专题01 有理数（考题猜想，易错必刷45题18种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版2024）

专题01 有理数（易错必刷45题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的分类 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 根据点在数轴的位置判断式子正负题型六 数轴上的动点问题 题型七 相反数 题型八 化简绝对值 题型九 绝对值非负性 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数混合运算 题型十二 有理数的简便运算 题型十三 有理数混合运算的实际应用 题型十四 科学记数法 题型十五 程序流程图 题型十六 算“24”点 题型十七 有理数中的新定义运算 题型十八 有理数的规律计算题 一．正负数的意义 1．某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 2．绿色植物是氧气的生产者和二氧化碳的消耗者，把生产的氧气用正数表示，消耗的二氧化碳用负数表示，一公顷阔叶林一天生产千克氧气可记作千克，那么一天消耗千克二氧化碳应记作 ． 二．正负数的实际应用 1．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 2．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 三．有理数的分类 1．下列7个数：、1.010010001、、0、、（每两个1之间依次多一个、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，3.14，0，，，． 有理数数集合：{                                          } 整数集合：{                                             }； 负数集合：{                                             }； 分数集合：{                                             }； 四．数轴上两点之间的距离 1．如图，数轴上点、表示的数分别是、，．为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．数轴上有三点、、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为 ． 3．数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c，其中点A与点B之间的距离，点B与点C之间的距离，如图所示． (1)若以B为原点，则点A对应的数为__________，并计算的值． (2)若O是原点，且点O和点B之间的距离为18，求的值． 五．根据点在数轴的位置判断式子正负 1．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 3．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中①；②；③；④，⑤其中正确的有 ．（填序号） 六．数轴上的动点问题 1．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 3．如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 七．相反数 1．已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 2．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 八．化简绝对值 1．若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 2．已知实数a，b，c满足，且，则 ． 九．绝对值非负性 1．如果有理数、满足，求的值． 一十．有理数的大小比较 1．（1）比较下列各式的大小： ； ； ； （2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当|时，求x的取值范围． 2．已知有五个有理数，分别是：． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 一十一．有理数混合运算 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)． (7)； (8)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 一十二．有理数的简便运算 1．用简便方法计算 (1)； (2)． 2．学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式； 小聪：原式． (1)以上两种解法，你认为 （填入名）的解法比较简便； (2)你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请写出解答过程． 一十三．有理数混合运算的实际应用 1．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，该店铺的销售人员实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 辆； (3)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (4)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ (5)若将上面第（4）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下，该店铺的销售人员这一周的工资总额与按日计件的工资总额哪一个更多？请说明理由； 2．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场，某盲盒专卖店，以元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价单价和售出情况如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价单价相对于标准价格元 售出数量/个 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 ；最高单价是 元． (2)第一周该店出售这批盲盒的收益如何？（盈利或亏损的总价） (3)为了做促销活动，该店决定从元旦前一周开始实行下列两种促销方式． 方式一：购买不超过个盲盒，每个售价元，超出个的部分，每个打六折； 方式二：每个盲盒售价都是元； 某学校七年级班为准备元旦庆祝活动，决定一次性购买个盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 3．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 一十四．科学记数法 1．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 2．2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元． 一十五．程序流程图 1．如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2022次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图是一个对于正整数x的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x为 ． 一十六．算“24”点 1．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 2．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 一十七．有理数中的新定义运算 1．定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 2．定义一种新运算：．例如：，则 ． 3．定义一种运算：．例如，．当时，求的值． 一十八．有理数的规律计算题 1．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 2．在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 3．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)： ① ； ② ． 【拓广应用】 （2）计算： 4．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ________； _______． (2)根据规律计算： ． 5．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 (1)若时，则S的值为 ． (2)根据上题的规律计算的值（要有过程）． (3)根据上述规律计算下列式子的值（要有过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 有理数（易错必刷45题18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的意义 题型二 正负数的实际应用 题型三 有理数的分类 题型四 数轴上两点之间的距离 题型五 根据点在数轴的位置判断式子正负题型六 数轴上的动点问题 题型七 相反数 题型八 化简绝对值 题型九 绝对值非负性 题型十 有理数的大小比较 题型十一 有理数混合运算 题型十二 有理数的简便运算 题型十三 有理数混合运算的实际应用 题型十四 科学记数法 题型十五 程序流程图 题型十六 算“24”点 题型十七 有理数中的新定义运算 题型十八 有理数的规律计算题 一．正负数的意义 1．某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相反意义的量，根据“正”和“负”所表示的意义得出每袋大米的最多含量和最小含量，再用最多含量减去最小含量，即可得出答案． 【详解】解：， 根据题意得： ， ， 因为两袋两大米最多差， 所以这两袋大米相差的克数不可能是； 故选：D． 2．绿色植物是氧气的生产者和二氧化碳的消耗者，把生产的氧气用正数表示，消耗的二氧化碳用负数表示，一公顷阔叶林一天生产千克氧气可记作千克，那么一天消耗千克二氧化碳应记作 ． 【答案】千克 【分析】本题考查了正负数的意义，根据生产与消耗是一对相反意义的量，进行作答即可． 【详解】解：依题意，因为一公顷阔叶林一天生产千克氧气可记作千克， 所以那么一天消耗千克二氧化碳应记作千克， 故答案为：千克 二．正负数的实际应用 1．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 2．某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 三．有理数的分类 1．下列7个数：、1.010010001、、0、、（每两个1之间依次多一个、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的概念，根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：、1.010010001、、0、都是有理数，共5个． 故本题选：C． 2．将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，3.14，0，，，． 有理数数集合：{                                          } 整数集合：{                                             }； 负数集合：{                                             }； 分数集合：{                                             }； 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类对各数进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：有理数数集合：{，，，，3.14，0，，} 整数集合：{，，0}； 负数集合：{，，，}； 分数集合：{，，3.14，，}． 四．数轴上两点之间的距离 1．如图，数轴上点、表示的数分别是、，．为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据的值始终保持不变可知点M在点A和点B之间，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵的值始终保持不变， ∴点M在点A和点B之间， ∵，， ∴． 故选：C． 2．数轴上有三点、、，点到点的距离为2，点到点距离为6，则、之间的距离为 ． 【答案】8或4/4或8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论：E在线段上，E在线段的反向延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当E在线段上时，． 当E在线段的反向延长线上时，， 综上所述：或， 故答案为：8或4． 3．数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c，其中点A与点B之间的距离，点B与点C之间的距离，如图所示． (1)若以B为原点，则点A对应的数为__________，并计算的值． (2)若O是原点，且点O和点B之间的距离为18，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴与数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． （1）根据题意分别求出、、的值，再代入计算即可； （2）根据题意分别求出、、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）若以为原点，则，，， ， 故答案为：； （2）若是原点，且， 则，，， 此时； 五．根据点在数轴的位置判断式子正负 1．已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据数轴上a、b的位置可以判定a与b大小与符号，然后据此解答． 【详解】解：由数轴知， ，，， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选D． 2．已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（    ） A．②③ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上的位置如图所示： ， 故①正确；，②错误；由①②可得，③正确； ， ，④错误； 综上所述，正确的有①③， 故选：C． 3．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中①；②；③；④，⑤其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查数轴，根据数轴判断式子的正负． 根据数轴可知：，可得，，，根据，且，可得，根据，可得 ，． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴，，， 故①⑤正确，④错误． ∵，且， ∴， 故②错误， ∵， ∴， ∴， 故③正确， 综上，①③⑤正确， 故答案为：①③⑤． 六．数轴上的动点问题 1．数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向． 【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动， 点运动秒后的路程：， 又点向右运动， 点运动秒后表示的数为， 故选：C． 2．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：， 当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， 故答案为：． 3．如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s． (1)OA=__________cm，OB=__________cm； (2)当Q从O向A运动时，若，求t的值． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接按比例求解即可； （2）根据数量关系列方程即可； （3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可． 【详解】（1），点O为线段AB上一点，且， 那么． 故答案为：； （2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则， 点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止， 则从到时，， 从到时，． 因为当Q从O向A运动时，若， 所以，解得． （3）当则从到时，， ， 可得，解得， 从到时，在左侧时，． ， 可得，解得， 从到时，在右侧时，． ， 可得，解得． 综上所述： 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程． 七．相反数 1．已知与互为相反数，且的绝对值为8，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了相反数和绝对值的定义，根据题意可得，，或，计算即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，，或， ∴或， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2021． 2．已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． (1)在数轴上表示出a的相反数的位置． (2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【答案】(1)数轴表示见解析； (2)a表示的数是﹣10； (3)b表示的数是5或15 【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据题意可列式， ﹣a﹣a＝20， 解得a＝﹣10． 即a表示的数是﹣10． （3）解：∵﹣a＝10， 当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15， 当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5， ∴b表示的数是5或15． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题意列出算式和方程． 八．化简绝对值 1．若，则值为（　　） A．3 或1 B．或0 C．3或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，分两种情况进行求解是关键． 根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或，； 当，时，， 当，时，， 综上，值为3或． 故选：C． 2．已知实数a，b，c满足，且，则 ． 【答案】0或 【分析】根据题意得到a，b，c中至少有一个负数，然后分情况讨论，再根据绝对值的化简法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中至少有一个负数， ∴a，b，c中当有一个负数，两个正数时，假设，，， ∴； ∴a，b，c中当有两个负数，一个正数时，假设，，， ∴； ∴a，b，c中当有三个负数时，即，，， ∴． 综上所述，或． 故答案为：0或． 【点睛】本题考查绝对值的化简．判断绝对值符号里面的式子正负是解题关键． 九．绝对值非负性 1．如果有理数、满足，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 一十．有理数的大小比较 1．（1）比较下列各式的大小： ； ； ； （2）通过（1）的比较，请你分析归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当|时，求x的取值范围． 【答案】（1）＞，＝，＝；（2）；（3） 【分析】主要考查了绝对值的性质以及从特殊归纳一般方法的能力．要熟悉绝对值的性质和有理数的加减运算法则． （1）通过计算可比较大小； （2）从特殊归纳出一般规律，； （3）当x和的符号相同时，，所以． 【详解】解：（1）①左边，右边，所以左边右边； ②左边，右边，所以左边＝右边； ③左边，右边，左边＝右边． （2）两数的绝对值的和大于或等于两数和的绝对值． 即当a，b为有理数时，． （3）当x和的符号相同时，，所以． 2．已知有五个有理数，分别是：． (1)请把这五个有理数在数轴上表示出来； (2)按照从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】(1)有理数在数轴上表示见详解 (2) 【分析】本题主要考查多重符合化简，绝对值的化简，有理数与数轴的一一对应关系， （1）根据多重符合化简，绝对值的性质化简，再根据数轴的特点即可求解； （2）根据数轴的特点及有理数在数轴上的位置特点即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴将有理数在数轴上表示如图所示， （2）解：根据数轴的特点及有理数在数轴上的位置可得，． 一十一．有理数混合运算 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)． (7)； (8)． 【答案】(1) (2)44 (3)20 (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的计算； （1）根据有理数的加减法计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）根据有理数的加减法计算法则求解即可； （4）利用有理数的乘法法则计算即可； （5）利用有理数的乘法法则和乘法运算律计算即可； （6）利用有理数的乘法法则和乘法运算律计算即可； （7）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （8）利用有理数的混合运算法则和乘法运算律计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 （7）原式 （8）原式 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)42 (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘除，后计算加减运算，有括号的先计算括号内的运算； （2）先计算乘除，后计算加减运算，有括号的先计算括号内的运算； （3）先计算乘除，后计算加减运算，有括号的先计算括号内的运算； （4）先计算乘除，后计算加减运算，有括号的先计算括号内的运算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘除法，再算加减法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后算加减法即可，注意乘法分配律的应用； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）先计算绝对值，再进行有理数的加减混合运算即可； （2）利用有理数的加法交换律进行计算即可； （3）先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后再计算减法即可； （4）利用有理数的乘法分配律进行计算即可； （5）先把有理数的除法转化成乘法，再利用有理数的乘法法则进行计算即可； （6）先计算乘方、再计算括号里的，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、有理数的四则混合运算、有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的运算律、绝对值的性质，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 一十二．有理数的简便运算 1．用简便方法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法的分配律进行简便计算． 2．学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法： 小刚：原式； 小聪：原式． (1)以上两种解法，你认为 （填入名）的解法比较简便； (2)你还有其他解法吗？如果有，请写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请写出解答过程． 【答案】(1)小聪 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）观察两名同学的解法，找出比较简便的即可； （2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：以上两种解法，认为小聪的解法比较简便； 故答案为：小聪； （2）解：原式 ； （3）解： ． 一十三．有理数混合运算的实际应用 1．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，该店铺的销售人员实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 辆； (3)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (4)该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？ (5)若将上面第（4）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下，该店铺的销售人员这一周的工资总额与按日计件的工资总额哪一个更多？请说明理由； 【答案】(1)296 (2)29 (3)本周实际销售总量达到了计划数量 (4)该店铺的销售人员这一周的工资总额是35995元 (5)该店铺的销售人员这一周的工资总额比按日计件的工资总额多，理由见解析 【分析】本题考查了正数与负数，有理数加减乘混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售的数量； （3）将每天与计划量的差值全部相加，如果和为正值或0则达到了计划数量；如果为负值则没有达到计划数量． （4）①每销售一辆得50元的总奖金数；②超额完成部分每辆奖15元的总奖金数；③每日少销售的辆数总扣罚的金额．前两项相加再减去第三项即可得到结果． （5）分别计算两种计件工资制的总额，然后进行比较 即可． 【详解】（1）解：（辆） 答：根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车辆， 故答案为：； （2）解：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 （辆）， 故答案为：； （3）解：（辆） 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （4）解：元， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是元； （5）解：∵元， ∴， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额比按日计件的工资总额多 2．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场，某盲盒专卖店，以元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销售第一周试行机动价格，售出时以单价元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负．该店第一周盲盒的售价单价和售出情况如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价单价相对于标准价格元 售出数量/个 (1)第一周该店出售这批盲盒，单价最高的是星期 ；最高单价是 元． (2)第一周该店出售这批盲盒的收益如何？（盈利或亏损的总价） (3)为了做促销活动，该店决定从元旦前一周开始实行下列两种促销方式． 方式一：购买不超过个盲盒，每个售价元，超出个的部分，每个打六折； 方式二：每个盲盒售价都是元； 某学校七年级班为准备元旦庆祝活动，决定一次性购买个盲盒，试计算说明用哪种方式购买更划算． 【答案】(1)五； (2)第一周该店出售这批盲盒是盈利了元 (3)选择方式一购买更划算 【分析】本题考查有理数的有关运算， （1）观察表格，利用已知条件分别求出第一周每天的单价，然后根据计算结果进行判断即可； （2）先已知条件求出第一周的总售价和总进价，通过比较判断盈亏，再求出两者之差即可； （3）分别求出利用两种方式购买需要花费的钱数，然后通过比较得到答案即可； 解题关键是理解题意，列出正确的算式，熟练掌握有理数的加减乘法法则． 【详解】（1）解：（1）观察表格可知：星期一单价为：（元）， 星期二单价为：（元）， 星期三单价为：（元）， 星期四单价为：（元）， 星期五单价为：（元）， 星期六单价为：（元）， 星期日单价为：（元）， ∵， ∴单价最高的是星期五，最高单价是元， 故答案为：五；； （2）由题意得： = （元）， （元）， ∴（元）， 答：第一周该店出售这批盲盒是盈利了元； （3）方式一： （元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更划算． 3．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 【答案】(1)17，17 (2)43元 (3)88元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）用2月的数据减去1月的数据，求出1月份的用水量，用表格中最后一个数据减去第一个数据，再除以6求出平均用水量； （2）根据小高家2月份的水费为36元，求出一级用水价格，进而求出6月份需缴纳水费即可； （3）根据收费标准，列式计算即可； （4）提出一条节约用水的建议即可． 【详解】（1）解：（吨），（吨）； 故答案为：17，17； （2）解：小高家二月用水量为：（吨）， 由题意，得：一级用水价格为：（元）， 小高家6月用水量为：吨， ∴他家6月份需缴纳水费为（元）； （3）解：七月份用水量为：（吨）， （元）； （4）解：淘米水浇花（合理即可）． 一十四．科学记数法 1．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 2．2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 一十五．程序流程图 1．如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第2022次输出的结果是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】解：由设计的程序可知输出的结果依次是：25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…， 发现从第4次开始循环，每四次一个循环，每个循环依次是：8，4，2，1， 则，， 故第2022次输出的结果是2． 故选B． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，解题的关键是明确题意，找出输出数字的变化规律． 2．如图是一个对于正整数x的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x为 ． 【答案】32、5、4 【分析】读懂题意，寻找规律，利用规律解决问题． 【详解】解：若第五次输出的结果为1， 则第5次输入为：2， 第4次输出为：2， 第4次输入为：4， 第3次输出为：4， 第3次输入为：8或1， 第2次输出为：8或1， 第2次输入为：16或2， 第1次输出为：16或2， 第1次输入为：32、5或4， 故答案为：32、5、4． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是读懂题意，寻找到数字变化的规律，利用规律解决问题． 一十六．算“24”点 1．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 2．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 一十七．有理数中的新定义运算 1．定义新运算“&”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】A 【分析】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：， 故选A． 2．定义一种新运算：．例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为；． 3．定义一种运算：．例如，．当时，求的值． 【答案】 【分析】根据题意先算出a、b、c、d的值，再根据定义的运算法则进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握有理数的混合运算法则． 一十八．有理数的规律计算题 1．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 【答案】D 【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用正负数的意义解决实际问题，按照题意规定正负，运用有理数加减运算求解是解决问题的关键． 2．在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第次移动个单位．每左移右移各一次后，点右移个单位，故第次右移后，点向右移动个单位，第次左移个单位，即可求解． 【详解】解：第次移动个单位，第次左移个单位， 每左移右移各一次后，点右移个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动后的实际距离和方向是解答此题的关键． 3．【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)： ① ； ② ． 【拓广应用】 （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，化简绝对值； （1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【详解】解：（1）①； ②； （2） ． 4．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ________； _______． (2)根据规律计算： ． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得； （2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）， ， 故答案为：，． （2） ． 【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键． 5．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数n S 1 2 3 4 5 (1)若时，则S的值为 ． (2)根据上题的规律计算的值（要有过程）． (3)根据上述规律计算下列式子的值（要有过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格所呈现的规律即可求解； （2），将原式化成，结合所得规律即可求解； （3）将各分母利用所得结论化简，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知： 当时， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 【点睛】本题考查了实数运算中的规律问题．观察所给示例，总结一般规律是解题关键． $$