【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 5．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 6．如图所示，将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④放入长方形中（相邻的长方形、正方形之间无重叠且无间隙）． 已知长方形的宽的长度为；长方形③的宽的长度为；且长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍． (1)正方形①的边长为___________（用的代数式表示）；正方形②的边长为___________（用的代数式表示）； (2)已知正方形①的周长为8，求长方形的周长． 【经典例题五 整式计算的新定义问题】 1．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 2．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 3．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 4．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 5．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 6．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式30道压轴题型专训（5大题型） 【题型目录】 题型一 代数式的相关求值压轴题型 题型二 图形类规律探索压轴题型 题型三 整式的加减运算压轴题型 题型四 整式加减的应用压轴题型 题型五 整式计算的新定义问题 【经典例题一 代数式的相关求值压轴题型】 1．当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为（   ） A．2011 B． C．2010 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出． 先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 故选：D． 2．当时，代数式的值是，当时，该式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先化简代数式，再把代入化简后的结果可得，求出的值，再把以及的值代入代数式计算即可求解，解题的关键是求出的值． 【详解】解： ， ， ， 把代入得，， 解得， 把，代入代数式得， ． 故答案为：． 3．若，试求： (1)当时，有何结论？ (2)当时，有何结论？ (3)当时，有何结论？ (4)你能求出． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算． （1）把代入所给等式中得到，即可得出结论； （2）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （3）把代入所给等式中得到，整理即可得出结论； （4）把（2）和（3）中的两结论相减可计算出． 【详解】（1）解：当时，， 即； （2）解：当时，， 即①； （3）解：当时，， 即②； （4）解：由得， 所以． 4．【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，其中100个单价仍是20元/个，超出部分打九折 (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付____________元，选乙供应商需要支付____________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 【答案】(1)720，520； (2)，； (3)选择甲供应商比较省钱． 【分析】本题主要考查了有理数的应用、列代数式、代数式求值等知识点，分别表示出甲、乙需要支付费用的代数式是解题的关键． （1）根据题意分别计算出甲、乙供货商需付款额即可； （2）根据题意分别列出甲、乙供货商需付款的代数式即可； （2）当时，分别求代数式的值，然后比较大小，选择花钱少的即可． 【详解】（1）解：学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付：（元）， 学校需要定制20份奖品，则选乙供应商需要支付：（元）． 故答案为：720，520． （2）解：选择甲需要支付费用：元； 选择乙需要支付费用： 当不超过100个时，（元）， 当超过100个时，元． 故答案为：，． （3）解：当时， 甲供应商：（元） 乙供应商：（元） ∵ ∴选择甲供应商比较省钱． 5．若干个1与排成一行：规则是：先写一行1，再在第个1与第个1之间插入个． (1)第2012个数是1还是? (2)前2012个数的和是多少? 【答案】(1)第2012个数为． (2) 【分析】本题主要考查了数字规律，理解并应用数字规律是解题的关键． （1）根据规则可知第行共有数字个数为，由于时，数字个数为1953个，时，数字个数为2016个，从而得出第2012个数； （2）由（1）可知2012个数在62行，则共有62个1，其余均为，然后据此求和即可． 【详解】（1）解：排列规律如下： 1行：， 2行：， 3行：， …… …行 ∴到第行共有数字个数为， 由于时，，时，． ∴第2012个数为． （2）解：设前2012个数的和为， 由（1）可得：2012个数在62行，则共有62个1，其余均为． 则． 6．阅读材料，解决下列问题： 灵动数 一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，将其千位数字和百位数字组成一个两位数，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数，若十位数字和个位数字组成的两位数是千位数字和百位数字组成的两位数的2倍，则称这个四位正整数为“灵动数”．比如四位数2346，千位数字和百位数字组成的两位数是23，十位数字和个位数字组成的两位数是46，因为，所以2346是“灵动数”．我们可以用这两个两位数来表示“灵动数”，如2346可表示为：． (1)判断3470是不是“灵动数”，并说明理由； (2)请写出一个“灵动数”：________，并用其千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：________． (3)若用a表示一“灵动数”千位数字和百位数字组成的两位数，则这个“灵动数”表示为________；（用含a的代数式表示） (4)将（3）中的“灵动数”的千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数交换位置，得到一个新四位数，聪明的亮亮发现原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数，请你帮亮亮说明其中的原因． 【答案】(1)不是，见解析 (2)3060（答案不唯一）；（答案不唯一） (3) (4)见解析 【分析】本题考查了新定义，列代数式， （1）根据“灵动数”的定义，计算即可判断； （2）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （3）根据“灵动数”的定义和题干中的表示方法，即可解答； （4）根据题意，将转换位置后的数字表示出来，看所得的代数式能否被3整除，即可解答， 正确理解新定义，把新知识转化为熟悉的知识进行解答，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故3470不是“灵动数”； （2）解：根据“灵动数”的定义，可写出“灵动数”：3060，（答案不唯一） 用千位数字和百位数字组成的两位数、十位数字和个位数字组成的两位数表示这个“灵动数”：；（答案不唯一） （3）解：由题意得该“灵动数”十位位数字和个位数字组成的两位数为， 则这个“灵动数”表示为； （4）解：， 新四位数为， ， 为正整数， 和也为正整数， 原“灵动数”和新四位数的和一定是3的倍数． 【经典例题二 图形类规律探索压轴题型】 1．如图中每个图形都是由口、O、△中的两个（可以相同）构成．观察各图形与它下面的数之间的关系，可知最右面图形下面的“？”表示（　　） A．23 B．32 C．13 D．31 【答案】D 【分析】本题为图形规律题，合理分析变化规律是解题的关键． 观察图形找出规律求解即可． 【详解】 解：观察可得：两个三角形，一内一外，即三角形代表； 观察可得：一内一外，即正方形代表，圆型代表； 观察可得：一内一外，即三角形代表，正方形代表； 观察可得：一内一外，即圆型代表； 综上一内一外，内部圆形为，外部正方形为，则此图为； 故选：D． 2．将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，依此类推，当摆放2024个时，实线部分长为 ． 【答案】 【分析】根据图形得出实线部分长度的变化规律，进而求出答案． 此题主要考查了图形变化类，得出实线部分按第奇数与偶数个长度变化规律是解题关键． 【详解】由图形可得出：摆放一个矩形实线长为3， 摆放2个矩形实线长为5，摆放3个矩形实线长为8 摆放4个矩形实线长为10，摆放5个矩形实线长为13， 即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2，第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3， 摆放2024个时，相等于在第1个的基础上加1012个2，1011个3， 摆放2024个时，实线部分长为： ． 故答案为： ． 3．请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形： 【答案】所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1---7的数字； 【分析】本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．同时考查了轴对称图形的性质．仔细观察会发现它们都是轴对称图形，所以在空白处再画一个轴对称图形即可． 【详解】 解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1---7的数字，在横线上的空白处应是． 4．如图，观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在⑤后面的横线上写出相应的等式； (2)根据规律，计算． (3)根据规律，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目中等式，可以写出在⑤后面的横线上相应的等式； （2）根据（1）中式子的特点，可以计算出所求式子的特点； （3）根据，计算即可． 【详解】（1）解：由图可得， 在⑤后面的横线上等式是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 5．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 6．操作与探索：将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．    (1)请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题： 操作次数 1 2 3 4 … 正方形个数 4 7 ________ ________ … (2)如果剪100次，共能得到________个正方形； (3)如果剪次共能得到个正方形，则________；（用含的式子表示） (4)若原正方形的边长为1，设表示第次所剪的正方形的边长，则________；（用含的式子表示） (5)在（4）的条件下，试猜想与原正方形边长的数量关系．请你猜想的结论是：________．（用含的式子表示） 【答案】(1)填表见解析 (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可； （2）根据得到的规律得到规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，可得第n个共有个，然后代入求值即可； （3）由（2）的规律可得答案； （4）先分别写出前面几个正方形的边长，再总结规律即可求得答案； （5）利用原正方形剪n次后，原正方形与每次剪去的正方形之间的边长关系可得答案． 【详解】（1）解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形， 剪两次有7个小正方形， 剪三次有10个小正方形， 剪四次有13个小正方形， 操作次数 1 2 3 4 … 正方形个数 4 7 10 13 … （2）由（1）总结规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形， 故第n个共有个， 当得； （3）剪n次共能得到个正方形，由（2）可得：； （4）∵原正方形的边长为1， 第一次所剪的正方形的边长为， 第二次所剪的正方形的边长为； 第三次所剪的正方形的边长为， … 第n次所剪的正方形的边长； （5）∵， ∴结合图形可得：； 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解决本题的关键． 【经典例题三 整式的加减运算压轴题型】 1．对于有理数，，定义，则化简后得(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先根据新定义求出，再次利用新定义列出的算式，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 2．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据和减去一个加数等于另一个加数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这个多项式是， 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，掌握整式加减运算的一般步骤是解题的关键； （1）根据合并同类项法则计算即可求解； （2）根据去括号，合并同类项即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 【答案】(1)； (2)54 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）把，，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时，上式， 的值为54． 5．化简或求值 (1)化简：． (2)化简：． (3)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握整式的加减—化简求值的步骤： 先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，合并同类项是解题关键． （1）合并同类项化为最简的多项式； （2）合并同类项化为最简的多项式； （3）合并同类项化为最简的多项式，把，，代入最简的多项式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ， 当，时，原式． 6．（1）学习和体会：若一个两位数的十位数字是3，个位数字是5，那么通过计算得到这个两位数；若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数______； （2）尝试与发现：请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数，尝试下列计算：把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作；调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数，把新两位数与原两位数相加结果记作．你发现与的大小关系为______； （3）提出问题：在（2）的条件下，假设十位上的数字为a，个位上的数字为b，请通过计算比较和的大小； （4）灵活应用：在（2）的条件下，假设十位上的数字为“”，个位上的数字为“”，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4）99 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减，能理解题意解决本题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）由题意列出代数式和，并比较大小即可； （3）由题意列出代数式和，并比较大小即可； （4）由题意列出代数式并计算即可． 【详解】（1）若一个两位数的十位数字是x，个位数字是6，请写出这个两位数， 故答案为：； （2）设两位数的十位数字是x，个位数字是， 则， ， 故答案为：； （3）； ， ； （4）， ， ． 【经典例题四 整式加减的应用压轴题型】 1．定义，如果（为常数），（为常数），满足，则和互为“兄弟式”，下列结论正确的有（    ）个． ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于的代数式与互为“兄弟式”，则 ③当，若，则； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和多项式的相关知识，正确理解代数式互为“兄弟式”的定义是关键；根据“兄弟式”的定义即可判断①，根据题意可得求出，即可判断②；根据题意可得，即可判断③，根据得到，求出，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴代数式的“兄弟式”为；故①正确； ②∵两个关于的代数式与互为“兄弟式”， ∴ 解得 ∴， ∴，故②错误； ③当，， ∵， ∴， ∴或；故③错误； ④， ， 当时，， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可知，①④正确， 故选：B． 2．若一个四位数，满足百位与十位的数字之和等于千位与个位的数字之差，并且各数位上的数字均不相等也不为0，则称这个数为“和差数”，对于“和差数”（是整数，），将千位上的数字与个位上的数字交换，百位上的数字与十位上的数字交换，得到的数记为，记．如：满足，则是一个“和差数”，．已知某“和差数”，记．则 ．若能被8整除，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算的实际应用，整式的加减运算，正确读懂题意是解题关键．①根据题目信息即可求解；②设“和差数”，可得，据此即可求解． 【详解】解：； 设“和差数”（是整数，）， 则，且， ， ∵， ∴， ∴， ； ∵能被8整除， ∴是的倍数， ∵， ∴， 当，时， 可取最大值； 此时，取， 则此时的最大值为：； 故答案为：①②． 3．如图，将边长为2的小正方形和边长为的大正方形放在一起． (1)用表示阴影部分的面积； (2)计算当时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、列代数式，仔细观察图形，准确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）根据“阴影部分的面积等于两个正方形的面积加上左上角阴影直角三角形的面积再减去两个直角三角形的面积”，列式整理即可； （2）将代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：阴影部分面积 ； （2）当时，阴影部分面积． 4．【原题重现】作业本“第4章代数式”中有这样一道题：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，请分别计算新数与原数的和与差，并回答 【方法回顾】解：因为（逆用分配律），所以能被11整除， 【解决问题】 （1）请解答：新数与原数的差能被11整除吗？ 【类比推理】 （2）对于一个三位数，对调百位与个位上的数字，得到一个新的三位数．请计算新数与原数的差被11和3整除吗？ 【答案】（1）新数与原数的差不能被11整除；（2）能被3和11这两个质数整除 【分析】此题考查了整式的加减，关键是根据题意正确列式计算． （1）根据题目中的解题方法，算出新数与原数的差，即可得到结论； （2）分别表示出新三位数和原三位数，利用整式的加减计算出结果，再根据因数来进行解答即可． 【详解】解：（1） ＝ ， 所以新数与原数的差不能被11整除． （2） ， ∵， ∴能被3和11这两个质数整除． 5．某超市在元旦期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠，折后可使用30元优惠券 不低于500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，折后可使用40元优惠券 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元，当低于500元但不低于200元时，他实际付款______元，当不低于500元时，他实际付款______元．（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示；两次购物王老师实际共付款多少元？ 【答案】(1) (2)， (3)元 【分析】本题考查列代数式，解答此类问题的关键是明确题意，列出形应的代数式. （1）根据题意可以求得甲顾客一次性购物元实际付款额； （2）根据题意可以用相应的代数式表示出题目中的问题； （3）根据题意可以求得丙顾客两次购物实际付款额. 【详解】（1）由题意可得： (元) ， 故答案为:； （2）由题意可得，当 时, 他实际付款: 元， 当时，他实际付款：元， 故答案为: ，； （3）由题意可得,元 , 即丙顾客两次购物实际付款合计元. 6．如图所示，将正方形①，正方形②，长方形③，长方形④放入长方形中（相邻的长方形、正方形之间无重叠且无间隙）． 已知长方形的宽的长度为；长方形③的宽的长度为；且长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍． (1)正方形①的边长为___________（用的代数式表示）；正方形②的边长为___________（用的代数式表示）； (2)已知正方形①的周长为8，求长方形的周长． 【答案】(1)， (2)12 【分析】此题考查了整式运算几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解图形间的数量关系并能列式表示． （1）由可求得正方形①的边长，由可求得正方形②的边长； （2）先根据图形用含m、n的式子分别表示出、的长度，再表示出长方形的周长，再根据正方形①的周长为8，求出，最后根据代入计算． 【详解】（1）四边形为长方形，的长度为 ， 长方形③的宽， 正方形①的边长， 长方形④的宽的长度是长方形③的宽的长度的两倍， ， 正方形②的边长， 故答案为：，； （2）长方形的长为正方形①的边长正方形②的边长，宽为， ， 长方形的周长， 正方形①的周长为8， ， ， 长方形的周长． 【经典例题五 整式计算的新定义问题】 1．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【答案】B 【分析】计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【详解】解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 2．已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为 ． 【答案】4160 【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】由题意得： ∴； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴ ∴，， ， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ∴ ∴ 故答案为：4160． 3．对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定． (1)若，计算的值； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)已知 ，，求a的值． 【答案】(1)6 (2) (3)2 【分析】本题考查新定义运算，非负数的性质，化简绝对值，整式的加减运算： （1）根据平方、绝对值的非负性质求出a，b的值，再代入即可； （2）根据数轴判断出，，再化简约对值，去括号、合并同类项即可； （3）根据定义先计算，再计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得，， ∴ ； （2）解：由数轴知，，且， ∴，， 则 ； （3）解：∵， ∴ ， 则 ， 由得， 解得． 4．【知识背景】 定义 1：一个关于x，y多项式 如果把其中x，y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于x，y的二元对称多项式． 如 ，都是关于x，y的二元对称多项式. 定义2: 若多项式组 (A，B，C是关于x，y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式； ②整式A，B通过已学过的整式加减运算后可得到多项式 C，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：  ，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 （1）若 是“二元对称关联式”， 写出所有符合条件的多项式A，并说明理由； （2）已知是关于 x，y多项式组(m，n为常数，)，这个多项式组能否为“二元对称关联式”?若可以，分别求出m，n的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）多项式A可以是；；；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可； （2）根据“二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可． 【详解】解：（1）若，则： ； 若，则： ； 若，则： ； 综上分析可知，多项式A可以是；；． （2）若，则： ， ∴， 由得：， 由得：， ∴， ∴舍去， ∴； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 若，则： ， ∵， ∴， ∴此情况不可能成立； 综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时，． 5．我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析；② (2) (3) 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 6．定义：若两个式子的和等于一个常数，则称这两个式子是关于该常数的组合式． (1)和______是关于0的组合式； (2)已知，a与b是关于3的组合式吗？说明理由； (3)已知，且c与d是关于常数m的组合式，请探索m的取值范围与对应的x取值的个数． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)，或或 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）根据新定义，用0减去，即可； （2）求出的和，进行判断即可； （3）根据题意，得到为常数，利用绝对值的意义，分类讨论求解即可． 掌握新定义，以及整式加减的运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）是，理由如下： ， ∴a与b是关于3的组合式． （3）∵， ∴， 当时，；此时 当时，； 当时：；此时 ∵c与d是关于常数m的组合式， ∴当时，，， 当时，； 当时，， 综上：，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$