2.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 一、选择题 1.双曲线-=1的一个焦点坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,5) B.(-5,0) C.(,0) D.(0,-) 2.已知双曲线的一个焦点为(5,0),一个顶点为(3,0),则双曲线的标准方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,虚轴的上、下端点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为 (　 ) A.24 B.12 C.8 D.4 4.[2024·浙江嘉兴高二期中] 已知椭圆+=1和双曲线-=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△PF1F2的面积为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.8 5.如图是一个落地青花瓷,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶最小横截面的直径为40 cm,最大横截面的直径为60 cm,双曲线的离心率为,则该花瓶的高为 (　 ) A.90 cm B.100 cm C.110 cm D.120 cm 6.[2024·湖北武汉高二期中] 已知双曲线 -=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2(2,0),O为坐标原点,点P为双曲线右支上一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,M为线段PF2的中点,则|OM|= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(多选题)已知双曲线+=1的实轴长是虚轴长的3倍,则m的值可能是 (　 ) A.-1 B.2 C. D.12 8.(多选题)[2024·河北邢台高二期中] 已知F(0,3)是双曲线C:-=1(a>0)的上焦点,点P在C上,则 (　 ) A.a=1 B.a= C.|PF|的最小值为2 D.|PF|的最小值为4 二、填空题 9.双曲线9x2-16y2=1的实轴长为　　　　.  10.已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点(4,),则双曲线C的标准方程为　　　　.  11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,且|AB|=6,若△ABF2的周长为24,则双曲线C的实轴长是　　　　.  12.已知双曲线-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则·的取值范围是　　　　.  三、解答题 13.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴在y轴上,一个焦点为直线3x-4y+24=0与坐标轴的交点的等轴双曲线; (2)实轴长为4,经过点A(2,-5),焦点在y轴上. 14.[2024·河北保定高二期中] 已知双曲线C的实轴长为4,且与双曲线-=1有公共的焦点. (1)求双曲线C的方程; (2)已知M(0,3),P是C上的任意一点,求|PM|的最小值. 15.已知等轴双曲线的焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,中心在坐标原点,点A的坐标为(5,),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|-|PA|的最大值为　　　　.  16.已知双曲线-=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,点C(0,b),则△ABC面积的最大值为　　　　.  2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 1.D　[解析] 因为双曲线的方程为-=1,所以双曲线的焦点在y轴上,且c2=a2+b2=4+3=7,所以双曲线的焦点坐标为(0,)和(0,-).故选D. 2.D　[解析] 由题可知,双曲线的焦点在x轴上,所以可设其标准方程为-=1(a>0,b>0),则c=5,a=3,所以b2=c2-a2=16,所以双曲线的标准方程为-=1,故选D. 3.B　[解析] 由题可知a=,b=2,则c=3,易知四边形B1F1B2F2为菱形,其面积为=12.故选B. 4.A　[解析] 椭圆+=1的长半轴长为5,短半轴长为3,半焦距为4,则|F1F2|=8,设点P(m,n),则可得|n|=,所以△PF1F2的面积为×8×=3.故选A. 5.B　[解析] 由该花瓶最小横截面的直径为40 cm,得a=20,又由双曲线的离心率为,得c=20,则b=20,可得双曲线的方程为-=1,当x=30时,可得y=±50,故该花瓶的高为100 cm.故选B. 6.B　[解析] 因为右焦点为F2(2,0),所以|F1F2|=4,又因为 |F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,因为 |F1F2|+|PF1|+|PF2|=10,所以 |PF1|=4,又O为坐标原点,且M为线段PF2的中点,所以|OM|=|PF1|=2,故选B. 7.BD　[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时,11-m>0,m-3<0,所以m<3,则a=,b=,则2=3×2,解得m=2;当双曲线的焦点在y轴上时,11-m<0,m-3>0,所以m>11,则a=,b=,则2=3×2,解得m=12.故选BD. 8.AC　[解析] 由F(0,3)可得c=3,所以a2+8=9,得a=1,故A正确,B错误;当P为双曲线的上顶点时,|PF|取得最小值,最小值为c-a=3-1=2,C正确,D错误.故选AC. 9.　[解析] 双曲线的标准方程为-=1,则a=,因此,该双曲线的实轴长为2a=. 10.-=1　[解析] 设双曲线C的方程为x2-y2=t(t≠0),则由题意得42-()2=t,即t=3,所以双曲线的方程为x2-y2=3,标准方程为-=1. 11.6　[解析] 由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|=2a,则|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a,因为|AB|=|AF1|+|BF1|=6,所以|AF2|+|BF2|=4a+6.因为△ABF2的周长为24,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=24,所以|AF2|+|BF2|=18,则4a+6=18,解得a=3,故双曲线C的实轴长是6. 12.[-2,+∞)　[解析] 设点M(x,y),x≤-2或x≥2,则=(x-3,y),=(x,y),由-y2=1,可得y2=-1,所以·=x(x-3)+y2=x2-3x+-1=-3x-1,令f(x)=-3x-1,易知二次函数f(x)的图象开口向上,图象的对称轴为直线x=,当x≤-2时,函数f(x)单调递减,此时f(x)≥f(-2)=10;当x≥2时,函数f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2.综上所述,函数f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的取值范围为[-2,+∞). 13.解:(1)由题意设双曲线的标准方程为-=1(a>0), 由已知得,焦点为直线3x-4y+24=0与y轴的交点(0,6),则a2+a2=62,即a2=18, 所以双曲线的标准方程为-=1. (2)由题意知,a=2,因为双曲线的焦点在y轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(b>0),因为双曲线经过点A(2,-5),所以-=1,解得b2=16,所以双曲线的标准方程为-=1. 14.解:(1)双曲线-=1的焦点为(0,±),所以设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题可知,a=2,a2+b2=5,可得b=1,所以双曲线C的方程为-x2=1. (2)由-x2=1可得,y≤-2或y≥2,设P(x0,y0),y0≤-2或y0≥2,则-=1,所以|PM|===,所以当y0=时,|PM|取得最小值=. 15.4+2　[解析] 由题意设双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),因为双曲线的焦距为8,所以c=4,因为2a2=c2,所以a2=8,故双曲线的标准方程为-=1.由双曲线的定义可知,|PF1|-|PA|=|PF2|-|PA|+2a≤|AF2|+2a,当且仅当P,A,F2三点共线且点P位于第一象限时取等号.由题意可知,F2(4,0),A(5,),a=2,所以|AF2|=2,故|PF1|-|PA|的最大值为|AF2|+2a=2+4. 16.2　[解析] 双曲线-=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,不妨取A(-,0),B(,0),∵点C(0,b),∴△ABC的面积为×2×b=×b=≤=2,当且仅当b=时取等号,∴△ABC面积的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$