专题02 整式的加减重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题02 整式的加减重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 同类项的判断 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 题型四 去括号 题型五 添括号 题型六 整式的加减运算 题型七 整式加减的应用 题型八 整式加减中的化简求值 题型九 整式加减中的无关型问题 题型十 整式加减的综合 题型十一 图形类规律探索 知识点一、合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二、去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 知识点三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 1．在下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．写出的一个同类项： ． 3．指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【经典例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若单项式与单项式是同类项，则（    ） A．1 B．3 C． D． 1．若都不为0，且，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D． 2．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 3．先化简，再求值：已知与是同类项，求代数式的值． 【经典例题三 合并同类项】 【例3】以下是小明同学当堂检测中填空题的完成情况，他最后的得分是（    ） 姓名：小明    得分： 填空题（评分标准：每道题4分） （1） （2） （3） （4） A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 1．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 2．口算： （1） ；    （2） ；    （3） ； （4） ；    （5） ；    （6） ． 3．合并同类项： 【经典例题四 去括号】 【例4】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D．           1．已知，现将a，b，c，d全部放入运算的中，然后进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝对括号操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有8种不同的“绝对括号操作”； ③所有的“绝对括号操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．把写成省略加号的和的形式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 添括号】 【例5】下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 1．在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 2．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )；       （2）-( )+d； （3）( )；     （4）( )． 3．观察下列各式：①﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x＋30＝5（x＋6）；④﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1＋a2＋b＋b2的值． 【经典例题六 整式的加减运算】 【例6】如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 3．已知多项式，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求出的正确结果． 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】有甲、乙两根绳子，从甲绳上剪去全长的，余下绳子再接上米；从乙绳上先剪去米，再剪去余下绳子的，这时两根绳子所剩下的长度相等．原来这两根绳子比较，（    ） A．甲绳长 B．乙绳长 C．同样长 D．不能确定哪根长 1．如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 2．若长方形的一边长是，另一边长为，则这个长方形的周长为 ． 3．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【经典例题八 整式加减中的化简求值】 【例8】若代数式，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 1．已知，，则代数式的值是（    ） A．-101 B．-99 C．99 D．101 2．若，，且，则的值是 ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【经典例题九 整式加减中的无关型问题】 【例9】若关于x，y的多项式化简后不含二次项，则m的值为(　　) A． B． C． D．0 1．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为(    ) A． B． C． D． 2．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    3．（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值 【经典例题十 整式加减的综合】 【例10】如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 1．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形的边长为 ．（用含S的式子表示） 3．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例11】云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 1．如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 3．如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 1．下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 4．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（   ） A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm 5．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 6．合并同类项： ． 7．已知，，，则 8．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 9．当，时，代数式的值为 ． 10．已知，． （1）若，则c与a的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含k，t的代数式表示） 11．计算：． 12．先化简，再求值：，其中． 13．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 14．小明想探究自然数的立方和（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法、把这个代数问题转化为几何题、具体如下：对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． (1)①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______； (2)根据小明的发现，请直接写出______（用含的式子表式）； (3)请根据第（2）问的规律求的值． 15．【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形． （2）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （3）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，请画出长方形及剪裁线的示意图，并写这个长方形是几阶方形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的加减重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 同类项的判断 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 题型四 去括号 题型五 添括号 题型六 整式的加减运算 题型七 整式加减的应用 题型八 整式加减中的化简求值 题型九 整式加减中的无关型问题 题型十 整式加减的综合 题型十一 图形类规律探索 知识点一、合并同类项 1. 同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2. 合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3. 合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 知识点二、去括号 一、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 要点诠释： (1) 去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘。 (2) 去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号。 (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号。 （4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形。 二、添括号法则 （1）添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。 要点诠释： (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的。 (2)去括号和添括号的关系如下： 如：， 知识点三、整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、 与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 故选：． 1．在下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，据此判断即可． 【详解】解：A、与所含的字母相同，相同字母指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、与所含的字母不同，不是同类项，故选项不符合题意； C、与所含的字母相同，相同字母指数也相同，是同类项，选项符合题意； D、与所含的字母不同，不是同类项，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同是解题的关键． 2．写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：的一个同类项可以是：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 3．指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与，与，与5分别是同类项 (2)与，与分别是同类项 【分析】先找出各个同类项的项，再根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同；进行判断即可求解． 【详解】（1）解：多项式 的项有：、、、、、， 同类项有：与，与，与5． （2）解：多项式 的项有：、、、、、， 同类项有：与，与． 【点睛】本题考查了多项式的项，同类项的定义，理解定义是解题的关键． 【经典例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例2】若单项式与单项式是同类项，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的意义，根据同类项的意义，列方程求解即可，理解同类项的意义是正确解答的前提． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．若都不为0，且，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，整式的加减，根据已知，得到是同类项，且系数互为相反数，列式计算即可. 【详解】∵， ∴是同类项，且系数互为相反数， ∴， 解得， 故， 故选D. 2．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 3．先化简，再求值：已知与是同类项，求代数式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及同类项，利用同类项的定义求出与的值，原式去括号合并后，把与的值代入计算即可求出值. 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：与是同类项， 原式， 当 时， 原式． 【经典例题三 合并同类项】 【例3】以下是小明同学当堂检测中填空题的完成情况，他最后的得分是（    ） 姓名：小明    得分： 填空题（评分标准：每道题4分） （1） （2） （3） （4） A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 【答案】C 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；据此定义将同类项合并即可求解． 本题主要考查了同类项的定义，合并同类项，理解定义，掌握合并方法是解题关键． 【详解】解：（1），正确， （2）不是同类项，无法计算，错误； （3），正确； （4），正确； 故得到12分， 故选C． 1．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 合并同类项之前，首先要判断各项是否是同类项，只有满足该条件，才能进行合并，由此排除部分式子，接下来根据合并同类项的法则：字母和字母的指数不变，系数相加减，逐项分析剩余式子的正误即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，中不存在同类项，故不能合并， 根据同类项的定义可知，中，故合并错误， 结合合并同类项的法则可知：；； ；，合并同类项计算正确， 故选：． 2．口算： （1） ；    （2） ；    （3） ； （4） ；    （5） ；    （6） ． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （4）根据有理数的除法运算法则计算即可； （5）根据合并同类项法则计算即可； （6）根据合并同类项法则计算即可； 此题考查有理数的运算法则和合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6）． 故答案为：，，，，， 3．合并同类项： 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则计算即可得．熟练掌握合并同类项法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 【经典例题四 去括号】 【例4】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项、去括号等知识点，掌握合并同类项法则成为解题的关键． 根据合并同类项、去括号法则逐项判定即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意；     B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；         D. 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意．     故选C． 1．已知，现将a，b，c，d全部放入运算的中，然后进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝对括号操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有8种不同的“绝对括号操作”； ③所有的“绝对括号操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了新定义，绝对值的化简，去括号法则，根据绝对值和去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴，， ∴， 故①正确； 运算结果为时，有，，，，， ，， ， 共8种， 故②正确； 下面是7种不同的运算结果： 故③错误， 故选：C 2．把写成省略加号的和的形式 ． 【答案】 【分析】直接利用去括号法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握去括号法则是解答本题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据合并同类项，去括号得运算法则，即可求解， 本题考查了整式的加减，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， ， （4）解： ． 【经典例题五 添括号】 【例5】下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了添括号，根据添括号法则：若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号；进行运算即可判断求解，掌握添括号法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 1．在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】B 【分析】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解． 【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，    共有16种不同结果， 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键． 2．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )；       （2）-( )+d； （3）( )；     （4）( )． 【答案】 【分析】（1）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案； （2）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案； （3）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案； （4）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案． 【详解】解：（1）−a＋b−c＋d＝−a＋（b−c＋d）； 故答案为：b−c＋d； （2）−a＋b−c＋d＝−（a−b＋c）＋d； 故答案为：a−b＋c； （3）−a＋b−c＋d＝−a＋b−（c−d）； 故答案为：c−d； （4）−a＋b−c＋d＝−（a−b＋c−d）． 故答案为：a−b＋c−d． 【点睛】本题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号法则是解题关键． 3．观察下列各式：①﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；②2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；③5x＋30＝5（x＋6）；④﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你探索出来的规律，解答下面的题目： 已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1，求﹣1＋a2＋b＋b2的值． 【答案】6 【分析】利用添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而将已知代入求出即可． 【详解】解：∵a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣1， ∴﹣1＋a2＋b＋b2 ＝﹣（1﹣b）＋（a2＋b2） ＝﹣（﹣1）＋5 ＝6． 【点睛】此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键． 【经典例题六 整式的加减运算】 【例6】如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键． 由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为，则新矩形的长为，宽为，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为， ∴新矩形的长为，宽为， ∴新矩形的周长可表示为， 故选：C． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算判断即可． 本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选D． 2．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 【答案】 59 3168，8514 【分析】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且均不为0，找到符合条件的、的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）中，，是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，， ∴ ， ∵为9的倍数，且均不为0， 又∵，在中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623（N为偶数，故舍去）； 当时，满足条件，此时为8514． 综上所述，为3168，8514． 故答案为：3168，8514． 3．已知多项式，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求出的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据题意可得，然后将代入并求解即可； （2）结合（1），根据整式加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 即， ∴； （2）结合（1）， 可得． 【经典例题七 整式加减的应用】 【例7】有甲、乙两根绳子，从甲绳上剪去全长的，余下绳子再接上米；从乙绳上先剪去米，再剪去余下绳子的，这时两根绳子所剩下的长度相等．原来这两根绳子比较，（    ） A．甲绳长 B．乙绳长 C．同样长 D．不能确定哪根长 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减应用，设甲，乙两根绳子现在有x米，根据从甲绳上剪去全长的，余下绳子再接上米；从乙绳上先剪去米，再剪去余下绳子的，表示出两根绳子原来的长度，作差比较即可． 【详解】解：设甲，乙两根绳子现在有x米，根据题意得： 甲绳子原来长：， 乙绳子现在长：， 则， 故原来乙绳子比甲绳子长， 故选：B． 1．如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加法运算的应用．正确表示五个数是解题的关键． 设从小到大框出的最小的数为，则依次从小到大为，，，，，则框出五个数的和为，令与各选项相等，求出满足要求的值即可． 【详解】解：设从小到大框出的最小的数为，则依次从小到大为，，，，， ∴框出五个数的和为， 令， 解得，， ∴A不符合要求； 令， 解得，， ∴B不符合要求； 令， 解得，， ∵是最后一列数，则为第8列数，不满足日历， ∴C符合要求； 令， 解得，， ∴D不符合要求； 故选：C． 2．若长方形的一边长是，另一边长为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减运算，长方形的周长等于两邻边之和的2倍，表示出周长，去括号合并即可得到结果． 【详解】根据题意列得：， 则这个长方形的周长为． 故答案为：． 3．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【经典例题八 整式加减中的化简求值】 【例8】若代数式，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得再把化为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选B. 【点睛】本题考查的是已知式子的值，求代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 1．已知，，则代数式的值是（    ） A．-101 B．-99 C．99 D．101 【答案】C 【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵m−n＝100，x＋y＝−1， ∴原式＝x-n+m+y＝（m−n）＋（x＋y）＝100+（-1）＝99， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．若，，且，则的值是 ． 【答案】或/24或 【分析】本题考查的是绝对值方程的应用，整式的加减运算中的化简求值，本题根据绝对值的含义先求解，的值，再结合可得，或，，再去括号，合并同类项得到化简的结果，再分两种情况求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：或， ∵， ∴，或，， ∵ ， ∴当，时，原式， 当，时，原式； 故答案为：或． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】本体考查整式加减的化简求值问题，运用相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【经典例题九 整式加减中的无关型问题】 【例9】若关于x，y的多项式化简后不含二次项，则m的值为(　　) A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查整式的加减运算、合并同类项的方法，关键是明确没有某一项的含义，就是这一项的系数为0． 去括号时，后一个括号里各项的符号都改变．原式化简结果中二次项的系数为0． 【详解】解： ∵化简后不含二次项， ∴， 解得． 故选：B． 1．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握不含项的系数为0，−1的偶次幂等于1，是解题的关键；由题意知，，求出a、b的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】∵的多项式中不含三次项和一次项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 2．7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 3．（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知，求整式的值，小涵观察后提出：“已知是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请说明理由． （2）已知整式，整式与整式之差是． ①求整式； ②若是常数，且的值与无关，求的值 【答案】（1）小涵的说法对，理由见解析；（2）①；② 【分析】本题考查了整式的加减运算及求代数式的值，整式加减运算中与字母无关的问题；正确运算是关键． （1）去括号、合并同类项即可； （2）①利用整式A减差，即可求得整式B； ②计算出，根据题意，含x的项系数为0，即可求得k的值． 【详解】解：（1）小涵的说法对，理由如下： ； 此整式的值与的取值无关，所以小涵的说法对； （2）① ； ② ， ⸪的值与无关， ⸫，解得． 【经典例题十 整式加减的综合】 【例10】如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 1．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，由可得，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可． 本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∵， ， ， ，， ， ∴阴影部分的周长和= ， ∴知道的长就可以求出图中阴影部分的周长和． 故选：B 2．如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中①号正方形部分被②号和③号正方形遮盖，若图中阴影部分的面积为S，则正方形的边长为 ．（用含S的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，将阴影部分适当划分，找到对应图形的长和宽即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设正方形的边长为，， 则， 则 ∴ 故答案为： 3．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 【经典例题十一 图形类规律探索】 【例11】云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律． 根据所给图形总结规律即可． 【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴第个图案中基础图形的个数为：， ∴第100个图案中的个数为， 故选：D． 1．如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：∵两个圆的半径都为， ∴两个圆的周长都是， ∴同一圆上相邻两个点之间的距离为， 又∵每爬行8个为一循环， ∴爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为E点， 故选：C． 2．年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是图形规律探究，解题关键是根据规律列代数式． 观察图形，四角各一株，每边按，，，增加，总增加每边增加株数，总株数为，然后代入求值即可． 【详解】解：由图可得，当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， …… 第个图芍药的数量为株， 当时，芍药的数量株 ． 故答案为：． 3．如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)10，13，16 (2) (3)6070 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数 （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下； 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2023个图形需要的火柴棒根数为6070根． 1．下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【详解】解：A、与字母指数不一样，不符合题意； B、与字母指数不一样，不符合题意； C、与所含字母不同，不符合题意； D、与是同类项； 故选：D. 2．下列合并同类项的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A中计算错误，不符合题意； ，故选项B中计算错误，不符合题意； ，故选项C中计算错误，不符合题意； ，故选项D中计算正确，符合题意； 故选：D． 3．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 4．某同学用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则24块积木拼成图形的长度为（   ） A．124cm B．132cm C．138cm D．148cm 【答案】D 【分析】本题考查图形规律，观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知：当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴当时，总长度为：． 故选：D． 5．今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用；设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可． 【详解】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为， ∴⑤的周长为， ⑥的长为，宽为， ∴⑥的周长为， 又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍， ∴，即， ∴黑色长方形中长与宽的比是， 故选：B． 6．合并同类项： ． 【答案】/ 【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 7．已知，，，则 【答案】0 【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，，时， 原式 ， 故答案为0． 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是去括号时注意符号的选取． 8．一个多项式加上得到，这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据和减去一个加数等于另一个加数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这个多项式是， 故答案为：． 9．当，时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的化简求值，先去括号并合并同类项后，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 故答案为： 10．已知，． （1）若，则c与a的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含k，t的代数式表示） 【答案】 ； 【分析】本题考查等式的性质，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案； （2）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）已知，， ， ， ，， ，， 则， 那么， 故答案为：； （2）已知，， 则，， ， ， ， 则 ， 故答案为：． 11．计算：． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简，先去括号，再合并同类项即可得到答案； 【详解】解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】，代数式的值为 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 13．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1)15 (2)36 (3) 【分析】本题考查了求代数式的值．掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力． （1）由，据此即可求解； （2）由，据此即可求解； （3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴原式； （2）解： ∵ ∴原式； （3）解：当时， ∴ 当时， ； 14．小明想探究自然数的立方和（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后、想到一个方法、把这个代数问题转化为几何题、具体如下：对应图①中边长为1的小正方形个数；对应图②中边长为1的小正方形的个数；对应图③中边长为1的小正方形个数．小明发现，图①、图②、图③恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到． (1)①请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形； ②把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______； (2)根据小明的发现，请直接写出______（用含的式子表式）； (3)请根据第（2）问的规律求的值． 【答案】(1)①见解析，②10 (2) (3) 【分析】此题考查了图形的变化类规律，根据题意发现规律是解题的关键． （1）①根据题意可画出边长为10的正方形再减去边长为6的正方形，即可得到图形；②根据得到图形求出边长即可； （2）根据前四个图的变化规律即可得到答案； （3）利用（2）中的规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：①依据题意，可画出边长为10的正方形再减去边长为6的正方形，即为对应的小正方形个数的摆放图形， ②∵． ∴把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为10， 故答案为：10 （2）根据图①得到，， 根据图②得到，， 根据图③得到，， 根据图④得到，， …… 综上可知，． 故答案为： （3） 15．【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形． （2）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （3）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，请画出长方形及剪裁线的示意图，并写这个长方形是几阶方形． 【答案】（1）2；（2）见详解；（3）作图见详解，是5阶方形 【分析】本题考查了四边形的阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力；给出一个新的定义，按此定义理解并解决问题，这类题的关键是找重点语句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有个正方形，就是阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形； （2）有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； （3）先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以矩形是5阶方形． 【详解】解：（1）由图3可知，邻边为1和的长方形经过两次操作剩下边长为的正方形，故为2阶方形， 故答案为：2； （2）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： （3），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为5阶方形． 学科网（北京）股份有限公司 $$