精品解析：上海市致远高级中学2022-2023学年高三上学期开学考数学试题

2022-2023年致远高级中学高三上开学考 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知全集，，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，即， 而全集，，则， 所以. 故答案为： 2. 已知a是实数，是纯虚数，则a=_____________． 【答案】a=1. 【解析】 【详解】试题分析：根据题意得到先将表达式上下同乘以分母的共轭复数，再根据纯虚数的定义得到实部为0，虚部不为0，列出表达式解出即可. 详解： 根据题意得到,因为是纯虚数故得到,故1.检验此时复数的虚部不为0，符合题意. 故答案为1. 点睛：这个题目考查了复数的混合运算，纯虚数的概念，注意在计算时认真仔细即可.复数的除法运算先要分子乘以分母的共轭复数,再将实部和虚部分开. 3. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，换元，根据，得出，则，得出，解出的值，即可得出的值. 【详解】，，由，得，换元. 由，可得出，则有， 解得或（舍去），，解得. 故答案为. 【点睛】本题考查对数的性质和运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易产生增根． 4. 的展开式中的系数为_______（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，求出的指数，通过指数为2，求出所求系数即可． 【详解】的通项公式为， 令，得， 可得项的系数为， 故答案为：60． 【点睛】本小题考查二项式展开的项公式，考查计算能力，属于基础题． 5. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出即可得结果. 【详解】设点的横坐标分别为，由的中点到轴的距离是2，得，即， 由抛物线的弦过其焦点，得，解得， 所以此抛物线方程是. 故答案为： 6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 7. 已知，，，求的值________. 【答案】 【解析】 【分析】注意到，从而直接代入求解即可. 【详解】. 故答案为：. 8. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___. 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】圆锥底面积为，则底面半径为3，又圆锥的高为4， 则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为 故答案为： 9. 某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是 ___________（用分数作答）． 【答案】 【解析】 【详解】分析：确定基本事件总数，甲同学选上，乙同学未选上的情况种数，由此即可求得概率． 详解：由题意，基本事件总数为 甲同学选上，乙同学未选上共有36种 故甲同学选上，乙同学未选上的概率是 . 故答案为. 点睛：本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是确定基本事件总数，属于基础题． 10. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 11. 已知，，且，，，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意列出方程组求解即可. 【详解】由题意可设， 则已经满足，， 还需保证，所以，解得. 故答案为：. 12. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 【答案】. 【解析】 【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得． 【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支， 由，得，即恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°， ∴其中一条渐近线的斜率， ∴a≥1， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：[1，+∞）． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，比较与的大小关系，结合，可求出实数的取值范围. 【详解】解不等式，即或，解得或，或. ①当时，，则成立，符合题意； ②当时，或，，不符合题意； ③当时，或，由，可得出，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 14. 在边长为1的正六边形中，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由正六边形的性质，可证出是边长为的正三角形，再用向量数量积的定义，可计算出的值. 【详解】连接， ∵是正六边形，∴中，， 又∵，∴， 同理可得， ∴是边长为的等边三角形， 由向量数量积的定义，得. 故选：B 【点睛】本题考查了正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识，属于基础题. 15. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例排除ACD，由不等式的性质说明B正确即可. 【详解】对于A，令，则不成立，故A不符合题意； 对于B，由不等式的通项可加性得，故B符合题意； 对于C，令，则不成立，故C不符合题意； 对于D，令，则不成立，故D不符合题意. 故选：B． 16. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，三棱锥中，底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为. 求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）2;（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出 的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入 中，求出角即可． 试题解析：（1）因为底面，与底面所成的角为 所以 , 因为，所以 （2）连接，取的中点，记为，连接，则 所以为异面直线与所成的角 计算可得：，， 异面直线与所成的角为． 考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积． 18. 在中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知，，且． （1）求角C的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式可得，即可求解得解， （2）利用余弦定理可得，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，因为，即， 所以，即， 所以（舍去）或，由于，所以； 【小问2详解】 因为，且， 所以， 又，，所以，整理得， 又，则． 19. 我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点，的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线． （1）试求平面内到两个定点，的距离之商为定值且的点的轨迹； 提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 设，的坐标分别为，其中 （2）若中，满足，，求三角形的面积的最大值. 【答案】（1）圆；（2）. 【解析】 【详解】（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，的坐标分别为，其中，  设动点坐标，根据题意可得， ∵，，即，整理得，所以平面内到两个定点，的距离之商为定值的点的轨迹是圆．  （2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，，建立直角坐标系，设，的坐标分别为，，设顶点， ∴，， ∵，∴，整理得即点落在除去两点的圆上． 又，，∴ 20. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【小问1详解】 设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 21. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）（i）证明：因为， 所以 所以. (ii)； 【解析】 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【小问1详解】 由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 【小问2详解】 (i)略 (ii) 由已知，， 又，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023年致远高级中学高三上开学考 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知全集，，，则___． 2. 已知a是实数，是纯虚数，则a=_____________． 3. 方程的解是______． 4. 的展开式中的系数为_______（用数字作答） 5. 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若线段的长是8，的中点到轴的距离是2，则此抛物线方程是______． 6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________． 7. 已知，，，求的值________. 8. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___. 9. 某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是 ___________（用分数作答）． 10. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 11. 已知，，且，，，则________ 12. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 设集合，集合，且，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 14. 在边长为1的正六边形中，的值为（ ） A. B. C. D. 15. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，三棱锥中，底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为. 求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 18. 在中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知，，且． （1）求角C的大小； （2）求的面积． 19. 我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点，的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线． （1）试求平面内到两个定点，的距离之商为定值且的点的轨迹； 提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 设，的坐标分别为，其中 （2）若中，满足，，求三角形的面积的最大值. 20. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 21. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $