分门别类 搞定导数：导数专题之函数零点问题

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 （1）零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 （2）数形结合法： 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 类型一、研究函数零点的个数 例1．函数f(x)＝ 的零点个数是____． 类型二、求参数的值或范围 例2．若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________． 解析：令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点． g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x< ； 令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x> ， 所以，当0<x< 时，函数g(x)单调递减；当x> 时，函数g(x)单调递增， 由此可知当x＝ 时，g(x)min＝－ . 在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－ <a<0. 类型三、研究函数图像的交点个数 例3、已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线 y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2. (1)求a； (2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点． 当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4， 所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．[来源:Z|xx|k.Com] 当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， [来源:学.科.网] h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根． 综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点． 小结：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． （3）先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结