1.4.2　一元二次不等式及其解法练习——2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修 第一册

4.2　一元二次不等式及其解法 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.不等式x2≤3x的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|0≤x≤3} B.{x|x≤3} C.{x|x≥3或x≤0} D.{x|x≤0} 2.若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集,则 (　 ) A.a<0且b2-4ac>0 B.a<0且b2-4ac≤0 C.a>0且b2-4ac≤0 D.a>0且b2-4ac>0 3.一元二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集为 (　 ) A.(-2,3) B.(-3,2) C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 4.[2024·广州番禺实验中学高一期中] 下列不等式的解集为R的是 (　 ) A.3x2-7x≤10 B.-x2+x-≤0 C.(x+2)(x-3)>0 D.-2x2+x<-3 5.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|-6<x<1};乙写错了常数c,得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的解集为 (　 ) A.{x|1<x<6} B.{x|-1<x<4} C.{x|-4<x<1} D.{x|-1<x<6} 6.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a= (　 ) A. B.3 C.2 D. 7.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是 (　 ) A.3<a<4 B.-2<a<-1或3<a<4 C.3<a≤4 D.-2≤a<-1或3<a≤4 8.(多选题)若关于x的不等式ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集是{x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是 (　 ) A.a+b=0 B.a+b+c>0 C.c>0 D.b<0 9.(多选题)[2024·河北卓越联盟高一月考] 对于给定的实数a,关于x的不等式a(x-a)(ax+a)≥0的解集不可能为(　 ) A.⌀ B.{x|a≤x≤-1} C.{x|x≤a或x≥-1} D.R 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.[2024·福建莆田一中高一期中] 设a,b∈R且关于x的不等式ax+b>0的解集为{x|x<-3},则关于x的不等式bx2-(a+b)x<0的解集为　　　　　　　　.  11.已知集合A={x|a-2<x<a+3},B={x|(x-1)(x-4)>0},若A∪B=R,则a的取值范围是　　　　.  12.若关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是　　　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知关于x的不等式1<ax+b≤3的解集为{x|3<x≤4},求关于x的不等式ax2-5x+a>0的解集. 14.(10分)设a,b为实数,已知关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集A=(1,b). (1)求a,b的值; (2)若集合B={x|x2-(m+1)x+m<0},且A∩B=B,求实数m的取值范围. 15.(5分) [2024·上海黄浦区高一期中] 设[x]表示不超过x的最大整数,如[4.1]=4,[-1.1]=-2,则不等式[x]2-[x]-6≤0的解集是 (　 ) A.[-3,4] B.[-2,4] C.[-3,4) D.[-2,4) 16.(15分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的最小值为-4,且关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<3}. (1)求a,b,c的值; (2)求关于x的不等式y≤(m+1)x2-(m+4)x-1(m∈R)的解集. 4.2　一元二次不等式及其解法 1.A　[解析] 由x2≤3x,得x(x-3)≤0,所以其解集为{x|0≤x≤3},故选A. 2.C　[解析] 借助一元二次函数的图象进行分析可得. 3.C　[解析] 由表可知当x=-2时,y=0;当x=3时,y=0,所以y=ax2+bx+c=a(x+2)(x-3).又因为当x=1时,y=a(1+2)×(1-3)=-6a=-6,所以a=1,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个根.故易知ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2,或x>3}. 4.B　[解析] 对于A,3x2-7x≤10,即(x+1)(3x-10)≤0,解得-1≤x≤,A错误;对于B,-x2+x-≤0,即(x-1)2≥0,解集为R,B正确;对于C,(x+2)(x-3)>0,解得x<-2或x>3,C错误;对于D,-2x2+x<-3,即(x+1)(2x-3)>0,解得x<-1或x>,D错误.故选B. 5.D　[解析] 根据根与系数的关系得,c=1×(-6)=-6,-b=1+4=5,方程x2+bx+c=0的两根x1,x2满足解得故原不等式的解集为{x|-1<x<6},故选D. 6.A　[解析] 不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,∴不等式的解集为{x|-2a<x<4a},故4a-(-2a)=15,解得a=. 7.D　[解析] 由x2-(a+1)x+a<0可得(x-1)(x-a)<0,且(x-1)(x-a)<0的解集中恰有两个整数.①当a<1时,不等式(x-1)(x-a)<0的解集为{x|a<x<1},则解得-2≤a<-1;②当a=1时,不等式(x-1)(x-a)<0的解集为⌀,不符合题意;③当a>1时,不等式(x-1)(x-a)<0的解集为{x|1<x<a},则解得3<a≤4.综上,实数a的取值范围为-2≤a<-1或3<a≤4.故选D. 8.ABC　[解析] 由关于x的不等式ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集是{x|-1≤x≤2},可得a<0,且ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-=-1+2=1,所以b=-a>0,故a+b=0,故A正确,D错误;=-2,则c>0,故C正确;易知当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选ABC. 9.AB　[解析] a(x-a)(ax+a)≥0,即a2(x-a)(x+1)≥0.①当a=0时,不等式的解集为R.②当a≠0时,不等式变为(x-a)(x+1)≥0,方程(x-a)(x+1)=0的根为x=a或x=-1.当a<-1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥-1};当a=-1时,不等式的解集为R;当a>-1且a≠0时,不等式的解集为{x|x≤-1或x≥a}.综上,当a=0或a=-1时,不等式的解集为R,当a<-1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥-1},当a>-1且a≠0时,不等式的解集为{x|x≤-1或x≥a}.故选AB. 10.(-∞,0)∪　[解析] 因为ax+b>0的解集为{x|x<-3},所以a<0,-=-3,所以a=,b<0,所以bx2-(a+b)x<0,即bx2-bx<0,即x2-x>0,即x>0,解得x∈(-∞,0)∪. 11.(1,3)　[解析] 因为集合B={x|(x-1)(x-4)>0}={x|x>4,或x<1},A={x|a-2<x<a+3},A∪B=R,所以解得1<a<3,所以a的取值范围是(1,3). 12.-<a≤1　[解析] 当a=1时,不等式为-1<0,满足题意;当a=-1时,不等式为2x-1<0,解得x<,不满足题意;当a2-1≠0,即a≠±1时,要使不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则需满足解得-<a<1.综上所述,-<a≤1. 13.解:因为关于x的不等式1<ax+b≤3的解集为{x|3<x≤4},所以解得将a=2代入所求不等式,整理得(x-2)(2x-1)>0,解得x>2或x<,所以所求不等式的解集为∪(2,+∞). 14.解:(1)∵关于x的不等式ax2-3x+2<0的解集A=(1,b),∴a>0且1,b是方程ax2-3x+2=0的两个根, ∴解得 (2)由题意知集合B={x|x2-(m+1)x+m<0}={x|(x-1)(x-m)<0},由A∩B=B得B⊆A,又A=(1,2),∴当m<1时,B=(m,1),不符合题意;当m=1时,B=⌀,符合题意;当m>1时,B=(1,m),由B⊆A,得1<m≤2.综上所述,实数m的取值范围为[1,2]. 15.D　[解析] [x]2-[x]-6≤0,则-2≤[x]≤3,故-2≤x<4.故选D. 16.解:(1)∵关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<3},∴a>0,-1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,∴-1+3=2=-,-1×3=, 即b=-2a,c=-3a. ∵函数y=ax2+bx+c在x=-=1处取得最小值, ∴a+b+c=-4a=-4,即a=1,∴b=-2,c=-3. (2)由(1)知y=x2-2x-3,则y≤(m+1)x2-(m+4)x-1(m∈R),即mx2-(m+2)x+2≥0, 即(mx-2)(x-1)≥0. 当m=0时,原不等式为-2(x-1)≥0,解得x≤1,即不等式的解集为{x|x≤1};当m=2时,原不等式为2(x-1)2≥0,解得x∈R,即不等式的解集为R; 当m<0时,解不等式得≤x≤1,即不等式的解集为;当0<m<2时,解不等式得x≥或x≤1,即不等式的解集为; 当m>2时,解不等式得x≥1或x≤,即不等式的解集为. 综上可得,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤1}; 当m=2时,不等式的解集为R; 当m<0时,不等式的解集为; 当0<m<2时,不等式的解集为; 当m>2时,不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$