第3章 专题三 利用勾股定理解决折叠问题（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年七年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第三章　勾股定理 专题三　利用勾股定理解决折叠问题 利用勾股定理解决长方形折叠问题 应用1　沿过长方形两个顶点的直线（对角线）折叠 1. 如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD 相交于点O. 若BC＝8，EO＝3，求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：由折叠的性质，知ED＝CD＝AB， BE＝BC＝AD. 因为∠E＝∠A＝90°， 所以△ABD≌△EDB，所以∠EBD＝∠ADB，所以OB＝OD. 因为BC＝8，EO＝3， 所以BO＝DO＝8－3＝5，所以AO＝3. 所以AB2＝CD2＝BO2－AO2＝52－32＝42，所以CD＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 应用2　沿过长方形一个顶点的直线折叠 2. 如图所示，在一次数学活动课上，小李同学将长方形ABCD沿直线CE折叠， 顶点B恰好落在AD边上的点F处，若CD＝16 cm，BE＝10 cm，则AD的长是 多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 解：由折叠的性质，可得BE＝EF＝10 cm，BC＝CF＝AD. 因为四边形ABCD是长方形， 所以AB＝CD， 所以AE＝AB－BE＝CD－BE＝6 cm. 在Rt△AEF中，AF2＝EF2－AE2＝102－62＝82， 所以AF＝8 cm， 所以DF＝AD－8. 在Rt△CDF中，DF2＋CD2＝CF2， 即（AD－8）2＋162＝AD2， 解得AD＝20 cm.即AD的长是20 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 如图所示，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将长方形ABCD沿CE折 叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.求EF的长. 解：设EF＝x，由题意，知△CDE≌△CFE，所以DE＝EF＝x，CF＝CD＝ 5， 在Rt△ACD中，AC2＝DC2＋AD2＝52＋122＝132，所以AC＝13. 所以AF＝AC－CF＝8，AE＝AD－DE＝12－x. 在Rt△AEF中，AE2＝AF2＋EF2， 即（12－x）2＝82＋x2， 解得x＝ ，即EF＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，BE与CD相交于点 F，求AP的长. 解：因为∠D＝∠E＝90°，∠DOP＝∠EOF，OD＝OE， 所以△DPO≌△EFO. 所以PO＝FO，EF＝DP. 所以PE＝DF. 设AP的长为x，则PE＝DF＝x，DP＝EF＝6－x， 所以BF＝BE－EF＝8－（6－x）＝2＋x，CF＝DC－DF＝8－x. 在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2， 即（2＋x）2＝62＋（8－x）2. 所以x＝ ，即AP＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 应用3　沿不过长方形顶点的直线折叠 5. 如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝9.将长方形纸片折叠，使 点B和点D重合，求DE的长. 解：因为四边形ABCD为长方形，所以AB＝CD＝3. 因为AD∥BC，所以∠BFE＝∠DEF. 因为∠BFE＝∠EFD，所以∠EFD＝∠DEF，所以DE＝DF. 设DE＝x，则DF＝x，FC＝9－x. 在Rt△DFC中，FC2＋DC2＝DF2， 所以（9－x）2＋32＝x2， 解得x＝5，所以DE＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 利用勾股定理解决三角形折叠问题 应用1　沿过三角形一个顶点的直线折叠 6. 如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，把△ABC折叠，使AB 落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：因为AC2＋BC2＝62＋82＝102，AB2＝102， 所以AC2＋BC2＝AB2， 所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. 因为折叠△ABC使AB落在直线AC上，所以AB'＝AB＝10，B'D＝BD， 所以B'C＝AB'－AC＝10－6＝4. 设CD＝x， 则B'D＝BD＝BC－CD＝8－x. 在Rt△B'CD中，由勾股定理，得B'C2＋CD2＝B'D2， 即42＋x2＝（8－x）2， 解得x＝3，即CD＝3. 所以阴影部分的面积＝ AC×CD＝ ×6×3＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图①所示，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重 合，折痕为DE. （1）如果AC＝6 cm，AB＝10 cm，可求得△ACD的周长为 cm. 14　 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）如果∠CAD∶∠BAD＝1∶4，可求得∠B的度数为 ⁠. 操作二：如图②所示，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折 叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9 cm，AB＝15 cm，请求出 CD的长. 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 解：在Rt△ABC中，AC＝9 cm，AB＝15 cm， 根据勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝152－92＝144. 所以BC＝12. 由折叠知AE＝AC＝9 cm.因为AB＝15 cm，所以BE＝AB－AE＝6 cm. 设CD＝x，则BD＝（12－x），DE＝CD＝x. 在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2， 即x2＋62＝（12－x）2.解得x＝4.5. 所以CD＝4.5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 应用2　沿不过三角形顶点的直线折叠 8. 如图所示，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠， 使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长. 解：因为点D为BC的中点，BC＝6，所以BD＝CD＝ BC＝3. 由题意，知AN＝DN， 设AN＝DN＝x， 因为AB＝9，所以BN＝9－x. 在Rt△BND中， 由勾股定理，得BN2＋BD2＝DN2， 即（9－x）2＋32＝x2，解得x＝5. 所以BN＝9－5＝4，即BN的长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$