浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

金华一中2025届高三10月月考数学试卷 姓名 班级 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则（     ） A． B． C． D． 2．如果直线a平行于平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ 　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 3．已知为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 4．的展开式中项的系数是（     ） A．672 B． C．560 D． 5．某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（     ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，且，则的最小值为（     ） A．5 B． C． D． 7．已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 8．已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（     ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4．5 4 3．5 2．5 A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是2．1万次 D．残差绝对值的最大值为0．2 10．设是公比为正数的等比数列的前n项和．若，，则（     ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 11．已知定义域为R的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（     ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为 ． 14．已知集合，其中．若任意，均有，则实数m的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的周长． 16．（本题满分15分）如图，长方体中，点分别在上，且，． （Ⅰ）求证：平面AEF； （Ⅱ）当时，求平面AEF与平面的夹角的余弦值． 17．（本题满分15分）已知直线与抛物线交于A，B两点，且． （Ⅰ）求p； （Ⅱ）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 18．（本题满分17分）已知函数，其中为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19．（本题满分17分）若数列满足，则称为E数列，记． （Ⅰ）写出满足，且的E数列； （Ⅱ）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是； （Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华一中2025届高三10月月考数学答案 BCCD BDCA 8．【详解】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能， 因为可取0，2，5， 且， 所以． 又因为可取0，2，5， 且， 所以． 而可取2，5，且，则， 所以； 即，所以． ACD ACD ABD 11．对A，满足，令，则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，，， 故的周期，再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期，故， ，令，则， 又当时，，即，即，，，故C错误； 对D，满足，关于中心对称， 又当时，在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ，当且仅当时，即时等号成立，，故D对． 12． 13． 14．2 14．【详解】如图所示，由alog2b﹣b﹣3a≥0，化为：． ∵≥﹣m，b≤m时， ∴log2m≤3﹣m． 当m=2时取等号， ∴实数m的最大值为2． 15．（1）由得：， ∴， 由知，故为锐角，∴， ∴． （2）由（1）知：，， 由正弦定理得：， ∴，故的周长为14． 16． 17．（1）设， 由，可得， 所以，， 所以， 即，因为，解得； （2）由（1）得抛物线， 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，，， 由，可得，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将，代入得， ，， 所以，且，解得或， 设点到直线的距离为，则， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积．   18．（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即，又，所以，得证． 19．（1）0，1，0，1，0是一个满足条件的数列． （2）必要性：因为数列是递增数列， 所以， 所以是首项为2，公差为1的等差数列． 所以， 充分性：由于，故， ， …… ， 所以，即， 又因为，， 所以， 故，即是递增数列． 综上所述，结论成立． （3）设，则， 因为， ， …… ， 所以 ， 因为，所以为偶数（） 所以为偶数， 所以要使，必须使为偶数， 即4整除，亦即或， 当时，数列的项满足，，， 此时，有且成立， 当时，数列的项满足，，，时，亦有且成立， 当或时，不能被4整除，此时不存在数列，使得且成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$