第1章 专题一 添加辅助线构造全等三角形的技巧（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年七年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　三角形 专题一　添加辅助线构造全等三角形的技巧 　“倍长中线”构造全等三角形 1. 如图所示，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值 范围. 1 2 3 4 解：延长AD到点E，使DE＝AD， 则AE＝2AD，连接BE. 在△ADC和△EDB中， 所以△ADC≌△EDB（SAS）， 所以BE＝AC＝6. 因为AB＝8，所以8－6＜2AD＜8＋6， 所以1＜AD＜7. 　过某点作垂线构造全等三角形 2. 探究拓展 如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，AD＝AB＋CD. （1）连接AM，AM是否平分∠BAD？请说明理由. 1 2 3 4 解：（1）AM平分∠BAD. 理由：如图所示，过点M作 ME⊥AD，垂足为点E. 因为M是BC的中点，所以MC＝MB. 因为DM平分∠ADC，所以∠1＝∠2. 因为MC⊥CD，ME⊥AD，所以∠C＝∠DEM＝90°. 又因为DM＝DM，所以△DEM≌△DCM（AAS）. 所以MC＝ME＝MB，DC＝DE. 因为AD＝AB＋CD＝AE＋DE，所以AB＝AE. 在△AEM和△ABM中，因为ME＝MB，∠AEM＝∠B，AE＝AB， 所以△AEM≌△ABM（SAS）， 所以∠3＝∠4，所以AM平分∠BAD. 1 2 3 4 （2）线段AM与DM有怎样的位置关系？请说明理由. 解：（2）AM⊥DM. 理由： 因为∠B＝∠C＝90°， 所以DC⊥CB，AB⊥CB，所以CD∥AB， 所以∠CDA＋∠DAB＝180°. 又因为∠1＝ ∠CDA，∠3＝ ∠DAB， 所以2∠1＋2∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝90°， 所以∠AMD＝90°，即AM⊥DM. 1 2 3 4 　延长线段构造全等三角形 3. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点 A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE. 试说明： （1）∠EAC＝∠DBC. 解：（1）因为AE⊥BD， 所以∠AEB＝90°＝∠C. 所以∠EAC＋∠ADE＝90°， ∠DBC＋∠BDC＝90°. 又因为∠ADE＝∠BDC， 所以∠EAC＝∠DBC. 1 2 3 4 （2）BD平分∠ABC. 解：（2）延长AE，BC交于点F. 在△ACF和△BCD中， 所以△ACF≌△BCD（ASA）. 所以AF＝BD. 因为BD＝2AE，AE＋EF＝BD， 所以AE＝FE. 因为BE⊥AF， 所以∠AEB＝∠FEB＝90°. 又因为BE＝BE，所以△ABE≌△FBE（SAS）， 所以∠ABE＝∠FBE，所以BD平分∠ABC. 1 2 3 4 　截取线段构造全等三角形 4. 如图所示，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE 与BE的数量关系，并说明理由. 解：AE＝BE. 理由：如图所示，在CE上截取CF＝DE，连接BF. 在△ADE和△BCF中， 所以△ADE≌△BCF（SAS）. 所以AE＝BF，∠AED＝∠CFB. 因为∠AED＋∠BEF＝180°，∠CFB＋∠EFB＝180°，所以∠BEF＝ ∠EFB. 过点B作BM⊥DE于点M，如图所示，所以∠BMF＝∠BME. 1 2 3 4 在△BMF和△BME中， 所以△BMF≌△BME（AAS）， 所以BF＝BE. 所以AE＝BE. 1 2 3 4 $$