分门别类 搞定导数：导数专题之不等式证明问题

导数在不等式问题中的应用问题解题策略：利用导数证明不等式，若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)． 类型一、结合问题之间的联系，利用函数的单调性证明；[来源:Z,xx,k.Com] 例1：已知函数，． （1）设（其中是的导函数），求的最大值； （2）证明: 当时，求证：；[来源:Z*xx*k.Com] （2）当时，． 由（1）知：当时，，即． 因此，有． 类型二、构造新的函数，求导，结合函数的单调性去证。 例2：已知 . （I）求函数f（x）的最小值； （II）（i）设 ，证明： ；（ii）若 ，且 证明： （Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则 当0＜t＜a时，g((t)＝f((a＋t)＋f((a－t)＝a＋t－＜0， ＝＋a－t－ 所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0， 即f(a＋t)－f(a－t)＜0， 故f(a＋t)＜f(a－t)． （ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得 f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)，故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a． 类型三、转化为求函数的最值去证 例3、已知函数 （ 为自然对数的底数），曲线 在点 处的切线方程为 ． （1）求， 的值； （2）任意，时，证明： ． 解析：（1） EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， , ， 又切线 过切点 , ， 代入 得 ． 类型四、与数列求和相结合的问题 例3.设曲线 在点 处的切线斜率为 ，且 ,对一切实数 ，不等式 恒成立（ ）. （1）求 的值； （2）求函数 的表达式； （3）求证： . 解：（1） ， ,