第1章 三角形 本章综合提升（课件PPT）-【优+学案】2024-2025学年七年级上册数学课时通(鲁教版 五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 第一章　三角形 本章综合提升 1. 方程思想 方程思想是指在解决数学问题时，从问题中的已知量和未知量之间的关系入 手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方 程（组）将未知量转化为已知量，最终使问题获解的一种数学思想. 本章中，常根据三角形三个内角的和等于180°列方程，从而求三角形某个 内角的度数. 　　【例1】　在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　A　） A. 32° B. 36° C. 40° D. 128° A （1）若∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，求△ABC的最大内角的度数. 解：（1）因为∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5， 所以设∠A＝3α，∠ABC＝4α，∠ACB＝5α. 因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 所以3α＋4α＋5α＝180°. 解得α＝15°. 所以∠ACB＝5α＝75°.所以△ABC的最大内角的度数为75°. 　　【变式训练1】如图所示，已知在△ABC中，BD是高，CE是角平分线. （2）若∠A＝69°，∠CBD＝40°，求∠AEC的度数. 解：（2）因为BD是高，所以∠BDC＝90°. 因为∠CBD＝40°，所以∠BCD＝90°－∠CBD＝50°. 因为CE是角平分线，所以∠ACE＝ ∠BCD＝25°. 因为∠A＝69°，所以∠AEC＝180°－∠A－∠ACE＝180° －69°－25°＝86°. 2. 转化思想 　　在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的 问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数 学问题.转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可 以通过转化来获得解决问题的突破口. 在本章中，常常应用该思想把实际问题转化为数学问题，将判断线段相等或 角相等的问题转化为判定三角形全等的问题. 　　【例2】　如图所示，已知AC＝AD，BC＝BD，点E是AB上任意一点， 试说明：CE＝DE. 解：在△ACB和△ADB中， 所以△ACB≌△ADB（SSS）. 所以∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中，所以△ACE≌△ADE（SAS）. 所以CE＝DE. 试说明：（1）∠C＝∠E. 解：（1）因为∠BAE＝∠DAC， 所以∠BAC＝∠DAE. 在△ABC和△ADE中， 所以△ABC≌△ADE（SAS）.所以∠C＝∠E. 　　【变式训练2】如图所示，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC. （2）AM＝AN. 解：（2）因为△ABC≌△ADE，所以∠B＝∠D. 在△ABM和△ADN中， 所以△ABM≌△ADN（ASA）.所以AM＝AN. 3. 分类讨论思想 　　当面临的问题包含多种可能情况时，就把问题按照一定的原则或标准分为若 干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决 问题的思想就是分类讨论思想. 本章中，常见的有（1）等腰三角形的边、角、高等不确定时，需要分类讨 论；（2）动态背景下三角形全等问题的分类讨论. 　　【例3】　（2024·山东烟台莱州期中）等腰三角形的周长为18 cm，其中一 边长为5 cm，等腰三角形的底边长为（　C　） A. 5 cm B. 6 cm C. 5 cm或8 cm D. 8 cm 　　【变式训练3】若AD是△ABC的高，且BD＝5，CD＝2，则边BC的长 为 ⁠. C 7或3　 1. （2024·山东青岛莱西期中）如图所示，AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB，则 △ABC中AC边上的高是线段（　C　） A. AE B. CD C. BF D. AF C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. （2024·山东烟台莱州期末）如图所示，在直角三角形ABC中，AD为斜边上 的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法错误的是（　D　） A. BF＝CF B. ∠C＝∠BAD C. ∠BAE＝∠CAE D. S△ABE＝S△ACF D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. （山东烟台蓬莱期末）如图所示，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B ＝∠E. 在下列结论：①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝ ∠CAF. 其中正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （山东泰安东平期末）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝80°.若BF是 △ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为 ⁠. 第4题图 130°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （2024·山东青岛莱西期中）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作 图痕迹. 已知：线段a和∠α（如图所示）. 求作：△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α. 解：如图所示，△ABC即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （2024·山东济宁任城区期中）如图所示，△ABC的两条高AD，CE交于点 F，AF＝BC. （1）试说明：BE＝EF. 解：（1）因为△ABC的两条高AD，CE交于点F， 所以∠BEC＝∠AEC＝90°. 所以∠BCE＋∠B＝∠DAB＋∠B＝90°. 所以∠BCE＝∠DAB. 因为AF＝BC，所以△BCE≌△FAE（AAS）. 所以BE＝EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积. 解：（2）因为BE＝4，CF＝5，所以EF＝4. 所以CE＝CF＋EF＝5＋4＝9. 因为△BCE≌△FAE，所以AE＝CE＝9. 所以 ＝ ×CF×AE＝ ×5×9＝ ，即△ACF的面 积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. （2023·山东烟台莱阳期末）如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M 的一条直线，连接AE，BD，过点B作BF∥AE交ED于点F，且EM＝FM. （1）若AE＝5，求BF的长. 解：（1）因为BF∥AE， 所以∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM. 在△AEM和△BFM中， 所以△AEM≌△BFM（AAS）， 所以AE＝BF. 因为AE＝5，所以BF＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若∠AEC＝90°，∠DBF＝∠CAE，试说明：CD＝FE. 解：（2）因为BF∥AE，所以∠AEC＝∠BFM. 因为∠AEC＝90°，所以∠BFM＝90°， 所以∠BFD＝180°－90°＝90°， 所以∠AEC＝∠BFD. 由（1）知，AE＝BF. 在△ACE和△BDF中， 所以△ACE≌△BDF（ASA）， 所以CE＝DF，所以DF－CF＝CE－CF， 即CD＝FE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. （2023·浙江金华中考）在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条 线段围成一个三角形的是（　C　） A. 1 cm B. 2 cm C. 13 cm D. 14 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. （2023·山东聊城中考）如图所示，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE. 若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　B　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 结论开放　一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ⁠ .（只填一个即可） 11. 结论开放　如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条 件 ，使△AOB≌△DOC. （只填一种情况即可） 第11题图 4（大于2 小于8的数即可）　 AB＝DC（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. （2023·湖北十堰中考）一副三角板按如图所示的方式放置，点A在DE上， 点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ ⁠. 第12题图 100°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （2023·四川乐山中考）如图所示，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD， AO＝BO，试说明：AC＝BD. 解：因为AC∥BD，所以∠A＝∠B，∠C＝∠D. 在△AOC和△BOD中， 所以△AOC≌△BOD（AAS）.所以AC＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. （2023·四川宜宾中考）如图所示，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC. 试说 明：∠B＝∠E. 解：因为AF＝DC， 所以AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. 因为AB∥DE，所以∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（SAS）， 所以∠B＝∠E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. （2023·陕西中考A卷）如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过 点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，使AD＝AC. 在边AC上截取AF ＝AB，连接DF. 试说明：DF＝CB. 解：因为在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°， 所以∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°. 因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°. 所以∠DAF＝110°. 所以∠DAF＝∠CAB. 在△DAF和△CAB中， 所以△DAF≌△CAB（SAS）. 所以DF＝CB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$