专题01 代数式重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪科版2024）

专题01 代数式重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 用字母表示数 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式的概念 题型四 代数式的书写方法 题型五 代数式表示的实际意义 题型六 已知字母的值求代数式的值 题型七 已知式子的值求代数式的值 题型八 单项式的判断 题型九 单项式的系数、次数 题型十 单项式规律题 题型十一 多项式的判断 题型十二 多项式的项、项数或次数 题型十三 多项式系数、指数中字母求值 题型十四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十五 整式的判断 题型十六 数字类规律探索 知识点一、代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 知识点二、整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 知识点三、代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【经典例题一 用字母表示数】 【例1】小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 1．夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 2．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 3．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【经典例题二 用代数式表示数、图形的规律】 【例2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（    ）    A． B． C． D． 1．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 2．如图是一个由黑点、白点交替铺成的（其中n为正整数）的正方形点阵，根据该点阵中的规律，可知其中白点的总数为 个（请用含n的代数式表示）． 3【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【经典例题三 代数式的概念】 【例3】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 1．请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 2．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 3．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【经典例题四 代数式的书写方法】 【例4】下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 1．下列代数式书写正确的是（　　） A．m+3 B．1ab C．5×a D．（a+2b）元 2．下列书写：①；②；③；④；⑤；⑥千克中，正确的是： ．（填写序号即可） 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【经典例题五 代数式表示的实际意义】 【例5】对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 1．商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 2．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 3．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个20元的价格销售300个，第二周若按每个20元的价格销售，仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，售价每降低2元，可多售出60个，但售价不得低于进价） （1）第一周该商店销售的旅游纪念品获得的总利润是　 　元． （2）若售价降低x元，用含x的代数式表示第二周的旅游纪念品的售价是　 　元，销售数量是　 　个． （3）在实际销售中，商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是多少元？ 【经典例题六 已知字母的值求代数式的值】 【例6】人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么，正常情况下，一个15岁的少年在运动时10秒所能承受的心跳最高次数为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 1．某商店为了回馈客户，将原价为元/本的笔记本进行优惠出售，方案如下： 方案一：一次性购买不超过本，按原价销售． 方案二：一次性购买本以上(不含本)，则每本便宜元． 若购买本笔记本所需钱数为元，则下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．存在买本笔记本所需钱数比买本笔记本所需钱数多 D．存在买本笔记本所需钱数比买本笔记本所需钱数少 2．下图中两个正方形的边长分别为厘米和厘米，阴影部分的面积是 平方厘米． 3．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求的值； （2）当A点在B点左侧时，求的值． 【经典例题七 已知式子的值求代数式的值】 【例7】实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 1．已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 2．已知，求的值为 ． 3．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【经典例题八 单项式的判断】 【例8】在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．在式子，，，，，中，单项式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 3．把下列各式的序号填入相应集合的括号内； ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦ 单项式集合：{                                         …}； 多项式集合：{                                         …}． 【经典例题九 单项式的系数、次数】 【例9】下列说法错误的是（　　） A．是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的系数是 1．下列语句中，错误的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数与次数都是 C．单项式的系数是 D．的系数是 2．单项式的系数是 ，次数是 ． 3．已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【经典例题十 单项式规律题】 【例10】按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 1．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 3．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【经典例题十一 多项式的判断】 【例11】下面说法中，正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次多项式 D．是单项式 1．下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 2．在代数式，，，，中，多项式有 ． 3．某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【经典例题十二 多项式的项、项数或次数】 【例12】下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 1．下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 2．多项式的项数和次数之积为 ． 3．（1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 【经典例题十三 多项式系数、指数中字母求值】 【例13】若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 1．多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 3．已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【经典例题十四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例14】下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式按照字母降幂排列： ． 3．阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【经典例题十五 整式的判断】 【例15】下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在式子，0，，，中，整式有 个． 3．指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【经典例题十六 数字类规律探索】 【例16】观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 1．求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 2．观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 3．仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 1．下列式子中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是6次 D．是二次三项式 3．当时，代数式的值等于1000，那么当时，代数式的值（    ）． A．1002 B． C．1001 D． 4．已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 5．如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．若单项式的系数为，次数为，则 ． 7．已知，则 ． 8．如图，长方体的体积是 ，表面积是 ． 9．如图，该图形由四个半径为的圆组成，请用含有的代数式表示图中阴影部分的面积 10．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 11．列代数式 (1)比与的积小5的数； (2)1减去的差与的积． 12．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 13．有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 14．观察下列等式： ；；； 可得： (1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果） (2)利用上述猜想计算： (3)探究并计算： 15．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为 ； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； (3)当时，若从中取走13本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 代数式重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 用字母表示数 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式的概念 题型四 代数式的书写方法 题型五 代数式表示的实际意义 题型六 已知字母的值求代数式的值 题型七 已知式子的值求代数式的值 题型八 单项式的判断 题型九 单项式的系数、次数 题型十 单项式规律题 题型十一 多项式的判断 题型十二 多项式的项、项数或次数 题型十三 多项式系数、指数中字母求值 题型十四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十五 整式的判断 题型十六 数字类规律探索 知识点一、代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 知识点二、整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 知识点三、代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【经典例题一 用字母表示数】 【例1】小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 1．夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【答案】B 【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 2．若正方形的边长为，则正方形的面积是 ，周长是 ； 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式和周长公式，用字母表示数，写出结果即可． 【详解】解：正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的周长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了列代数式用字母表示数，理解题意正确列出式子是解答本题的关键． 3．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 【经典例题二 用代数式表示数、图形的规律】 【例2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化类，根据图形的变化，总结归纳出一般规律，是解答本题的关键． 根据图形的变化，得到第①个图形中五角星的个数为，第②个图形中五角星的个数为，第③个图形中五角星的个数为，由此得到第⑥个图形中五角星的个数为，得到答案． 【详解】解：根据图形得： 第①个图形中五角星的个数为； 第②个图形中五角星的个数为； 第③个图形中五角星的个数为； 第⑥个图形中五角星的个数为， 故选：． 1．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 【答案】C 【分析】本题考查数的排列规律，能根据数的方式发现字母和所数的数之间的关系，分别求出正整数1，2，3，所对应的字母，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意，列出相应的表格，如下图， 字母所对应数是2，6，8，12，14，18， 通过观察奇数次出现的规律，可知， 字母第1次出现，数到的数是； 字母第3次出现，数到的数是； 字母第5次出现，数到的数是； 所以字母第2023次出现，数到的数是， 故选：C． 2．如图是一个由黑点、白点交替铺成的（其中n为正整数）的正方形点阵，根据该点阵中的规律，可知其中白点的总数为 个（请用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，根据题意得列共有，则这个点阵中前行的白点和等于，再将 第二列与第列相加，以此类推计算即可． 【详解】解：根据题意知， ． 故答案为． 3【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 【经典例题三 代数式的概念】 【例3】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 1．请你帮助李飞同学，告诉他：他写的哪个式子不是代数式是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，代数式是指是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式．代数式中不含有等号，不等号，约等号．据此即可解答． 【详解】A选项：不是代数式； B选项：0是代数式； C选项：a是代数式； D选项：是代数式． 故选：A 2．在下列各式：①；②：③；④；⑤，⑥中，代数式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，熟练掌握代数式的定义是解此题的关键． 【详解】解：①是整式，是代数式； ②，是等式，不是整式，不是代数式； ③是整式，是代数式； ④是不等式，不是整式，不是代数式； ⑤是分式，不是整式，是代数式； ⑥是整式，是代数式； 综上所述，代数式有①③⑤⑥， 故答案为：4． 3．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可． 【详解】解：（1）（4）（5）是代数式； （2）（3）（6）不是代数式． 【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念． 【经典例题四 代数式的书写方法】 【例4】下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求： 1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面； 2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数； 3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写； 4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式； 5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定． 【详解】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求； B.正确的书写为或，故该选项不符合要求； C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求； D.正确的书写为，故该选项不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键． 1．下列代数式书写正确的是（　　） A．m+3 B．1ab C．5×a D．（a+2b）元 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求，即可一一判定． 【详解】解：A、m+3，书写正确，故此选项符合题意； B、，应写成，故此选项不合题意； C、5×a，应写成5a，故此选项不合题意； D、(a+2b)元，不应有单位，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了代数式的书写，代数式的书写要求： (1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； (2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； (3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式． 2．下列书写：①；②；③；④；⑤；⑥千克中，正确的是： ．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，①应该书写为：； ②应该书写为：； ③书写正确； ④应该书写为：； ⑤应该书写为：； ⑥千克，应该书写为：千克， 书写正确的是：③， 故答案为：③． 3．下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 【经典例题五 代数式表示的实际意义】 【例5】对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和． 【详解】解：A、x与的积表述错误； B、x与的和，表述正确； C、x与8的差，表述正确； D、x减去8，表述正确； 故选：A． 1．商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 2．对于式子“”可以赋予实际意义：一个篮球的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付款元，请你对式子“”赋予一个实际意义： ． 【答案】答案不唯一，如：一个篮球的价格是a元，购买2个篮球总价是元 【分析】本题考查代数式，解题的关键是理解题意． 根据题意解决问题即可． 【详解】解：答案不唯一，如：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元． 故答案为：一个篮球的价格是元，购买2个篮球总价是元(答案不唯一)． 3．某商店购进一批旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个20元的价格销售300个，第二周若按每个20元的价格销售，仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，售价每降低2元，可多售出60个，但售价不得低于进价） （1）第一周该商店销售的旅游纪念品获得的总利润是　 　元． （2）若售价降低x元，用含x的代数式表示第二周的旅游纪念品的售价是　 　元，销售数量是　 　个． （3）在实际销售中，商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是多少元？ 【答案】（1）4200；（2）（60-x），；（3）3840元． 【分析】（1）根据单件利润×销售数量=总利润即可求解； （2）根据题意即可用含x的式子表示出售价和销售数量； （3）根据第（2）步求出售价和销售数量，即可求出总利润． 【详解】解：（1）（20-6）×300=4200（元）， 故答案为：4200； （2）由题意得第二周旅游纪念品的售价是（20-x）元，销售数量是（元）， 故答案为：（60-x）， （3）当商店售价降低6元时，售价为20-6=14（元），销售数量为300+30×6=480（元）， 此时商店的总利润为（14-6）×480=3840（元）， 答：商店决定售价降低6元，则第二周该商店销售旅游纪念品获得的总利润是3840元． 【点睛】本题考查了商品销售利润问题，理解题意，熟知总利润公式，准确求出售价和销售数量是解题关键． 【经典例题六 已知字母的值求代数式的值】 【例6】人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么，正常情况下，一个15岁的少年在运动时10秒所能承受的心跳最高次数为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，将代入，即可求出1分钟所能承受的心跳最高次数，再乘以，即可求解． 【详解】解：将代入得：， （次）， 故选：C． 1．某商店为了回馈客户，将原价为元/本的笔记本进行优惠出售，方案如下： 方案一：一次性购买不超过本，按原价销售． 方案二：一次性购买本以上(不含本)，则每本便宜元． 若购买本笔记本所需钱数为元，则下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．存在买本笔记本所需钱数比买本笔记本所需钱数多 D．存在买本笔记本所需钱数比买本笔记本所需钱数少 【答案】D 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，由题意，列得代数式，然后根据题意逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得：为不大于的非负整数； 为大于的整数； 当时， ，则不符合题意； 当时， 若，解得：， 若，解得：， 则或，则不符合题意； 令， 解得：， 则不存在买本笔记本所需钱数比买200本笔记本所需钱数多，则C不符合题意； 令， 解得：， 则存在买本笔记本所需钱数比买本笔记本所需钱数少，则D符合题意； 故选：D． 2．下图中两个正方形的边长分别为厘米和厘米，阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了列式求阴影部分面积，由图意可知：阴影部分的面积就等于，据此利用梯形和三角形的面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴（平方厘米）， 故答案为：． 3．数学课程要培养的学生核心素养是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，某学习小组在延时课上进行了数轴与分类讨论的项目式学习（结构不完整）． 数轴与分类讨论 背景 已知数轴上A，B两点对应的数字分别为a，b，且两点与原点的距离分别为5和2． 目的 由于A，B两点位置不确定，故a与b的数量关系无法计算，现需要分类讨论 讨论 （1）当A，B两点都在原点右侧时，求的值； （2）当A点在B点左侧时，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了绝对值，求代数式的值，正确理解绝对值是解题的关键， （1）由绝对值的意义得，，当，两点都在原点右侧时，即，，进而得，，代入即可得解； （2）由绝对值的意义得，，由当点在点左侧时，即，得，，进而代入即可得解． 【详解】解：（1）数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为和． ∴，， 当，两点都在原点右侧时，即，， ∴，， ∴； （2）数轴上，两点对应的数字分别为，，且两点与原点的距离分别为和． ∴，， ∴，， 当点在点左侧时，即， ∴，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为或． 【经典例题七 已知式子的值求代数式的值】 【例7】实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选D． 1．已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由得．将变为，然后将整体代入即可得解． 本题考查了已知代数式的值，求式子的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．已知，求的值为 ． 【答案】0 【分析】本题根据已知式子的值求代数式的值，将整理变形为与相关的式子，将代入整理后的式子，即可解题． 【详解】解： ， ， 原式， 故答案为：0． 3．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，解的关键是将x化为用y表示的式子． （1）根据，得，把x换成，化简约分即可求出答案． （2）把代入进行化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解： ． 【经典例题八 单项式的判断】 【例8】在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 1．在式子，，，，，中，单项式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义判断即可，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解：根据单项式的定义，，，，是单项式， 有减法运算，分母中含有字母，则这两个式子不是单项式， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 3．把下列各式的序号填入相应集合的括号内； ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦ 单项式集合：{                                         …}； 多项式集合：{                                         …}． 【答案】单项式集合：{③，⑤，…}；多项式集合{①，④，⑦…} 【分析】单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；再逐一判断即可； 【详解】解：单项式集合：{③，⑤，……}； 多项式集合：{①，④，⑦，……}； 【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的判定，掌握单项式与多项式的定义并准确分析判断是解题的关键． 【经典例题九 单项式的系数、次数】 【例9】下列说法错误的是（　　） A．是单项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．的系数是 【答案】B 【分析】直接利用单项式的系数、次数定义即可得出答案． 【详解】解：A. 是单项式,说法正确； B. 的次数是4，原说法错误； C. 的系数是,说法正确； D. 的系数是，说法正确； 故选B. 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题关键． 1．下列语句中，错误的是（　　） A．是单项式 B．单项式的系数与次数都是 C．单项式的系数是 D．的系数是 【答案】A 【分析】利用单项式的概念逐一判断即可． 【详解】解：A． 是多项式，故原选项说法错误； B． 单项式的系数与次数都是1，故原选项说法正确； C． 单项式的系数是，故原选项说法正确； D． 的系数是，故原选项说法正确． 故选:A． 【点睛】本题考查了单项式的有关概念，理解掌握单项式的概念是解题的关键． 2．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 9 【分析】根据单项式次数，系数的定义即可解决问题． 【详解】解：单项式的系数是，次数是9， 故答案为：，9． 【点睛】本题考查了单项式的概念，解题的关键是掌握：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 3．已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 【详解】（1）∵单项式与的次数相同， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键． 【经典例题十 单项式规律题】 【例10】按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3开始算起的奇数，即3，5，7，9，…… 单项式中a的指数是从0开始算起的偶数，即0，2，4，6，…… b的指数不变， ∴第个单项式是： ∴第8个单项式是： 故选：A． 1．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律计算，理解单项式的概念，掌握整式的运算是解题的关键． 根据题意，分别找出单项式的系数，次数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意，系数的特点满足：，指数依次增加1，即为，这里的为的整数， ∴单项式的规律为：， ∴第个单项式为：， 故选：A ． 2．观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子，需要注意观察数字的变化规律． 【详解】解：系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化， 第10个式子应为， 故答案为：． 3．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 【经典例题十一 多项式的判断】 【例11】下面说法中，正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次多项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式和单项式的知识，解题的关键是学会识别多项式和单项式，即可． 【详解】A、整式包括多项式和单项式，不符合题意； B、是单项式，符合题意； C、是四次多项式，不符合题意； D、是多项式，不符合题意． 故选：B． 1．下列各式中是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 2．在代数式，，，，中，多项式有 ． 【答案】， 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式进行判断即可． 【详解】解：多项式有：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查多项式的概念，熟记多项式的概念是解题的关键． 3．某校有n间学生宿舍，每6人住1间，只有1间没有住满，不满的房间住4人． (1)该校共有______名住校生（用化简后的式子表示），所列的整式是______（填“单项式”或“多项式”）； (2)若有60间宿舍，则该校有多少名住校生？ 【答案】(1)，多项式 (2)358 【分析】（1）本题主要考查了列代数式和多项式的定义，根据题意列出代数式、再按多项式定义判断即可；审清题意、列出代数式是解题的关键； （2）本题主要考查了代数式求值，将代入（1）所得代数式即可解答；掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：该校共有，是多项式． 故答案为：，多项式． （2）解：将代入（1）所得的代数可得：． 答：该校有358名住校生． 【经典例题十二 多项式的项、项数或次数】 【例12】下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 1．下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数，根据相关概念对选项做出判断，即可解题． 【详解】解：A、单项式系数是1，次数是8，所以A错误，不符合题意． B、多项式是二次三项式，所以B错误，不符合题意． C、单项式的系数是次数是5，所以C错误，不符合题意． D、是三次二项式，所以D正确，符合题意． 故选：D． 2．多项式的项数和次数之积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了多项式的项和次数的概念，根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数进行分析即可． 【详解】解：多项式是四次五项式， 项数和次数之积为， 故答案为：20． 3．（1）一个二元三次多项式最多能有多少项？ （2）如果一个多项式的每一项次数都相等，我们就称这个多项式为“齐次多项式”．例如就是一个齐次多项式，也是一个齐次多项式，但是不是一个齐次多项式，那么一个三元三次齐次多项式最多能有多少项？ 【答案】（1）10项 （2）10项 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，正确理解多项式的项数与次数是解题的关键． （1）二元三次多项式中含有两个字母，且各项中最高次数为3次，逐一罗列各项，即得答案； （2）三元三次齐次多项式含有三个字母，且各项的次数均为3次，逐一罗列各项，即得答案． 【详解】（1）设多项式中的两种字母分别为x，y，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的二元三次多项式为：，共10项； （2）设多项式中的三种字母分别为x，y，z，且多项式中项的系数都为1， 由题意可知：在此情况下，项数最多的三元三次齐次多项式为： ，共10项． 【经典例题十三 多项式系数、指数中字母求值】 【例13】若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 1．多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，熟知多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数是解题的关键，根据多项式次数的定义得到，由此可得答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的五次多项式， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值； 根据多项式的概念求出，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)13 【分析】本题考查了多项式的相关概念，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值． （1）是关于x、y的三次二项式，可得出m的值； （2）根据相反数的定义可知，倒数的定义可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴，， ∴； （2）解：∵a、b互为相反数，，c、d互为倒数， ∴，， ∴． 【经典例题十四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例14】下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 1．把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．把多项式按照字母降幂排列： ． 【答案】 【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序排列． 【详解】解：按照字母降幂排列为：， 故答案为：． 3．阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【详解】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 【经典例题十五 整式的判断】 【例15】下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式次数和系数的定义，多项式的项和次数的定义，有理数的概念等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①是负数、分数、整式，原说法正确； ②a不一定比大，例如当时，，原说法错误； ③的系数是，次数是2，原说法错误； ④是三次三项式，原说法正确； ⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示，原说法正确； ∴说法正确的有3个， 故选：C． 1．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 2．在式子，0，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：在式子，0，，，中，整式有：，0，，，共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键． 3．指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，，，； 整式有：，，，，，，，． 故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨； 【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 【经典例题十六 数字类规律探索】 【例16】观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了探索规律问题，由特殊到一般是本题的关键． 根据前四个式子的规律从而总结出一般规律，即，即可得出第个式子，选出正确答案． 【详解】解：根据题意，第一个式子为：； 第二个式子为：； 第三个式子为：； 第四个式子为：； 可得当第个式子为：， ∴第个式子为：， 故选C． 1．求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 令，可得，两式相减，即可求解． 【详解】解：令 ． 故选：C 2．观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 3．仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【答案】(1) (2) (3)6，过程见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合运算，正确得到规律是解题的关键. （1）根据所给式子对照可得答案； （2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果 ； （3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算． 【详解】（1）解： （2） （3） ， ， ， 1．下列式子中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，判断各项即可． 【详解】、书写符合要求，故本选项符合题意； 、书写不符合要求应写为，故本选项不符合题意； 、书写不符合要求应写为，故本选项不符合题意； 、书写不符合要求应写为，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式． 2．下列说法正确的是（    ） A．系数是 B．是三次单项式 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数，多项式的次数与项数，正确理解单项式的系数与次数及多项式的次数与项数是解题的关键．根据单项式的系数与次数及多项式的次数与项数的概念，即可判断答案． 【详解】A、系数是，原说法错误，不符合题意； B、是三次二项式，原说法错误，不符合题意； C、的次数是3次，原说法错误，不符合题意； D、是二次三项式，原说法正确，符合题意． 故选：D． 3．当时，代数式的值等于1000，那么当时，代数式的值（    ）． A．1002 B． C．1001 D． 【答案】B 【分析】将代入代数式求值a、b的关系，再将代入代数式，利用a、b的关系进行计算即可得解． 【详解】解：时，， 所以，， 当时， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键，本题难点在于先求出a、b的关系式． 4．已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．根据已知规则分别求出、、、、、，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数， 即， 则， 故选：C． 5．如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 ，计算即可． 【详解】解：根据题意可知：阴影部分的面积=大正方形的面积-四个等腰直角三角形的面积 故选：C． 6．若单项式的系数为，次数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式求值，设，可得，代入即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，长方体的体积是 ，表面积是 ． 【答案】 【分析】根据长方体的体积计算公式长×宽×高，以及表面积公式（长×宽+长×高+宽×高）×2进行计算即可． 本题考查认识立体图形，掌握长方体体积、表面积的计算公式是正确解答的关键． 【详解】解：由于长方体的体积=长×宽×高， 故这个长方体的体积为； 由于长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，所以这个长方体的表面积为． 故答案为：；． 9．如图，该图形由四个半径为的圆组成，请用含有的代数式表示图中阴影部分的面积 【答案】/ 【分析】点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，，；根据题意，得，根据代数式、正方形、圆形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】如下图，点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，， 根据题意， ∴正方形面积 ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、正方形和圆形面积计算的性质，从而完成求解． 10．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 11．列代数式 (1)比与的积小5的数； (2)1减去的差与的积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列代数式，理解题目提供的运算顺序是列式关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）由题意可得， 12．如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【答案】； 【分析】本题考查列代数式，根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，结合周长与面积公式求解即可求得答案； 【详解】解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 即：， 面积为：， 即：． 13．有以下代数式：，，，，，． (1)的系数是______，次数是______；的次数是______； (2)将上面的代数式分别填入所属的圈中． 【答案】(1)，， (2)见详解 【分析】（1）单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；据此即可求解． （2）都是数字与字母的乘积的式子叫做单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；据此即可求解． 本题考查了单项式的定义，单项式次数、系数的定义，多项式的定义，多项式的次数的定义，理解各个定义是解题的关键． 【详解】（1）解：的系数是，次数是；的次数是； 故答案：，，； （2）单项式：， ，， 多项式：，，． 14．观察下列等式： ；；； 可得： (1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果） (2)利用上述猜想计算： (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察前三个式子可知，两个连续的正整数的积的倒数等于较小的数的倒数减去较大的数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据把所求式子裂项，然后计算求解即可； （3）先把原式变形为，再仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解： ． 15．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： (1)每本课本的厚度为 ； (2)若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度； (3)当时，若从中取走13本，求余下的课本的顶部距离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三本书的高度为，故每本课本的厚度为； （2）根据三本书的高度为，得到桌子距离地面的高度为，结合每本课本的厚度为，得到x本的高度为，求和计算即可． （3）当时，求代数式的值即可． 本题考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点． 【详解】（1）解：根据题意，得三本书的高度为， 故每本课本的厚度为， 故答案为：． （2）解：∵三本书的高度为， ∴桌子距离地面的高度为， ∵每本课本的厚度为， ∴x本的高度为， ∴距离地面的高度为． （3）解：根据题意，得x本书顶部距离地面的高度为， 故当时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$