第2章 专题二 等腰三角形与全等三角形的综合应用（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年七年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第二章　轴对称 专题二　等腰三角形与全等三角形的综合应用 等腰三角形与全等三角形的综合应用 1. （2024·山东烟台莱州期中）如图所示，已知AB，CD相交于点E，若 △ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠ACD的度数是 ⁠. 76°　 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图所示，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于点E， CB的延长线交AD的延长线于点F. 试说明：DE＝DF. 解：因为线段CD垂直平分AB，所以AC＝BC，AD＝BD. 所以∠CAB＝∠CBA，∠BAD＝∠ABD. 所以∠CAB＋∠BAD＝∠CBA＋∠ABD，即∠CBE＝∠CAF. 又因为BC＝AC，∠BCE＝∠ACF， 所以△BCE≌△ACF（ASA）. 所以BE＝AF. 所以DE＝DF. 1 2 3 4 5 6 7 3. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作 AE∥BD、CE⊥AC，且AE，CE相交于点E. 试说明：AD＝CE. 解：因为AE∥BD，所以∠EAC＝∠ACB. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB. 所以∠EAC＝∠B. 又因为∠BAD＝∠ACE＝90°， 所以△ABD≌△CAE（ASA）. 所以AD＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 4. （2023·江苏苏州中考）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的 角平分线.以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接 DE，DF. （1）试说明：△ADE≌△ADF. 解：（1）因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD＝∠CAD. 由作图知AE＝AF. 在△ADE和△ADF中， 所以△ADE≌△ADF（SAS）. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数. 解：（2）因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线， 所以∠EAD＝ ∠BAC＝40°， 由作图知AE＝AD，所以∠AED＝∠ADE. 所以∠ADE＝ ×（180°－40°）＝70°. 因为AB＝AC，AD为△ABC的角平分线， 所以AD⊥BC. 所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°. 1 2 3 4 5 6 7 5. （2023·山东泰安岱岳区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点， 点E是AD上任意一点. （1）如图①所示，连接BE，CE，则BE和CE相等吗？说明理由. 解：（1）BE＝CE. 理由： 因为AB＝AC，点 D是BC的中点， 所以∠BAE＝∠CAE. 在△ABE和△ACE中， 所以△ABE≌△ACE（SAS），所以BE＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 （2）当∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图②所示， BD和 AE相等吗？说明理由. 解：（2）BD＝ AE. 理由： 因为∠BAC＝45°，BF⊥AF， 所以△ABF为等腰直角三角形，所以AF＝BF. 由（1），知AD⊥BC， 所以∠EAF＝∠CBF. 在△AEF和△BCF中， 所以△AEF≌△BCF（ASA），所以AE＝BC. 因为BD＝ BC，所以BD＝ AE. 1 2 3 4 5 6 7 等边三角形与全等三角形的综合应用 6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重 合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD. （1）试说明：∠E＝∠CDF. 解：（1）因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°. 所以∠EBD＝∠DCF＝120°. 因为DF＝AD，所以∠CAD＝∠F. 又因为∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°，∠CDF＋∠F＝ ∠ACB＝60°，所以∠BAD＝∠CDF. 因为DE＝AD，所以∠BAD＝∠E. 所以∠E＝∠CDF. 1 2 3 4 5 6 7 （2）判断点D从B运动到C的过程中，△CFD周长的变化规律，并说明理由. 解：（2）△CFD周长的变化规律是先变小后变大. 理由：在△BDE和△CFD中， 所以△BDE≌△CFD（AAS），所以BE＝CD， 所以△CFD的周长为CD＋CF＋DF＝CD＋BD＋AD＝BC＋AD. 因为在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变 小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD长最小， 所以在点D从B运动到C的过程中，△CFD周长的变化规律是先变小后变大. 1 2 3 4 5 6 7 7. 探究拓展　如图所示，在等边△ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线 BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF. 【问题解决】 如图①所示，若点D在边BC上，试说明：CE＋CF＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 解：【问题解决】如图①所示，在CD上截取CH＝CE. 因为△ABC是等边三角形，所以∠ECH＝60°. 所以△CEH是等边三角形.所以EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°. 因为△DEF是等边三角形，所以DE＝FE，∠DEF＝60°. 所以∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.所以∠DEH＝∠FEC. 在△DEH和△FEC中， 所以△DEH≌△FEC（SAS）. 所以DH＝CF. 所以CD＝CH＋DH＝CE＋CF，即CE＋CF＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 【类比探究】 如图②所示，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在 怎样的数量关系？并说明理由. 【类比探究】线段CE，CF与CD之间的数量关系是CF＝CD＋CE. 理由：如图②所示，过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G. 1 2 3 4 5 6 7 因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝60°. 因为GD∥AB，所以∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°. 所以∠GDC＝∠DGC＝60°.所以△GCD为等边三角形. 所以DG＝CD＝CG. 因为△EDF为等边三角形，所以ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°. 所以∠EDG＝∠FDC. 在△EGD和△FCD中， 所以△EGD≌△FCD（SAS）. 所以EG＝CF. 所以CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE，即CF＝CD＋CE. 1 2 3 4 5 6 7 $$